Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Нелинейная радиофизика. Сборник задач
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме
7.3. Задачи для самостоятельного решения
80
7.3. Задачи для самостоятельного решения
7.1
В 1925 г. Бейли предложил осуществить пробой в ионосфере на высоте около 100 км при
помощи мощной вещательной радиостанции, работающей на гирочастоте электронов. Мог ли
быть реализован этот замысел, если мощность радиостанции не превышала 100 кВт? Принять,
что на высоте в 100 км частота соударений равна 10
5
с
–1
, интегральный коэффициент
поглощения K = 0,1 и 1,15 для ночного и дневного времени суток соответственно.
7.2
Оценив возмущение температуры электронов, проверить, может ли наблюдаться эффект
кросс-модуляции, если мощность радиовещательной станции составляет 150 кВт, частота
радиоволны – 100 кГц. Влиянием магнитного поля пренебречь. Принять частоту соударений
электронов, равной 10
5
с
–1
, невозмущенную температуру электронов – 300 К, относительную
долю энергии, теряемой электроном при столкновении с тяжелой частицей – 3⋅10
–3
,
интегральный коэффициент поглощения волны – 0,5 и 2,3 для ночного и дневного времени
суток соответственно.
7.3
Оценить роль эффекта самомодуляции для вещательной радиостанции мощностью 1,5
МВт. Частота излучения 500 кГц. Принять частоту соударений равной 10
5
с
–1
.
7.4
При пробое атмосферы на высоте 30 км образовалась концентрация электронов 10
22
м
–3
.
Оценить частоту радиоволны, которая еще сможет отражаться от искусственной
ионизированной области.
7.5
Параметры солнечной энергетической станции таковы: мощность – 10 ГВт, коэффициент
усиления антенны – 10
9
, частота радиоволны – 3 ГГц. Может ли СВЧ пучок произвести
заметные возмущения в максимуме ионизации (F-области ионосферы)? К чему это приведет?
7.6
Оценить эффективную площадь рассеяния при ракурсном рассеянии радиоволн частотой
30 – 300 МГц.
7.7
Исходя из выражения для глубины кросс-модуляции в ионосфере:
а) построить зависимости глубины кросс-модуляции от частот возмущающей и слабой
радиоволн;
б) оценить глубину кросс-модуляции при напряженности поля возмущающей
радиоволны, равной плазменному полю. Считать, что глубина модуляции равна 1, частота
модуляции
00
Ωδν . Рассмотреть случаи, когда
22
20
ω
ν и
22
20
ω
ν .
7.8
Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме
7.3. Задачи для самостоятельного решения
81
При ракурсном рассеянии радиоволн высота рассеивающей области равна 300 км.
Вычислить максимальную дальность радиосвязи.
7.9
Оценить частотную емкость радиодиапазонов от ОНЧ до ГВЧ и количество каналов
связи (радиотелеграф, радиовещание с AM и FM, телевидение, INTERNET) и максимальную
дальность распространения радиосигналов.
7.10
Мощность вещательного радиоцентра составляет 0,5 МВт. частота радиопередающего
устройства – 1 МГц. Оценить возможность проявления теплового механизма нелинейности и
эффектов кросс-модуляции и самомодуляции. Параметры ионосферного слоя на высоте 80 км
следующие: температура электронов – 250 К, частота соударений электронов с нейтралами –
10
6
с
–1
.
7.11
Для создания искусственного плазменного зеркала требуются два радиопередающих
устройства с импульсной мощностью 1 ГВт, длительностью импульса 10 нс, частотой
повторения импульсов 1 кГц. Оценить среднюю и потребляемую мощности, если КПД системы
составляет 20 %. Реализуема ли такая система?
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.1. Основные понятия и соотношения
82
8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОФИЗИКИ
8.1. Основные понятия и соотношения
В задачах этого раздела одновременно присутствуют две трудности – нелинейность и
стохастичность процессов. Такие процессы описываются нелинейными стохастическими
дифференциальными уравнениями (СДУ). Для их решения разработан ряд методов.
Метод усреднения точного решения СДУ применяется тогда, когда удается
аналитически решить исходное СДУ. Далее вычисляются необходимые моменты для решения
x(t). Особенно просто обстоит
дело для линейных уравнений вида:
(
)
(
)
ˆ
,Lx t t=ξ (8.1)
Где
ˆ
L
– линейный оператор,
()
t
ξ
– заданный случайный процесс. Если существует обратный
оператор
LL
1
1
=
−
, то
(
)()
1
ˆ
,
x
tLt=ξ а значит
() ()
xt L t=
,
1
ξ
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Rtt xtxt LtLt Rtt
x 12 1 2 11 22 12
,
,==
ξ
,
где
R
x
и R
ξ
– соответствующие ковариационные функции.
При решении нелинейных СДУ вида:
()
()
ˆ
,Lx f x tξ=+
(8.2)
целесообразно использовать следующие приближенные методы.
Методы линеаризации сводятся к разложению f(x) в ряды типа:
(
)
(
)
(
)
(
)
000
,fx fx f x x x
′
≈+ −
()
(
)
(
)()
,
f
xfxfxxx
′
≈+ −
т. е. линеаризации (8.2), после чего СДУ решается также, как (8.1).
Метод статистической линеаризации предполагает замену четной функции f(x) на α, а
нечетной f(x) – на βx. Константы α и β находятся из дополнительных условий. Часто,
например, можно потребовать минимизации функционалов:
() ()
()
2
Jfxα=α−
,
() ()
()
2
Jxfxβ=β−
,
откуда
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.1. Основные понятия и соотношения
83
()
(
)
2
,
x
fx
fx
x
α= β=
.
При этом для вычисления
(
)
fx
,
x
2
и
()
x
fx задаются законом распределения
плотности вероятности процесса
x(t).
Метод уравнения Дайсона для средних полезен при решении уравнений типа:
(
)
()
ˆˆ
,,Lx N x f tξ=+
(8.3)
где
()
ξ
t ,
()
ft– случайные процессы,
N
– нелинейный оператор. Сначала из (8.3) получают
уравнение для
~
x
x
x
=−. Оно имеет вид:
ˆˆˆ
Lx N N f f=−+−
(8.4)
Оператор
N
линеаризуют по
~
x
и
ξ
=ξ−ξ
и приходят к такому выражению
()
()
,,
ˆˆ
ˆˆ
,, ,
xx
NN
Nx Nx x
x
ξξ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
ξ≈ ξ+ + ξ
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ξ
⎝⎠ ⎝⎠
откуда
ˆˆ
(,) (, ).
Nx Nxξ≈ ξ При этом
()
,,
ˆˆ
ˆˆ
,(,) ,
xx
NN
Nx Nx x x
x
ξξ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
ξ− ξ≈ + ξ≡β+γξ
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ξ
⎝⎠ ⎝⎠
,,
ˆˆ
;;
xx
NN
x
ξ
ξ
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
β= γ=
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂ξ
⎝⎠ ⎝⎠
а соотношение (8.4) сводится к такому
ˆ
,.
Lx x f f f f≈β +γ ξ+ = −
Отсюда решение для
~
x
в первом приближении принимает вид:
()
(
)
(
)
1
11
ˆ
,, .
x
xL fFxf≈=γξ+≡ ξ
Зная
()
~
x
1
, можно вычислить:
()
(
)
()
1
2
ˆˆ
NNx Fx f
≈
≡+
и получить уравнение Дайсона для
x
(
)
2
ˆ
.
Lx F x f
≈
+
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.2. Примеры
84
8.2. Примеры
Пример 1
Путем усреднения точного решения нелинейной задачи вычислить
() ()
2
,At A t и
(
)
σ
A
t
2
процесса, описываемого выражением:
(
)
0
,.At Ae x ut
−ξ
=
ξ= −
Заданы следующие моменты случайного процесса
(
)
0
A
t
:
0
A
и
2
0
σ .
Решение
По определению
()
00
,A t Ae Ae
−
ξ−ξ
==
()
()
2
2
22
00
,At Ae Ae
−
ξ−ξ
==
() () ()
2
22
.
A
tAtAtσ= −
Отсюда
()
0
,At Ae
−
ξ
=
()
(
)
2
2
22
0
,
o
At A e
−ξ
=σ+
(
)
2
22
0
.
A
te
−ξ
σ=σ
Пример 2
Считая, что 1x << , и используя метод линеаризации, решить стохастическое
дифференциальное уравнение
() ( )
sh , 0 0.
dx
xt x
dt
=+ξ =
где
()
t
ξ
– заданный случайный процесс. Вычислить
()
x
t , если
(
)
t
ξ
=0.
Решение
При 1x << функция
sh
x
x≈
.Тогда
() ( )
,00.
dx
xtx
dt
−
=ξ = (8.5)
Решение соответствующего однородного уравнения
0
0
0
dx
x
dt
−
=
имеет вид:
(
)
0
.
t
x
tCe= (8.6)
Тогда решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной
постоянной, полагая ()CCt
=
. Подставим (8.6) в (8.3) и получим
()
t
dC
et
dt
=
ξ
,
откуда
(
)
(
)
.
t
t
Ct t e dt
′
−
′
′
=ξ
∫
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.2. Примеры
85
Общее решение неоднородного уравнения (8.5) имеет вид
0
() ( )
t
tt
t
x
te tedt
′
−
′
′
=ξ
∫
.
Из начального условия следует, что t
0
=0. Тогда
() ( )
0
,
t
tt
x
te tedt
′
−
′
′
=ξ
∫
() ()
0
0
t
tt
xt e te dt
′
−
′
′
=
ξ=
∫
.
Пример 3
Используя метод статистической линеаризации, решить стохастическое
дифференциальное уравнение:
() ( )
sh , 0 0
dx
xtx
dt
=
+ξ = ,
где () tξ – заданный случайный процесс. Закон распределения х – нормальный с
0x
=
и
дисперсией
2
x
σ .
Решение
Так как функция
() ()
sh
f
xx= – нечетная, то заменим f(x) на βx и потребуем
()
()
2
minfx x−β =
,
откуда
(
)
2
x
fx
x
β= .
Поскольку
22
x
x =σ , так как 0x = , остается вычислить
()
2
2
2
2
2
2
1
sh .
2
x
x
x
x
x
x
fx x xe dx e
+∞
σ
−
σ
−∞
==σ
πσ
∫
Тогда
2
1
2
x
e
σ
β=
. Далее решаем уже линеаризованное уравнение
().
dx
x
t
dt
=
β+ξ
Поскольку решение однородного уравнения имеет вид
(
)
0
,
t
x
tCe
β
=
то решение неоднородного уравнения таково:
() ( )
0
.
t
tt
t
x
te tedt
′
β−β
′
′
=ξ
∫
С учетом начального условия
t
0
=0 получаем
() ( )
0
,
t
tt
x
te tedt
′
β−β
′
′
=ξ
∫
где
2
1
exp
2
x
⎛⎞
β= σ
⎜⎟
⎝⎠
.
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.2. Примеры
86
Пример 4
Получить уравнение Дайсона для стохастического дифференциального уравнения
()
,01
dx
xx
dt
=
ξ=,
где
()
t
ξ
– случайный процесс с 0ξ= ,
(
)
(
)
2
,.
R
tt t t
ξξ
′
′
=σδ −
Решение
После усреднения исходного уравнения имеем:
.
dx
x
dt
=
ξ
Тогда для
x
xx=−
получим:
.
dx
x
x
dt
=
ξ− ξ
Линеаризуем нелинейный функционал
x
ξ
:
()
(
)
x
xx x
ξ
=+ ξ+ξ≈ξ
.
При этом
0xx xξ≈ ξ= ξ=
. Отсюда
.
dx
x
dt
=
ξ
(8.7)
Решение (8.7) имеет вид:
()
()
() ()
1
0
t
x
txtx tdtC
′
′
≡
=ξ +
∫
.
Так как
()
0xt =
, то C = 0. Тогда
() () () ()
1111
2
() ()()
0
() ( ) (, ) ( ) .
00 0
t
x
xx x x x x x tx tdt
tt t
x t tdtxRttdtx ttdt
ξ
′′
ξ≈+ ξ=ξ+ξ=ξ+ξ=ξ=ξ ξ =
∫
′′ ′′ ′′
=ξ−ξ = ξ =ασδ−
∫∫ ∫
Так как
0 tt
′
≤≤, то
2
0
() 1,
t
ttdt x x
ξ
′′
δ− =
ξ
=α σ
∫
.
Следовательно, уравнение Дайсона имеет вид:
2
dx
x
dt
ξ
≈
ασ.
Его решение дается выражением
22
() (0) .
tt
xt Ce x e
ξ
ξ
ασ ασ
==
Окончательно для
(
)
1
() ()
x
txxt≈+
получим
22
(1)
0
() (0) () (0) ( ) .
t
tt
x
txe xtxe xtdt
ξξ
ασ ασ
′
′
≈+=+ξ
∫
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.3. Задачи для самостоятельного решения
87
8.3. Задачи для самостоятельного решения
8.1
Путем усреднения точного решения нелинейной задачи вычислить ()At ,
2
()
A
t
,
2
()
A
tσ
для процесса, описываемого выражением:
a)
0
()
t
A
tAe
λ
= ,
б)
1
0
() ch , ,At A x ut
−
=
ξξ=−
в)
2
0
() ch , ,
A
tA xut
−
=
ξξ=−
г)
2
0
() , .
A
tAe xut
−ξ
=
ξ= −
Заданы следующие моменты случайного процесса
А
0
(t):
0
A и дисперсия
2
0
σ .
8.2
Считая, что
1x <<
, и используя метод линеаризации, решить стохастическое
дифференциальное уравнение:
() (), (0)=0,
dx
fx t x
dt
=+ξ
где ()
tξ – заданный случайный процесс, для случаев:
а)
(
)
x
f
xe
−
= , в)
() ( )
2
1
f
xx=+ ,
б)
(
)
sin
f
xx= , г)
()
3
1
3
x
fx
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
.
Вычислить
()
x
t
, полагая
()
0tξ=
.
8.3
Используя метод статистической линеаризации, решить стохастическое
дифференциальное уравнение:
() () ()
,00,
dx
fx t x
dt
=+ξ =
где
()
tξ – заданный случайный процесс. Принять, что:
а) () sin ,
f
xx= в)
2
() 1 ,
f
xx=+
б)
()
3
,
f
xx=
г)
(
)
cos .
f
xx=
Закон распределения
х – нормальный с 0x
=
и дисперсией
2
x
σ
.
8.4
Получить уравнение Дайсона для стохастического дифференциального уравнения:
() () ()
,00,
dx
fx t x
dt
=+ξ =
где
()
tξ – заданный случайный процесс. Принять, что:
а)
()
cos
f
xx= , в)
(
)
3
,
f
xx=
Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики
8.3. Задачи для самостоятельного решения
88
б)
()
sin
f
xx= , г)
(
)
2
1.
f
xx=+
Глава 9. Детерминированный хаос и самоорганизация. Фракталы. Автоволны
9.1. Основные понятия и соотношения
89
9. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ ХАОС
И САМООРГАНИЗАЦИЯ
9.1. Основные понятия и соотношения
Хаос может возникать в очень простых детерминированных системах, но непременно
нелинейных и динамических. Он получил название детерминированного или динамического
хаоса. Такой хаос отличается от случайного процесса. В динамическом хаосе есть гармония,
удается предсказать тип возможной структуры. Геометрическим образом хаоса являются
странные аттракторы – неустойчивые траектории в фазовом пространстве. Сечение странных
аттракторов представляет собой хаотические фигуры, являющиеся примерами фракталов.
Фракталом называется объект, обладающий свойством самоподобия и дробной
размерностью. В отличие от целочисленной (или
топологической) размерности d
T
дробную
размерность
d
H
называют хаусдорфовой. Ее можно вычислить по формуле:
(
)
(
)
()
ln
lim ,
ln 1/
n
H
n
n
Nr
d
r
→∞
= (9.1)
где
r
n
– сторона d
T
-мерного “кубика”, погруженного в d
T
-мерное пространство, N(r
n
) – число
“кубиков” в единичном объеме.
Динамический хаос и
самоорганизация – две реализации одного и того же процесса.
Порядок и хаос эквивалентны устойчивости и неустойчивости системы.
Устойчивость динамических систем удобно исследовать, переходя от
дифференциального уравнения к
точечным отображениям. Траектории в фазовом
пространстве порождают на секущей гиперплоскости точечные отображения, представляющие
собой закон соответствия между предыдущей и последующими точками пересечения. Каждая
последующая точка
x
n+1
получается путем применения к предыдущей точке x
n
, некоторого
преобразования вида
(
)
1
,
nn
xfx
+
=
λ
, (9.2)
где
λ – параметр. Так называемые неподвижные точки x
*
находятся из уравнения:
(
)
x
fx
∗
∗
= . (9.3)
Если
x
1
=x
*
, то для всех n>1 имеем x
n
=x
*
.
К отображениям также относятся преобразования следующего вида: