Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Нелинейная радиофизика. Сборник задач
Подождите немного. Документ загружается.
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.1. Основные понятия и соотношения
30
2. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
2.1. Основные понятия и соотношения
Нелинейные явления в радиофизике (электродинамике) обычно связаны со значительной
амплитудой колебаний или распространением сильных электромагнитных волн в средах. Лишь
в очень небольшом числе задач нелинейной электродинамики удается найти точное
аналитическое решение. К ним относится задача о распространении сильной плоской волны в
изотропной, недиспергирующей, недиссипативной среде. Направляя векторы E
и H
вдоль
осей y и z соответственно, запишем роторные уравнения Максвелла в виде:
HD
xt
∂∂
∂∂
−=, (2.1)
EH
xt
∂∂
∂∂
=−
, (2.2)
где () ,
a
DdDE E
E
tdEt t
∂∂ ∂
ε
∂∂ ∂
=≡
()HHE=
,
0a
εεε=
,
0
BHμ=
,
ε
– относительная
диэлектрическая проницаемость,
0
ε и
0
μ – электрическая и магнитная постоянные.
Нетривиальное решение системы существует при условии, что
0
0
1
a
dH
dE
dH
dE
ε
μ
=
,
откуда
0
0
()
E
a
E
HdE
ε
μ
=±
∫
. (2.3)
Тогда для E имеем следующее уравнение
()
0
EEE
xct
∂ε∂
∂∂
±=
,
1/2
00
()C εμ
−
= .
Решая его методом характеристик, получим:
()
ct
xCE
ε
=± + ,
где ()CE – произвольная функция. Введем функцию f , обратную функции C . Тогда
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.1. Основные понятия и соотношения
31
(,)
()
c
Ext f x t
E
ε
⎛⎞
⎟
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∓ . (2.4)
Фазовая скорость волны зависит от E :
()
()
c
uE
Eε
= . (2.5)
С этим связан эффект укручения профиля волны.
Рассмотрим далее приближенные методы нелинейной электродинамики. Они обычно
связаны с введением различных малых параметров.
Метод малых возмущений предполагает, что амплитуда волны.
E намного меньше
характерного поля
x
E , тогда малым параметром является /
x
EEμ = . Решение уравнений
нелинейной электродинамики ищут в виде ряда по степеням
.μ
Приравнивая члены при
одинаковых степенях
μ
, получают бесконечную цепочку уравнений, в которой первое
уравнение решается независимо от остальных, затем второе и т. д.
В методе медленно меняющихся амплитуд (ММА) считается, что относительные
изменения амплитуды волны на расстояниях порядка длины волны
λ (а в нестационарных
задачах и за время порядка периода поля) малы. Решение ищется в виде:
() ( )
ikx
Ex A xeμ
−
=
,
где 1,
A
A
μλ
∇
=
A
– комплексная амплитуда.
Вместо волнового уравнения получают приближенное соотношение для амплитуды A
,
которое называют укороченным уравнением. При наличии только затухания укороченное
уравнение для амплитуды имеет вид:
() 0
dA
AA
dx
α+=, (2.6)
где α – коэффициент затухания.
Метод нелинейной квазиоптики (НК) является обобщением ММА на многомерный
случай и описывает распространение пучков волн. Решение ищется в виде:
(, , ) .
ikz
EAx y zeμμμ
−
=
Для комплексной амплитуды
(,, )Ax y z
имеем следующее уравнение:
()
()
нл
2
2
A
ik A A A
xc
∂ω
ε
∂
⊥
=Δ +
, (2.7)
где
нл л
εεε=−
. Члены в правой части описывают дифракцию и нелинейную
рефракцию. Если ввести эйконал ψ и действительную амплитуду в виде:
.
