Лекции - Физика плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

61



τ⋅

⋅

=σ

. (23)

Для нахождения поперечной проводимости расписываем уравнение

(22) в составляющих. Если направить ось z вдоль магнитного поля, то:

x0yex

Ejj

⋅

y0xey

Ejj

⋅

−

Поперечная проводимость плазмы есть величина тензорная, то есть:

zxzyxyxxxx

EEEj

⋅

zyzyyyxyxy

EEEj

⋅

zzzyzyxzxz

EEEj

⋅

или:

∑

⋅

kiki

Чтобы найти компоненты этого тензора, достаточно умножить одно

из уравнений на

τ⋅ω

, прибавить ко второму или вычесть из него, чтобы

получить:

)EE()1(j

⋅

−

⋅

ω+

)EE()1(j

xe0

⋅

ω+

Отсюда тензор проводимости однородной плазмы для постоянного

тока имеет вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

τ⋅ω+

σ⋅τ⋅ω

τ⋅ω+

σ⋅τ⋅ω

−

τ⋅ω+

=σ

. (24)

В явном виде составляющие плотности тока выражаются формулами:

62



)EE(

τ⋅ω+

⋅

−

⋅σ=

)EE(

τ⋅ω+

⋅

⋅σ=

z0z

⋅

Отметим, что если

⋅

– большое число, то в этом случае

поперечная проводимость должна быть гораздо меньшей продольной и

уменьшаться обратно пропорционально квадрату циклотронной частоты, то

есть квадрату индукции магнитного поля. Ток должен течь не только вдоль

электрического поля, но и поперек него (холл-эффект). В реальных условиях

проводимость плазмы сильно осложняется пространственной

неоднородностью, вызывающей

электрическое поле поляризации, а также

дрейфовые токи и ток намагничивания.

5. Приближение идеальной проводимости

Во многих задачах от приближения магнитной гидродинамики можно

перейти к ещё более упрощенному способу рассмотрения плазмы, устремив

проводимость

к бесконечности. Такое приближение носит название

приближения идеальной проводимости. При бесконечной проводимости

сколь угодно малое электрическое поле вызывало бы бесконечно большой

ток, что требовало бы бесконечно большой затраты энергии, и поэтому

невозможно. Следовательно, в приближении идеальной проводимости

электрическое поле в системе координат, связанной с плазмой, должно

равняться нулю:

[

]

0B,vEE

=+=

, (25)

откуда:

[

]

B,vE

−= .

63



Векторное произведение

[

]

B,v

зависит только от составляющей

скорости, перпендикулярной к магнитному полю

⊥

. Поэтому можно

записать, что:

[

]

B,vE

⊥

−= . (26)

Таким образом, условие (25) накладывает определенное требование на

скорость движения плазмы поперек магнитного поля

⊥

; скорость вдоль

магнитного поля

может иметь любое значение. Чтобы получить значение

⊥

, достаточно умножить (26) векторно на B

справа. Получим:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

BvB,v,BB,B,vB,E ⋅==−=

⊥⊥⊥

так как скалярное произведение

0)Bv( =⋅

⊥

. Таким образом, имеем:

[

]

B,E

⊥

. (27)

В скрещенных магнитном и электрическом полях идеально

проводящая среда должна двигаться со скоростью, определяемой формулой

(27). Такое движение называется дрейфом. Существует несколько

разновидностей дрейфа, но только для дрейфа в скрещенных магнитном и

электрическом полях скорость дрейфа одной частицы совпадает со

скоростью плазмы в целом. Этот вид дрейфового движения называется

электрическим дрейфом



64



ТЕМА 5

УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

ЛЕКЦИЯ 9

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ

1. Гидромагнитная неустойчивость плазмы

Важное значение для плазмы имеют явления неустойчивости.

В случае плазмы или вообще проводящей жидкости становится

возможным новый вид конвективной неустойчивости, который называют

магнитогидродинамической или гидромагнитной неустойчивости. Ярче всего

эта неустойчивость проявляется, когда хорошо проводящая плазма, внутри

которой нет магнитного поля

, граничит с пространством, в котором есть

магнитное поле. В тонком слое у поверхности плазмы магнитное поле резко

меняется от нуля до значения во внешнем пространстве. Следовательно, в

этом слое должен течь поверхностный ток. Такой поверхностный токовый

слой называют скин-слоем, а плазму, ограниченную им, – скинированной.

Если внутри плазмы совсем нет

магнитного поля, это будет случай полного

скинирования, и плазму и внешнее магнитное поле можно рассматривать как

две намагничивающиеся жидкости. Если их взаимное расположение

энергетически невыгодно, то может возникнуть конвективная

неустойчивость. Силой, вызывающей конвективное движение, в этом случае

будет магнитная сила – натяжения магнитных силовых линий.

Силовая линия, подобно струне, стремится сократиться, то

есть занять

положение, в котором длина её минимальна. Пусть полностью

скинированная плазма отделена от магнитного поля выпуклой поверхностью

раздела. Такая конфигурация энергетически невыгодна, так как силовые

линии растянуты. Допустим, что магнитное поле и плазма поменялись

местами. Силовые линии сократились, энергия поля уменьшилась, а энергия

65



плазмы осталась прежней. Новое состояние

энергетически выгоднее. Следовательно,

полностью скинированная плазма с выпуклой

поверхностью без вмороженного внутрь

магнитного поля неустойчива. Эта

неустойчивость конвективная.

То же явление можно описывать по-другому. Плазма, внутри которой

нет магнитного поля, диамагнитна, то есть стремится двигаться в сторону

уменьшения напряженности внешнего поля. Если силовые линии выпуклы

наружу, то плотность их (

) уменьшится в том же направлении.

Следовательно, полностью скинированные конфигурации, у которых

магнитное поле ослабевает с удалением от плазмы, неустойчивы.

Мы рассмотрели неустойчивость с точки зрения энергетического

принципа, который гласит, что система стремится перейти в состояние с

наименьшей возможной энергией.

Можно применить для объяснения неустойчивости метод

возмущений. В идеальной плазме, в

которой отсутствуют процессы

диссипации, всякое возмущение в области устойчивости приводит к простым

гармоничным колебаниям поверхности плазмы, которые подобны волнам на

воде. Конечная проводимость, вязкость и другие диссипативные процессы

делают колебания затухающими. В области неустойчивости характер

движения зависит от формы начального возмущения. Если возмущение

вытянуто поперек силовых линий, то оно приводит к

таким же

поверхностным колебаниям, как и в области устойчивости (рис.1). Если

возмущение вытянуто вдоль силовых линий, то оно раздвигает силовые

линии и неограниченно апериодически нарастает.

Скорость нарастания возмущения тем больше, чем меньше длина

волны (она обратно пропорциональна корню квадратному из длины волны).

66



Рисунок 1 – Возмущение, вытянутое поперёк магнитных силовых линий:

а – концы силовых линий свободны; б – концы силовых линий вморожены

Рисунок 2 – Возмущение, вытянутое вдоль силовых линий

2. Неустойчивость пинча

Если через плазму пропускать электрический ток, то в этом случае

линии индукции магнитного поля будут иметь форму колец, охватывающих

плазменный шнур. Если

поместить этот плазменный шнур в трубу, движение

частиц плазмы вдоль поля не будет иметь никакого значения, а чтобы

добраться до стенок трубы частицам плазмы придется двигаться поперек

магнитного поля, так что магнитное поле надежно изолирует плазму от

стенок. Так как плазма имеет электрическое сопротивление, ток, текущий по

плазме, будет нагревать её

. Чем сильнее ток, тем сильнее нагреваться плазма.

Одновременно возрастает и давление магнитного поля, удерживающего

плазму. При достаточно большом токе давление магнитного поля может

превысить давление плазмы, и шнур начнет сжиматься. Это явление

называется пинч-эффектом. Слово "пинч" используется для обозначения

разряда, сжимающегося под действием собственного магнитного поля. Его

впервые предложил

в 1937 году американский физик Тонкс ("пинч" — по-

английски сжимать, прищемлять).

а)

б)

67



Неустойчивость плазменного пинча имеет ту же природу, что и

неустойчивость всякого гибкого проводника, вдоль которого течет ток.

Вокруг прямого проводника имеется круговое магнитное поле,

напряженность которого уменьшается обратно пропорционально расстоянию

от оси. Силовые линии этого поля везде выпуклы наружу, их центр кривизны

лежит на оси, то есть внутри плазмы. Из общего

энергетического принципа

следует, что если внутри плазмы нет магнитного поля (полное

скинирование), то пинч должен быть неустойчив по отношению к

конвективным движениям.

Рисунок 3 – Объяснение неустойчивости пинча с учетом магнитного

давления

Представим себе малое возмущение, состоящее в том, что шнур

изогнулся. Во впадине силовые линии сгустятся, с противоположной

стороны – разрядятся (рис

. 3). В результате напряженность магнитного поля

и магнитное давление будут внутри впадины возрастать и изгибать шнур ещё

сильнее. Расчет показывает, что возникают деформации разных типов. Для

классификации этих деформаций удобно воспользоваться азимутальным

числом m, показывающим, сколько раз направление деформации меняет знак

деформации при обходе окружности пинча. Числу

0m =

соответствует

деформация типа "шейки",

– типа "змейки".



мо

маг

"пр

пин

сил

свя

лин

зак

пре

пла

как

обр

Рис

3. Ст

Если

ет стаби

итного

креплен

ча таким

Если

вых ли

ано с

й (их р

еплены

ятствуе

му. Так

железна

В с

тный э

нок 4 –

билизац

внутри

изирова

пол

не

ы" к тве

провод

оле вмо

ий связ

х растя

стяжени

на тве

деформ

м образ

арматур

або ио

фект:

еустойч

я вморо

лазмы

ь плазм

замыкал

дым ме

иками я

ожено,

но с и

ением,

требуе

дых п

ции, а с

м, сило

а железо

изованн

агнитно

вости т

енным

меется

. Для эт

сь вну

алличес

ляются

о всякое

изгиба

отором

затраты

оводящи

ловые л

ые лин

етону.

й плаз

поле

па "шей

агнитн

мороже

го необ

ри плаз

им пров

лектрод

движен

ием (ри

препят

энергии)

х повер

нии сде

и сообщ

е низк

ожет в

и" (а) и

м полем

ное маг

одимо, ч

ы, а б

дникам.

, прово

е плазм

.1, б),

твует "

. Если к

хностях,

живают

ют сво

й пров

звать н

змейки"

итное п

обы сил

ли пере

В случа

ящие в п

поперёк

то в св

пругост

нцы сил

то их

приклее

прочно

димости

устойчи

(б)

ле, то

вые лин

утаны

линейн

лазму то

магнитн

ю очер

" силов

вых лин

упруго

ную к н

сть плаз

возмо

ость то

68

но

ии

ли

го

дь

ий

ть

е,

ен

а,

69



текущего вдоль этого поля в плазме. Такая неустойчивость вызывается

пондермоторной силой, которая действует на всякий изгиб тока при

нарушении его параллельности полю и стремится повернуть этот изгиб в

положение, перпендикулярно магнитному полю. Поэтому, в слабо

ионизованной плазме с продольным током наблюдается "критическое

магнитное поле", выше которого возникает аномальная диффузия плазмы

поперёк

магнитного поля.

Но и в идеально проводящей плазме вмороженное магнитное поле не

даёт полной стабилизации по отношению ко всем возможным возмущениям.

В случае линейного пинча наилучшая стабилизация получается тогда, когда

внутри плазмы есть только продольное поле и ток течет по её поверхности,

то есть продольное поле сосредоточено внутри плазмы, а

круговое – вне её:

эти поля пространственно разделены. При таком разделении полей

стабилизация пинча по отношению ко всем возмущениям с азимутальными

числами m, не равными единице, может быть обеспечена продольным

вмороженным магнитным полем, достаточно сильным по отношению к

внешнему круговому полю собственного тока.

Сочетание вмороженного продольного поля внутри и проводящего

кожуха снаружи плазмы

позволяет в принципе стабилизировать по

отношению ко всем гидромагнитным возмущениям идеально проводящий с

разделёнными полями пинч.

Диффузия магнитного поля за счет конечной проводимости приводит

к перемешиванию полей, то есть образуется винтовое поле. В этом случае

необходимо как-нибудь "запутать" магнитные силовые линии так, чтобы их

упругость сопротивлялась всякому возмущению. Используют

специальную

конфигурацию магнитного поля, на которой основан стелларатор.

70



4. Перестановочная, или желобковая, неустойчивость

Простейшая разновидность гидромагнитной неустойчивости

возникает тогда, когда плазма, внутри которой нет магнитного поля,

соприкасается с магнитным полем в свободном пространстве. Если

уменьшается при удалении от границы плазмы, то плазме энергетически

выгодно поменяться местами с магнитным полем. Такую неустойчивость

называют перестановочной, потому что возникающее движение можно

описывать как перестановку в пространстве силовых линий. Возмущения

поверхности имеют вид желобков, направленных вдоль силовых линий.

Поэтому иначе эту неустойчивость называют желобковой. Плазма как бы

раздвигает

силовые линии магнитного поля и просачивается в промежутки

между ними.

Существуют два простейших способа стабилизации плазмы по

отношению к желобковой неустойчивости. Во-первых, если концы силовых

линий вморожены в твердые проводники, то перестановочная

неустойчивость невозможна. Во-вторых, необходимо создать внутри плазмы

стабилизирующее магнитное поле, направленное под углом к внешнему

(проще

всего – перпендикулярное ему). Тогда у поверхности раздела

образуется нечто вроде плетёной сетки. Эта "корзина" не даёт плазме

просачиваться.

Резкая граница между плазмой и пустым пространством может

существовать стационарно только для идеально проводящей плазмы. Если

учесть конечную проводимость, то границу можно считать резкой только за

время, малое по сравнению со скиновым. В

дальнейшем диффузия

магнитного поля приводит к размытию границы плазмы.