Лазоренко О.В., Черногор Л.Ф. Нелинейная радиофизика. Сборник задач

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 2. Методы нелинейной электродинамики

2.3. Задачи для самостоятельного решения

102

)() 1 ; () ;

)() 1 ; () (1 );

)() 1 ; () ;

)() 1 ; () .

anA aA A

б nA aA A aA

в nA aA A

г nA aA A

=+ α =

=+ α =α +

=+ α =

Оценить величину эффекта при

|=A

–1

(варианты а, б), |a

|=A

–2

(варианты в, г),

|=A

–1

(варианты а, б, в), |a

|=A

–2

(вариант г), где A

– амплитуда волны на границе.

2.5

Получить формулу для нелинейной добавки к фазе слабой волны (2) за счет

взаимодействия ее с сильной волной (1) и проанализировать результат. Обе волны

распространяются в одном направлении. Принять следующие выражения для

и n

110 1 2 1

)(1),1,

)(1),1.

aaAnbA

б aA n bA

в aA n bA

г aA n bA

−

α=α + = +

α=α + =+

α=α + = +

α=α + =+

Для оценок использовать:

для вариантов

a) и б)

abA==

−

;

для вариантов

в) и г)

aA bA==

−−

Указание: ввести глубину затухания сильной волны в линейной теории

–1

2.6

Уравнение эйконала для осесимметричного пучка в цилиндрической системе координат

имеет вид

нл

zr kArrr

⎛⎞

∂Ψ ∂ Ψ ∂ ∂

⎛⎞

+=+ +

⎜⎟

∂∂ ε ∂ ∂

⎝⎠

Не решая уравнения, оценить углы нелинейной рефракции и дифракции, получить

условие для возникновения эффекта самоканалирования.

Глава 3. Ударные волны

3.1. Основные понятия и соотношения

3. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ

3.1. Основные понятия и соотношения

Ударные волны (УВ) – это нелинейные стационарные волны, описывающие движение

скачка какого-нибудь параметра волны или среды (плотности, давления и т. п.).

Стационарность предполагает неизменность в процессе распространения, которая возникает в

результате точной

компенсации эффектов нелинейного укручения и диссипации. Профиль

волны зависит только от “бегущей” координаты

=− , где u – скорость волны. Эталонным

уравнением, описывающим УВ, является

уравнение Бюргерса:

xxx

v+vv = v (3.1)

где

ν – коэффициент вязкости.

Пользуясь методом оценки производных, можно определить скорость

u и ширину

фронта УВ

. Переходя к ξ из (3.1), имеем:

′

′′′

−

νv+vv= v . (3.2)

Полагая, что разность скоростей v на

∞

равна v

, получим, что

000

;;.

′′′′

∼∼∼

ξξξ

vvv

vvvv

Потребуем равенства по порядку величины первого и второго членов в (3.2), что т. е.

u−∼

ξξ

откуда

∼

. Аналогично из сравнения первого и третьего членов в (3.2) получим

.u−∼ν

ξξ

Отсюда

ξ∼ .

Глава 3. Ударные волны.

3.2. Примеры

Пример 1

Ударная волна описывается уравнением Бюргерса

tx xx

νv+vv = v . Найти и

проанализировать решение, если

() ;() ;()0;

′

−∞ = +∞ = ±∞ =vvvvv причем v

Решение

Введем переменную

=−xut. Тогда

ddd

td t xdxd

dddd

xd d xd d x

∂∂ξ ∂∂ξ

′

≡= =− ≡= ==

∂ξ∂ ∂ξ∂ξ

⎛⎞ ⎛⎞

∂∂ξ∂ξ

′′

== +=

⎜⎟ ⎜⎟

∂ξ ξ∂ξ ξ∂

⎝⎠ ⎝⎠

vv vv v

vvv v

vvv

и нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

превращается в дифференциальное уравнение, но уже в обычных производных относительно

функции v(

ξ):

′′′′

−νv+vv= v

() ;() ;()0.

′

−

∞= +∞= ±∞=vvvvv

Выделим полную производную и проинтегрируем

′

−

+=ν+vv v

Используем граничные условия для определения неизвестных констант u и C:

⎧

−

⎪

⎨

⎪

−

⎪

⎩

Отсюда

();

u =+vv

C =− vv . Тогда

2()().

′

=− −vvvvv

Так как

≥≥vvv, то правая часть всегда неположительна, поэтому и 0

′

≤v . Разделив

переменные и проинтегрировав, получаем:

ln .

−ν

v-v

vv v-v

Выберая точку отсчета ξ, положим C

=0. С учетом этого:

()

−

Легко убедиться, что

−

Поэтому окончательный вид решения таков:

() , .

ξ= ξ=

−

Видно, что чем больше ν, тем более размытым будет фронт ударной волны.

Глава 3. Ударные волны.

3.2. Примеры

Пример 2

Ударная волна описывается уравнением

v+ vv = v . (3.3)

Найти и проанализировать решение, если

() ;() ; ()0.

′

−∞ = +∞ = ±∞ =vvvvv

Решение

Введем переменную

= .

utξ−

Тогда

td t

xd xd

dddd

xd d xd d x

∂∂

′

≡= =−

∂ξ∂

∂∂ξ

′

≡= ==

∂ξ∂ξ

⎛⎞ ⎛⎞

∂∂ξ∂ξ

′

== +=

⎜⎟ ⎜⎟

∂ξ ξ∂ξ ξ∂

⎝⎠ ⎝⎠

vv v

vvv

Уравнение (3.3) принимает вид

3,();();()0.u

′′′′ ′

−αν −∞= +∞=±∞=v+ vv= v v v v v v

Выделим полную производную и проинтегрируем

()

′

−+α =νvv v

.u С

′

−+α=ν+vv v

(3.3.А)

Используем граничные условия для определения неизвестных констант u и C:

⎧

−

+α =

⎪

⎨

−

+α =

⎪

⎩

Отсюда

()

2121

u =α + +vvvv;

(

)

12 1 2

C =−α +vv v v .

Тогда

112

()( )( ),

′

=− − −

vvvvvvv

где

()

(

)

()

(

)

111 12

211 12

40,

40.

=− + + + <

=− − + + >

vvvvvv

Можно заметить, что правая часть всегда меньше или равна 0, следовательно и

′

≤

, а

значит v

. Разделив переменные, проинтегрировав и положим константу интегрирования

равной нулю, выбрав соответствующим образом точки отсчета по

ξ, получаем:

()

()()

()

−

αξ

−

−−

−

vv v v

Разрешить такое уравнение относительно v(

ξ) при произвольном виде v

и v

не удается.

Положим v

>>v

. Тогда решение примет вид:

()

(

)

222

11 02 01

1 exp( 2 / ) exp( 2 / )

()

1 exp( 2 / )

+++−ξξ −ξξ−

ξ=

+−ξξ

vv v v

/2ξ=ν v .

Глава 3. Ударные волны.

3.2. Примеры

Рис.3.1. Вид решения

()ξv

На рисунке графику с более крутым

профилем соответствует меньшее

значение вязкости

Очевидно, что чем больше

ν , тем более размытым становится фронт ударной волны.

Глава 3. Ударные волны.

3.3. Задачи для самостоятельного решения

3.1

Ударная волна описывается уравнением Бюргерса:

tx xx

v+vv = v .

Найти и проанализировать решение, если граничные условия имеют вид:

)() ,()0,()0, ;

)( ) , ( ) , ( ) 0, ;

)() ,()0,()0, ;

)( ) ,( ) , ( ) 0, .

axut

б xut

в xut

г xut

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

vvv v

vvv vv

vvv v

vvv vv

3.2

Ударная волна описывается уравнением:

txxx

αν

v+ vv = v

Найти и проанализировать решение, если граничные условия имеют вид:

)( )2,( )0,( )0, ;

) ( ) , ( ) 0, ( ) 0, ;

)( )2,( )0,( )0, ;

)( ) ,( ) 0, ( ) 0, .

axut

б xut

в xut

г xut

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

vvv v

3.3

Не решая уравнения Бюргерса

tx xx

v+vv = v ,

оценить скорость и ширину фронта ударной волны, используя метод оценки производных.

Граничные условия имеют вид:

)( ) , ( ) 0, ( ) 0, ;

)( ) , ( ) , ( ) 0, ;

)( ) , ( ) 0, ( ) 0, ;

)( ) , ( ) , ( ) 0, .

axut

б xut

в xut

г xut

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

vvv v

vvv vv

vvv v

vvv vv

3.4

Найти и проанализировать решение уравнения для ударной волны с затуханием:

,0.

tx xx

+α α>v+vv = v v

Граничные условия имеют вид:

Глава 3. Ударные волны.

3.3. Задачи для самостоятельного решения

)(0) ,( )0,( )0, ;

)(0) ,( ) , ( ) 0, ;

)(0) ,( ) ,( ) 0, .

av xut

б vxut

в xut

г xut

′

=+∞=±∞=ξ=−

′

=+∞=±∞=ξ=+

′

=+∞= ±∞=ξ=−

′

=+∞= ±∞=ξ=+

vv v

vvv v

3.5

Не решая уравнения для ударных волн с затуханием:

,0.

tx xx

+γ γ>v+vv = v v

оценить глубину затухания волны

зат

и сравнить L

зат

с шириной фронта ξ

, если v=v(ξ),

v(ξ=

−

∞)=v

, v(ξ=+ ∞)=0.

3.6

Найти и проанализировать решение уравнения Бюргерса

() ,

txxx

v+ +vv = v

где

=const при

)() ,()0,()0, ;

)( ) ,( ) , ( ) 0, ;

)() ,()0,()0, ;

)( ) ,( ) , ( ) 0, .

axut

б xut

в xut

г xut

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

vvv v

vvv vv

vvv v

vvv vv

3.7

Не решая уравнения

txxx

ανv+ vv = v

оценить скорость и ширину фронта ударной волны. Граничные условия имеют вид

)() ,()0,()0, ;

)( )2,( )0,( )0, ;

) ( ) , ( ) 0, ( ) 0, ;

)( )2,( )0,( )0, .

axut

б xut

в xut

г xut

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = −

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

′

−∞ = +∞ = ±∞ = ξ = +

vvv v

Глава 4. Солитоны

4.1. Основные понятия и соотношения

4. СОЛИТОНЫ

4.1. Основные понятия и соотношения

Под классическим солитоном понимается уединенная стационарная волна, описываемая

решением уравнения

Кортевега – де Вриза (КдВ) вида:

0, const>0.

txxxx

β=v+vv + v = (4.1)

Солитон возникает в результате

компенсации нелинейного укручения профиля волны

дисперсионным расплыванием волнового пакета. Для

−

xutпри 0

ξ=±∞ ξ=±∞ ξ=±∞

′′′

===

vv v

решение (4.1) имеет вид:

(0)

() ,

ξ=

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

(4.2)

где

(0) 3 , 2 .u

=ξ=v

(4.3)

Амплитуду v(0) и ширину ξ

солитона можно оценить, используя метод оценки

производных. Для этого при помощи подстановки

−

xut

перейдем от уравнения (4.1) к

следующему соотношению:

0.u

′

′ ′′′

−

++β=vvv v

Учитывая, что

(0) (0)

′ ′′′

∼∼

ξξ

, из условий равенства первого и второго, а также

первого и третьего членов соответственно получим

(0) (0)

,(0) ;uu

∼

ξξ

(4.4)

(0) (0)

,.u

∼ξ∼

ξξ

(4.5)

Сравнение (4.4) и (4.5) с точными значениями (4.3) подтверждает реальность оценок.

В настоящее время под солитонами понимаются локализованные решения нелинейных

уравнений, удовлетворяющие определенным законам сохранения.

Глава 4. Солитоны

4.1. Основные понятия и соотношения

Солитоноподобными решениями обладает уравнение Гордона вида:

(),

xx tt

=vv v

где f(v) – нелинейная функция.

Солитон огибающей описывается нелинейным уравнением Шредингера (НуШ):

0, 0.

ξ=±∞ ξ=±∞

++β =

′

>==

vv vv

(4.6)

Его решение ищется в виде

()

(,) ( )

ixut

xt x ute

ϕ−

=−vw

Из (4.6) для w и ϕ следуют уравнения

0,u

′′′ ′

+−ϕ+β=www w

(4.7)

20.u

′

′′ ′′

−

+ϕ+ϕ=ww w (4.8)

Умножением на

20≠w из (4.8) получаем уравнение:

()

20,u

′

⎡⎤

−=

⎣⎦

откуда

(

)

2.uC

′

ϕ− =w

Ввиду произвола в выборе w и ϕ можно положить С

=0. Тогда

uCϕ= ξ+

По той же причине можно считать С

=0, и уравнение (4.7) примет вид:

⎛⎞

′′

−+β=

⎜⎟

⎝⎠

ww w w

После умножения на

′

оно легко интегрируется. В конечном итоге (4.6) оказывается

таковым:

()

(

)

()

ixut

xt e

xut

−

где

()

11 2

0112

0;2

uu u

−

⎛⎞

=ξ=−

⎡

⎤

⎜⎟

⎣

⎦

⎝⎠

Глава 4. Солитоны

4.2. Примеры

Пример 1

Найти солитоноподобное решение уравнения “синус – Гордона”:

() ()

sin ,

tt xx

′

∞= ±∞=

vv v

Решение

Введем переменную

utξ= − . Тогда

(

)

1sin.u

′′

+=vv

Домножим на

′

, выделим полную производную и проинтегрируем:

()()

()

1cos,

1cos.

′

+=−

′

+=−+

Из граничных условий следует, что С = 1. Тогда

2sin .

′

=±

Отсюда после разделения переменных и последующего интегрирования получаем:

()

4arctg ,

ξ=v

причем постоянная интегрирования полагается равной нулю в результате выбора начала

отсчета по

6.25607

0.02712

v1( )x

v2( )x

100

-100 x

Рис. 4.1. Вид решения

(

)

v .

Решение

()

v (рис. 4.1) – солитоноподобно, причем

v называют солитоном, а

−

v –

антисолитоном. Вычислим производную по

ξ:

()

ch .

−

′

ξ=±

Видно, что

()

′

ξv

описывается солитоноподобным решением (рис. 4.2).