Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы

30

[]

T

в

J 0000000000000= ;

[

]

T

в

E 100001= .

В сокращенном гибридном координатном базисе напряже-

ния y-ребер и токи z-ребер связаны с напряжениями невырож-

денных сечений и токами невырожденных контуров соотноше-

ниями:

UU

T

yy

′′

= Π

, II

T

z

′′

= Ρ

,

которые можно представить в обобщенной матричной форме

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

I

U

I

U

T

z

T

y

z

y

Ρ

Π

0

или

X

T

Θ

′

=

′

, (6.3)

где

[]

T

UUUUUUUUUU

987654321

=

′

— вектор напряжений

невырожденных сечений;

[

]

VIVIIIIII

IIIIII

=

′

— вектор токов

невырожденных контуров;

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

I

U

X

— обобщенный вектор со-

стояния, определяемый невырожденными координатами.

Для формирования системы координатных уравнений для

координат подставим обобщенное компонентное уравнение (6.2)

в обобщенное топологическое уравнение (6.1) и выразим в полу-

ченном матричном уравнении вектор

X

′

через обобщенный век-

тор состояния

X

с использованием соотношения (6.3):

FXV

TT

ΘΘΘΘΘ

′

−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′′

+

′′

1

или

Q

WX

=

, (6.4)

где

TT

VW ΘΘΘΘ

′′

+

′′

=

1

— матрица эквивалентных параметров;

F

Q

Θ

′

−= — обобщенный вектор внешних воздействий.

31

При замещении входной и выходной ветвей схемы источни-

ками э.д.с. электрическое состояние схемы, как четырехполюсни-

ка характеризуется системой уравнений в z-параметрах:

⎭

⎬

⎫

+=

выхвхвых

выхвхвх

IzIzU

2212

1211

. (6.5)

Второстепенные величины четырехполюсника

вх

U и

вых

U

связаны с параметрами источника сигнала и нагрузки соотноше-

ниями:

вхccвх

IzeU −= ,

внхнвsх

IZU

=

. (6.6)

Из решения системы (6.5) совместно с соотношениями (6.6)

следуют выражения для схемных функций:

2221

1211

11

21

zz

Zz

k

н

U

−

=

, (6.7)

22

2221

1211

11

zZ

zz

Zz

Z

н

вх

−

=

, (6.8)

c

вых

zz

Z

+

−=

11

2221

1211

22

. (6.9)

Поскольку задающие источники схемы замещения рис. 6.4

являются источниками э.д.с., расположенными во входной и вы-

ходной ветвях, матричное уравнение (6.4) может быть представ-

лено в виде:

[]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

θ

′

θ

′

−=

вых

вх

выхвх

U

WX

, (6.10)

32

где

вх

θ

′

,

вых

θ

′

— столбцы обобщенной топологической матрицы

Θ

′

, соответствующие входному и выходному ребрам графа. Так

как эти ребра относятся к z-ребрам, столбцы

вх

θ

′

и

вых

θ

′

имеют

вид:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

−

=

′

вх

ρ

θ

0

,

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

′

вых

ρ

θ

0

, (6.11)

где

вх

ρ

′

,

вых

ρ

′

— столбцы матрицы невырожденных контуров, со-

ответствующие входному и выходному ребрам графа.

Входной и выходной токи связаны с токами невырожденных

контуров выражениями

II

T

вхвх

′′

= ρ

, II

T

выхвых

′′

= ρ

,

которые могут быть представлены в виде матричного уравнения:

X

I

вых

вх

вых

вх

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

λ

, (6.12)

где

[

]

T

вхвх

ρ

′

=λ

′

0 ,

[

]

T

выхвых

ρ

′

=λ

′

0 .

Объединив (6.10) и (6.12) в одно матричное уравнение

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

вых

вх

вых

вх

вых

вх

выхвх

I

U

XW

0

00

λ

θ

и решив его относительно

вх

U и

вых

U , получим

33

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

+

′

−

′

′′

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

′

−

′

′′

=

вых

вх

вых

вх

вых

вх

выхвх

вых

вх

вых

вх

вых

вх

выхвх

вх

I

W

I

W

U

I

W

I

W

U

00

1

00

1

λ

θ

λ

θ

λ

θθ

λ

θ

λ

θ

λ

θθ

(6.13)

Сравнивая (6.13) с (6.5) получаем выражения, связывающие

z-

параметры четырехполюсника с матрицей эквивалентных па-

раметров схемы:

00

0

11

вых

вх

выхвх

вых

W

z

λ

θθ

λ

θ

′

′′

′

=

,

00

0

12

вых

вх

выхвх

вх

вых

W

z

λ

θθ

λ

θ

′

′′

′

−= ,

(6.14)

00

0

21

вых

вх

выхвх

вых

вх

W

z

λ

θθ

λ

θ

′

′′

′

−= ,

00

0

22

вых

вх

выхвх

вх

W

z

λ

θθ

λ

θ

′

′′

′

= .

Так

как элементами матриц

вх

θ

′

,

вых

θ

′

,

вх

λ

′

,

вых

λ

′

являются

значения 1, –1, 0, то определители, стоящие в числителях выра-

жений (6.14) могут быть приведены к определителям (n – 1)-го по-

рядка, а определитель, стоящий в знаменателе этих выражений — к

определителю (n – 2)-го порядка, где n — порядок матрицы

W

.

34

Определитель матрицы

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

0λ

θ

W

равен суммарному алгебраи-

ческому дополнению матрицы

W

относительно преобразующих

векторов θ и λ с обратным знаком:

θλ

Δ

λ

θ

−=

0

W

. (6.15)

Обычно векторы θ и

λ

содержат значительное число нуле-

вых составляющих. Поэтому эти векторы чаще всего отображают

множеством номеров их ненулевых составляющих, разбивая ка-

ждое из них на подмножества номеров положительных и отрица-

тельных составляющих, называемых положительными и отрица-

тельными подмножествами.

Суммарное алгебраическое дополнение

θλ

Δ

матрицы

W

от-

носительно преобразующих векторов

θ

и

λ

получают следую-

щим образом:

–

Выбирают опорный элемент

p

α

в преобразующем векто-

ре θ. Прибавляют p-ую строку матрицы

W

к строкам, опреде-

ляемым элементами подмножества противоположного знака, и

вычитают p-ую строку из строк, определяемых элементами под-

множества того же знака, что и опорный элемент. После этого p-

ую строку вычеркивают.

–

Выбирают опорный элемент

q

β

в преобразующем векто-

ре λ Прибавляют q-ый столбец матрицы

W

к столбцам, опреде-

ляемым элементами подмножества противоположного знака, и

вычитают q-ый столбец из столбцов, определяемых элементами

подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого

q-

ый столбец вычеркивают.

–

Находят определитель преобразованной матрицы (n – 1)-го

порядка.

–

Результат умножают на

qp

sign

+

− )1)(( βα , где

)(

qp

sign βα — знак произведения опорных элементов; p и q —

номера опорных строки и столбца.

35

Определитель матрицы

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

00

2

1

21

λ

θ

W

равен двухкратному

суммарному алгебраическому дополнению матрицы

W

относи-

тельно преобразующих векторов

1

θ

,

1

λ

и

2

θ

,

2

λ

:

2211

;

2

1

21

00

λθλθ

Δ

λ

θ

=

W

. (6.16)

Множества номеров ненулевых составляющих векторов

1

θ

и

2

θ (как и векторов

1

λ и

2

λ ) могут содержать общую часть, оп-

ределяемую их пересечением, и собственные подмножества,

включающие те элементы, номера которых имеются только в та-

ком векторе. На первом этапе определения

2

1

; λθλθ

Δ

опорные

элементы в преобразующих векторах следует выбирать из тех,

которые содержатся в собственных подмножествах. Невозмож-

ность такого выбора указывает на линейную зависимость векто-

ров

1

θ и

2

θ (или векторов

1

λ и

2

λ

), следствием чего является ра-

венство нулю двухкратного алгебраического дополнения

2

1

; λθλθ

Δ .

Двухкратное суммарное алгебраическое дополнение

2

1

; λθλθ

Δ матрицы

W

относительно преобразующих векторов

1

θ ,

1

λ и

2

θ ,

2

λ получают следующим образом:

–

Выбирают опорный элемент

1p

α

в преобразующем век-

торе

1

θ . Прибавляют

1

p -ую строку матрицы

W

к строкам, опре-

деляемым элементами подмножества противоположного знака, и

вычитают

1

p -ую строку из строк, определяемых элементами

подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого

1

p -ую строку вычеркивают.

–

Выбирают опорный элемент

1q

β

в преобразующем векто-

ре

1

λ Прибавляют

1

q -ый столбец матрицы

W

к столбцам, опре-

деляемым элементами подмножества противоположного знака, и

36

вычитают

1

q -ый столбец из столбцов, определяемых элементами

подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого

1

q -ый столбец вычеркивают.

–

Выбирают опорный элемент

2p

α

в преобразующем век-

торе

2

θ . Прибавляют

2

p -ую строку матрицы

W

к строкам, опре-

деляемым элементами подмножества противоположного знака, и

вычитают

2

p -ую строку из строк, определяемых элементами

подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого

2

p -ую строку вычеркивают.

–

Выбирают опорный элемент

2q

β

в преобразующем векто-

ре

2

λ Прибавляют

2

q -ый столбец матрицы

W

к столбцам, опре-

деляемым элементами подмножества противоположного знака, и

вычитают

2

q -ый столбец из столбцов, определяемых элементами

подмножества того же знака, что и опорный элемент. После этого

2

q -ый столбец вычеркивают.

–

Находят определитель преобразованной матрицы (n – 2)-

го порядка.

–

Результат умножают на

ε

βαβα

+

−

2211

)1)((

2211

qpqp

sign ,

где )(

2211 qpqp

sign β

α

βα — знак произведения опорных элементов;

1

p ,

1

q ,

2

p ,

2

q — номера опорных строк и столбцов;

(

)

(

)

(

)

(

)

()()()()

⎩

⎨

⎧

<∧>∨>∧<

>∧>∨<∧<

=

21212121

1

,0

qqppqqpp

ε .

Учитывая (6.15) и (6.16), выражения (6.14) для z-параметров

могут быть представлены в виде:

выхвыхвхвх

выхвых

z

λθλθ

λθ

Δ

;

11

−= ,

выхвыхвхвх

вхвых

z

λθλθ

λθ

Δ

;

12

= ,

(6.17)

выхвыхвхвх

выхвх

z

λθλθ

λθ

Δ

;

21

= ,

выхвыхвхвх

вхвх

z

λθλθ

λθ

Δ

;

22

−= .

37

Подставляя (6.17) в выражения (6.7)—(6.9) и учитывая, что

выхвыхвхвхвхвыхвыхвхвыхвыхвхвх

λθλθλθλθλθλθ

Δ

ΔΔ

Δ

ΔΔ

;

=

−

, получаем:

выхвых

выхвх

н

U

Z

k

λθ

ΔΔ

Δ

+

−=

, (6.18)

выхвыхвхвхвхвх

выхвых

н

вх

Z

λθλθλθ

λθ

ΔΔ

Δ

;

+

−= , (6.19)

выхвыхвхвхвыхвых

вхвх

с

вых

z

Z

λθλθλθ

λθ

ΔΔ

Δ

;

+−

+

−

−= . (6.20)

Расчет АЧХ и ФЧХ избирательного RC-усилителя

с двойным Т-образным мостом в цепи обратной связи

на основе координатных уравнений для координат в

сокращенном гибридном координатном базисе

Численные значения параметров элементов схемы:

R1 5 10

3

⋅:= R2 10 10

3

⋅:= R3 10 10

3

⋅:=

R4 10 10

3

⋅:= R6 750:=

R5 1.5 10

3

⋅:=

R7 1.5 10

3

⋅:=

R8 10 10

3

⋅:= Rn 1 10

3

⋅:= rc 1 10

3

⋅:=

R

б

R1 R2⋅

R1 R2+

:=

C1 10 10

6−

⋅:= C5 10 10

6−

⋅:=

38

ge'' h22''

1

R8

+:=ge' h22'

1

R3

+:=

h22'' h22':=h21'' h21':=h12'' h12':=h11'' h11':=

h22'

1

re 1 α−

()

rk⋅+

:=

h21'

rk

re 1 α−

()

rk⋅+

−:=

h12'

1 α−

()

rk⋅

re 1 α−

()

rk⋅+

:=

h11' rb

re rk⋅

re 1 α−

()

rk⋅+

+:=

α

β

β 1+

:=β 60:=rk 10

6

:=

re 5:=rb 100:=

C3 2 C2⋅:=C2 0.1 10

6

−

⋅:= C4 C2:=

μ'14=μ' ν' σ'+:=

μ'' 5=μ'' ν'' σ''+:=

μ 19=μνσ+:=

σ'5=σ' σσ''−:=

ν'9=

ν' νν''−:=

σ'' 4=σ'' Ly υ− ny+:=

ν'' 1=ν'' ny n−:=

σ 9=σ Ly Lz+()υ− n+:=

ν 10=νυn−:=

ny

2

:=n1:=υ 11:=Lz 6:=Ly 13:=

Параметры полюсного графа схемы:

39

Π

y

1

0

1

0

1

0

1

0

1−

1

1−

0

1−

0

1

0

1

1−

0

1

0

1

0

1

0

1−

0

1−

1

0

1

0

1

0

1

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:=

Топологические матрицы:

Π

z

1

−

0

1−

1

0

1

0

1−

1

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:=

P

y

1

0

1

0

1−

0

1

0

1−

0

1

0

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:= P

z

1

0

1

0

1

1−

0

1

0

1

0

1

⎛

⎜

⎝

⎞

⎟

⎠

:=

Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы

Подождите немного. Документ загружается.