Лабораторные работы по курсу общей физики (3-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
- 1 -
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Лабораторная работа № 1-18
«ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО УДАРОВ ШАРОВ»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2002
- 2 -
Цель работы: изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере
ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента
восстановления скорости и энергии деформации шаров.
Приборы и принадлежности: установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров
ФПМ-08.
Элементы теории
Удар (соударение) – это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие
длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично
переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.
В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы
F
служит её
импульс за время удара.
1)
t
tFdtF
0
, где <
F
> - средняя сила удара; t – время ударного взаимодействия.
Если импульс изменяется на конечную величину (m
V
) за время t, то из второго закона
динамики следует, что
2)
)( VmtF
.
Тогда <F> можно выразить так
3)
,
2211
t
Vm
t
Vm
F
где m
1
и m
2
– массы взаимодействующих тел; V
1
и V
2
изменение
скоростей данных тел при ударе.
Абсолютно упругий удар – это удар при котором механическая энергия тел не переходит в
другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в
потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).
Абсолютно неупругий удар – это удар при котором потенциальной энергии не возникает,
кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию. Суммарный
импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии переходит в тепло.
Линяя удара – это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и проходящая
через точку касания данных тел при ударе.
Прямой удар – есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел
параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).
Центральный удар – это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на
линии удара.
Косой удар – это удар не являющийся прямым.
В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является
изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет справедлива
следующая формула
4)
221112211
mmmm UUVV
5)
2
m
2
m
2
m
2
m
22112211
UUVV
, где m
1
и m
2
– массы шаров;
1
V
,
2
V
и
1
U
,
2
U
- их
скорости до и после взаимодействия.
Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения
1
U
и
2
U
.
6)
21
22121
1
2)(
mm
VmVmm
U
7)
21
11212
2
2)(
mm
VmVmm
U
В данном случае рассматривался – абсолютно упругий удар. Но в действительности
кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии на
величину, которую можно найти так:
- 3 -
8)
)1()(
)(2
22
21
21
21
c
KVV
mm
mm
, где K
с
– коэффициент восстановления скорости. Эта
часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.
Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:
9)
12
12
VV
UU
K
с
.
Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (K
с
= 1), то удар называется
абсолютно упругим, а при K
с
= 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < K
с
< 1, то удар является не
вполне упругим.
Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно
записать так:
10)
221112211
mmmm UUVV
, а для абсолютно неупругого удара
21
UU
.
Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:
11)
2
sin2
0
1
glV
; 12)
2
sin2
1
1
glU
; 13)
2
sin2
2
2
glU
где l – расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 10 мм.),
0
– угол
бросания правого шара,
1
и
2
– углы отскока соответствующих шаров.
Расчётная часть
№
t
i
10
-6
t
i
10
-6
(t
i
10
-6
)
2
1i
1i
2
1i
2i
2i
2
2i
1
76
-14
196
2
-0,5
0,25
12
-0,2
0,04
2
103
13
169
2
-0,5
0,25
13
0,8
0,64
3
96
6
36
3
0,5
0,25
11
-1,2
1,44
4
93
3
9
2,5
0
0
13
0,8
0,64
5
82
-8
64
3
0,5
0,25
12
-0,2
0,04
t
90
1
2,5
2
12,2
После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого шара)
0
= 15
180
15
; (массы правого и левого шаров соответственно) m
1
= 112,2 10
-3
кг, m
2
= 112,1
10
-3
кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 10
-3
м; (погрешность значения
длин бифилярных подвесов) l = 0,01 м; (цена деления микросекундометра) c
t
= 10
-6
; (цена
деления градусных шкал) c
= 0,25.
При известном среднем арифметическом значении времени
)(t
найдём погрешность измерения
данной величины:
;
22
ссл
t
;
слcсл
t
;
)1(
)(
2
1
nn
tt
n
i
i
сл
;
2
c
k
с
;
4)1(
)(
22
2
1
2
ck
nn
tt
tt
n
i
i
c
5
1212
1035,1
4
1021,1
20
1047473,7
t
с.
;
22
ссл
;
123
c
k
c
с
;
12)1(
)(
22
2
1
ck
nn
tt
n
i
i
сл
- 4 -
6
1212
1088,4
20
10474
12
1021,1
t
с.
При известных значениях
1
и
2
найдём погрешность их измерения (в радианах, при = 3,14):
3
54
1
1054,8
4
109,121,1
20
1074,173,7
рад.
3
54
1
1026,3
12
109,121,1
20
1074,1
рад.
2
54
2
1039,1
4
109,121,1
20
1088,473,7
рад.
3
54
2
1014,5
12
109,121,1
20
1088,4
рад.
;
22
0 ссл
при
сл
0;
;
2
0
c
k
c
3
3
0
104,2
2
1036,41,1
рад.
;
22
0 ссл
при
сл
0;
0
=
с
;
12
0
kc
;
3
3
0
1038,1
12
1036,41,1
рад.
Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V
1
, V
2
) и их скорости после
взаимодействия (U
1
, U
2
). При этом (скорость левого шара) V
2
= 0 т. к. он покоиться до удара.
Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, и g):
;
2
sin2
0
1
glV
;
2
sin2
1
1
glU
;
2
sin2
2
2
glU
56,0
2
15
sin47,08,92
1
V
м/с
2
;
09,0
2
5,2
sin47,08,92
1
U
м/с
2
;
46,0
2
2,12
sin47,08,92
2
U
м/с
2
;
Найдём погрешности вычисления данных скоростей.
;
2
2
d
dV
tV
c
3622
1
1075,51039,1))5,7cos(47,08,9(96,1
V
м/с.
2622
1
1037,11039,1))25,1cos(47,08,9(96,1
U
м/с.
2622
2
1016,21013,5))1,6cos(47,08,9(96,1
U
м/с.
По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что
V
1
= |U
1
- V
1
| и V
2
= |U
2
– V
2
|.
;
||
11111
1
t
VUm
t
Vm
F
93,585
109
1047,02,112
5
3
1
F
Н.
;
||
22222
2
t
VUm
t
Vm
F
96,572
109
1046,01,112
5
3
2
F
Н.
Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F
1
> и < F
2
>:
;
1
n
F
F
n
i
i
45,579
2
96,57293,585
F
Н.
- 5 -
Найдём погрешность величины < F > по формуле
;
)(
2
22
2
VU
VU
tF
(погрешность
вычисления массы пренебрежимо мала).
2
2
4262
122
1
1052,1
47,0
1037,11075,5
1088,4
F
Н.
2
2
42
122
2
107,4
46,0
1016,2
1088,4
F
Н.
2
22
1011,3
2
107,41052,1
F
Н.
Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости K
с
:
12
12
VV
UU
K
с
; при V
2
= 0,
66,0
56,00
09,046,0
с
K
Пользуясь формулой для вычисления погрешности косвенных величин
2
2
0
2
2
1
2
2
2
012
d
dK
d
dK
d
dK
tK
ссс
cс
, найдём K
с
. Для получения более точного
значения погрешности, используя формулы (11, 12, 13), сведём исходную формулу для
вычисления K
с
(9) к формуле с аргументом состоящим только из значений прямых измерений
(t,
1
,
2
).
96,1
с
K
6
2
6
2
6
2
1032,26
)5,7sin(2
))25,1sin()1,6(sin()5,7cos(
1063,10
)5,7sin(2
)25,1cos(
109,1
)5,7sin(2
)1,6cos(
= 4,6 10
-2
Теперь по формуле (8) вычислим значение энергии деформации шаров E
k
:
);1()(
)(2
22
21
21
21
c
KVV
mm
mm
92,4)44,01()056,0(
)1,1122,112(2
1,1122,112
2
Дж.
Осталось найти погрешность (E
K
). При использовании следующей формулы предполагается,
что V
1
и Kс являются прямыми измерениями.
;
2
2
2
1
2
1
c
c
с
V
с
dK
d
dV
d
E
K
= 0,17 Дж.
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Лабораторная работа № 1-18
«ИЗУЧЕНИЕ УПРУГОГО И НЕУПРУГОГО УДАРОВ ШАРОВ»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2002
Цель работы: изучение законов сохранения импульса и механической энергии на примере
ударного взаимодействия двух шаров; определение средней силы удара, коэффициента
восстановления скорости и энергии деформации шаров.
Приборы и принадлежности: установка для изучения упругого и неупругого ударов шаров
ФПМ-08.
Элементы теории
Удар (соударение) - это столкновение двух или нескольких тел, при котором взаимодействие
длиться очень короткое время. При этом часть энергии данных тел полностью или частично
переходит в потенциальную энергию упругой деформации или во внутреннюю энергию тел.
В качестве меры механического взаимодействия тел при ударе вместо ударной силы
F
служит её импульс за время удара.
1)
t
tFdtF
0
, где <
F
> - средняя сила удара; t - время ударного взаимодействия.
Если импульс изменяется на конечную величину (m
V
) за время t, то из второго закона
динамики следует, что
2)
)( VmtF
.
Тогда <F> можно выразить так
3)
,
2211
t
Vm
t
Vm
F
где m
1
и m
2
- массы взаимодействующих тел; V
1
и V
2
изменение скоростей данных тел при ударе.
Абсолютно упругий удар - это удар при котором механическая энергия тел не переходит в
другие механические виды энергии, и кинетическая энергия переходит полностью в
потенциальную энергию упругой деформации (затем обратно).
Абсолютно неупругий удар - это удар при котором потенциальной энергии не возникает,
кинетическая энергия полностью или частично переходит во внутреннюю энергию.
Суммарный импульс данной системы сохраняется, а большая часть кинетической энергии
переходит в тепло.
Линяя удара - это линия перпендикулярная поверхностям соударения обоих тел и
проходящая через точку касания данных тел при ударе.
Прямой удар - есть удар, при котором вектора скоростей движения центров масс данных тел
параллельны линии удара (перед непосредственным взаимодействием).
Центральный удар - это прямой удар, при котором центры масс соударяющихся тел лежат на
линии удара.
Косой удар - это удар не являющийся прямым.
В данном случае будем считать, что система шаров на экспериментальной установке является
изолированной. Тогда на основании законов сохранения импульса и энергии будет
справедлива следующая формула
4)
221112211
mmmm UUVV
5)
2
m
2
m
2
m
2
m
22112211
UUVV
, где m
1
и m
2
- массы шаров;
1
V
,
2
V
и
1
U
,
2
U
- их
скорости до и после взаимодействия.
Из (4) и (5) выражаем скорости шаров после столкновения
1
U
и
2
U
.
6)
21
22121
1
2)(
mm
VmVmm
U
7)
21
11212
2
2)(
mm
VmVmm
U
В данном случае рассматривался - абсолютно упругий удар. Но в действительности
кинетическая энергия тел после соударения становиться меньше их первоначальной энергии
на величину, которую можно найти так:
8)
)1()(
)(2
22
21
21
21
c
KVV
mm
mm
, где K
с
- коэффициент восстановления скорости. Эта
часть кинетической энергии тел при ударе преобразуется в их внутреннюю энергию.
Коэффициент восстановления скорости можно найти по следующей формуле:
9)
12
12
VV
UU
K
с
.
Если при соударении потеря кинетической энергии отсутствует (K
с
= 1), то удар называется
абсолютно упругим, а при K
с
= 0 абсолютно неупругим. Если же 0 < K
с
< 1, то удар является
не вполне упругим.
Применительно к соударяющимся шарам, один из которых покоится, формулу (4) можно
записать так:
10)
221112211
mmmm UUVV
, а для абсолютно неупругого удара
21
UU
.
Скорости шаров до и после удара можно определить по формулам:
11)
2
sin2
0
1
glV
; 12)
2
sin2
1
1
glU
; 13)
2
sin2
2
2
glU
где l - расстояние от точки подвеса до центра тяжести шаров (l = 470 10 мм.),
0
- угол
бросания правого шара,
1
и
2
- углы отскока соответствующих шаров.
Расчётная часть
№
t
i
1
0
-
6
t
i
10
-6
(t
i
10
-6
)
2
1i
1i
2
1i
2i
2i
2
2i
1
7
6
-14
196
2
-0,5
0,25
12
-0,2
0,04
2
1
0
3
13
169
2
-0,5
0,25
13
0,8
0,64
3
9
6
6
36
3
0,5
0,25
11
-1,2
1,44
4
9
3
3
9
2,5
0
0
13
0,8
0,64
5
8
2
-8
64
3
0,5
0,25
12
-0,2
0,04
t
90
1
2,5
2
12,2
После работы с установкой имеем значение следующих величин: (угол бросания правого
шара)
0
= 15
180
15
; (массы правого и левого шаров соответственно) m
1
= 112,2 10
-3
кг, m
2
= 112,1 10
-3
кг; (длина бифилярных подвесов обоих шаров) l = 470 10
-3
м;
(погрешность значения длин бифилярных подвесов) l = 0,01 м; (цена деления
микросекундометра) c
t
= 10
-6
; (цена деления градусных шкал) c
= 0,25.
При известном среднем арифметическом значении времени
)(t
найдём погрешность
измерения данной величины:
;
22
ссл
t
;
слcсл
t
;
)1(
)(
2
1
nn
tt
n
i
i
сл
;
2
c
k
с
;
4)1(
)(
22
2
1
2
ck
nn
tt
tt
n
i
i
c
6
1212
1087,1
4
1021,1
20
1027,873,7
t
с.
;
22
ссл
;
123
c
k
c
с
;
12
ck
)1n(n
)tt(
22
2
n
1i
i
7
1212
1017,7
12
1021,1
20
1027,8
t
с.
При известных значениях
1
и
2
найдём погрешность их измерения (в радианах, при =
3,14):
3
54
1
1054,8
4
109,121,1
20
1074,173,7
рад.
2
52
1
1095,2
12
109,121,1
20
1074,1
рад.
2
54
2
1039,1
4
109,121,1
20
1088,473,7
рад.
2
52
2
1094,4
12
109,121,1
20
1088,4
рад.
;
2
0
c
k
c
3
3
0
104,2
2
1036,41,1
рад.
;
22
0 ссл
при
сл
0;
0
=
с
;
12
0
kc
;
3
3
0
1038,1
12
1036,41,1
рад.
Теперь найдём скорости данных шаров до соударения (V
1
, V
2
) и их скорости после
взаимодействия (U
1
, U
2
). При этом (скорость левого шара) V
2
= 0 т. к. он покоиться до удара.
Значения остальных скоростей находят из следующих формул (через l, и g):
;
2
sin2
0
1
glV
;
2
sin2
1
1
glU
;
2
sin2
2
2
glU
56,0
2
15
sin47,08,92
1
V
м/с
2
;
09,0
2
5,2
sin47,08,92
1
U
м/с
2
;
46,0
2
2,12
sin47,08,92
2
U
м/с
2
;
По формуле (3) найдём (силу кратковременного взаимодействия шаров) < F >. Учитывая, что
V
1
= |U
1
- V
1
| и V
2
= |U
2
- V
2
|.
;
||
11111
1
t
VUm
t
Vm
F
93,585
109
1047,02,112
5
3
1
F
Н.
;
||
22222
2
t
VUm
t
Vm
F
96,572
109
1046,01,112
5
3
2
F
Н.
Значение силы удара шаров найдём, как действительное значение от < F
1
> и < F
2
>:
;
1
n
F
F
n
i
i
45,579
2
96,57293,585
F
Н.
Найдём погрешность величины < F > по формуле
Fc
tF
1
,
1
F
- вычислим пользуясь
формулой расчета среднеквадратичной погрешности для косвенных величин (в данном
случае < F >). Формула для вычисления < F > имеет вид < F
1
> = f(m
1
, U
1
, V
1
, t), где U
1
и V
1
- косвенные величины. Требуется свести её (пользуясь формулами 11, 12 и 13) к виду < F
1
> =
f(m
1
,
0
,
1
, t) т. к. для расчета погрешности указанным методом все аргументы заданной
функции должны быть прямыми измерениями (m
1
,
0
,
1
, t - это прямые измерения). Теперь
< F
1
> найдём так:
2
2
0
2
2
1
2
2
1
01
d
dF
d
dF
dt
dF
tF
tc
, величина m
1
не включена в формулу т. к. в
данном случае она не имеет среднеквадратичной погрешности
m
.
;
|)
2
sin()
2
sin(|2
1
0
1
1
t
glm
F
2
2
0
1
2
2
1
1
2
2
2
0
1
1
1
01
)
2
cos()
2
cos(|)
2
sin()
2
sin(|2
t
glm
t
glm
t
glm
tF
tc
23
2
5
22
2
5
26
2
10
1
)1038,1(
109
82,238
)1095,2(
109
23,241
)1087,1(
1081
1,53
96,1F
Далее по формуле (9) найдём коэффициент восстановления скорости K
с
: