Лекции - Физика плазмы

Подождите немного. Документ загружается.

41



конечными размерами системы. В этом случае кроме условия (7) должно

быть выполнено ещё и второе условие замагниченности: циклотронный

радиус мал в сравнении с размерами системы, то есть:

 D. (10)

Отметим, что дрейфовое движение является следствием

циклотронного вращения. Для того, чтобы движение имело дрейфовый

характер, требуется выполнение двух условий:

1) условия адиабатичности;

2) условия замагниченности.

Условие замагниченности (7) можно записать как:

ν (

=ν

–

частота передачи импульса). Ввиду того, что циклотронная частота у ионов в

тысячи раз меньше, чем у электронов, условие замагниченности для

электронов осуществляется гораздо легче. Если условие (7) выполняется как

для электронов, так и для ионов, то все частицы плазмы участвуют в

дрейфовом движении. Возможны случаи, когда

ν

, то есть

электроны замагничены, а ионы – нет. В этом случае в дрейфовом движении

принимают участие только электроны.

В случае идеальной проводимости

(или ∞→τ ). Таким

образом, если выполнено условие идеальной проводимости, то условие

замагниченности заведомо выполняется, то есть движение имеет дрейфовый

характер.

3. Природа дрейфового движения

Чтобы просто и наглядно представить

природу дрейфового движения и оценить

величину дрейфовой скорости, рассмотрим

циклотронную окружность. Сила

⊥



42



действующая поперёк магнитного поля, в одной половине циклотронного

периода действует вдоль направления вращения, в другой – против этого

направления. Как видно из рисунка, в верхней половине окружности сила

действует по направлению вращения, в нижней – против. В результате

частица будет двигаться сверху вниз быстрее, чем снизу вверх. Разность этих

скоростей приведёт к смещению

циклотронной окружности с постоянной

скоростью

в направлении, перпендикулярном как магнитному полю, так и

действующей силе. Это смещение и называется дрейфом. Оценим величину

скорости дрейфа. Сила

⊥

создаёт ускорение

⊥

. За время

циклотронного периода приращение скорости

⊥

M2F

⋅

⊥

. В

рассмотренном примере скорость вращения в направлении вниз будет на

величину такого порядка больше, вверх – меньше средней. Разность этих

скоростей даёт скорость дрейфа, величина которой:

ω⋅

≈

⊥

, (11)

или, если подставить значение циклотронной частоты:

Bez

⋅

≈

⊥

. (12)

При оценке множители порядка единицы опущены. Чтобы указать не

только величину, но и направление дрейфовой скорости, нужно записать её

выражение в векторной форме. Векторное выражение для дрейфовой

скорости можно получить из уравнения (1), приняв, что

vvv

, где

–

скорость циклотронного вращения, удовлетворяющая уравнению:

[

]

B,vez

⋅⋅=⋅

. (13)

Скорость

медленно меняется со временем, так что производной её

по времени можно пренебречь. Тогда для дрейфовой скорости:

[]

B,v

⋅

−=

43



Умножение векторно справа на

даёт:

[][]

[

]

B,F

B,B,v

⋅

−=

или:

[][]

[

]

B,F

B,v,B

⋅

Раскрывая двойное векторное произведение, получим:

[

]

B,F

)vB(BBv

⋅

=⋅−⋅

Если скорость

перпендикулярна

, то второе слагаемое слева

обращается в ноль, и получим:

[

]

B,F

⋅

=⋅

или:

[

]

Bez

B,F

⋅



44



ЛЕКЦИЯ 7

РАЗНОВИДНОСТИ ДРЕЙФОВОГО ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ

1. Электрический дрейф

Простейшим случаем является дрейфовое движение, когда сила

⊥

есть сила электрического поля. Такой дрейф называется электрическим. Его

называют также дрейфом в скрещенных полях, так как электрическое поле

здесь направлено поперёк магнитного. Электрическое поле напряжённостью

действует на частицу с силой:

EezF

⋅

тогда скорость электрического дрейфа равна:

[

]

B,E

, (1)

или по абсолютному значению:

Особенностью формулы (1) является то, что

при выводе её зарядовое число

сокращается. Вследствие этого скорость

электрического дрейфа не зависит от знака

заряда частицы. Электроны и ионы

дрейфуют при этом в одном направлении и

с одинаковой скоростью. Таким образом,

если и электроны, и ионы замагничены, то

электрический дрейф не приводит к

разделению

зарядов, а вызывает только движение плазмы как целого.

Скорость дрейфа совпадает с той скоростью, которая получена в модели

проводящей жидкости из условия идеальной проводимости.

–



45



Если замагничены одни электроны, но не ионы, то в дрейфовом

движении участвуют только электроны и электрический дрейф приводит к

разделению зарядов.

2. Дрейф в неоднородном магнитном поле

Строгое рассмотрение движения заряженных частиц в неоднородном

магнитном поле требует громоздких математических выкладок.

Изменение величины индукции магнитного поля (градиент) приводит

к изменению циклотронного радиуса

частицы

, что и является причиной

градиентного дрейфа. Ввиду того, что циклотронное вращение происходит в

плоскости, перпендикулярной к силовым линиям, дрейф вызывается только

градиентом магнитного поля поперёк его направления, который обозначается

как

⊥

∇

. Если через xΔ обозначить смещение среднего положения частицы

за один оборот, то дрейфовая скорость определяется соотношением:

⋅Δ=

Циклотронный радиус меняется непрерывно, тогда можно доказать,

что

Rx Δ⋅π=Δ

, где

RΔ

– изменение циклотронного радиуса на его

собственной длине (

Bez

⋅

⊥

). Таким образом:

Rv ω⋅Δ⋅=

⋅Δ⋅π=

Так как:

RRR

ccc

⊥⊥

∇⋅−=∇⋅=Δ

то:

46



⊥

∇⋅

⋅

⋅=

Подставляя

⊥

=ω

, получим:

B ⊥

⊥

∇⋅

⋅

⋅=

. (2)

Формула (2) определяет

скорость градиентного дрейфа

только по величине, но не по

направлению. Чтобы определить

направление дрейфовой скорости,

нужно записать (2) в векторной

форме. Составляющую градиента

в направлении, перпендикулярном

, можно представить как

векторное произведение

[

]

h,BB

∇=∇

⊥

, где

–

единичный вектор в направлении магнитного поля. Тогда формулу (2) можно

записать в виде:

[

]

[

]

[

]

cccB

B,B

B,h

h,B

∇

⋅⋅⋅=

∇

⋅⋅⋅=

∇

⋅⋅⋅−=

⊥⊥⊥

.(3)

Градиентный дрейф приводит к разделению зарядов.

Изменение направления магнитных полей может быть описано как

искривление магнитных силовых линий. Центр циклотронной окружности

движется по искривлённой силовой линии и можно считать, что на него

действует центробежная сила, величина которой:

.б.ц

⋅

где

R – радиус кривизны силовой линии.



–

ток

+

‐



∇

47



Эта сила направлена вдоль радиуса кривизны, то есть по нормали к

силовой линии. Если рассматривать радиус кривизны, как вектор

направленный от центра кривизны с силовой линии, то в векторном виде

центробежная сила:

.б.ц

⋅

тогда скорость центробежного дрейфа:

[]

B,R

RBez

.б.ц

⋅

. (4)

Скорости градиентного и центробежного дрейфов зависят от заряда

частицы, так что противоположно заряженные частицы дрейфуют в

противоположных направлениях. Следовательно, неоднородность

магнитного поля возбуждает в плазме дрейфовые токи, приводящие к

разделению зарядов. Плотность дрейфового тока:

vnezj

⋅⋅⋅=

откуда для градиентного дрейфа:

[

]

B,B

vMn

∇⋅

⋅

⊥

так как

Bez

⋅

⊥

, и для центробежного дрейфа:



–

..бц



..бц



–

ток

48



[

]

B,B

vMn

∇⋅

⋅

⊥

где

– концентрация частиц.

3. Поляризационный дрейф

Если частицы испытывают постоянное или медленно меняющееся

ускорение

, то уравнение движения можно записать в виде:

[

]

FB,vezv

+⋅⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+⋅

, (5)

что совпадает с уравнением

[

]

FB,vez

+⋅⋅=⋅

, если к силе

добавить

силу инерции

vMF

⋅=

∗

. Силы инерции вызывают инерционный дрейф,

проявляющийся в соответственном дрейфовом токе. Важнейшим случаем

инерционного дрейфа является поляризационный дрейф, где ускорение

происходит при изменении скорости электрического дрейфа, вызванного

переменным электрическим полем. Если скорость изменения электрического

поля

, то электрический дрейф происходит с ускорением:

[

]

B,E

создающим инерционную силу:

[

]

B,EM

⋅

−=

∗

Эта сила вызывает дрейф со скоростью:

[

]

[

]

[

]

[

]

(

)

4244

Bez

BB,EM

Bez

B,E,BM

Bez

B,B,EM

⋅⋅

−

⋅

⋅⋅

⋅

−=

. (6)

Если переменное электрическое поле направлено поперёк магнитного,

второй член (6) обращается в нуль и скорость поляризационного дрейфа

оказывается направленной вдоль электрического поля:

49



Bez

⋅

. (7)

Таким образом, поперечное переменное электрическое поле вызывает

в замагниченной плазме дрейфовый ток с плотностью:

⋅

∑

. (8)

Плотность дрейфового тока пропорциональна массе частиц, так что он

переносится практически целиком ионами. Этот дрейфовый ток во многих

случаях оказывается гораздо существеннее, чем ток, происходящий от

поперечной проводимости плазмы.

4. Ток намагничивания

В неоднородной плазме, кроме тока проводимости и дрейфовых

токов, имеется ещё один механизм возникновения электрического тока,

связанный с

пространственной неоднородностью. Возникающий от этого ток

называется током намагничивания. При этом под неоднородностью

понимается переменность в пространстве любой из основных величин,

характеризующих плазму: концентрации заряженных частиц, температуры

(или средней кинетической энергии циклотронного вращения)

напряжённости физических полей. Переменность хотя бы одной из них

приводит к возникновению тока намагничивания.

Вращение заряженных частиц

вокруг силовых линий создаёт

магнитный момент орбиты, величина которого определяется по формуле:

⋅

=μ

⊥

, (9)

векторная запись магнитного момента циклотронной орбиты:

⋅

−=μ

⊥

, (10)

то есть магнитный момент направлен противоположно внешнему

50



магнитному полю. Таким образом, циклотронное вращение создаёт

диамагнетизм плазмы, то есть магнитное поле, создаваемое циклотронным

вращением, всегда ослабляет внешнее поле. Магнитная индукция внутри

плазмы:

BBB

′

где

– внешнее магнитное поле;

′

– поле, вызванное циклотронным вращением.

Как известно из электродинамики:

(

)

H1B

⋅ℵ+⋅μ=

где

ℵ – магнитная восприимчивость плазмы:

∑

⋅

=ℵ

, (11)

здесь величина

∑

μ⋅

– есть магнитный момент единицы объёма. Таким

образом, для

′

можно получить выражение:

∑

μ⋅⋅μ=

′

kk0

. (12)

Если намагничивание плазмы постоянно во времени, но меняется в

пространстве, то, согласно уравнению Максвелла, с полем

′

связан ток:

∑

μ⋅=

′

⋅

nrotBrot

. (13)

Учитывая (10), получим:

∑

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−=

⊥

kkk

vMn

rotj

. (14)

Этот ток называют током

намагничивания или диамагнитным

(циклотронным) током. Существование

тока намагничивания является важным

свойством неоднородной плазмы.

