Лабораторные работы по курсу общей физики (3-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
12
12
VV
UU
K
с
; при V
2
= 0,
66,0
56,00
09,046,0
с
K
Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров E
k
:
);1()(
)(2
22
21
21
21
c
KVV
mm
mm
92,4)44,01()056,0(
)1,1122,112(2
1,1122,112
2
Дж.
- 1 -
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Лабораторная работа № 1-4
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ
ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА»
Выполнила ст. гр. 6410
Ковальцов Д. Г.
Проверил
Романов А. Н.
Рязань 2006
- 2 -
Цель работы: определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его
масс, экспериментально проверить аддитивность момента инерции и теорему Штейнера.
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка
набор тел.
Элементы теории
Момент инерции тела является мерой его инерции при вращательном движении и зависит не
только от массы данного тела, но и от распределения данной массы относительно оси вращения.
Момент инерции материальной тачки (I) относительно некоторой оси равен:
1) I = mr
2
, где m – масса материальной точки; r – расстояние от точки до оси вращения.
В силу аддитивности момента инерции можно записать выражение:
2)
N
k
k
II
1
, где I
k
– момент инерции k-ой части вращающейся системы; N – число частей во
вращающейся системе.
Для протяженных тел момент инерции определяется, как сумма моментов инерции отдельных
элементарных объёмов (dV), на которые можно разбить данное тело и которые можно считать
материальными точками:
3)
)(
2
V
dmrI
, где dm =
dV – масса элементарного объёма;
- плотность тела в данной
точке. Для однородных тел, у которых
- const:
4)
)(
2
V
dmrI
.
Так, момент инерции однородного круглого пустотелого цилиндра или диска массой m с
внутренним радиусом R
2
относительно оси, совпадающей сего геометрической осью, расчитаный
с помощью формулы (4), равен:
5)
)(
2
2
2
2
1
RR
m
I
.
Тогда:
- для сплошного цилиндра, у которого R
1
= 0, R
2
= R.
6)
2
2
1
mRI
;
- для тонкого кольца, у которого R
1
= R
2
= R
7) I = mR
2
.
Согласно определению момента инерции одно и то же тело относительно разных осей обладает
различными моментами инерции, которые могут быть найдены по теореме Штейнера:
8) I = I
0
+ ma
2
, где I
0
–момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела;
I – момент инерции того же тела относительно оси, параллельной предыдущей и смещённой на
расстояние a от неё; m – масса тела.
В данной работе требуется определить момент инерции ненагруженной платформы и платформы
с исследуемыми телами, что позволяет найти момент инерции самих тел и провести проверку
аддитивности момента инерции, а так же убедиться в справедливости теоремы Штейнера. Для
этого в ней используется метод трифилярного подвеса.
После однократного выведения данной системы (подвеса или подвеса с грузом) из положения
устойчивого равновесия, поворотом на некоторый угол
, система начинает совершать
произвольные колебания, период которых зависит момента инерции системы, а следовательно и
от её массы. Таким образом полную механическую энергию данной системы (E) в произвольный
момент времени t (и пренебрегая трением) можно записать так:
9)
)(
2
0
2
zzMg
J
E
, где J – момент инерции системы, состоящей из платформы и
установленного на ней исследуемого твёрдого тела;
= d
/ dt – угловая скорость системы при
- 3 -
повороте её на угол
; M – масса системы (платформы с грузом или без оного). В формуле (9)
2
2
J
- кинетическая энергия вращательного движения системы,
)(
0
zzMg
- потенциальная
энергия системы. При (z – z
0
) – есть небольшая высота, на которую приподнимается система при
вращении в силу перекоса нитей на которых смонтирован трифилярный подвес (z
0
– высота
покоящейся платформы; z – высота платформы, совершающей крутильные колебания, в
произвольный момент времени).
В предоставленном после этого самому себе устройстве начнут совершаться крутильные
колебания, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы. Момент инер-
ции, а следовательно, и период колебаний будут меняться, если платформу нагружать какими-
либо телами.
Координаты точки А
1
верхнего диска в системе координат, указанной на рисунке, равны: х
1
=r;
y
1
= 0; z
1
= 0. Координаты же точки А крепления нижней платформы к нити подвеса в момент
времени, когда платформа повернулась на малый угол
, равны, соответственно,
10) x = Rcos(
); у = Rsin(
); z = z.
Расстояние между точками А и А
1
равно длине нити подвеса (l), и поскольку при колебаниях
платформы длина нитей не меняется, то в любой момент времени справедливо соотношение:
11)
2222
1
2
1
2
1
)()()( zyxzzyyxxl
.
С учетом указанных выше координат точек А и А
1
на основании (11) можно написать для
произвольного значения угла а поворота следующее выражение:
12)
22222
)(sin))cos(( zRrRl
.
Если
= 0, то
13)
2
0
22
)( zrRl
.
Здесь x = R; у = 0; z = z
0
- координаты точки А нижней платформы в момент времени, когда
= 0.
Приравнивая выражения (12) и (13) и раскрывая скобки, получаем:
14)
)]cos(1[2
2
0
2
Rrzz
Так как угол
мал, то для него можно использовать следующие соотношения:
15) sin(
)
;
16)
2/11
Используя их, из (14) для малых углов
получаем:
17)
22
0
22
0
22
0
2
]11[2)](sin11[2
RrzRrzRrzz
.
Учитывая соотношение (14), получаем:
18)
0
2
0
22
0
2z
Rr
zRrzz
;
или
19)
0
2
0
2z
Rr
zz
.
Подставив в (9) найденное значение (z
0
-z), имеем
20)
)(
2
0
2
zzMg
J
E
;
или
21)
2
0
2
22
1
z
Rr
Mg
dt
d
JE
.
Дифференцируя выражение (21) по времени и учитывая, что полная энергия системы Е с
течением времени не меняется, получаем:
- 4 -
22)
0
0
2
2
dt
d
z
Rr
Mg
dt
d
dt
d
J
.
Из последнего выражения следует:
23)
0
0
2
2
Jz
Rr
Mg
dt
d
.
Обозначив
24)
0
2
0
Jz
MgRr
,
получим
25)
0
2
0
2
2
dt
d
.
Это дифференциальное уравнение
гармонического осциллятора. Решение
уравнения (25) можно записать в виде:
26)
)cos(
000
t
, где
0
- амплитуда
колебания;
0
- циклическая частота коле-
баний.
Период колебаний равен:
27)
MgRr
Jz
T
0
0
2
2
.
Решив последнее уравнение относительно J,
получим расчетную формулу:
28)
0
2
2
4 z
MgRrT
J
.
На основании (28) по известным параметрам
установки (R, r, z
0
, М) и измеренному на
опыте периоду колебаний можно определить
момент инерции системы.
Расчётная часть
R = ; R
1
= ;
R
2
= ; r = ;
L = ; m
пл
= ;
R = ; R
1
= ;
R
2
= ; r = ;
L = ; m
пл
= ;
m
тела
= ; m
тела
= ;
№
п/п
Определение J платформы
Определение J тела
Проверка аддитивности
момента инерции
n
t, с
t, с
n
t, с
t, с
n
t, с
t, с
1
2
3
Ср.
Знач.
Рис.
- 5 -
При известном среднем арифметическом значении времени
)(t
найдём погрешность измерения
данной величины:
;
22
ссл
t
;
слcсл
t
;
)1(
)(
2
1
nn
tt
n
i
i
сл
;
2
c
k
с
;
4)1(
)(
22
2
1
2
ck
nn
tt
tt
n
i
i
c
;
22
ссл
;
123
c
k
c
с
;
12)1(
)(
22
2
1
ck
nn
tt
n
i
i
сл