Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем (МАРЭС). Руководство к организации самостоятельной работы
Подождите немного. Документ загружается.
150
матрицы управляющих проводимостей зависимых источников
тока, управляемых напряжениями С-дуг и J-дуг соответственно;
GE
N ,
GR
N ,
GL
N — матрицы управляющих проводимостей зави-
симых источников тока, управляемых токами E-дуг, R-дуг и J-дуг
соответственно;
RR
Z — матрица сопротивлений R-дуг и управ-
ляющих сопротивлений зависимых источников напряжения,
управляемых токами R-дуг;
RE
Z ,
RL
Z — матрицы управляющих
сопротивлений зависимых источников напряжения, управляемых
токами E-дуг и L-дуг соответственно;
RC
M ,
RG
M ,
RJ
M — мат-
рицы управляющих сопротивлений зависимых источников на-
пряжения, управляемых напряжениями С-дуг, G-дуг и J-дуг соот-
ветственно.
Для рассматриваемой схемы избирательного усилителя мат-
рица
C
имеет 7
=
C
n порядок:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
си
к
зи
зс
C
C
C
C
C
C
C
C
000000
000000
000000
000000
000000
000000
000000
3
2
1
,
а матрица
L
– 1
=
L
n порядок:
[
]
1
LL = .
Полюсный граф рис. 6.33 не содержит J-дуг, поэтому ком-
понентная матрица
0
V принимает вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00000
00000
00000
0
RLRRRERGRC
GLGRGEGGGC
ZZZMM
NNNYY
L
R
E
G
C
V
.
151
Поскольку схема замещения рис. 6.32 не содержит зависи-
мых источников напряжения, а также зависимых источников то-
ка, управляемых токами G-дуг, E-дуг и L-дуг, то
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
к
си
GG
r
G
Y
1
0
0
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
н
э
б
RR
R
r
r
R
R
R
Z
00000
00000
00000
00000
00000
00000
3
2
1
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
0
0
0
0
0
0
RLRE
ZZ ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
0000000
RC
M ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00
00
00
00
00
00
RG
M ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
0
GE
N ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
0
GL
N .
Зависимый источник тока, управляемый напряжением С-
дуги (дуги
зи
C ) отображается в матрице
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0000000
000000 S
Y
GС
,
152
а зависимый источник тока, управляемый током R-дуги (дуги
э
r )
отображается в матрице
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00000
000000
α
GR
N .
В результате компонентная матрица
0
V имеет вид
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
00000000000000000
0000000000000000
0000000000000000
0000000000000000
00000000000
00000
0000000000000000
0000000000000000
00000000000000000
0000000
1
00000000
000000000000000
0000000000000000
0
00000000000000000
00000000000000000
00000000000000000
00000000000000000
00000000000000000
000000000000000
00
3
2
1
1
3
2
1
2
1
3
2
1
0
н
э
б
к
си
н
э
б
си
к
зи
зс
R
r
r
R
R
R
r
GS
L
R
r
r
R
R
R
E
G
G
C
C
C
C
C
C
C
V
α
.
С учетом представления обобщенной компонентной матри-
цы
V
выражением (6.57) матрица эквивалентных параметров
схемы, соответствующая системе уравнений ветвей для коорди-
нат, принимает вид:
153
(
)
(
)
,
0
10101
WpW
VpVVpVVW
p
TTT
p
TT
p
TT
+=
=Θ−Θ+Θ=Θ−Θ+=Θ−Θ=
где
T
pp
VW Θ= — матрица эквивалентных параметров реактив-
ных компонентов схемы;
TT
VW
100
ΘΘ −= — матрица эквива-
лентных параметров безреактивных компонентов схемы;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
z
y
Ρ
Π
Θ
0
0
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
0
1
y
z
Ρ
Π
Θ —
обобщенные топологические мат-
рицы.
В результате система ВК-уравнений может быть преобразо-
вана:
(
)
FXWpW
p
−
=
+
0
,
откуда
FXWpXW
p
−
=
+
0
, (6.58)
где
[]
[
]
T
NT
T
IUIUX == — вектор узловых напряжений, равных
напряжениям ветвей нормального дерева (
T
UU
=
) и контурных
токов, равных токам хорд (
N
II = );
F
— вектор задающих токов
и задающих э.д.с.
Принимая во внимание распределение дуг графа на под-
множества и порядок записи топологических матриц, вектор
T
U
напряжений ветвей дерева, вектор
N
I токов хорд и вектор
F
за-
дающих токов и напряжений можно представить в виде:
[
]
LTRTGTCTT
UUUUEU = ,
[
]
JIIIII
LNRNGNCNN
= ,
[]
0000 EJF = ,
тогда
[]
T
LNRNGNCN
LTRTGTCT
N
T
JIIIIUUUUE
I
U
X =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
154
Из-за наличия нулевых строк и столбцов в компонентной
матрице
p
V ранг матрицы
p
W меньше ее порядка. После исклю-
чения нулевых столбцов из матрицы
p
W систему ВК-уравнений
(6.58)
можно записать
FXWxpw
p
−
=
+
′
′
0
, (6.59)
где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ΡΡ
ΠΠ
=
′
T
JL
T
LL
T
CC
T
EC
p
LL
CC
L
R
E
J
G
C
w
00
0000
0000
0000
0000
00
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
′
J
I
U
E
x
LN
CT
.
С учетом принятого распределения дуг полюсного графа на
подмножества матрица эквивалентных параметров
0
W имеет вид:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
00000
0000000001
1000000000
00000
0
TTTT
NNNNTTTT
NNNNTTTT
NNNN
LLLRLGLCLE
RJRLRRRGRCRLRRRGRCRE
GJGLGRGGGCGLGRGGGCGE
CJCLCRCGCC
wwwww
wwwwwwwwww
wwwwwwwwww
wwwww
L
R
E
J
G
C
W
Из сопоставления матриц
p
w
′
,
0
W и векторов
x
′
,
X
,
F
сле-
дует, что в системе ВК-уравнений (6.59) уравнения E-дуг и J-дуг
представляют собой тождества, и, следовательно, могут быть ис-
ключены путем удаления из матриц соответствующих строк.
После удаления строк для разделения переменных состоя-
ния и алгебраических переменных из столбцов матриц
p
w
′
и
0
W ,
соответствующих переменным состояния формируют матрицы
155
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
T
LL
T
CC
p
L
C
L
R
G
C
w
Ρ
Π
0
00
00
0
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
T
NT
NT
N
LC
RLRC
GLGC
CL
х
w
ww
ww
w
L
R
G
C
w ,
из столбцов матрицы
0
W , соответствующих алгебраическим пе-
ременным, формируют матрицу
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
0
TTT
NNNTTT
NNNTTT
NNN
LLLRLG
RRRGRCRLRRRG
GRGGGCGLGRGG
CRCGCC
www
wwwwww
wwwwww
www
L
R
G
C
w
,
из столбцов матриц
0
W и
p
w
′
, соответствующих задающим токам
и э.д.с. независимых источников, формируют матрицы
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
LE
RJRE
GJGE
CJ
f
w
ww
ww
w
L
R
G
C
θ
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
T
JL
T
EC
f
L
C
L
R
G
C
Ρ
Π
θ
0
00
00
0
1
.
В результате система ВК-уравнений (6.59) принимает вид:
[]
0
0
10
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θθ
pf
f
x
x
px
www
ffxp
или
pffxw
x
px
w
ffx 1
0
θ−θ−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
, (6.60)
156
где
[
]
0
www
p
= ;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
LN
CT
I
U
x —
вектор переменных состояния;
[]
T
RNGNCNLTRTGT
IIIUUUx =
0
— вектор алгебраических
переменных;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
E
J
f —
вектор задающих токов и э.д.с. незави-
симых источников.
Если матрица
w
неособенная (
0
det
≠
w
), то из системы
уравнений (6.60) следует:
pfwfwxww
x
px
ffx 1
111
0
θ−θ−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
. (6.61)
Выделяя в выражении (6.61) подматрицы, соответствующие
переменным состояния и алгебраическим переменным, получаем
уравнение
pf
B
B
f
B
B
x
A
A
x
px
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
10
1
000
,
которое разделяется на уравнение состояния в операторной форме
pfBBfAxpx
1
+
+
=
и алгебраическое уравнение
pfBfBxAx
10000
+
+
= .
Переходя от операторной формы записи уравнений к вре-
менной, получаем
dt
tdf
BtBftAx
dt
tdx )(
)()(
)(
1
++= ,
dt
tdf
BtfBtxAtx
)(
)()()(
10000
++= .
157
В системе ВК-уравнений рассматриваемой схемы избира-
тельного усилителя вектор
T
U напряжений ветвей дерева содер-
жит 7=
T
l компонентов
[]
[]
T
CCCCCCвх
T
CTT
кзизс
UUUUUUUUEU
321
== ,
вектор
N
I токов хорд — 10
=
N
l компонентов
[]
[]
T
LRrrRRRGGC
T
LNRNGNCNN
IIIIIIIIIIIIIII
нэбси 132121
== ,
а вектор
F
задающих токов и напряжений ветвей и вектор
X
на-
пряжений ветвей дерева и контурных токов —
(
)
17=+
NT
ll ком-
понентов:
[]
[]
T
вх
T
UEF 00000000000000000000 == ,
[]
T
L
R
н
r
э
r
б
R
R
R
G
G
C
ссСкСзиСзс
С
С
С
в
х
IIIIIIIIIIUUUUUUUX
1
3
2
1
2
1
3
2
1
=
Матрицы
p
w и
х
w имеют размерность
(
)
(
)
716
×
=
+
×
+++
LNCTLRGC
llllll
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
T
LL
T
CC
p
L
C
L
R
G
C
w
Ρ
Π
0
00
00
0
,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
T
NT
NT
N
LC
RLRC
GLGC
CL
х
w
ww
ww
w
L
R
G
C
w
,
матрица
0
w –
()
(
)
916×=
+
+
×
+
++
RNGNCNLRGC
lllllll
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
0
NNN
NNN
NNN
RRRGRC
GRGGGC
CRCGCC
www
www
www
L
R
G
C
w
,
158
матрицы
f
θ и
f1
θ –
()
116×
=
×
+
+
+
ELRGC
lllll
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
LE
RE
GE
f
w
w
w
L
R
G
C
0
θ ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
1
T
EC
f
C
L
R
G
C
Π
θ
.
При этом поскольку
[
]
0000000
=
EC
Π , то
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
0
1
L
R
G
C
f
θ .
Используя матрицы
p
w ,
х
w ,
0
w ,
f
θ
и 0
1
=
f
θ , получаем
fxw
x
px
w
fx
θ−−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0
, (6.62)
где
[]
T
LC
кCззCззCCC
LN
CT
IUUUUUU
I
U
x
1321
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
,
вх
Uf = ,
[]
[]
T
RнrэrбRRRGGCсс
T
RNGNCN
IIIIIIIIIIIIx
321210
== .
Поскольку
[
]
0detdet
0
≠
= www
p
, то из (6.62) следует
)()(
)(
tBftAx
dt
tdx
+=
, (6.63)
)()()(
000
tfBtxAtx
+
=
. (6.64)
Матрица состояния
A
имеет
(
)
7
=
+
LNCT
ll порядок и обра-
зована из первых
(
)
7
=
+
LNCT
ll строк матрицы
(
)
x
ww
1−
− .
159
Матрица управления
B
имеет размерность
()
17
×
=×+
ELNCT
lll и образована из первых
(
)
7=
+
LNCT
ll строк
матрицы
(
)
f
w θ−
−1
.
Матрица
0
A имеет размерность
(
)
(
)
79
×
=
+
×
+
+
LNCTRNGNCN
lllll
и образована из последних
(
)
9
=
+
+
RNGNCN
lll строк матрицы
(
)
x
ww
1−
− .
Матрица
0
B имеет размерность
(
)
19×=×
+
+
ERNGNCN
llll и
образована из последних
(
)
9
=
+
+
RNGNCN
lll строк матрицы
(
)
f
w θ
1−
− .
В качестве переменных реакции схемы заданы входной ток
вх
i , выходной ток
вых
i и выходное напряжение
вых
u , поэтому век-
тор выходных переменных математической модели в базисе пе-
ременных состояния содержит
3
=
m
компонента:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
вых
вых
вх
u
i
i
y
.
Из схемы замещения избирательного усилителя следует, что
dt
tdu
Ctiti
C
Cвх
)(
)()(
1
11
==
. Учитывая положение переменной
)(
1
tu
C
в векторе переменных состояния
)
(
t
x
и используя уравне-
ние состояния (6.63), находим:
()
BfFCAxFCBfAxFC
dt
dx
FC
dt
dx
Ci
вхвхвхвхвх 1111
1
1
+=+=== , (6.65)
где
[]
0000001=
вх
F — вектор размерности 71)(1 ×=+
×
LNCT
ll ,
выделяющий составляющую
1C
u из вектора переменных состоя-
ния.
Для переменной
вых
i справедливо
Rнвых
ii
=
, поэтому, при-
нимая во внимание положение
Rн
i в векторе алгебраических пе-