Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы
Подождите немного. Документ загружается.
20
валентной ветвью с проводимостью
кэ
h
R
g
22
8
1
′′
+=
′′
.
Схемные
функции характеризуют анализируемую электронную схему как
четырехполюсник, поэтому входную и выходную ветви следует
представить идеальными источниками тока или напряжения, от-
ражающими второстепенные величины одной из систем парамет-
ров четырехполюсника. В качестве системы параметров четырех-
полюсника выберем систему z-параметров, тогда второстепен-
ными величинами являются входное и выходное напряжения, а
входная и выходная ветви представляются идеальными источни-
ками э.д.с.
вх
U и
вых
U .
Полюсный граф усилителя, соответствующий схеме заме-
щения рис. 6.4, представлен на рис. 6.5.
8
12
3
4
5
6
7
8
9
18
0
1
3
4
6
9
2
5
7
10
11
10
12
13
14
16
15
17 19
Рис. 6.5 — Полюсный граф избирательного усилителя
В графе ветви, содержащие независимые и зависимые ис-
точники э.д.с., а также управляющий по току двухполюсник с со-
21
противлением
э
r представлены z-ребрами. Направления ребер,
отображающих источники э.д.с. выбраны противоположно на-
правлениям соответствующих источников, а направление ребра,
отображающего управляющий двухполюсник, согласно с направ-
лением управляющего тока. Ветви, содержащие зависимые ис-
точники тока вместе с параллельно включенными ветвями, а так-
же ветви, содержащие емкости, представлены y-ребрами. На-
правления ребер, отображающих ветви с источниками тока, вы-
браны согласно с направлениями соответствующих источников, а
направления ребер, отображающих емкости, выбраны произволь-
но. Все оставшиеся ветви схемы замещения представлены взаим-
но определенными ребрами, направления которых выбраны про-
извольно. На рис. 6.5 y-ребра показаны сплошными, z-ребра —
пунктирными, а взаимно определенные ребра — штрих-пунк-
тирными линиями.
С целью оптимального разбиения взаимно определенных
ребер, обеспечивающего образование максимального количества
вырожденных координат, преобразуем граф рис. 6.5 путем зако-
рачивания всех y-ребер и размыкания всех z-ребер. В результате
получаем граф, приведенный на рис. 6.6.
1,2
0,3,6,7,8,9,10
4,5
3
8
10
12
14
19
Рис. 6.6 — Граф взаимно определенных ребер
Граф рис. 6.6 показывает, что ребра 8, 10, 12, 14, 19 следует
отнести к у-ребрам, а ребро 3 — к z-ребрам (рис. 6.7).
22
8
12
3
4
5
6
7
89
18
0
1
3
4
6
9
2
5
7
10
11
10
12
13
14
16
15
17 19
Рис. 6.7 — Полюсный граф избирательного усилителя
с оптимальным разбиением ребер
Для определения количества вырожденных координат и вы-
бора дерева построим y-граф (рис. 6.8) путем размыкания всех z-
ребер графа рис. 6.7.
8
12
3
4
5
6
7
8
9
18
0
2
5
7
10
11
10
12
13
14
16
15
19
Рис. 6.8 — Граф y-ребер
23
Используя исходный граф рис. 6.7 и y-граф рис. 6.8, нахо-
дим:
11
=υ ,
1
=
n
, 13=
y
l , 2
=
y
n . Таким образом, в графе рис. 6.7
может быть образовано 421113 =
+
−
=
+
−
=
′
′
yy
nl
υ
σ вырож-
денных контуров и 112
=
−
=
−=
′′
nn
y
ν вырожденных сечений.
Для обеспечения максимального количества вырожденных
координат (4 вырожденных контуров и 1 вырожденного сечения)
необходимо сначала построить лес y-графа, а затем достроить лес
до дерева исходного графа за счет z-ребер. Лес y-графа содержит
9211
=−=−
y
nυ ребер и показан на рис. 6.9, где ребра леса вы-
делены жирными линиями.
8
12
3
4
5
6
7
8
9
18
0
2
5
7
10
11
10
12
13
14
16
15
19
Рис. 6.9 — Лес y-графа
В состав дерева исходного графа должно входить
10
1
11
=−=−
n
υ ребер. Для построения дерева необходимо лес y-
графа дополнить одним z-ребром, связывающим части y-графа. В
качестве такого z-ребра можно использовать ребра 1, 3 или 4.
Включим в состав дерева графа рис. 6.7 ребро 4.
24
Выбранное дерево определяет систему
10
1
11
=−=−
=
n
υ
ν
главных сечений и 9111613 =
+
−
+
=
+
−
+
= nll
zy
υ
σ главных
контуров. Сечение, которому инцидентно z-ребро дерева 3, а
также контуры, которым инцидентны y-хорды 5, 7, 9 и 10, явля-
ются вырожденными, и по этой причине исключаются из систе-
мы координат. Таким образом, сокращенный гибридный коорди-
натный базис содержит
9
1
10
=
−
=
′
′
−
=
′
ν
ν
ν невырожденных се-
чений и
5
4
9
=−=
′′
−
=
′
σ
σσ невырожденных контуров, обозна-
ченных на полюсном графе рис. 6.10. Для удобства формирова-
ния топологических подматриц y-ребра и z-ребра полюсного
графа пронумерованы независимо друг от друга.
12
3
4
5
6
7
8
9
10
0
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
C9
I
II
III
IV
V
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Рис. 6.10 — Система координат в сокращенном гибридном
координатном базисе
Для формирования системы топологических уравнений со-
ставим подматрицу невырожденных сечений для y-ребер, под-
матрицу невырожденных сечений для z-ребер, подматрицу невы-
рожденных контуров для y-ребер и подматрицу невырожденных
контуров для z-ребер.
25
Подматрица невырожденных сечений для y-ребер
y
Π
′
имеет
размерность
(
)
()
139×=
×
′
y
lν :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
−
=
′
1001001010000
0011100000000
0100000000000
0000111000000
0000001110000
0000000010100
0000000011000
0
000000000010
0000000000001
y
Π .
Подматрица
невырожденных сечений для z-ребер
z
Π
′
имеет
размерность
()()
69×=
×
′
z
lν :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
′
000000
100000
100000
000000
000000
011000
001000
001000
000001
z
Π .
Подматрица невырожденных контуров для y-ребер
y
Ρ
′
имеет
размерность
(
)
()
135×=
×
′
y
lσ :
26
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
′
0110000000000
0000000000100
0000000001110
0000000000000
0000000000001
y
Ρ .
Подматрица невырожденных контуров для z-ребер
z
Ρ
′
имеет
размерность
()()
65×=
×
′
z
lσ :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
′
100000
010000
001000
000110
000101
z
Ρ .
Обобщенное матричное топологическое уравнение имеет
вид:
0
0
0
0
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
z
y
y
z
z
y
z
y
I
U
U
I
Ρ
Π
Ρ
Π
или
0
1
=
′
′
+
′
′
′
XX ΘΘ , (6.1)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
=
′
z
y
Ρ
Π
Θ
0
0
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′
′
=
′
0
0
1
y
z
Ρ
Π
Θ — обобщенные топологические
матрицы;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
′′
z
y
U
I
X ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
′
z
y
I
U
X —
обобщенные векторы токов и
напряжений ребер графа, причем
[]
T
yyyyyyyyyyyyyy
iiiiiiiiiiiiiI
13121110987654321
= —
вектор
токов y-ребер;
27
[]
T
yyyyyyyyyyyyyy
uuuuuuuuuuuuuU
13121110987654321
=
— вектор
напряжений y-ребер;
[]
T
zzzzzzz
iiiiiiI
654321
= — вектор токов z-ребер;
[]
T
zzzzzzz
uuuuuuU
654321
= — вектор напряжений z-ребер.
Так как в графе рис. 6.10 все управляющие по току ребра от-
несены к z-ребрам, а все управляющие по напряжению ребра — к
y-
ребрам, обобщенное матричное компонентное уравнение имеет
вид
F
X
V
X
+
′
=
′
′
, (6.2)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
в
в
ZM
NY
V
— обобщенная компонентная матрица;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
в
в
E
J
F
— обобщенный вектор внешних воздействий;
в
Y —
матрица проводимостей y-ребер;
в
Z — матрица сопротивлений
z-
ребер;
N
— матрица управляющих параметров источников то-
ка, управляемых током;
M
— матрица управляющих параметров
источников напряжения, управляемых напряжением;
в
J — век-
тор задающих токов;
в
E — вектор задающих э.д.с..
Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 не со-
держит источников тока, управляемых напряжениями, поэтому
матрица проводимостей y-ребер является диагональной матрицей
13-
го порядка:
28
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
′
=
6
5
4
7
3
5
2
4
1
1
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
0000
1
00000000
000000000000
000000
1
000000
000000000000
00
000000
1
0000
000000000
1
000
0000000000
1
00
000000000000
000000000000
R
pC
g
pC
R
pC
R
pC
r
r
R
g
pC
Y
э
б
k
э
в
.
Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 не со-
держит источников напряжения, управляемых токами, поэтому
матрица сопротивлений z-ребер является диагональной матрицей
6-
го порядка:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
′
=
000000
00000
00000
00000
00000
000000
11
11
h
r
h
R
Z
э
б
в
.
29
Схема замещения избирательного усилителя рис. 6.4 содер-
жит 3 источника тока, управляемых токами, поэтому матрица
управляющих параметров N имеет вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
′
=
000000
000000
00000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
00000
000000
00000
000000
21
21
h
h
N
α
.
Схема
замещения избирательного усилителя рис. 6.4 содер-
жит 2 источника напряжения, управляемых напряжениями, по-
этому матрица управляющих параметров M имеет вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
′′
′
=
0000000000000
000000000000
0000000000000
000000000000
0000000000000
0000000000000
12
12
h
h
M .
Поскольку задающие источники в схеме замещения рис. 6.4
являются источниками э.д.с., вектор задающих токов
в
J вектор
задающих э.д.с.
в
E имеют вид: