Лабораторные работы по курсу общей физики (3-я Редакция 2012 г.)
Подождите немного. Документ загружается.
- 2 -
Цель работы: Изучение динамики поступательного движения тела в поле сил земного
тяготения, определение ускорения свободного падения.
Приборы и принадлежности: машина Атвуда со встроенным миллисекундомером,
набор грузов и перегрузков.
Элементы теории
Машина Атвуда используется для изучения законов динамики движения тел в поле земного
тяготения. Принцип работы машины Атвуда таков: если на концах нити висят грузы А и Б
одинаковой массы, то система должна находиться в положении безразличного равновесия.
Когда на один из грузов (массой М) кладут Масса перегрузка (массой m), то система
выходит из положения безразличного равновесия и грузы А и Б начинают двигаться
равноускоренно.
Вначале запишем второй закон Ньютона для обоих грузов, предполагая, что нить с блоком
не весомы, сила трения мала и нить не растяжима (T
1
= T
1
).
1)
;
;)()(
2
1
MaTMg
amMTgmM
Где g - ускорение свободного падения, a - ускорение грузов, а T
1
и T
2
- сила натяжения
нити.
Выразим из данной системы ускорение a.
2)
;
2Mm
mg
a
Проверим равноускоренный характер движения грузов, экспериментально получая
значения пути данных грузов S (для обоих грузов он одинаков) и время движения t.
3)
;
2
;
2
2
2
t
S
a
at
S
э
Где a
i
- экспериментальное ускорение полученное из формулы (3).
Подставляя a
i
в (2) получаем следующую формулу.
4)
;
2
э
a
m
mM
g
Для вычисления ускорения свободного падения g формула (4) в данном случае
использоваться не будет (из-за приблизительности расчётов по ней). Для получения более
точного значения g, силу трения нити о блок - F
тр
и момент инерции блока - J
б
необходимо
учесть (T
1
T
2
). Рассмотрим получения вышеописанных формул с учётом новых величин.
Вычислим g из закона динамики для вращательного движения тела (в данном случае
блока).
5)
n
i
i
JM
1
;
Где
n
i
i
M
1
- сумма проекций на ось Z всех сил, действующих на вращающиеся тело;
- его
угловое ускорение; J - момент инерции.
6)
;)(
21
r
a
JMrTT
бтр
При
;
r
a
Где r - радиус блока, J
б
- момент инерции блока.
Перепишем систему (1) выражая (T
1
– T
2
).
7)
;
2
r
a
JMa
m
mM
gmr
бтр
Выразив a, получим
;
)2(
r
J
mMr
Mmgr
a
б
тр
Учтём данные массу блока M
б
и силу трения F
тр
.
- 3 -
8)
;;
2
r
M
F
r
J
M
тр
тр
б
б
Выразив из формул (8) J
б
и M
тр
, формулу (7) запишем так.
9)
;)2(
трб
FamMMmg
Выразим g.
Пусть a
эi
и a
эj
- экспериментальные ускорения перегрузков мессами m
i
и m
j
соответственно.
Тогда из (9) можно получить такую систему
10)
;)2(
;)2(
трэjjбэj
трэiiбэi
FamMMgm
FamMMgm
Где g
э
- экспериментальное значение ускорения свободного падения.
Выразив его из данной системы получим
11)
;
)2()2(
ji
эjjбэiiб
э
mm
amMMamMM
g
По данной формуле и будет вычисляться ускорение свободного падения (g
э
), теперь
запишем формулу для нахождения погрешности измерения величины ускорения
свободного падения
эk
g
.
12)
;
||
)2()2(
ii
эjjбэiiб
эk
mm
amMMamMM
g
Где k – число различных пар перегрузков.
Расчётная часть
№
Физические величины
m, кг
S, м
t, с
1
Масса перегрузка №1 (m
1
)
1,61 10
-3
0,25
2,67
2
1,61 10
-3
0,25
3,01
3
1,61 10
-3
0,25
2,99
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,25
2,89
S
11
= 0,25 + 0,05 = 0,3; t
11
= 2,89 + 0,47 = 3,36
4
Масса перегрузка №1 (m
1
)
1,61 10
-3
0,2
2,33
5
1,61 10
-3
0,2
2,32
6
1,61 10
-3
0,2
2,31
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,2
2,32
S
13
= 0,2 + 0,05 = 0,25; t
12
= 2,32 + 0,02 = 2,34
7
Масса перегрузка №1 (m
1
)
1,61 10
-3
0,15
2,02
8
1,61 10
-3
0,15
1,96
9
1,61 10
-3
0,15
2,11
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,15
2,03
S
12
= 0,15 + 0,05 = 0,2; t
13
= 2,03 + 0,19 = 2,22
10
Масса перегрузка №2 (m
2
)
2,61 10
-3
0,25
1,93
11
2,61 10
-3
0,25
1,96
12
2,61 10
-3
0,25
1,92
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,25
1,94
S
21
= 0,25 + 0,05 = 0,3; t
21
= 1,94 + 0,05 = 1,99
13
Масса перегрузка №2 (m
2
)
2,61 10
-3
0,2
1,77
14
2,61 10
-3
0,2
1,74
15
2,61 10
-3
0,2
1,76
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,2
1,76
S
23
= 0,2 + 0,05 = 0,25; t
22
= 1,76 + 0,04 = 1,8
16
Масса перегрузка №2 (m
2
)
2,61 10
-3
0,15
1,49
17
2,61 10
-3
0,15
1,44
18
2,61 10
-3
0,15
1,46
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,15
1,46
S
22
= 0,15 + 0,05 = 0,2; t
23
= 1,46 + 0,06 = 1,52
- 4 -
19
Масса перегрузка №3 (m
3
)
4,23 10
-3
0,25
1,43
20
4,23 10
-3
0,25
1,48
21
4,23 10
-3
0,25
1,45
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,25
1,45
S
31
= 0,25 + 0,05 = 0,3; t
31
= 1,45 + 0,06 = 1,51
22
Масса перегрузка №3 (m
3
)
4,23 10
-3
0,2
1,31
23
4,23 10
-3
0,2
1,32
24
4,23 10
-3
0,2
1,30
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,2
1,31
S
33
= 0,2 + 0,05 = 0,25 t
32
= 1,31 + 0,02 = 1,33
25
Масса перегрузка №3 (m
3
)
4,23 10
-3
0,15
1,18
26
4,23 10
-3
0,15
1,16
27
4,23 10
-3
0,15
1,14
Средние арифметические значения измеряемых величин (S, t)
0,15
1,16
S
32
= 0,15 + 0,05 = 0,2; t
33
= 1,16 + 0,05 = 1,21
Найдём средние арифметические измеренных величин
ij
S
и
ij
t
.
Значения
ij
S
найдём по следующей формуле:
;
n
S
S
ij
ij
ij
Значения
ij
t
найдём по аналогичной формулы:
;
n
t
t
ij
ij
ij
Данные значения подсчитаны и занесены в таблицу для каждого значения пути грузов S
j
и
их масс m
i
. Теперь подсчитаем погрешность S
ij
.
;
Sc
tS
;
22
SсисSслSсисS
т. к.
;0
Sсл
;
3
с
сис
;
3
kс
Sсис
;kcc
k = 1,1; P = 0,95; t
c
= 1,96; c = 10
-3
(м);
;
33
2
kc
t
kc
tS
ccij
05,0
3
101,1
96,1
3
ij
S
(м).
Данное значение S
ij
является постоянным для всех измеренных значений масс грузов и
измеренных значений пути. Теперь найдём погрешность t
ij
.
;
tc
tt
;
22
tслtслtсисt
t
c
= 4,30;
0
tсис
;
;
)1(
)(
2
nn
tt
i
i
tсл
;
)1(
)(
2
nn
tt
ttt
i
i
сtслc
При i – номер перегрузка, а j – номер пути ( S
1
, S
2
или S
3
) соответственно номеру j.
Учитывая, что: S
1
= 0,25, S
2
= 0,2 и S
3
= 0,15.
t
11
= 0,47 с. t
21
= 0,05 с. t
13
= 0,06 с.
t
12
= 0,02 с. t
22
= 0,04 с. t
13
= 0,03 с.
t
13
= 0,19 с. t
23
= 0,09 с. t
13
= 0,05 с.
Далее изобразим на координатной плоскости графики зависимости
ij
S
от
ij
t
. По одному
графику для каждого значения массы перегрузков и для каждого значения пути.
- 5 -
При данных угловых коэффициентах можно найти ускорение i – ого тела в j – ой серии.
a
ij
= 2k
ij
;
a
11
= 2 0,03 = 0,06;
a
21
= 2 0,066 = 0,132;
a
31
= 2 0,119 = 0,238;
a
12
= 2 0,037 = 0,074; a
22
= 2 0,064 = 0,128; a
32
= 2 0,116 = 0,232;
a
13
= 2 0,036 = 0,072; a
23
= 2 0,070 = 0,14; a
33
= 2 0,111 = 0,222;
Для нахождения ускорения тела i – ой массы возьмём действительные значения ускорений
для каждой (j – ой) серии замеров.
;
n
a
a
ij
ij
ij
a
э1
= 0,07; a
э2
= 0,13; a
э3
= 0,23;
Теперь найдём погрешность a
эi
. В данном случае a
эi
будет найдена, по формуле
нахождения погрешности для величины полученной прямыми измерениями. Следовательно
будут использоваться следующие выражения:
;
acэi
ta
;
22
aслaслaсисa
t
c
= 4,30;
0
aсис
;
;
)1(
)(
2
nn
aa
i
i
aсл
;
)1(
)(
2
nn
aa
tta
i
i
сaслcэi
;03,0
6
104106,110
30,4
654
1
э
a
;02,0
6
10104104
30,4
466
2
э
a
;02,0
6
104,6104104,6
30,4
565
3
э
a
Долее по формуле (12) подсчитаем примерное значение g
эk
.
y = 0,03x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
11
S
= 0,25 (м);
2
11
t
= 8,35 (с)
y = 0,036x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
13
S
= 0,15 (м);
2
13
t
= 4,12 (с)
y = 0,119x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
31
S
= 0,25 (м);
2
31
t
= 2,10 (с)
12
S
= 0,20 (м);
2
12
t
= 5,38 (с)
y = 0,037x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
21
S
= 0,25 (м);
2
21
t
= 3,76 (с)
y = 0,066x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
22
S
= 0,15 (м);
2
22
t
= 2,13 (с)
y = 0,070x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
23
S
= 0,20 (м);
2
23
t
= 3,10 (с)
y = 0,064x
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
y = 0,111x
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,00
0,50
1,00
1,50
32
S
= 0,15 (м);
2
32
t
= 1,35 (с)
y = 0,116x
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
33
S
= 0,20 (м);
2
33
t
= 1,72 (с)
- 6 -
;72,7
1001,1
02,0)1061,2154,0(03,0)106,1154,0(
3
33
12
э
g
;89,3
1062,1
02,0)1023,4154,0(02,0)1061,2154,0(
3
33
23
э
g
;98,2
1063,2
02,0)1023,4154,0(03,0)106,1154,0(
3
33
31
э
g
Само значение
эk
g
найдём, как действительное значение величин
2312
,
ээ
gg
и
31э
g
.
;
n
g
g
ij
ij
эk
;86,4
3
98,289,372,7
эk
g
Подсчитаем g
э
по формуле (11).
;94,30
1001,1
13,0)1061,2154,0(07,0)106,1154,0(
3
33
12
э
g
;03,35
1062,1
23,0)1023,4154,0(13,0)1061,2154,0(
3
33
23
э
g
;98,17
1063,2
23,0)1023,4154,0(07,0)106,1154,0(
3
33
31
э
g
;
n
g
g
ij
ij
эk
;98,27
3
98,1703,3594,30
эk
g
- 1 -
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
Лабораторная работа № 1-17
«ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ
МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА»
Выполнил ст. гр. 255
Ампилогов Н. В.
Проверил
Малютин А. Е.
Рязань 2002
- 2 -
Цель работы: Изучение законов вращательного движения, экспериментальное
определение моментов инерции сменных колец с помощью маятника Максвелла.
Приборы и принадлежности: установка с маятником Максвелла со встроенным
миллисекундомером, набор сменных колец.
Элементы теории
Прибор с маятником Максвелла (и встроенным миллисекундомером)
используется для изучения законов вращательного движения. По данным, которые
снимаются с прибора, можно определить моменты инерции вращающихся (на установке)
тел. На вертикальной стойке основания (с нанесённой на ней миллиметровой шкалой)
крепятся два кронштейна. Верхний кронштейн электромагнитом и устройством
регулировки бифилярного подвеса (на котором крепиться сам маятник). С помощью
электромагнитов маятник со сменными кольцами фиксируется в верхнем исходом
положении.
В нижний кронштейн вмонтирован фотоэлектрический датчик. Данный
фотодатчик связан с миллисекундометром. Сам нижний кронштейн подвижен.
Введём условные обозначения: m
1
- масса стержня с насаженным на него диском;
d - диаметр стержня; D
1
, D
2
- внутренний и внешний диаметры сменных колец
соответственно; J
1
- момент инерции стержня с диском относительно оси О; J -момент
инерции сменного кольца относительно той же оси; m
- суммарная масса маятника со
сменным кольцом; J
- суммарный момент инерции маятника со сменным кольцом
относительно оси О.
Когда маятник находиться в верхнем положении, он обладает потенциальной
энергией.
1)
;ghmU
При движении маятника происходит преобразование энергии в кинетическую.
Кинетическую энергию маятника, когда он находиться в нижнем положении можно
записать так.
2)
;
22
22
JVm
K
Где V
2
- поступательная скорость движения центра маятника;
- угловая скорость
вращения маятника.
Учитывая закон сохранения энергии
3)
;
22
22
JVm
ghm
При
2
d
V
, получим:
4)
;
2
2
22
d
Jm
V
ghm
Если маятник опустился на расстояние h за время t, то исходя из кинематических
соотношений для равноускоренного движения можно записать следующую формулу.
5)
;
4
2
2
2
t
h
V
Выразим J
из (4) и (5).
6)
;1
24
2
2
h
gt
dm
J
Учтя J
= J
1
+ J
2
, формулу (6) можно записать так.
- 3 -
7)
;1
24
1
2
2
J
h
gt
dm
J
Таким образом, измеряя t, h и J
1
, можно найти момент инерции J
сменного кольца.
Расчётная часть
m
2,
кг
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
, с
0,20
t
1
, с
2,18
2,11
2,12
2,11
2,16
2,09
2,05
2,06
2,33
2,38
2,16
0,31
t
2
, с
2,27
2,48
2,28
2,50
2,29
2,37
2,39
2,32
2,33
2,53
2,38
0,41
t
3
, с
2,48
2,45
2,35
2,33
2,31
2,52
2,37
2,52
2,34
2,51
2,42
Для удобства введём обозначение i – ой величины, для вычисления некоторых величин
для i – ого кольца.
Сняв измерения с установки, имеем значения следующих величин: D
1
= 910
-2
м.; D
2
= 1310
-2
м.;
(длина хода маятника) h = 0,34 м. при данной погрешности h = 210
-3
м.;
m
1
= 0,134 кг.; m
= 10
-3
кг.; d = 10
-2
м.; J
1
= (1,1 0,1)10
-4
кгм
2
.; t
сист
= 5
10
-3
с.;
действительные значения времени
)t(
i
соответственно серии замеров для каждого из
колец (занесены в таблицу).
