Лекции - Физика плазмы
Подождите немного. Документ загружается.
31
находящимся в единице объёма, то каждая из частиц будет учтена дважды.
Поэтому полная плотность кулоновской энергии равна:
∑
⋅⋅⋅
ε⋅π
−=ω
k
k
2
k
D
2
0
K
nz
l
e
8
1
. (4)
Она такова, как если бы все частицы притягивались между собой на длине,
равной длине экранирования
D
l
. В силу квадратичности по
z
кулоновская
энергия всегда отрицательна, то есть имеет такой знак, как энергия
притяжения. Таким образом, полная энергия плазмы всегда меньше, чем
энергия идеального газа. Подстановка значения для
D
l
даёт:
(
)
2
3
k
k
2
k
3
2
3
0
K
nz
Tk
e
8
1
∑
⋅⋅
⋅
⋅
ε⋅π
−=ω
, (5)
так как:
∑
⋅⋅
⋅⋅ε
==ℵ
k
k
2
k
0
2
D
nz
Tk
e
l
1
,
то можно представить в виде:
3
D
3
K
l8
Tk
8
Tk
⋅π
⋅
−=ℵ⋅
π
⋅
−=ω
. (6)
Рассмотрим дебаевскую сферу:
3
DD
l
3
4
V ⋅π⋅=
.
В первом приближении можно считать, что потенциал частицы
сказывается только внутри дебаевской сферы, а вне её пренебрежимо мал.
Тогда:
D
K
V6
Tk
⋅
⋅
−=ω
. (7)
Если от плотности кулоновской энергии перейти к кулоновской
энергии, рассчитанной на одну частицу, то есть:
32
DD
K
N6
Tk
nV6
Tk
n ⋅
⋅
−=
⋅⋅
⋅
−=
ω
,
где
DD
VnN ⋅=
– число частиц в дебаевской сфере.
В силу статистического характера теории Дебая она применима при
условии
D
N
1. Но тогда кулоновская энергия мала в сравнении с тепловой,
то есть плазма является идеальной. Таким образом, теория Дебая применима
тогда, когда электростатическое взаимодействие является малой поправкой,
то есть когда плазма мало отличается от идеального газа. В области более
высоких плотностей, где отступления становятся значительными,
теоретический расчёт невозможен. Здесь необходимо использовать
экспериментальные данные.
3. Термодинамические функции плазмы
Термодинамические функции плазмы рассчитываются методом
статических сумм. Зная статистические суммы для частиц, сначала находят
свободную энергию плазмы, причём необходимо учесть кулоновскую
поправку к свободной энергии, а затем остальные термодинамические
функции вычисляют по известным формулам.
4. Энергия излучения плазмы
Следует отметить, что при высокой температуре
большую роль в
термодинамике плазмы начинает играть энергия излучения плазмы.
Нетрудно найти температуру, при которой энергия излучения
4
T
⋅
σ
∗
становится равной плотности энергии теплового движения частиц:
nTk
2
3
T
4
⋅⋅⋅=⋅σ
∗
,
откуда:
33
3
2
nk3
T
∗
σ⋅
⋅⋅
=
, (8)
где
∗
σ
– постоянная Стефана-Больцмана:
42
8
Км
Вт
1061,5
⋅
⋅=σ
∗
.
Для плазмы с концентрацией частиц
321
м10n
−
≈
эта температура
К103T
4
⋅≈
. Таким образом при температуре плазмы порядка
К10
5
плотность энергии излучения в ней становится преобладающей.
5. Равновесие ионизации
Для неполностью ионизованной плазмы важнейшей
термодинамической задачей является нахождение степени ионизации.
Применяя термодинамику к решению этой задачи, нужно помнить, что
термодинамика даёт равновесную степень ионизации. В замкнутой системе,
изолированной от окружающей среды, стационарное состояние всегда
совпадает с состоянием термодинамического равновесия
. В открытой
системе стационарное состояние может не совпадать с состоянием
термодинамического равновесия.
При рассмотрении открытых систем основное значение имеет
принцип детального равновесия. Он гласит, что каждому прямому процессу
отвечает обратный процесс, совершающийся по тому же пути, что и в
состоянии термодинамического равновесия; скорости прямого и обратного
процессов равны. Отсюда следует,
что стационарное состояние совпадает с
состоянием термодинамического равновесия, если прямой и обратный
процессы совершаются по одному и тому же пути. Рассмотрим этот принцип
на примере равновесия ионизации.
Основные процессы:
- ионизация электронным ударом:
e2AeA +→
+
+
;
- ионизация излучением:
eAhA
+
→
ν
+
+
.
34
Обратные процессы:
- рекомбинация при тройных столкновениях:
eAe2A
+
→+
+
;
- рекомбинация с излучением:
ν
+
→
+
+
hAeA
.
Общий вид условия равновесия ионизации можно получить из
кинетических соображений.
Скорость ионизации:
eae1
nnW
⋅
⋅
α
=
,
соответственно:
InW
a2
⋅
⋅
α
=
ν
,
где I – интенсивность излучения.
Скорость рекомбинации:
2
eie1
nnW
⋅
⋅
β
=
′
,
соответственно:
e2
nnW
⋅
⋅
β
=
′
εν
.
В состоянии равновесия скорости процессов должны быть равны, то
есть:
2
eieeae
nnnn
⋅
⋅
β
=
⋅
⋅
α
,
откуда:
K
n
nn
e
e
a
ei
=
β
α
=
⋅
. (9)
Это соотношение называется в физической химии законом действующих
масс. Величина
K носит название константы равновесия.
Аналогично, для второго процесса получим:
ν
ν
β
⋅
α
=
⋅
I
n
nn
a
ei
. (10)
Если излучение равновесное (тепловое), то правая часть (10) –
однозначная функция температуры. В условиях термодинамического
равновесия правые части соотношений (9) и (10) должны быть равны:
35
K
I
e
e
=
β
α
=
β
⋅
α
ν
ν
.
Таким образом, общий вид условия равновесия ионизации:
K
n
nn
a
ei
=
⋅
.
Частным случаем этой зависимости для идеальной плазмы является
формула Сахá. Формула Саха выводится из статистической теории
идеальных газов и имеет вид:
Tk
e
2
3
2
e
a
ie
a
ei
1
e
h
Tkm2
g
gg
n
nn
⋅
ϕ⋅−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⋅⋅π
⋅
⋅
=
⋅
,
где
1
e ϕ⋅
– энергия ионизации атома;
2g
e
=
,
i
g
и
a
g
– статистические суммы по электронным состояниям иона и
атома.
Величина, стоящая в правой части, есть константа равновесия
ионизации.
6. Формула Эльверта
В разреженной плазме нередко реализуется случай открытой системы,
когда излучение свободно выходит из плазмы. При этом ионизация
происходит только электронным ударом, рекомбинация же может
происходить в основном с излучением. Тогда
прямой и обратный процессы
совершаются по разным путям и стационарное состояние ионизации не
совпадает с состоянием термодинамического равновесия. Тогда:
eieae
nnnn
⋅
⋅
β
=
⋅
⋅
α
ν
,
откуда:
ν
β
α
=
e
a
i
n
n
.
36
Этот результат называют формулой Эльверта. Согласно ей в
разреженной плазме, из которой излучение выходит свободно, степень
ионизации не зависит от концентрации электронов.
37
ТЕМА 3
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
ЛЕКЦИЯ 6
ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
1. Дрейфовое приближение
Если на не слишком плотную плазму действуют достаточно сильные
внешние поля, то в некотором приближении можно пренебречь внутренними
полями, происходящими от взаимодействия частиц. В этом приближении
плазму можно рассматривать как систему независимых заряженных частиц,
движущихся по
своим траекториям в заданных внешних полях.
Единственным внутренним полем, которым нельзя пренебрегать, является
электрическое поле поляризации, возникающее вследствие разделения
зарядов и обеспечивающее квазинейтральность плазмы.
Уравнение движения заряженной частицы в заданных внешних полях
имеет вид:
[
]
FB,vez
dt
vd
M
r
r
r
r
+⋅⋅=⋅ , (1)
где
F
r
– равнодействующая всех остальных сил, действующих на частицу.
Уравнение (1) векторное и, несмотря на кажущуюся его простоту, не
поддаётся, кроме самых простых случаев, аналитическому решению.
Поэтому важное значение в физике плазмы имеет приближённый метод
решения уравнения (1), носящий название дрейфового приближения. Этот
метод применим, если движение происходит в достаточно сильном внешнем
магнитном поле
и взаимодействием между частицами можно пренебречь.
При таких условиях движение частицы можно разложить на три
составляющие:
38
1) быстрое циклотронное вращение вокруг силовых линий
магнитного поля;
2) дрейфовое движение центра циклотронной окружности поперёк
магнитного поля;
3) свободное движение вдоль силовой линии, на которое магнитное
поле не действует.
Иногда дрейфом называют как вторую, так и третью составляющие.
Если сила
F
r
в уравнении (1) отсутствует и магнитное поле
однородно, то движение частицы представляет собой сочетание
циклотронного вращения и движения вдоль силовой линии. В зависимости от
силы
F
r
на эту простую картину накладываются различные виды дрейфового
движения. Различают пять разновидностей дрейфа:
1) Электрический дрейф: сила
F
r
есть сила постоянного
электрического поля.
2) Градиентный дрейф: поле меняется по величине.
3) Центробежный дрейф: поле меняется по направлению.
4) Поляризационный дрейф: в переменном по времени электрическом
поле.
5) Дрейф под действием сил неэлектромагнитной природы, например,
силы тяжести (гравитационный дрейф).
2. Циклотронное вращение
Рассмотрим движение в постоянном однородном магнитном поле.
Уравнение движения
частиц имеет вид:
[
]
B,v
M
ez
dt
vd
r
r
r
⋅
⋅
=
. (2)
Как было уже сказано, движение заряженной частицы в постоянном
магнитном поле может быть представлено как наложение движения вдоль
39
поля и циклотронного (ларморовского) вращения поперёк поля с
циклической частотой:
M
Bez
с
⋅
⋅
=ω
. (3)
Эта частота называется циклотронной или ларморовской.
Так как:
c
c
v2
R2
ω
⋅
π
⋅
=⋅π⋅
⊥
,
то:
c
c
v
R
ω
=
⊥
, (4)
c
R
называется циклотронным радиусом. Если в поле частицы совершают
тепловое движение, то циклотронные радиусы будут распределены так же,
как и скорости теплового движения.
Медленное изменение внешних условий называется адиабатическим.
Качественно условие адиабатичности сводится к требованию, чтобы
относительное изменение магнитного поля было малым: во времени – за
период циклотронного вращения; в пространстве — на
длине, равной
циклотронному радиусу:
dt
Blnd1
c
⋅
ω
1, (5)
dx
Blnd
R
c
⋅
1. (6)
Циклотронное вращение проявляется в полной мере только в
разреженной плазме, где столкновения между частицами редки. В плотной
плазме столкновения происходят часто, и кулоновские взаимодействия
нарушают правильное циклотронное вращение. Для того, чтобы
циклотронное вращение могло проявиться, нужно, чтобы период его был мал
в сравнении со временем между столкновениями или, точнее, средним
40
временем
τ
передачи импульса вследствие взаимодействий между частицами
плазмы. Поскольку период вращения обратно пропорционален частоте, то
это условие можно записать так:
τ
⋅
ω
с
1. (7)
Плазму, удовлетворяющую этому условию, называют замагниченной. В
замагниченной плазме тепловое движение поперёк поля имеет характер
циклотронного вращения. Если условие замагниченности не соблюдается, то,
не успев закончить циклотронный оборот, частица сбивается с траектории в
результате изменения направления движения, вызванного столкновениями.
Условие замагниченности можно представить и в другом виде.
Введём длину свободного
пробега
l
в отсутствие магнитного поля:
τ
⋅
=
⊥
vl
.
Тогда условие замагниченности можно записать в виде:
c
R
l
, (8)
то есть циклотронный радиус должен быть мал по сравнению с длиной
свободного пробега.
Так как
c
ω
~ B (см. формулу (1)), то плазму можно сделать
замагниченной, наложив на неё достаточно сильное магнитное поле. Сделать
это тем легче, чем больше время передачи импульса
τ, то есть чем реже
столкновение и слабее взаимодействие между частицами.
В замагниченной плазме в полной мере проявляется анизотропия
проводимости и других процессов переноса. Напротив, проводимость можно
считать скаляром, если выполняется условие:
τ
⋅
ω
с
1, (9)
обратное условию замагниченности. При этом условие (9) полностью
применимо к приближению магнитной гидродинамики с конечной
проводимостью.
Если плазма ограничена в пространстве, то циклотронное вращение
может возмущаться не только столкновениями частиц между собой, но и