Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы
Подождите немного. Документ загружается.
160
ременных и применяя алгебраическое матричное уравнение
(6.64),
получим:
(
)
fBFxAFfBxAFxFxi
выхвыхвыхвыхвых 000000
9
+
=
+
===
, (6.66)
где
[]
100000000=
вых
F — вектор размерности
()
911
×
=
+
+
×
RNGNCN
lll ,
выделяющий составляющую
Rн
i из вектора алгебраических пе-
ременных.
Поскольку
выхнRннRнвых
iRiRuu
=
=
= , то, используя (6.66),
определяем:
fBFRxAFRu
выхнвыхнвых 00
+
= . (6.67)
Записывая уравнения (6.65), (6.66) и (6.67) в матричной
форме, получаем матричное выходное уравнение в базисе пере-
менных состояния:
f
BFR
BF
BFC
x
AFR
AF
AFC
u
i
i
выхн
вых
вх
выхн
вых
вх
вых
вых
вх
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
1
0
0
1
или
)()()(
tfKtKxty
f
+
= ,
где
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
1
AFR
AF
AFC
K
выхн
вых
вх
— матрица выхода;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
1
BFR
BF
BFC
K
выхн
вых
вх
f
— мат-
рица входа.
Матрица выхода
K
имеет размерность
(
)
73×=+
×
LNCT
llm ,
а матрица входа
f
K — размерность 13
×
=
×
CE
lm .
Таким образом, сформированная математическая модель
схемы избирательного усилителя в базисе переменных состояний
в обобщенной матричной форме имеет вид:
161
)()(
)(
tBftAx
dt
tdx
+=
,
(6.68)
)()()(
tfKtKxty
f
+
=
.
Для получения комплексных частотных схемных функций,
соответствующих заданным переменным реакции схемы пред-
ставим систему уравнений (6.68) в операторной форме, применяя
преобразование Фурье:
)
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
j
Bf
j
Ax
j
x
j
+
=
, (6.69)
)()()(
ω
ω
ω jfKjKxjy
f
+
=
. (6.70)
Определяя из уравнения (6.69) вектор
)
(
ω
j
x
и подставляя
его в уравнение (6.70), найдем
[]
)()()(1)(
1
ωωωωω jfjTjfKBAjKjy
f
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
−
,
где
[]
f
KBAjKjT +−=
−1
1)( ωω — матричная комплексная час-
тотная функция.
Матричная комплексная частотная функция в общем случае
представляет собой комплексную матрицу, которая имеет раз-
мерность
()
JE
llm
+
× :
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(1
)(1
)(1111
ωωω
ωωω
ω
ω
ω
ω
jTjTjT
jTjTjT
jTjTjT
jT
JE
JE
JE
llmmsm
llkksk
lls
……
……………
……
……………
……
,
162
где
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jf
jy
jT
s
k
ks
= — комплексная частотная функция для пе-
ременной реакции )( ωjy
k
при переменной воздействия )( ωjf
s
.
При использовании комплексных частотных функций рас-
чет амплитудно-частотных и фазо-частотных характеристик осу-
ществляется по выражениям
)()(
ω
ω
jTA
ksks
=
,
[
]
)(arg)(
ω
=
ωϕ jT
ksks
.
Для схемы избирательного усилителя рис. 6.29 матричная
комплексная частотная функция имеет размерность
1
3
× , причем:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)(
)(
)(
)(
ω
ω
ω
ω
jT
jT
jT
jT
вхвых
вхвых
вхвх
UU
UI
UI
,
где
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jU
jI
jT
в
х
вх
UI
вхвх
= — комплексная частотная функция для
переменной реакции
вх
i ;
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jU
jI
jT
в
х
вых
UI
вхвых
= — комплексная
частотная функция для переменной реакции
вых
i ;
)(
)(
)(
ω
ω
ω
jU
jU
jT
в
х
вых
UU
вхвых
= — комплексная частотная функция для
переменной реакции
вых
u .
Аналитическое решение системы линейных неоднородных
дифференциальных уравнений первого порядка (6.63) имеет вид:
∫
−
−
+=
t
t
tA
ttA
dBfetxetx
0
0
)()()(
)(
0
)(
ξξ
ξ
, (6.71)
163
где )(
0
tx — вектор начальных условий переменных состояния в
момент времени
0
t ;
At
e
— экспоненциальная матрица (матричная
экспонента).
При
const
f
=
)
(
ξ выражение (6.71) приводится к виду
[
]
BfeAtxetx
ttAttA
1)()(
)(
1
0
)(
00
−+=
−
−
−
,
а при нулевых начальных условиях ( 0)0(
0
==tx )
[
]
BfeAtx
At
1)(
1
−=
−
. (6.72)
Подставляя (6.72) в выходное уравнение, получим
[
]
(
)
ftHfKBeKAty
f
At
)(1)(
1
=+−=
−
, (6.73)
где
[
]
f
At
KBeKAtH +−=
−
1)(
1
— матричная переходная функ-
ция.
Матричная переходная функция в общем случае представ-
ляет собой матрицу, которая имеет размерность
()
JE
llm +
×
:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
+
+
+
)()()(
)()()(
)()()(
)(
)(1
)(1
)(1111
ththth
ththth
ththth
tH
JE
JE
JE
llmmsm
llkksk
lls
……
……………
……
……………
……
,
где )(th
ks
— переходная функция (характеристика) для перемен-
ной реакции )(ty
k
при переменной воздействия )(tf
s
.
Матричная экспонента
A
e
от квадратной матрицы
A
n-го
порядка представляет собой квадратную матрицу n-го порядка,
определяемую рядом Тейлора:
164
∑
∞
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
!
1
k
kA
A
k
e ,
где kkik
k
i
⋅−⋅⋅⋅==
∏
=
)1(21!
1
… — факториал числа
k
(по опреде-
лению
1
!
0
= );
…
разk
k
i
k
AAAAA ⋅⋅⋅==
∏
=1
— k-ая степень матрицы
А
(
по определению
1
0
=
A
— единичная матрица n-го порядка).
Для практических расчетов матричной экспоненты широко
применяется формула Сильвестра, которая в случае простого
спектра матрицы
A
(отсутствия кратных собственных чисел)
имеет вид:
∑
∏
=
≠
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⋅−
=
n
k
n
ks
ssk
s
A
A
e
1
1
1
λλ
λ
,
где
k
λ — собственные числа матрицы
A
;
1
— единичная матри-
ца n-го порядка.
Наиболее простой вид матричная экспонента принимает для
диагональной матрицы
()
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
n
n
diag
λ
λ
λ
λλλΛ
…
…………
…
…
…
00
00
00
,,,
2
1
21
,
когда
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
n
n
e
e
e
eeediage
λ
λ
λ
λ
λλ
Λ
…
…………
…
…
…
00
00
00
),,,(
2
1
21
,
то есть матричная экспонента является диагональной матрицей,
по главной диагонали которой расположены экспоненциальные
функции от элементов (собственных чисел) матрицы Λ.
165
Для упрощения расчета переходных характеристик матрич-
ную экспоненту в выражении (6.73) целесообразно привести к
наиболее простому, то есть диагональному, виду. Если собствен-
ные числа матрицы состояния
A
различны, то ее можно предста-
вить в виде
1
−
=
S
S
A
Λ
,
где Λ — диагональная матрица собственных чисел матрицы
A
;
S
— неособенная матрица, столбцы которой представляют собой
собственные векторы матрицы
A
. Исходя из определения мат-
ричной экспоненты, можно доказать что
11
00
00
00
2
1
1
−−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
===
−
S
e
e
e
SSSeee
n
SSA
λ
λ
λ
ΛΛ
…
…………
…
…
.
Тогда общее выражение для матричной переходной функ-
ции примет вид:
[
]
f
t
KBSSeKAtH +−=
−
Λ
−
1)(
11
.
Для схемы избирательного усилителя рис. 6.29 матричная
переходная функция имеет размерность
1
3
×
, причем:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)(
)(
)(
)(
th
th
th
tH
вхвых
вхвых
вхвх
UU
UI
UI
,
где )(th
вхвх
UI
— переходная функция для переменной реакции
вх
i ; )(th
вхвых
UI
— переходная функция для переменной реакции
вых
i ; )(th
вхвых
UU
— переходная функция для переменной реакции
вых
u .
166
Формирование и реализация математической модели
избирательного усилителя в базисе переменных состояния
в вычислительной системе MathCad
Численные значения параметров компонентов схемы
Параметры полюсного графа
α
β
β 1+
:=
β 50:=Ck 7 10
12−
⋅:=
re
26
5
:=rk 500 10
3
⋅:=rb 200:=
Gsi
1
Rsi
:=
Rsi 500 10
3
⋅:=S510
3−
⋅:=
Csi 1 10
12−
⋅:=Czs 1 10
12−
⋅:=Czi 5 10
12−
⋅:=
C2 3.979 10
8−
×=L1 6.366 10
5−
×=
C2
1
ρω
p
⋅
:=L1
ρ
ω
p
:=
ρ
R2
Q
:=ω
p
2 π⋅ f
p
⋅:=
f
p
100 10
3
⋅:=Q10:=C3 10 10
6−
⋅:=C1 5 10
6−
⋅:=
Rn 10 10
3
⋅:=R3 10 10
3
⋅:=R2 400:=R1 1 10
6
⋅:=
σ 10=σ l
y
l
z
+ν−:=ν 7=ν l
E
l
CT
+:=
l
z
8=l
z
l
E
l
R
+ l
L
+:=l
y
9=l
y
l
C
l
G
+:=
l
RN
6
:=l
R
6:=l
GN
2:=l
G
2:=l
LN
1:=l
L
1:=
l
CN
1=l
CN
l
C
l
CT
−:=l
CT
6:=l
C
7:=l
E
1:=
167
Топологические матрицы главных сечений
pi
EC
0:= Π
EC
augment matrix l
E
l
CT
, f,
(
)
pi
EC
,
(
)
:= Π
EG
00():= Π
ER
111011():= Π
EL
0
:=
Π
EC
0000000()=
pi
CC
0
0
0
1
−
1
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= Π
CC
augment identity l
CT
()
pi
CC
,
()
:= Π
CG
0
0
0
1
−
1
0
0
0
0
0
0
1
−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:= Π
CR
1−
0
0
0
0
0
1
−
0
0
0
1
−
0
1
−
1−
0
0
1
−
0
0
1
0
1
−
1
1
−
1−
1−
0
0
1
−
1
1
−
1−
1−
0
1
−
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
Π
CC
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
−
1
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=Π
CL
0
1
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
167
168
Ρ
CE
pi
EC
−:= Ρ
GE
Π
EG
T
−:= Ρ
RE
Π
ER
T
−:= Ρ
LE
Π
EL
−:=
Ρ
GE
0
0
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=Ρ
RE
1−
1−
1−
0
1
−
1−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=Ρ
LE
0=
Ρ
CE
0=
Топологические матрицы главных контуров
Π
y
augment stack Π
EC
Π
CC
,
()
stack Π
EG
Π
CG
,
(
)
,
()
:=
Π
z
augment stack identity l
E
()
matrix l
CT
l
E
, f,
()
,
()
stack Π
ER
Π
CR
,
()
, stack Π
EL
Π
CL
,
()
,
()
:=
Π
y
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1−
1
0
0
0
0
0
1−
1
0
0
0
0
0
0
0
1−
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=Π
z
1
0
0
0
0
0
0
1
1−
0
0
0
0
0
1
1−
0
0
0
1−
0
1
1−
1−
0
0
1−
0
0
0
1
0
1−
1
1−
1
1−
1−
0
0
1−
1
1
1−
1−
1−
0
1−
0
0
0
1
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
168
169
Ρ
LG
00()=Ρ
LG
matrix l
LN
l
G
, f,
()
:=
Ρ
RG
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Ρ
RG
matrix l
RN
l
G
, f,
()
:=
Ρ
GG
1
0
0
1
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=Ρ
GG
identity l
G
()
:=
Ρ
LC
01− 00000()=
Ρ
LC
augment ρ
LC
matrix l
LN
l
CN
, f,
()
,
()
:=ρ
LC
Π
CL
T
−:=
Ρ
RC
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
−
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
−
1
1
0
0
0
1
1
−
0
0
0
0
0
0
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
Ρ
RC
augment ρ
RC
matrix l
RN
l
CN
, f,
()
,
()
:=ρ
RC
Π
CR
T
−:=
Ρ
GC
0
0
0
0
0
0
1
0
1−
0
0
1
0
0
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
=
Ρ
GC
augment ρ
GC
matrix l
GN
l
CN
, f,
()
,
()
:=ρ
GC
Π
CG
T
−:=
Ρ
CC
0001 1− 01()=
Ρ
CC
augment ρ
CC
identity l
CN
()
,
()
:=ρ
CC
pi
CC
T
−:=