ik
AAe
ψ−
=
то из (2.7) получим уравнения эйконала и переноса:
()
нл
л
2
2
2
()
2
AA
x
kA
∂ψ ε
ψ
∂ε
⊥
⊥
∇
+∇ = +
, (2.8)
2
1
0
2
A
AA
x
∂
ψψ
∂
⊥⊥ ⊥
+∇ ∇ + ∇ = . (2.9)
В методе нелинейной геометрической оптики (НГО) 0λ → , т. е. k →∞, и в правой
части уравнения (2.8) исчезает последний член. В одномерном случае и в отсутствие
поглощения уравнения НГО имеют вид:
нл
л
0
0
0
1()
;,
2
x
dA
AA
dx
ψε
ε
=
==
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.1. Основные понятия и соотношения
32
отсюда
0
() ,Ax A=
нл
л
0
1()
2
x
A
dx
ε
ψ
ε
=
∫
.
В однородной невозмущенной среде
нл
л
0
1()
2
A
x
ε
ψ
ε
=
.
Если ввести показатель преломления
нл л нл
1/2
0
()nn n εε=+ = + , то при
нл л
εε
эйконал и нелинейная добавка к фазе даются выражениями:
нл
л
0
,
x
n
dx
n
ψ =
∫
нл
с
0
.
z
ndz
ω
ϕΔ=
∫
При распространении сильных электромагнитных волн в средах возникает комплекс
явлений, объединяемых понятием самовоздействие волн. Амплитудное самовоздействие
плоских волн описывается уравнением (2.6), решение которого имеет вид:
()
0
0
0
,.
A
x
A
dA
xA A
AAα
=
=− =
∫
По определению множитель самовоздействия равен
()
()
0
0
,
kx
Ax
P
Ae
−
=
где
()
00
0
,
x
kx dxα=
∫
α
0
, k
0
– коэффициент поглощения и интегральный коэффициент
поглощения в невозмущенной среде. В линейной теории 1P = , при 1P < и 1P > имеют
место эффекты помутнения и просветления среды.
Нелинейная добавка к фазе за счет фазового самовоздействия дается выражением:
()()
0
0
,
x
nA n dx
c
ω
ϕΔ= −
∫
(2.10)
где
0
n – показатель преломления в линейной теории.
При распространении сильной и слабой (индексы 1,2) волн принцип суперпозиции
нарушается и возникает
нелинейной взаимодействие волн. Амплитудное и фазовое
взаимодействия описываются такими соотношениями:
()
1
111 1 10
0
0; ,
x
dA
AA A A
dx
α
=
+= =
()
2
212 2 20
0
0; ,
x
dA
AA A A
dx
α
=
+= =
()()
2
21 20
0
.
x
nA n dx
c
ω
ϕΔ= −
∫
Множитель амплитудного взаимодействия имеет вид:
20
2
12
20
()
,
k
Ax
P
Ae
−
=
20 20
0
.
x
kdxα=
∫
В линейной теории
12
1P = , если же
12
1P < или
12
1P > , то имеют место эффекты
помутнения и просветления среды.
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.1. Основные понятия и соотношения
33
В цилиндрической системе координат уравнение (2.8) имеет вид:
(
)
нл
л
2
2
22
() 1 1
2
AAA
xr rr
kA r
∂ψ ∂ψ ε ∂ ∂
∂∂ ε ∂
∂
⎛⎞
⎟
⎜
+=+ +
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
. (2.11)
Качественные результаты, справедливые по порядку величины, можно получить, не
решая уравнения. Для этого можно воспользоваться методом оценки производных. Покажем это
на примере уравнения (2.11). Сначала введем угол
r
∂ψ
θ
∂
=
, который образует волновой вектор
(луч) c осью x , продифференцируем (2.11) по r и получим:
нл
л
2
22
11
22
AA
xrr r rr
kA r
∂θ ∂θ ∂ ε ∂ ∂ ∂
θ
∂∂∂ε∂ ∂
∂
⎡
⎛⎞⎤
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
+= + +
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
.
Скорость изменения угла наклона луча в направлении, перпендикулярном направлению
распространения, описывается членом
r
∂θ
∂
. Полагая, что толщина пучка волн
0
r , максимальное
значение амплитуды волны на оси пучка
0
A , отклонение луча за счет дифракции
д
θ и
нелинейной рефракции
нл
θ , получим для этих случаев
днл
00
,
rr r r
∂θ θ ∂θ θ
∂∂
∼∼
.
Аналогично
2
00
22
0
0
,.
AA AA
rr
rr
∂∂
∂
∂
∼∼
Тогда “дифракционная сила” описывается выражением:
2
0
2 2 23 23
00 0
11 1AAA
rrr
kA r Akr kr
∂∂ ∂
∂∂
∂
⎡⎛⎞ ⎤
⎟
⎜
⎢⎥
+∼ ∼
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
.
Для “рефракционной силы” имеем:
нл нл
л
л0
1
rr
∂ε ε
∂ε ε
⎛⎞
⎟
⎜
∼
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
.
Тогда искривление лучей за счет дифракции и рефракции по порядку величины равны:
нл
днл
л
1/2
1/2
22
0
1
,
kr
θ
θθ
ε
⎛⎞
⎛⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
∼∼
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
⎝⎠
.
Важно, что
д
0θ > , т. е. за счет дифракции пучок волн всегда уширяется. В то же время
нл
θ может быть как положительным при
нл
0ε < (эффект дефокусировки), так и
отрицательным при
нл
0ε > (эффект фокусировки). При
днл
θθ= наступает эффект
самоканалирования
. Ширина пучка при распространении волны не изменяется, так как
дифракционное уширение в точности скомпенсировано самофокусировкой пучка. Этот эффект
наступает при условии:
нл
л
22
0
1
kr
ε
ε
∼
. (2.12)
При фокусировке фокусное расстояние
ф
нл
0
r
R
θ
≈
.
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.2. Примеры
34
2.2. Примеры
Пример 1
Считая среду изотропной, недиспергирующей и недиссипативной, получить точное
решение нелинейных уравнений электродинамики, вычислить фазовую скорость u , E , H для
()
л
4
() 1EEεεα=+
. Считать, что до падения волны на среду (т. е.
0x <
,
0t <
)
00
(0) cos ( )EEkxct=−
. (2.13)
Решение
Используя соотношения (2.3) – (2.5), получим:
()() ()
лл
1/2 1/2
23
1/2 1/2
0
00
00
()
11 11,
3
EE
a
E
HdE EdE E
εε ε
αα α
μ
αμ αμ
⎡⎤
=± =± + + =± + −
⎣⎦
∫∫
()
л
1/2
2
0
1/2
1
()
cc
uE
E
μ
α
ε
ε
−
== +
,
(,)
()
c
Ext f x t
Eε
⎛⎞
⎟
⎜
=
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎝⎠
∓ .
Вид функции f определяется с помощью начального и граничного условий. Решение
должно быть непрерывным в каждой точке среды и вне ее, поэтому
()
л
1/2
0
00
2
1/2
(,) cos
1
ct
Ext E k x
E
μ
εα
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
=−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
+
⎝⎠
.
Видно, что решение (,)Ext получено в неявной форме, фазовая скорость волны
u зависит от искомого решения. Именно в этом и состоит принципиальное отличие нелинейной
волны от линейной.
Пример 2
Решить задачу об амплитудном самовоздействии волны при виде коэффициента
поглощения
0
2
1 aA
α
α =
+
, где consta = , A – амплитуда волны. Исследовать поведение
решения в зависимости от величины и знака a . Сделать оценки эффекта при
2
0
aA
−
=
, где
0
A
– амплитуда волны на границе среды.
Решение
Укороченное уравнение для амплитуды (2.6) в данном случае имеет вид:
0
0
2
0, (0) .
1
dA A
AA
dx
aA
α
+= =
+
Такое уравнение решается методом разделения переменных:
2
0
1
.
aA
dA dx
A
α
⎛⎞
+
⎟
⎜
=−
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
Отсюда
0
,
dA
aAdA dx
A
α+=−
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.2. Примеры
35
2
000
0
ln ln ; ,
2
x
a
AA k Ck dxα+=−+ =
∫
0
2
.
aA
k
Ae Ce
−
=
С учетом граничного условия
2
0
2
0
.
aA
CAe= Тогда
22
0
0
22
0
.
aA aA
k
Ae A e e
−
=
В глубине среды
0
1k , 0A → . Поэтому
2
0
0
2
0
.
aA
k
AAee
−
≈
Отсюда множитель амплитудного самовоздействия
2
0
0
2
0
.
aA
k
A
Pe
Ae
−
==
При
0a > имеем 1P > , т. е. возникает эффект самопросветления среды, который тем
больше, чем больше
a . При 0a < множитель 1P < и величина эффекта помутнения
возрастает с ростом ||a . При 0a = множитель 1P = , т. е. распространение волны
описывается линейной теорией.
Далее оценим
P
для заданных значений
||a
.
Если
2
0
aA
−
=
, то
1/2
1.65Pe=≈ или
1/2
0.61Pe
−
=≈.
Пример 3
Вычислить множитель амплитудного взаимодействия сильной (1) и слабой (2) волн в
глубине cреды
20
2
12
20
.
k
A
Pe
A
=
Ограничиться распространением обеих волн в одном направлении. Принять
коэффициенты поглощения среды
10, 20
1,2 1,2
2
1,2 1
,const.
1
a
aA
α
α ==
+
Решение
Запишем укороченные уравнения (2.6) для волн 1 и 2 в виде
1101
110
2
11
0, (0)
1
dA A
AA
dx
aA
α
+= =
+
, (2.14)
2202
220
2
21
0, (0)
1
dA A
AA
dx
aA
α
+= =
+
. (2.15)
Разделим (2.14) на (2.15), предварительно перенеся вторые слагаемые в правую часть
уравнений, и получим
2
1101 21
2
2202
11
1
1
dA A a A
dA A
aA
α
α
+
=
+
или же
2
111102
2
1202
21
1
1
dA a A dA
AA
aA
α
α
+
=
+
.
Для интегрирования этого уравнения разложим дробь в левой части соотношения на
простые множители:
2
11 1 21 3
22
1
121 21
1
,
(1 ) 1
aA C CA C
A
AaA aA
++
=+
++
где
1
1C = ,
212
Caa=−,
3
0C = . Тогда
()
111102
12
2
1202
21
ln ,
1
dA AdA dA
aa C
AA
aA
α
α
+− = +
+
∫∫∫
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.2. Примеры
36
12 10
2
1212
220
ln ln(1 ) ln ln ,
2
aa
AaAAC
a
α
α
−
++=+
10
12
20
2
2
2
121
2
(1 )
aa
a
AaA CA
α
α
−
+=.
С учетом граничных условий
10
12
20
2
2
2
10 2 10
20
(1 )
aa
a
CAA aA
α
α
−
=+ ,
1220
20
210
10
2
2
111 2
2
10 20
210
1
.
1
aa
a
AaA A
AA
aA
α
α
α
α
−
⋅
⎛⎞
+
⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
=
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
⎝⎠
В глубине среды, где
10
1k ,
1
0A → , имеем:
1220
20
210
10
20
20
2
2
21 11
12
2
10
210
20
1
.
1
aa
a
k
k
AA aA
Pe
A
aA
Ae
α
α
α
α
−
⋅
−
⎛⎞
+⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
==
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
⎝⎠
Отсюда
1220
20
210
10
20
20
2
2
21 11
12
2
10
210
20
1
,
1
aa
a
k
k
AA aA
Pe
A
aA
Ae
α
α
α
α
−
⋅
−
⎛⎞
+⎛⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
==
⎟
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝⎠
+
⎝⎠
где
2
110
10
2
110
()
aA
k
Ax Ae e
−
≈ (см. пример 2). Тогда
2
1220 11020 20
10
20
10 10 10
22
12 2 10
(1 )
aa aA
k
k
PaAeee
ααα
ααα
−
⋅⋅−
=+ .
Так как
10 10
kxα= , то
20
10 20 20
10
kxk
α
α
α
==
и
2
1220 11020
210 10
22
12 2 10
(1 ) .
aa aA
a
PaAe
αα
αα
−
⋅⋅
=+
Исследуем предельные случаи.
1) Первая волна очень слабая, т. е.
10
0A →
. Тогда
12
1P →
и, следовательно,
взаимодействия нет.
2) Вторая волна совпадает с первой, т. е. речь идет только о самовоздействии,
12
aa= ,
10 20
αα=
и
22
110 110
0
22
12 2 10
(1 ) ,
aA aA
PaAee=+ ≡
что полностью совпадает с результатом, полученным в предыдущем примере.
3)
21
0aa>>,
12
1P > , т.е. возникает просветление среды.
4)
21
0aa<<,
12
1P < , т.е. возникает помутнение среды.
Пример 4
Получить формулу для нелинейной добавки к фазе за счет фазового самовоздействия.
Принять, что
2
102
() 1 , () (1 ).nA aA A aAαα=+ = +
Оценить величину эффекта при
1
1
o
aA
−
= ,
2
2
o
aA
−
= , где
0
A
– амплитуда волны на
границе,
2
0a > .
Решение
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.2. Примеры
37
Нелинейная добавка к фазе за счет фазового самовоздействия (2.10) имеет вид:
()
0
0
() .
x
nA n dx
c
ω
ϕΔ= −
∫
(2.16)
Укороченное уравнение для амплитуд (2.6) выглядит так:
() 0.
dA
AA
dx
α+= (2.17)
Считаем, что
0
n –показатель преломления в линейной теории – равен 1. Тогда,
подставив (2.17) в (2.16), имеем:
0
() 1
,
()
A
A
nA
dA
cAA
ω
ϕ
α
−
Δ=−
∫
где
2
102
() 1 ; () (1 ).nA aA A aAαα=+ = + Вычислим интеграл
()
0
11
02 2
2
20
02
arctg arctg .
(1 )
A
A
adA a
Aa Aa
Ca–
aA
ωω
ϕ
α
α
Δ=− = −
+
∫
Фазовый эффект максимален в глубине среды, где
0A → , здесь ϕΔ равно
1
02
20
arctg .
a
Aa
ac
ω
ϕ
α
∞
Δ≈
Добавим, что
1
0
Lα
−
≡
зат
− глубина затухания. При
1
1
o
aA
−
= ,
2
2
o
aA
−
= имеем
1
0
.
4c
ωπ
ϕα
−
∞
Δ≈±
Тогда: при
1
0a > величина
1
0
,
4c
ωπ
ϕα
−
∞
Δ≈
при
1
0a < величина
1
0
.
4c
ωπ
ϕα
−
∞
Δ≈−
В обоих случаях
1
0
0
2
.
c
ωπ
ϕα
αλ
−
∞
Δ∼ ≈ , где
λ
– длина волны. Рассмотрим предельные
случаи:
если
0
1,αλ то 2ϕπ
∞
Δ ,
если
0
1,αλ∼
то
2ϕπ
∞
Δ∼
,
если
0
1,αλ то 2ϕπ
∞
Δ .
Итак, если
Lλ
зат
, то волна затухает уже у границы среды и нелинейная добавка к
фазе ϕΔ мала; если же
Lλ ∼
зат
, то 2ϕπ
∞
Δ∼. При
Lλ
зат
волна слабо затухает и
нелинейная добавка 2ϕπ
∞
Δ ? т. е. весьма существенна.
Пример 5
Получить формулу для нелинейной добавки к фазе слабой волны (2) за счет
взаимодействия ее с сильной волной (1) и проанализировать результат в глубине среды. Обе
волны распространяются в одном направлении. Принять, что
2
211101
1 , (1 ), 0nbA aAaαα=+ = + >.
Для оценок использовать
21
10 10
,aA b A
−−
==
.
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.2. Примеры
38
Решение
Нелинейная добавка к фазе слабой волны (2.10) имеет вид:
()
2
221
0
() 1 .
x
nA dx
c
ω
ϕ
Δ= −
∫
Из укороченного уравнения для амплитуды сильной волны (2.6) следует, что
1
111
.
()
dA
dx
AAα
=−
Тогда
1
10
221
21
111
() 1
.
()
A
A
nA
dA
CAA
ω
ϕ
α
−
Δ=−
∫
С учетом заданных
21
()nA и
11
()Aα получаем
1
10
21 1
2
2
10
1
,
1
A
A
bdA
C
aA
ω
ϕ
α
Δ=−
+
∫
где
1
10
Lα
−
≡
з
ат
– глубина затухания сильной волны. Проинтегрировав по
1
A
, имеем:
()
2
2101
10
arctg arctg
b
Aa Aa
ca
ω
ϕ
α
Δ= −
.
В глубине среды, где
1
0A → , фазовый эффект максимален:
2
210
10
arctg .
b
Aa
ca
ω
ϕ
α
∞
Δ≈
Если принять для оценок
21
10 10
,aA b A
−−
==
, то
2
2
10
1
,
4c
ωπ
ϕ
α
∞
Δ≈±
Тогда для 0b > фазовый сдвиг
2
2
10
1
,
4c
ωπ
ϕ
α
∞
Δ≈
для
0b < величина
2
2
10
1
.
4c
ωπ
ϕ
α
∞
Δ≈−
В обоих случаях
2
1
210
10 10
12
, L
c
ωπ
ϕα
αλα
−
∞
Δ∼ ≈ ≡
зат
.
Отсюда можно сделать вывод, что при
Lλ
зат
сильная волна затухает уже вблизи
границы среды и нелинейная добавка к фазе за счет взаимодействия
2
2ϕπ
∞
Δ . При
Lλ ∼
зат
имеем
2
2ϕπ
∞
Δ∼, а в случае
Lλ
зат
сильная волна слабо затухает и фазовый
эффект выражен существенно:
2
2ϕπ
∞
Δ
.
Глава 2. Методы нелинейной электродинамики
2.3. Задачи для самостоятельного решения
39
2.3. Задачи для самостоятельного решения
2.1
Считая среду изотропной, недиспергирующей и недиссипативной, получить точное
решение уравнений электродинамики, вычислить u ,E и H для
222
0
0
3
0
)() (1 ), ) (1 ) .
),)()(1).
E
aE E D EdE
DE E E E
εεα α
αεεα
=+ =+
=+ = +
∫
б
вг
Считать, что до падения волны на среду (x<0, t<0)
00
(0) cos ( ).EEkxct=−
2.2
Решить задачу об амплитудном самовоздействии волны при виде коэффициента
поглощения:
0
0
00
32
),)(1),
1
),) ,
11
a б aA
aA
вг
aA aA bA
α
α= α=α +
+
αα
α= α=
+++
где А – амплитуда волны. Исследовать поведение решения в зависимости от величин и
знаков a и b. Сделать оценки эффекта при |a|=A
0
-1
, где A
0
– амплитуда волны на границе.
2.3
Вычислить множитель амплитудного взаимодействия сильной (1) и слабой (2) волн в
глубине среды:
20
22
12
220
k
‘
AA
Pe
AA
==
.
Ограничиться распространением обеих волн в одном направлении. Принять
коэффициенты поглощения среды:
10,20
1,2 1,2 10,20 1
1
10,20
2
1,2 1,2 10, 20 1 1
3
1
),)(1),
1
),)(1).
1
a б aA
aA
вгaA bA
aA
α
α= α=α +
+
α
α= α=α + +
+
2.4
Получить формулу для нелинейной добавки к фазе за счет фазового самовоздействия.
Принять, что: