Лекции - Электродинамика и распространение радиоволн (тексты лекций)
Подождите немного. Документ загружается.
отрицательном направлении оси 0z с той же фазовой скоростью V. Эту волну
называют отраженной волной, так как причиной ее появления может явиться
отражение падающей волны от какой-либо плоской преграды.
В выражениях (4.11) Е
0
пад
и Е
0
отр
- амплитуды векторов напряженности
электрического поля в падающей и отраженной волнах соответственно, а
ψ
пад
,ψ
отр
- их начальные фазы, т.е. фазы в сечении z = 0 при t = 0. Эти величины,
будучи постоянными интегрирования, могут быть определены только из
граничных условий – заданных значений векторов Е и Н на какой-либо
плоскости z = const. Иначе говоря, для их определения надо знать параметры
источника, возбудившего падающую волну, и вид преграды, вызвавшей
появление отраженной волны. В идеальном диэлектрике амплитуды векторов
поля в падающей и отраженной волнах не изменяются с изменением параметра
z, т.е. волны распространяются без затухания.
Из выражений (4.11) следует, что зависимость векторовЕ иН в
падающей и отраженной волнах от пространственной переменной z
подчиняется такому же гармоническому закону, что и их зависимость от
временной переменной t. Причем в падающей волне векторыЕ иН
изменяются вдоль z синфазно, а в отраженной волне – противофазно (рис 4.1).
При этом векторыЕ иН в обеих волнах ориентированы так, что в любом
сечении z = const вектор Пойнтинга (П), равный векторному произведениюЕ
на Н, направлен в сторону распространения соответствующей волны. Этот
результат, имеющий глубокий физический смысл, формально обусловлен тем,
что характеристическое сопротивление плоской однородной волны,
распространяющейся в диэлектрике, является вещественной величиной.
На рис 4.1 изображены «картины поля» падающей и отраженной волн
для фиксированного момента времени t
1
. С течением времени эти картины
перемещаются вдоль оси 0z навстречу друг другу с фазовой скоростью V . При
этом в любой плоскости z = const напряженности электрического и магнитного
полей изменяются во времени по гармоническому закону с временным
периодом Т:
T = 1 / f = 2π / ω , где f = ω / 2π, Гц – частота . (4.15)
Пространственный период изменения поля вдоль оси 0z, определяемый
как расстояние, на котором фаза в фиксированный момент времени изменяется
на 2π , называется длиной волны λ . По определению kλ = 2π, откуда
λ = 2π / k . (4.16)
С учетом формул (4.13) и (4.15) получаем
λ = 2πV / ω = V / f = V⋅T , (4.17)
т.е длину волны можно трактовать как рассстояние, которое волна,
двигаясь с фазовой скоростью V, проходит за промежуток времени, равный
одному периоду колебаний Т.
Из выражений (4.15) и (4.16) следует:
ω = 2π/ T , радиан / ед.времени ;
(4.18)
31
k = 2π / λ , радиан / ед.длины.
Сопоставление этих формул позволяет выявить физический смысл
волнового числа k как величины, определяющей частоту волнового процесса в
пространстве («пространственная частота»), подобно тому как круговая частота
ω определяет частоту волнового процесса во времени. Если ω показывает на
сколько радиан изменяется фаза за единицу времени (например, за секунду) в
плоскости z = const, то k показывает на сколько радиан она изменяется на
единице пути (например, на пути в один метр) в фиксированный момент
времени.
Плоские волны в поглощающей среде. Все реальные среды в той или
иной мере обладают проводимостью. Если удельная проводимость среды γ ≠ 0
то, формально, диэлектрическая проницаемость, характеристическое
сопротивление и волновое число становятся комплексными величинами :
.
ε
а
= ε
a
′ + j ε
a
″ = ε
a
+ j γ / ω = |
.
ε
а
| exp(-jδ), (4.19)
где δ = arctg (γ /ωε
a
) – угол электрических потерь .
.
Ζ
0
=
а
а
.
/
εµ
= |Z
0
| exp(jϕ
0
) . (4.20)
.
k = ω⋅
аа
µε
.
= β - jα , j = α + jβ . (4.21)
.
k
В этом случае мгновенные значения векторов напряжености
электрического и магнитного полей плоской волны в соответствии с (4.9)
окажутся равными:
Е(z,t) = Е
0
пад
exp(-αz) cos(ωt – βz + ψ
пад
) +
+ Е
0
отр
exp(αz)
cos(ωt + βz + ψ
отр
) ;
(4.22)
Н(z,t) = (1/|
.
Ζ
0
|) (Е
0
пад
exp(-αz) cos(ωt – βz + ψ
пад
- ϕ
0
) –
- Е
0
отр
exp(αz)
cos(ωt + βz + ψ
отр
-ϕ
0
)) .
Эти выражения отличаются от аналогичных формул (4.11) для плоской
волны в идеальном диэлектрике. Во-первых, в падающей волне появляется
множитель exp(-αz) , а в отраженной exp(αz), которые свидетельствуют о том,
что амплитуды обеих волн убывают в направлении их распространения (см.
рис.4.2). Затухание волн обусловлено протеканием в среде токов проводимости
с плотностью δ = γЕ и переходом при этом части энергии
распространяющегося электромагнитного поля в тепло. Во-вторых, в
проводящей среде векторы Е иН в падающей волне не совпадают по фазе и
между ними возникает фазовый сдвиг ϕ
0
, а в отраженной волне фазовый сдвиг
между этими векторами отличен на π и равен (ϕ
0
+ π). Таким образом, в обеих
волнах изменение вектора Н в пространстве отстает от соответствующего
изменения вектораЕ на расстояние ϕ
0
/β (в направлении своего
распространения), а в сечении z = const вектор Н отстает во времени от
вектораЕ на промежуток времени ϕ
0
/ω в падающей волне и на промежуток
времени (ϕ
0
+π)/ω в отраженной. Эти отставания в пространстве и во времени
32
обусловлены комплексностью характеристического сопротивления плоской
волны в проводящей среде.
«Картина поля» падающей волны в поглощающей среде для
фиксированного момента времени изображена на рис.4.3. С течением времени
изображенная картина перемещается в положительном направлении оси 0z с
фазовой скоростью V, деформируясь по мере движения в соответствии с
законом убывания амплитуд векторов поля в зависимости от пространственной
переменой z , т.е. оставаясь ограниченной экспоненциальными огибающими,
которые во времени не смещаются. Аналогично изменяется поле и в
отраженной волне.
Мнимую часть (α) комплексного волнового числа
, определяющую
затухание волны по мере ее распространения, называют коэффициентом
затухания, а вещественную часть (β), определяющую изменение фазы волны по
мере ее распространения, - коэффициентом фазы.
.
k
Для плоской волны, распространяющейся в идеальном диэлектрике, k =
β. Для плоской волны, распространяющейся в проводящей среде, коэффициент
фазы β связан с длиной волны λ, фазовой скоростью V и круговой частотой ω
такими же соотношениями, какими связано с этими параметрами волновое
число k плоской однородной волны, распространяющейся в идеальном
диэлектрике:
β = 2π/λ = ω/V. (4.23)
В то же время, значения λ и V для плоской волны,
распространяющейся в идеальном диэлектрике и в проводящей среде при
одной и той же частоте колебаний, отличаются друг от друга.
Вычислим величины ϕ
0
, α, β, V и λ для плоской волны,
распространяющейся в проводящей среде. Воспользовавшись показательной
формой записи комплексной диэлектрической проницаемости (см.(4.19)) и
выражением (4.20), имеем:
.
Ζ
0
=
а
а
.
/
εµ
= |
.
Ζ
0
|⋅exp(jϕ
0
) = ||/
.
а
а
εµ
exp(jδ/2),
отсюда ϕ
0
= δ/2 . (4.24)
Так как δ = arctg (γ /ωε
a
) (см.(4.19)), видим, что угол ϕ
0
возрастает с
увеличением удельной электрической проводимости среды ( γ ) и при ее
изменении от 0 (идеальный диэлектрик) до
∞
(идеальный проводник)
изменяется от 0 до π/4.
Коэффициенты затухания (α) и фазы (β) определим с помощью
выражений (4.3) и (4.21 ), согласно которым
ω
2
ε
а
µ
а
- jω γ µ
а
= (β - jα)
2
.
Приравнивая вещественные и мнимые части левой и правой сторон
полученного выражения и решая полученную в результате этого систему из
двух уравнений, имеем
α
2
= 0.5 ω
2
ε
а
µ
а
(
2
)/(1
a
ωεγ
+ -1) . (4.25)
β
2
= 0.5 ω
2
ε
а
µ
а
(
2
)/(1
a
ωεγ
+ +1) . (4.26)
33
Из формулы (4.25) следует, что, во-первых, затухание волны возрастает
с увеличением удельной проводимости среды γ. Этот результат очевиден, так
как чем больше проводимость среды, тем больше токи проводимости в ней и
тем большая часть энергии поля переходит в тепло. Во-вторых, затухание
волны возрастает с ростом частоты волнового процесса ω. Это обстоятельство
связано с явлением поляризации среды и сопутствующими ему активными
потерями.
В соответствии с формулами (4.23) и (4.26), в проводящей среде фазовая
скорость V будет равна:
V = ω/β = (2/ε
а
µ
а
(
2
)/(1
a
ωεγ
+ +1))
0.5
.
Видим, что она зависит не только от параметров ε
а
и µ
а
, но и от
удельной проводимости среды γ и от частоты волнового процесса ω. При γ =
0 приходим к уже известному результату V = 1 /
аа
µε
. В проводящей среде
фазовая скорость всегда меньше, чем в диэлектрике с теми же значениями
параметров ε
а
и µ
а
, и при неизменной частоте убывает с увеличением удельной
электрической проводимости γ. Соответственно уменьшается и длина волны
λ, которая равна V/f . При увеличении частоты фазовая скорость в проводящей
среде возрастает, стремясь в пределе при ω → ∞ к скорости V = 1 /
аа
µε
в
идеальном диэлектрике. В другом предельном случае ω → 0 имеем V → 0 -
электромагнитная волна вырождается в постоянное поле.
Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией.
Среды, в которых имеет место дисперсия, называются диспергирующими.
Значит, каждая проводящая среда является диспергирующей. В диэлектриках
при достаточно высоких частотах также может иметь место дисперсия,
возникающая за счет того, что параметры ε
а
и µ
а
среды начинают зависеть от
частоты. Наличие дисперсии приводит к искажениям передаваемых с помощью
электромагнитных волн сигналов, так как в диспергирующей среде
составляющие спектра сигнала распространяются с различными скоростями и
по-разному затухают.
Плоские волны в хорошо проводящей среде. В хорошо проводящей
среде (например, в металлах) выполняется соотношение γ >> ωε
а
.
Следовательно, в формулах (4.25) и (4.26) можно в подкоренных выражениях
пренебречь единицей по сравнению со слагаемым (γ /ωε
а
)
2
. В результате,
расчетные формулы для α и β приобретают следующий вид:
α ≈
2/
a
ωγµ
; β ≈ 2/
a
ωγµ
. (4.27)
Фазовая скорость плоской волны, распространяющейся в хорошем
проводнике, при тех же приближениях будет равна
V ≈
a
γµω
/2 . (4.28)
Анализ выражения (4.28) показывает, что в хороших проводниках
фазовая скорость плоской волны (а, следовательно, и длина волны)
оказываются, при одной и той же частоте колебаний, на несколько порядков
меньше, чем в идеальном диэлектрике.
34
Поверхностный эффект в проводниках. В хороших проводниках
электрическая проводимость (γ), а, следовательно, и коэффициент затухания (α)
очень велики, поэтому электромагнитное поле может проникать вглубь
проводника только на небольшое расстояние. Особенно резко уменьшение
амплитуд векторов Е и Н по мере проникновения поля в проводник
проявляется на высоких и сверхвысоких частотах, где этому явлению дано
специальное название – «поверхностный эффект», и для его количественной
характеристики введен специальный параметр – «глубина проникновения поля
в проводник», или сокращенно – «глубина проникновения» (∆). Под глубиной
проникновения понимается такое расстояние ∆, на котором амплитуды
векторов электрического и магнитного поля проникающей в проводник волны
убывают в «е» раз, где е – основание натуральных логарифмов (2.718…). Так
как | Е(z,t) | = Е
0
exp(-αz) , то очевидно, что ∆ = 1/α. С учетом выражения
(4.27) получаем:
∆ =
a
ωγµ
/2 . (4.29)
Величина ∆ для металлов ничтожно мала. Например, для меди (γ = 5⋅10
7
См/м) на частоте 1МГц она оказывается равной 0.07мм, а на частоте 1ГГц
составляет всего 0.002мм! Так как на глубине, равной нескольким ∆, можно
считать поле практически полностью затухшим, то очевидно, что при
достаточно высоких частотах электромагнитное поле может проникнуть извне
лишь в очень тонкий поверхностный слой металла.
В предельном случае, когда удельная электрическая проводимость
среды γ → ∞ , фазовая скорость плоской волны V → 0, коэффициент затухания
α → ∞, а глубина проникновения ∆→ 0. Отсюда следует важный вывод,
заключающийся в том, что в идеально проводящей среде переменное
электромагнитное поле существовать не может!
4.3 Поляризация плоских волн
При изучении поляризации плоских волн будем считать, что в
рассматриваемой области пространства присутствует только падающая волна.
Такое допущение не отразится на строгости выводов, так как падающая и
отраженная волна отличаются друг от друга только направлением
распространения. Кроме того, примем, что среда, в которой распространяется
волна, является идеальным диэлектриком, поскольку эффект затухания волны
не оказывает на ее поляризацию никакого влияния.
Назовем плоскость, в которой расположены векторы Е и П (вектор
Пойнтинга) электромагнитной волны, плоскостью поляризации этой волны. До
сих пор мы рассматривали только линейно поляризованные плоские волны,
причем для упрощения математических выкладок совмещали ось 0x
декартовой системы координат с вектором Е (плоскость поляризации волны
совпадала с координатной плоскостью x0z выбранной системы координат).
Однако, в общем случае векторыЕ иН плоской волны могут не совпадать с
координатными плоскостями и иметь составляющие по осям 0x и 0y, причем
35
начальные фазы составляющих
.
Ε
x
и
.
Ε
y
(также как и составляющих
.
Η
х
и
.
Η
y
)
могут быть равны или не равны друг другу:
.
Ε =
.
Ε
x
x
0
+
Ε
.
y
y
0
;
.
Η
=
.
Η
x
x
0
+
.
Η
y
y
0
. (4.30)
Запишем выражения для мгновенных значений составляющих Е
x
и Е
y
вектора
.
Ε гармонической плоской волны, опуская при этом индекс «
пад
»:
E
x
= Е
0x
cos(ωt – kz + ψ
x
) ; E
y
= Е
0y
cos(ωt – kz + ψ
y
) . (4.31)
В плоскости z = const за время равное периоду колебаний конец
вектора Е описывает замкнутую кривую, которая, в зависимости от
соотношения амплитуд и начальных фаз его составляющих E
x
и E
y
,
может
вырождаться в прямую линию, а также быть окружностью или эллипсом.
Соответственно, плоская волна будет иметь линейную, круговую или
эллиптическую поляризацию. Рассмотрим каждую из них.
Линейная поляризация имеет место при любых соотношениях амплитуд
составляющих E
x
и E
y
вектораЕ, но при условии равенства их начальных фаз
E
0x
= или ≠ E
0y
; ψ
x
= ψ
y
= ψ
0
. (4.32)
В этом случае угол θ, определяющий наклон вектора Е к оси 0у
(см.рис.4.4), с течением времени остается неизменным :
tg θ = E
x
/ E
y
= E
0x
/ E
0y
= const , (4.33)
а конец вектора Е прочерчивает в плоскости z = const прямую линию
(см. рис.4.4). Ориентация плоскости поляризации линейно поляризованной
волны относительно координатных плоскостей z0x и z0y определяется
отношением E
0x
/ E
0y
и остается неизменной во времени.
Представление линейно поляризованной плоской волны в виде суммы
двух линейно поляризованных плоских волн со взаимно перпендикулярными
плоскостями поляризации.
Обратимся к выражению (4.30), считая, что оно дает разложение
векторов Е и Н плоской линейно поляризованной волны,
распространяющейся в положительном направлении оси 0z декартовой
системы координат, на составляющие, направленные вдоль осей 0x и 0y этой
системы. Анализ показывает, что в этом случае плоскую линейно
поляризованную волну с векторами Е иН можно представить в виде
суперпозиции (векторной суммы) двух независимых линейно поляризованных
волн, распространяющихся в положительном направлении оси 0z – одну с
векторами E
x
x
0
и
H
y
y
0
, а другую с векторами
E
y
y
0
и
H
x
x
0
. Таким
образом, плоскую линейно поляризованную волну в случае необходимости
можно представить в виде суммы двух линейно поляризованных плоских волн
со взаимно перпендикулярными (ортогональными) плоскостями поляризации.
Этот прием широко используется в электродинамике при решении задач
прохождения плоских волн через границы разделов сред.
Круговая поляризация имеет место при равенстве амплитуд
составляющих E
x
и E
y
вектораЕ и при условии, что начальные фазы этих
составляющих отличаются друг от друга на π/2 :
36
E
0x
= E
0y
= E
0
; ψ
x
= ψ
y
± π/2 . (4.35)
В этом случае модуль вектора Е остается неизменным во времени, а
угол θ во времени изменяется :
|Е | = (E
x
2
+ E
y
2
)
0.5
= (Е
0
2
cos
2
(ωt – kz + ψ
y
± π/2) +
+ Е
0
2
cos
2
(ωt – kz + ψ
y
))
0.5
= Е
0
= const . (4.36)
θ = arctg (E
x
/ E
y
) =
± arctg(sin(ωt – kz + ψ
y
) / cos(ωt – kz + ψ
y
)) =
= ± (ωt – kz + ψ
y
). (4.37)
В результате с течением времени вектор Е, имея неизменную
амплитуду, вращается с угловой частотой ω :
dθ/dt = ± ω, (4.38)
а конец вектораЕ за промежуток времени равный периоду колебаний
описывает в плоскости z = const окружность.
Знак «+» в выражении (4.38) соответствует вращению вектора Е (а с
ним и вектора Н ) по часовой стрелке (если смотреть в направлении
распространения волны). Такую волну принято называть правополяризованной
или «волной с круговой поляризацией правого вращения» . Знак «-»
соответствует вращению плоскости поляризации против часовой стрелки.
Такую волну принято называть левополяризованной или «волной с круговой
поляризацией левого вращения». Так как при круговой поляризации
зависимость угла θ от пространственной переменной z подчиняется
линейному закону (см. выражение (4.37)) , то в каждый момент времени концы
векторов Е , относящихся к различным точкам оси 0z , будут расположены в
пространстве по винтовой линии (см. рис.4.5). С течением времени эта
винтовая линия перемещается вдоль оси 0z c фазовой скоростью V. Шаг винта,
очевидно, равен λ . В поглощающей среде радиус винта будет убывать вдоль
оси 0z .
Эллиптическая поляризация
имеет место при неравенстве амплитуд и
начальных фаз составляющих E
x
и E
y
вектораЕ :
E
0x
≠ E
0y
; ψ
x
≠ ψ
y
. (4.39)
В этом случае плоскость поляризации волны с течением времени будет
вращаться, модуль вектора
Е будет изменяться во времени, а конец вектора
Е за промежуток времени равный периоду колебаний прочертит в плоскости
z = const эллипс (см. рис.4.6). Так же как и в случае круговой поляризации,
различают эллиптически поляризованные волны левого и правого вращения.
Поляризация радиоволн, возбуждаемых в пространстве реальными
радиотехническими системами, определяется видом передающей антенны и
условиями на трассе распространения.
4.4 Перенос энергии плоской волной
Плотность потока энергиии, переносимой плоской волной, определяется
вектором Пойнтинга П . Для гармонических плоских волн среднее за период
значение вектора Пойнтинга (П
ср
) может быть рассчитано с помощью
следующей формулы:
37
П
ср
=
0.5 Re{[
.
Ε ,
∗
Η ]},
(4.40)
где
.
Ε - комплексный вектор напряженности электрического поля,
∗
Η - комплексно сопряженный вектор напряженности магн. поля.
Определим величину П
ср
для падающей линейно поляризованной
волны, распространяющейся в проводящей среде в положительном
направлении оси 0z декартовой системы координат 0xyz, при условии, что
вектор Е этой волны направлен вдоль оси 0х. В этом случае комплексные
векторы
.
Ε и
∗
Η можно записать в следующем виде :
.
Ε = Е
0
exp(-αz) exp( j ( – βz + ψ)) x
0
,
(4.41)
∗
Η = (1/|
.
Ζ
0
|) (Е
0
exp(-αz) exp( j ( +βz - ψ + ϕ
0
)) y
0
.
Следовательно, с учетом того, что [x
0,
y
0
] = z
0
,
имеем :
П
ср
= 0.5 ( Е
0
2
/ |
.
Ζ
0
|
) exp(-2αz) cos(ϕ
0
)
z
0
(4.42)
Вектор П
ср
направлен в сторону распространения волны. Значит,
направление потока энергии в плоской волне совпадает с направлением ее
распространения. Этот результат вполне естественен, так как носителем
энергии является сама волна.
В проводящей среде энергия, переносимая волной, уменьшается по мере
распространения волны за счет перехода части этой энергии в тепло. В формуле
(4.42) это отражено наличием сомножителя ехр(-2αz). Присутствие множителя
2 в показателе степени экспоненты обусловлено тем, что по мере
распространения волны затухает и электрическое и магнитное поле.
Сомножитель cos ϕ
0
, также уменьшающий величину П
ср
, отражает тот факт,
что в проводящей среде, вследствие фазового сдвига между векторами Е и
Н , вектор Пойнтинга в каждой точке пространства в течении промежутка
времени, равного части периода колебаний, направлен в сторону,
противоположную направлению распространения волны (см. рис.4.3).
Естественно, что за счет этого среднее за период количество энергии,
переносимой волной в положительном направлении оси 0z, будет меньше, чем
при отсутствии фазового сдвига между векторами Е и Н .
В проводящей среде divП
ср
отлична от нуля и отрицательна :
divП
ср
= ∂ П
ср
/ ∂z = - α ( Е
0
2
/ |
.
Ζ
0
|
) exp(-2αz) cos(ϕ
0
).
Это значит, что в каждой точке пространства вследствие тепловых
потерь имеет место «сток» энергии электромагнитного поля.
Как известно, средняя за период плотность энергии электрического поля
W
Е
ср
равна ε
а
|
.
Ε
|
2
/ 4, а средняя за период плотность энергии магнитного поля
W
Н
ср
равна µ
а
|
.
Η
|
2
/ 4 . Для плоской волны, распространяющейся в проводящей
среде, отношение W
Е
ср
/ W
Н
ср
оказывается меньше единицы (см. выражения
(4.41), (4.24)):
38
W
Е
ср
/ W
Н
ср
= ε
а
| |
.
Ε
2
/ µ
а
|
.
Η
|
2
= (ε
а
/ µ
а
) |
.
Ζ
0
|
2
=
= (ε
а
/ µ
а
) (µ
а
/ |
.
ε
а
|) = ε
а
/ |(ε
а
- j γ/ω)| < 1
Значит, в этом случае средняя плотность энергии магнитного поля
оказывается больше, чем средняя плотность энергии электрического поля :
W
Н
ср
> W
Е
ср
.
(4.43)
Этот результат объясняется тем, что в проводящей среде магнитное поле
создается не только изменяющимся во времени электрическим полем (токами
смещения), но и протекающими в этой среде токами проводимости, имеющими
плотность δ = γЕ . Чем больше проводимость среды γ , тем больше в ней
токи проводимости и тем сильнее неравенство (4.43). В металлах даже на очень
высоких частотах энергия магнитного поля на несколько порядков превосходит
энергию электрического поля.
В идеальном диэлектрике плоская волна распространяется без
затухания, а векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе как в
пространстве так и во времени. В этом случае вектор П
ср
в каждой точке
пространства одинаков и равен:
П
ср
= ( Е
0
2
/ 2Z
0
)
z
0
. (4.44)
Естественно, что в этом случае div
П
ср
=
∂
П
ср
/
∂
z = 0, т.е. «сток»
энергии электромагнитного поля отсутствует.
Сам вектор Пойнтинга, при распространении плоской волны в
идеальном диэлектрике, в любой момент времени ориентирован в
положительном направлении оси 0z :
П
= ( Е
0
2
/ Z
0
) cos
2
(ωt - kz
+ ψ)
z
0
Поскольку между векторамиЕ иН нет фазового сдвига, их амплитуды
связаны соотношением |
Η | = |
. .
Ε
| /
аа
εµ
/ (см. выражения (4.10), (4.8)), из чего
следует:
ε
а
| |
.
Ε
2
/ 4
= µ
а
| Η |
.
2
/ 4 , (4.45)
т.е. средние плотности энергий электрического и магнитного полей
плоской однородной волны, распространяющейся в идеальном диэлектрике,
равны друг другу.
Выясним, с какой скоростью плоская однородная волна переносит
энергию и отличается ли скорость переноса энергии (V
э
) от фазовой скорости
волны (V).
Ответ на этот вопрос получим в результате следующих рассуждений.
Поток энергии плоской однородной волны в направлении ее распространения,
определяемый величинойП
ср
, равен произведению средней плотности энергии
электромагнитного поля плоской волны W
ср
на скорость переноса этой
энергии V
э
z
0
:
П
ср
= W
ср
⋅ (V
э
z
0
). (4.46)
В свою очередь, средняя плотность энергии электромагнитного поля
плоской волны будет равна сумме средних плотностей энергий электрического
39
и магнитного полей, которые при распространении волны в идеальном
диэлектрике равны друг другу (см.(4.45)) :
W
ср
= W
Н
ср
+ W
Е
ср
= ε
а
|
.
Ε
|
2
/ 4 + µ
а
|
.
Η
|
2
/ 4 = ε
а
|
.
Ε
|
2
/ 2 = ε
а
E
0
2
/ 2. (4.47)
Из выражений (4.46), (4.45) и (4.47) можно вывести формулу для
скорости переноса энергии плоской волной :
V
э
z
0
=П
ср
/ W
ср
= (( Е
0
2
/ 2Z
0
)
/ (ε
а
E
0
2
/ 2))z
0
=
= (1 /
аа
µε
)z
0
= Vz
0
Таким образом, в идеальном диэлектрике скорость переноса энергии
плоской однородной волной в направлении ее распространения равна фазовой
скорости волны в этом же направлении. Это правило сохраняется и для случая
распространения плоской однородной волны в проводящей среде.
В то же время, необходимо подчеркнуть, что равенство скорости
переноса энергии (V
э
) и фазовой скорости (V) имеет место только в
направлении нормали к фазовому фронту волны, т.е. в направлении ее
распространения. Для всех других направлений скорость переноса энергии
будет меньше, чем фазовая, и меньше, чем скорость переноса энергии в
направлении нормали к фазовому фронту волны!
а) б)
Рис.4.1 Плоские волны в идеальном диэлектрике:
а) падающая волна; б) отраженная волна .
Рис.4.2 Изменение амплитуды вектора Е в падающей и отраженной
волнах в зависимости от координаты z.
40