Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы
Подождите немного. Документ загружается.
140
В общем случае при выборе нормального дерева в соответ-
ствии с изложенными правилами топологические матрицы главных
сечений и главных контуров могут быть представлены в виде:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
LJLL
RJRLRR
GJGLGRGG
CJCLCRCGCC
EJELEREGEC
ΠΠ
ΠΠΠ
ΠΠΠΠ
ΠΠΠΠΠ
ΠΠΠΠΠ
Π
0000
000
00
0
1
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
00
000
0000
JLJRJGJCJE
LLLRLGLCLE
RRRGRCRE
GGGCGE
CCCE
ΡΡΡΡΡ
ΡΡΡΡΡ
ΡΡΡΡ
ΡΡΡ
ΡΡ
Ρ ,
где
1
,
0
— единичные и нулевые подматрицы соответствующих
размерностей. В обозначения остальных подматриц первый ин-
декс указывает на тип дуг, определяющих соответствующие ко-
ординаты (главные сечения для подматриц главных сечений или
главные контуры для подматриц главных контуров), а второй ин-
декс — тип дуг полюсного графа, которым соответствует под-
матрица.
С учетом распределение дуг графа между y-дугами и z-
дугами справедливо:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
LJ
RJ
GJGG
CJCGCC
EJEGEC
y
Π
Π
ΠΠ
ΠΠΠ
ΠΠΠ
Π
00
00
0
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
LL
RLRR
GLGR
CLCR
ELER
z
Π
ΠΠ
ΠΠ
ΠΠ
ΠΠ
Π
00
0
0
0
1
,
141
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
1
0
0
0
00
JGJC
LGLC
RGRC
GGGC
CC
y
ΡΡ
ΡΡ
ΡΡ
ΡΡ
Ρ
Ρ
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
JLJRJE
LLLRLE
RRRE
GE
CE
z
ΡΡΡ
ΡΡΡ
ΡΡ
Ρ
Ρ
Ρ
0
00
00
.
Если дуги в каждом подмножестве сгруппировать так, что-
бы сначала следовали дуги нормального дерева, а затем хорды,
топологические подматрицы можно представить в виде:
[
]
ECEC
π=Π 0 ,
[
]
EGEG
π=Π 0 ,
[
]
ER
ER
π=Π 0 ,
[
]
EL
EL
π=Π 0 ,
EJEJ
π
Π
=
;
[
]
CCCC
π=Π 1 ,
[
]
CGCG
π=Π 0 ,
[
]
CRCR
π=Π 0 ,
[
]
CLCL
π=Π 0 ,
CJCJ
π
Π
=
;
[
]
GGGG
π=Π 1 ,
[
]
GRGR
π=Π 0 ,
[
]
GLGL
π=Π 0 ,
GJGJ
π=
Π
;
[
]
RR
RR
π=Π 1 ,
[
]
RL
RL
π=Π 0 ,
RJRJ
π
Π
=
;
[
]
LL
LL
π=Π 1 ,
LJLJ
π
Π
=
;
T
ECCECE
πρΡ −== ,
[
]
[
]
11
T
CCCCCC
π−=ρ=Ρ ;
T
EGGEGE
πρΡ −== ,
[
]
[
]
00
T
CGGCGC
π−=ρ=Ρ ,
[]
[
]
11
T
GGGGGG
π−=ρ=Ρ ;
T
ER
RE
RE
πρΡ −== ,
[
]
[
]
00
T
CRRCRC
π−=ρ=Ρ ,
[]
[
]
00
T
GRRGRG
π−=ρ=Ρ ,
[
]
[
]
11
T
RR
RR
RR
π−=ρ=Ρ ;
142
T
EL
LE
LE
πρΡ −== ,
[
]
[
]
00
T
CLLCLC
π−==ρ=Ρ ,
[]
[
]
00
T
GLLGLG
π−==ρ=Ρ ,
[
]
[
]
00
T
RL
LR
LR
π−==ρ=Ρ ,
[
]
[
]
11
T
LL
LL
LL
π−=ρ=Ρ ;
T
EJ
T
EJJEJE
ΠπρΡ −=−==
,
[
]
[
]
[
]
000
T
CJ
T
CJJCJC
Π−=π−=ρ=Ρ ,
[]
[
]
[
]
000
T
GJ
T
GJJGJG
Π−=π−=ρ=Ρ ,
[]
[
]
[
]
000
T
RJ
T
RJJRJR
Π−=π−=ρ=Ρ ,
[]
[
]
[
]
000
T
LJ
T
LJJLJL
Π−=π−=ρ=Ρ .
Нормальное дерево полюсного графа избирательного усили-
теля (рис. 6.33) должно содержать 718 =
−
=
−
=
nl
T
υ
дуг. На
рис. 6.33 дуги нормального дерева выделены жирными линиями.
В состав нормального дерева включены 1
=
E
l E-дуг (дуга
вх
U ) и
6
=
CT
l С-дуг (С1, С2, С3,
зи
С ,
зс
С ,
к
С ). Нормальное дерево не
содержит G-дуг (0=
GT
l ), R-дуг (0
=
RT
l ) и L-дуг (0=
LT
l ). До-
полнение нормального дерева включает 1
=
CN
l С-дугу (
cи
С ), все
G-
дуги (2=
GN
l ), все R-дуги (6
=
RN
l ) и L-дугу (1=
LN
l ). Таким
образом, нормальное дерево полюсного графа рис. содержит
700061
=
+
+
+
+
=
+
+
++=
LTRTGTCTET
llllll дуг, а дополне-
ние нормального дерева —
1001621
=
+
+
+
+
=
+
+++=
JLNRNGNCNN
llllll дуг.
Рассматриваемая схема избирательного усилителя обладает
неправильной структурой (является топологически вырожден-
ной), так как содержит 1
=
C
σ особый контур, образованный С-
дугами
зи
С ,
зс
С и
cи
С . Именно по этой причине в состав нор-
мального дерева графа вошли не все С-дуги: произвольно вы-
бранная одна из дуг особого контура (
cи
С ) включена в состав до-
полнения дерева.
143
Выбранное нормальное дерево определяет систему
7
==−=
T
lnυν главных сечений и 10==+
−
+
=
Nzy
lnll υ
σ
главных контуров. При этом 1
=
E
l сечение (сечение СЕ1) опре-
деляется E-дугой дерева, а 6
=
CT
l сечений (сечения СС1, СС2,
СС3, СС4, СС5, СС6) — С-дугами дерева. Сечения, определяе-
мые G-дугами, R-дугами и L-дугами в графе рис. отсутствуют. В
системе главных контуров 1
=
CN
l контур определяется С-дугой,
2
=
GN
l контура — G-дугами, 6
=
RN
l контуров — R-дугами,
1
=
LN
l контур — L-дугой. Кроме того, в графе отсутствуют J-
дуги. Следовательно, топологические матрицы главных сечений
и главных контуров принимают вид:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
CLCRCGCC
ELEREGEC
ΠΠΠΠ
ΠΠΠΠ
Π
0
1
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
LLLRLGLCLE
RRRGRCRE
GGGCGE
CCCE
ΡΡΡΡΡ
ΡΡΡΡ
ΡΡΡ
ΡΡ
Ρ
0
00
000
.
Так как топологические матрицы главных контуров могут
быть получены из топологических матриц главных сечений, сис-
тема главных контуров в графе рис. 6.33 не показана.
Подматрица
EC
π имеет размерность
(
)( )
11×=
×
CNE
ll , а
подматрица
EC
Π –
()
(
)
71
×
=
×
CE
ll :
[]
0
=
π
EC
,
[
]
[
]
00000000 =π=Π
ECEC
.
Подматрица
EG
π имеет размерность
(
)
GNE
ll
×
, а подматри-
ца
EG
Π –
()
GE
ll × . Так как 1
=
E
l , а 2
=
=
GGN
ll , то
[
]
00
=
π
=
Π
EGEG
.
144
Подматрица
ER
π
имеет размерность
(
)
RNE
ll
×
, а подматрица
ER
Π –
()
R
E
ll × . Так как 6
=
=
RRN
ll , то
[
]
110111
=
π
=Π
ER
ER
.
Подматрица
EL
π
имеет размерность
(
)
LNE
ll
×
, а подматрица
EG
Π –
()
L
E
ll × . Так как 1
=
=
LLN
ll , то
[
]
0
=
π
=
Π
EL
EL
.
Подматрица
CC
π имеет размерность
(
)( )
16×=
×
CNCT
ll , а
подматрица
CC
Π –
()
(
)
76
×
=
×
CCT
ll :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=π
0
1
1
0
0
0
CC
,
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=π=Π
0100000
1010000
1001000
0000100
0000010
0000001
1
ECCC
.
Подматрица
CG
π имеет размерность
(
)
GNCT
ll
×
, а подмат-
рица
CG
Π –
()
GCT
ll
×
. Так как 6
=
CT
l , а 2
=
=
GGN
ll , то
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=π=Π
10
01
01
00
00
00
CGCG
.
Подматрица
CR
π
имеет размерность
(
)
RNCT
ll
×
, а подматри-
ца
CR
Π –
()
RCT
ll × . Так как 6
=
=
RRN
ll , то
145
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−−
−
−
−−−
−
−
−
−
−
==
011000
111110
001000
100000
111100
110111
CRCR
πΠ .
Подматрица
CL
π
имеет размерность
(
)
LNCT
ll
×
, а подматри-
ца
CL
Π –
()
LCT
ll × . Так как 1
=
=
LLN
ll , то
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=π=Π
0
0
0
0
1
0
CLCL
.
Используя связь топологических матриц главных контуров с
топологическими матрицами главных сечений, найдем:
T
ECCECE
πρΡ −== ,
T
EGGEGE
πρΡ −== ,
T
ER
RE
RE
πρΡ −== ,
T
EL
LE
LE
πρΡ −== .
Подматрица
CC
Ρ
имеет размерность
(
)( )
71×=
×
CCN
ll :
[]
[
]
[
]
101100011 −=π−=ρ=Ρ
T
CCCCCC
.
Подматрица
GC
Ρ
имеет размерность
(
)( )
72×=
×
CGN
ll :
146
[]
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=π−=ρ=Ρ
0100000
0011000
00
T
CGGCGC
.
Подматрица
RC
Ρ
имеет размерность
(
)( )
76×=
×
CRN
ll :
[]
[]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=π−=ρ=Ρ
0010111
0110011
0111010
0010011
0010001
0000001
00
T
CRRCRC
.
Подматрица
LC
Ρ
имеет размерность
(
)( )
71×=
×
CLN
ll :
[
]
[
]
[
]
000001000 −=π−=ρ=Ρ
T
CLLCLC
.
Подматрица
GG
Ρ имеет размерность
(
)
GGN
ll
×
. Поскольку
2==
GGN
ll , то
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==Ρ
10
01
1
GG
.
Подматрица
RG
Ρ имеет размерность
(
)( )
26×=
×
GRN
ll , а
подматрица
RG
Ρ –
()
(
)
21
×
=
×
GLN
ll . Поскольку
GGN
ll = , то
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==Ρ
00
00
00
00
00
00
0
RG
,
[
]
000 ==Ρ
LG
.
147
Подматрица
RR
Ρ имеет размерность
(
)
RRN
ll
×
. Поскольку
6==
RRN
ll , то
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==Ρ
100000
010000
001000
000100
000010
000001
1
RR
.
Подматрица
LR
Ρ имеет размерность
(
)( )
61×=
×
RLN
ll , По-
скольку
RRN
ll = , то
[
]
0000000 ==Ρ
LR
.
Подматрица
LL
Ρ имеет размерность
(
)
LLN
ll
×
. Поскольку
1==
LLN
ll , то
[
]
11==Ρ
L
.
Группируя полученные топологические подматрицы в соот-
ветствии с распределением дуг полюсного графа на y-дуги и z-
дуги, найдем
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ΠΠ
ΠΠ
=Π
100100000
011010000
011001000
000000100
000000010
000000001
000000000
CGCC
EGEC
y
,
148
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−−
−
−
−−−
−−−−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ΠΠ
ΠΠ
=Π
00110000
01111100
00010000
01000000
11111000
01101110
01101111
0
1
CLCR
ELER
z
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000000010
000010111
000110011
000111010
000010011
000010001
000000001
100100000
010011000
00101100
0
0
LGLC
RGRC
GGGC
CC
y
ΡΡ
ΡΡ
ΡΡ
Ρ
Ρ ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
10000000
01000001
00100001
00010000
00001001
00000101
00000011
00000000
00000000
00000000
0
0
0
00
LLLRLE
RRRE
GE
CE
z
ΡΡΡ
ΡΡ
Ρ
Ρ
Ρ .
149
За счет отнесения всех С-дуг к у-дугам и всех L-дуг к z-
дугам обобщенную компонентную матрицу можно представить в
виде:
0
VpVV
p
+
= , (6.57)
где
p
V ,
0
V — компонентные матрицы параметров реактивных и
безреактивных компонентов соответственно.
При записи топологических матриц в подмножестве y-дуг сна-
чала следуют С-дуги, затем — G-дуги и в конце — J-дуги, а в под-
множестве z-дуг — сначала E-дуги, затем — R-дуги и в конце — L-
дуги, поэтому компонентные матрицы
p
V ,
0
V имеют вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
L
C
L
R
E
J
G
C
V
p
00000
000000
000000
000000
000000
00000
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000000
000000
000000
000000
0
RLRRRERJRGRC
GLGRGEGJGGGC
ZZZMMM
NNNYYY
L
R
E
J
G
C
V ,
где
C
— диагональная матрица емкостей;
L
— матрица индук-
тивностей и взаимных индуктивностей (диагональная, если в
схеме отсутствуют индуктивные связи);
GG
Y — матрица прово-
димостей G-дуг и управляющих проводимостей зависимых ис-
точников тока, управляемых напряжениями G-дуг;
GC
Y ,
GJ
Y —