Лекции - Электродинамика и распространение радиоволн (тексты лекций)

Подождите немного. Документ загружается.

величину и знак. Электрическая цепь является замкнутой, то есть ток

проводимости замыкается током, названным Максвеллом током смещения.

С учетом (1.21) и (1.22) первое уравнение Максвелла записывается в

виде:

∫∫∫

∂

+==+==

LSS

прпсмпрп

sdiiildH )(

δδ

. (1.23)

Т.о. физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что

магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами

проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением

электрического поля во времени в этой области (токами смещения).

b. Второе уравнение.

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по

замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока,

пронизывающего этот контур. Математически это определение записывается

следующим образом:

∫∫

∂

−=

sdB

ldE

. (1.24)

Это уравнение совпадает с законом электромагнитной индукции

Фарадея, который в свернутом виде может быть записан так:

ЭДС = -

∂

. До Максвелла этот закон рассматривался применительно к

реальным контурам, образованным проводниками. Максвелл же использовал

этот закон применительно к любому (выделенному умозрительно) контуру в

пространстве. Знак минус в обоих случаях означает то, что наведенная в

контуре ЭДС создает собственный магнитный поток, препятствующий

изменению внешнего.

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что

электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением

магнитного поля во времени в этой области.

c. Третье уравнение.

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность

равен сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности. В соответствии с

теоремой Гаусса:

dvqsdD

∫

∑

∫

. (1.25)

Здесь: q - полный электрический заряд внутри поверхности S;

V- объем, ограниченный поверхностью S;

ρ- объемная плотность электрического заряда.

Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое

поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом

внутри этой области. Это уравнение свидетельствует также о том, что

электрическое поле имеет истоки в виде электрических зарядов. Для

положительного заряда силовые линии вектора электрической индукции

выходят из рассматриваемого объема (исток); для отрицательного заряда –

входят (сток).

d. Четвертое уравнение.

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен

нулю (поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено).

Математически это уравнение записывается так:

∫

sdB 0

. (1.26)

Физический смысл этого уравнения состоит в том, что магнитное поле в

некоторой области пространства не имеет источников в виде неподвижных

зарядов, т.е. не имеет истоков и стоков и силовые линии вектора магнитной

индукции замкнуты (соленоидальны).

1.7 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

В большинстве практических приложений уравнений Максвелла

требуется связать векторы поля с источниками в конкретной точке

пространства. Для этой цели более удобна иная математическая форма записи

уравнений – дифференциальная.

Переход от интегральной к дифференциальной форме записи уравнений

можно осуществить с помощью известных из векторного анализа теорем

Стокса и Гаусса-Остроградского.

Теорема Стокса:

∫∫

sdArotldА - циркуляция вектора по замкнутому

контуру равна потоку ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся

на данный контур.

Теорема Гаусса-Остроградского:

∫∫

dvAdivsdA - поток вектора через

замкнутую поверхность равен дивергенции (расходимости) этого вектора из

объема, ограниченного данной поверхностью.

Применив первую теорему к первому и второму, а вторую – к третьему

и четвертому уравнениям Максвелла в интегральной форме, можно получить

все четыре уравнения в дифференциальной форме:

Hrot

прсмпрп

∂

+=+==

δδδδ

;

Erot

∂

−=

; (1.27)

=Ddiv ;

0=Bdiv .

Для полной характеристики электромагнитного поля при использовании

уравнений Максвелла в дифференциальной форме необходимо ввести еще

одно уравнение – непрерывности, базирующееся на принципе сохранения

заряда. Вывод этого уравнения основывается на связи тока, вытекающего из

элементарного объема, с уменьшением заряда внутри этого

объема…Уравнение непрерывности имеет вид:

div

пр

∂

−=

. (1.28)

1.8 Полная система уравнений Максвелла

а. Сторонние электрические силы

Если ЭМП создается какими либо внешними по отношению к

рассматриваемой области источниками, то последние принято называть

сторонними. В качестве таковых рассматриваются: вектор плотности

стороннего электрического тока

ст

, который в единицах СИ имеет

размерность А/м

и объемная плотность стороннего электрического заряда ρ

ст

с размерностью в единицах СИ Кл/м

. Эти источники являются заданными и

определяются не теми векторами поля, которые должны быть найдены, а

связаны с известными полями; они (источники) могут иметь любую

физическую природу. С учетом этих источников первое и третье уравнения

Максвелла приобретают вид:

∫∫∫

∂

+==++==

LSS

ст

эпрп

ст

смпрп

sdiiiildH

)(

δδδ

(1.29)

dvqsdD

ст

)(

ρρ

+==

∫

∑

∫

, (1.30)

в интегральной форме записи и

ст

эсмпрп

Hrot

δδδδ

++== , (1.31)

ст

Ddiv

ρρ

+= (1.32)

- в дифференциальной форме.

Система уравнений Максвелла (1.27) при замене первого и третьего

уравнений на (1.31) и (1.32) носит название полной несимметричной системы.

b. Сторонние магнитные силы

Для целого ряда практических приложений уравнений Максвелла

удобно ввести, по аналогии с электрическими, фиктивные, сторонние

магнитные токи и заряды. Обычно используют: вектор плотности стороннего

магнитного тока

ст

, имеющий размерность в единицах СИ В/м

, и объемную

плотность стороннего магнитного заряда

с размерностью в СИ- В сек/м

ст

По аналогии же с электрическими токами и зарядами, для магнитных токов и

зарядов можно записать уравнение непрерывности (смотри 1.28):

div

ст

∂

−=

. (1.33)

Нужно иметь в виду, что в природе магнитных зарядов одного знака не

существует, однако магнитные диполи могут быть уподоблены диполям

электрическим.

Введение фиктивных магнитных токов и зарядов позволяет записать

второе и четвертое уравнения Максвелла в виде:

∫∫

−

∂

−=

ст

sdB

ldE )(

, (1.34)

∫

ст

sdB

- (1.35)

интегральная форма записи и

ст

Erot

−

∂

−=

, (1.36)

ст

Bdiv

= - (1.37)

дифференциальная форма.

Система уравнений Максвелла с учетом сторонних сил электрического

и магнитного типов (1.31),(1.32),(1.36),(1.37) носит название полной

симметричной системы.

1.9 Система уравнений Максвелла в комплексной форме.

Известно, что для анализа гармонических электродинамических

процессов, оказывается удобным использовать символический метод

представления исследуемых величин. При этом уравнения Максвелла

существенно упрощаются по форме записи и принимают вид:

ст

эпр

ст

эсмпрп

DjHrot

δωδδδδδ

&&&&&

++=++==

ст

BjErot

δω

−−=

, (1.38)

ст

Ddiv

ρρ

ст

Bdiv

Здесь ω – частота гармонического процесса.

В выражениях 1.38, по отношению к исходным уравнениям с временной

зависимостью e

jωt

, выполнена процедура дифференцирования по времени и

проведено сокращение на множитель е

jωt

Т.о. при гармонической зависимости от времени в уравнениях

Максвелла операция дифференцирования по времени заменяется умножением

на постоянный множитель jω. Решение задачи может проводиться с

комплексными величинами, а затем мгновенное значение искомого вектора

находится как вещественная часть полученного комплексного числа,

предварительно умноженного на сокращенный множитель.

1.10 Комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

Классификация сред по проводимости.

Если в первом уравнении системы 1.38 произвести замену вектора

плотности тока проводимости

пр

и вектора электрической индукции D через

величины, входящие в материальные уравнения 1.18 и 1.19, то оно

перепишется в виде:

ст

эа

ст

эсмпрп

EjEHrot

δωξγδδδδ

&&&&

++=++==

После преобразований в правой части этого уравнения, можно записать:

ст

эап

EjHrot

δξωδ

+==

, (1.39)

где:

- абсолютная комплексная диэлектрическая

проницаемость;

21 ааа

ξξξ

−=

ξξξ

ааа

Введение понятия комплексной диэлектрической проницаемости среды

позволяет не только использовать известные решения уравнений Максвелла,

полученные для диэлектрических сред, в средах полупроводящих и

проводящих, но и провести более строгую классификацию сред по

проводимости. Поскольку вещественная часть диэлектрической проницаемости

характеризует величину плотности токов смещения, а мнимая ее часть – токов

проводимости, то при :

а1

>>ε

а2

среда является диэлектриком,

а1

≅ε

а2

- полупроводником и

а1

<<ε

а2

- проводником.

Так как мнимая часть комплексной диэлектрической проницаемости

зависит от частоты, то понятие проводимости является относительным, т.е.

одна и та же среда на различных частотах электромагнитных колебаний может

проявлять себя различным образом (при этом имеется в виду, что ε

и γ

постоянны).

Для полной характеристики радиотехнических материалов (сред)

достаточно задать величину диэлектрической проницаемости ε

и тангенс угла

диэлектрических потерь - tqδ.

аа

ωξ

; (1.40)

)1(

δξξ

jtq

аа

−=

. (1.41)

1.11 Теорема Умова-Пойнтинга.

Источники поля (сторонние токи и заряды) сообщают свою энергию

электромагнитному полю, при этом она может преобразовываться в другие

формы (тепловая, химическая…), переноситься в другие области пространства,

запасаться полем. Уравнение баланса в свернутом виде можно записать

следующим образом:

ст

=Р

+Р

из

+Р

, (1.42)

где: Р

ст

– мощность, выделяемая сторонними источниками;

– мощность тепловых потерь;

- мощность, запасенная электромагнитным полем;

изл

- мощность, переносимая в другие области пространства.

Доказательство указанной теоремы состоит в том, что на основе первого

и второго уравнений Максвелла в дифференциальной форме со сторонними

источниками в виде плотностей электрического и магнитного токов, путем

математических преобразований получается уравнение, представляющее

дифференциальную форму теоремы Умова-Пойнтинга. Преобразования

заключаются в скалярном умножении всех членов первого и второго

уравнений Максвелла на векторы

НЕ , соответственно, вычитании из первого

полученного уравнения второго, использовании известного соотношения

теории поля

)( HEdivErotHHrotЕ ×−=− и перегруппировке полученных

слагаемых. Последующее интегрирование по некоторой области пространства

V, ограниченной поверхностью S, преобразует это уравнение к виду:

∫∫∫∫

×+

∂

+=+−

VVVS

ст

sdEHdv

EdvЕdvНЕ

)()()(

γδδ

. (1.43)

Здесь последнее слагаемое в правой части получено при использовании

теоремы Гаусса-Остроградского.

Выражение (1.43) является математической записью теоремы Умова-

Пойнтинга. Сопоставление данного уравнения с уравнением (1.42) позволяет

предположить, что они идентичны. В самом деле, левая часть представляет

собой мощность сторонних источников электрического и магнитного типов,

которые были введены при постановке задачи (об этом свидетельствует

размерность слагаемых под знаком интеграла), причем знак минус означает,

что энергия сторонних источников расходуется в рассматриваемой области

пространства.

Первое слагаемое в правой части представляет собой тепловые потери

(мощность, расходуемую на нагрев вещества в рассматриваемой области). Об

этом говорит размерность интеграла, либо тот факт, что подинтегральное

выражение является дифференциальной формой известного из физики закона

Джоуля-Ленца. Следует обратить внимание на то, что при отсутствии

проводимости среды (γ = 0) тепловые потери отсутствуют.

Подинтегральное выражение во втором слагаемом правой части (1.43)

можно преобразовать к виду:

эa

∂

)

(

;

мa

∂

)

(

где ε

- плотность энергии электрического поля,

- плотность энергии магнитного поля.

Сумма этих слагаемых под знаком интеграла представляет собой

изменение во времени плотности энергии электромагнитного поля в

рассматриваемой области пространства. Т.о. рассмотренное выражение

эквивалентно третьему слагаемому (1.42).

Подинтегральное выражение в третьем слагаемом правой части (1.43)

является вектором, размерность которого (ВА/м

) характеризует его как

плотность потока мощности. Он носит название вектора Пойнтинга и

определяет величину и направление потока электромагнитной энергии.

Интеграл от вектора Пойнтинга по замкнутой поверхности характеризует

мощность, переносимую через эту поверхность. В зависимости от знака этого

интеграла электромагнитная энергия либо выходит, либо входит в объем,

ограниченный поверхностью. Таким образом, это слагаемое эквивалентно

второму слагаемому (1.42).

Доказанная теорема имеет громадное научно-техническое и

философское значение, поскольку подтверждает материальность

электромагнитного поля!

Вопросы для самопроверки

1. Каковы основные особенности электромагнитного поля, подтверждающие его

материальность?

2. В чем заключается физический смысл векторов, характеризующих электромагнитное

поле?

3. Какой вид имеют материальные уравнения для векторов электромагнитного поля?

4. Каковы классификации сред, применяющиеся в электродинамике?

5. Какие экспериментальные законы лежат в основе уравнений Максвелла?

6. В чем состоит физический смысл тока смещения?

7. Что связывают между собой уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной

формах?

8. В чем заключается разница между симметричной и несимметричной формами записи

уравнений Максвелла?

9. Какие энергетические составляющие могут входить в уравнение баланса энергии

электромагнитного поля?

10. Запишите выражение для вектора Пойнтинга в случае гармонических во времени полей.

2. Волновые уравнения и потенциалы электромагнитного поля

Решение задач электродинамики с помощью уравнений Максвелла

сводится обычно к решению так называемых волновых уравнений, которые

являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго

порядка. На практике применяются три вида волновых уравнений – уравнения

для векторов поля

НЕ , , уравнения для электродинамических потенциалов UА,

и уравнение для вектора Герца

Г .

2.1 Волновые уравнения для векторов поля

В случае линейной, однородной, полупроводящей среды при наличии

сторонних источников только электрического типа волновые уравнения для

векторов поля могут быть получены на основе соответствующим образом

записанных уравнений Максвелла в виде:

ст

аааа

grad

µγµεµ

∂

−

∂

−∇ , (2.1)

ааа

µεµ

−

∂

−∇

ст

rot

δγ

−=

∂

. (2.2)

В этих выражениях все обозначения соответствуют обозначениям,

введенным ранее в разделе 1.

Уравнения (2.1), (2.2) являются векторными, волновыми, обобщенными,

неоднородными уравнениями.

В диэлектрической среде (γ =0) третье слагаемое в левой части равно

нулю, уравнения упрощаются и превращаются в уравнения Даламбера. Если в

рассматриваемой области пространства отсутствуют сторонние источники

(

ст

ρδ

, = 0), то правые части обращаются в нуль и уравнения становятся

однородными.

В самом общем случае решение электродинамической задачи с

помощью 2.1, 2.2 (отыскание векторов электромагнитного поля в каждой точке

пространства) требует решения шести скалярных волновых уравнений для

проекций этих векторов на координатные оси (решения шести краевых задач)

что, как правило, представляет значительные трудности.

Кроме того, наличие в правой части этих уравнений

дифференциальных операторов, под знаком которых находятся функции,

описывающие распределение источников, делает вообще невозможным

решение задачи в тех случаях, когда эти функции являются разрывными (на

границах раздела сред с различными электрическими параметрами).

Названные особенности с формальной точки зрения можно

рассматривать как недостатки рассмотренной формы уравнений, что привело к

появлению другой формы волновых уравнений – волновых уравнений для

электродинамических потенциалов.

2.2 Волновые уравнения для электродинамических потенциалов

Принято использовать векторный и скалярный электродинамические

потенциалы – соответственно

UА, . Если векторный потенциал физического

смысла не имеет, то скалярный – имеет смысл работы сил поля по

перемещению единицы количества электричества из рассматриваемой точки в

бесконечность.

При тех же условиях, что и в предыдущем разделе, на основе той же

системы уравнений Максвелла можно получить волновые уравнения для

рассматриваемых потенциалов:

ст

эаааа

δµγµεµ

−=

∂

−

∂

−∇

, (2.3)

γµεµ

ааа

U −

∂

−∇

ст

−=

∂

. (2.4)

Уравнение (2.3) также как и уравнения (2.1) и (2.2) является векторным,

волновым, обобщенным неоднородным уравнением. Уравнение же (2.4)

является скалярным, волновым, обобщенным неоднородным уравнением. При

γ=0 они оба превращаются в уравнения Даламбера, а в случае

ст

= ρ

ст

= 0 – в

однородные волновые уравнения.

Формально решение электродинамической задачи при помощи (2.3 –

2.4) состоит в решении четырех скалярных волновых уравнений (краевых

задач). Кроме того, в правой части этих уравнений находятся сами функции,

описывающие распределение источников, и решение задачи практически

всегда возможно. Т.о. недостатки, отмеченные в предыдущем разделе,

устранены.

Необходимо, однако, отметить, что в результате решения задачи

оказываются определенными лишь электродинамические потенциалы, а не

векторы поля. Для нахождения векторов поля необходимо провести

дополнительные математические вычисления (более простые, чем решение

краевой задачи) – решить уравнения, связывающие векторы поля с

электродинамическими потенциалами:

ArotН

, (2.5)

qradUE

∂

−−=

. (2.6)

Эти уравнения получаются из уравнений Максвелла при введении

электродинамических потенциалов. Ввиду того, что процедура введения

электродинамических потенциалов допускает некоторый произвол, то

волновые уравнения (2.3–2.4) обычно дополняют калибровочным

соотношением:

0=+

∂

+ U

Adiv

ааа

γµεµ

, (2.7)

устанавливающим связь между введенными потенциалами.

2.3 Волновое уравнение для вектора Герца

Учитывая то обстоятельство, что векторный и скалярный потенциалы

связаны между собой калибровочным соотношением, имеется возможность

свести электродинамическую задачу к решению одного векторного волнового

уравнения (всего трех скалярных) для вектора Герца. Вектор Герца вводится

так, что его связь с векторным и скалярным потенциалами имеет следующий

вид:

ГdivU

−= , (2.8)

.Г

γµ

∂

= (2.9)

Подстановка в волновое уравнение (2.8) либо (2.9) позволяет получить

векторное, волновое, обобщенное неоднородное уравнение для вектора Герца:

ст

ааа

Г −=

∂

−

∂

−∇

γµεµ

, (2.10)

где

ст

определяется из уравнения

ст

∂

(2.11)

и имеет смысл удельного электрического момента сторонних токов.

Также как и в предыдущих разделах, равенство нулю удельной

электропроводности γ и удельного электрического момента сторонних токов

ст

превращает (2.10) в уравнение Даламбера и однородное волновое

уравнение соответственно.

Решение (2.10) дает возможность найти вектор Герца; векторы

электромагнитного поля могут быть определены непосредственно через вектор

Герца с помощью соотношений:

ст

ГrotrotЕ

εε

−=

, (2.12)

Гrot

)(

∂

. (2.13)

2.4 Волновые уравнения в комплексной форме

Также как и в разделе 1.9, в случае гармонических монохроматических

полей волновые уравнения можно упростить путем использования

символического метода. После введения комплексных величин и сокращения

множителя exp (jωt), опуская индекс «m» можно получить:

-для векторов поля –

ст

эа

ст

jgradЕкЕ

δωµρ

+=+∇

, (2.14)

ст

rotНкН

−=+∇

. (2.15)

Здесь:

аа

µεω

- комплексная постоянная распространения (комплексное

волновое число);

-для электродинамических потенциалов –

ст

эа

АкА

δµ

−=+∇

, (2.16)

ст

UкU

−=+∇ . (2.17)

В рассматриваемом случае гармонических полей необходимость в

решении волнового уравнения для скалярного потенциала отпадает, поскольку

он может быть найден из калибровочного соотношения:

Adiv

аа

εωµ

−= . (2.18)

Более того, векторы поля в этом случае могут быть найдены из (2.5) и

первого уравнения Максвелла только через векторный потенциал:

ArotН

= (2.19)

Arotrot

Hrot

ааа

µεωεω

== (при 0=

ст

); (2.20)

-для вектора Герца –

ст

ГкГ

εω

−=+∇

. (2.21)

Решение этого уравнения практически не отличается от решения

уравнения для векторного потенциала.

Вопросы для самопроверки

1. Какие виды волновых уравнений используются для решения задач электродинамики?

2. В чем заключается смысл калибровочного соотношения?

3. В чем состоит отличие уравнений Даламбера и Гельмгольца от обобщенного волнового

уравнения?

4. Имеется ли разница между векторным потенциалом и вектором Герца в случае

гармонического электромагнитного поля?

3. Основные методы решения задач электродинамики

3.1 Формулировка задач электродинамики

Большинство задач антенной техники, техники сверхвысоких частот и

распространения радиоволн можно свести к нескольким абстрактным