Найдём погрешность измерения времени (t).
;)()(
22
систсл
ttt
При
;
)1(
)(
1
2
NN
tt
tt
N
i
i
cсл
где t
с
= 2,26
90
1084,41089,2101021,1109,4105,2106,1105,2104
26,2
222233334
11сл
t
= 0,08 с.
90
1084,41089,2101021,1109,4105,2106,1105,2104
26,2
221233334
21сл
t
= 0,07 с.
90
1084,41089,2101021,1109,4105,2106,1105,2104
26,2
221233334
31сл
t
= 0,06 с.
Представим t
сл
, как действительное значение
)(
слсл
tt
и найдём его по данной
формуле от t
1сл
, t
2сл
и t
3сл
.
;
1
n
t
t
n
i
iсл
сл
07,0
3
06,007,008,0
сл
t
с.;
;)()(
22
систсл
ttt
07,0105,2109,4
53
t
с.;
Далее вычислим моменты инерции J каждого из сменных колец по формуле (7).
;1
24
1
2
2
J
h
gtdm
J
ii
i
21 ii
mmm
44
4
1
1044,410 1,11
34,02
67,48,9
4
10334,0
J
кгм
2
.
- 4 -
44
4
2
1084,710 1,11
34,02
66,58,9
4
10444,0
J
кгм
2
.
34
4
3
1002,110 1,11
34,02
86,58,9
4
10544,0
J
кгм
2
.
Оценим погрешность найденных значений J
i
, используя следующую формулу.
;)()(
2
1
2
JJJ
ii
при J
1
= 10
-5
кгм
2
.
Учтём, что
;
2
2
2
2
2
2
h
h
t
t
d
d
m
m
JJ
i
i
i
ii
;)(
22
2
1
2
2
2
2
2
J
h
h
t
t
d
d
m
m
JJ
ii
ii
Где J
вычисляется по формуле (6). Учтём, что
2
c
d
, при c – цена деления прибора
которым измерялась величина d.
;1
24
22
h
gtdm
J
ii
i
J
1
= J
0
(для погрешности момента инерции маятника без кольца)
;)(
22
1
24
2
0
2
2
2
2
2
22
J
h
h
t
t
d
d
m
m
h
gtdm
J
ii
ii
i
25
2
3
2
2
2
5
2
3
2
4
1
)10(
34,0
102
16,2
10
01,0
104
334,0
10
1
34,02
67,48,9
4
10334,0
J
= 1,1210
-5
кгм
2
.
25
2
3
2
2
2
5
2
3
2
4
2
)10(
34,0
102
38,2
10
01,0
104
444,0
10
1
34,02
66,58,9
4
10444,0
J
= 1,2610
-5
кгм
2
.
25
2
3
2
2
2
5
2
3
2
4
3
)10(
34,0
102
42,2
10
01,0
104
544,0
10
1
34,02
86,58,9
4
10544,0
J
= 1,3810
-5
кгм
2
.
Теперь рассчитаем моменты инерции сменных колец по следующей формуле.
);(
8
2
2
2
1
2
DD
m
J
i
iтеор
422
1
1025,6)09,013,0(
8
2,0
теор
J
кгм
2
.
422
2
1069,9)09,013,0(
8
31,0
теор
J
кгм
2
.
322
3
1028,1)09,013,0(
8
41,0
теор
J
кгм
2
.
Вычислим для каждого кольца погрешность моментов инерции (J
iтеор
), найденные по
пред идущей формуле.
- 5 -
;
)(4
2
2
2
1
2
2
DD
D
m
m
JJ
i
iтеорiтеор
При
2
c
D
.
5
22
5
2
3
4
1
1054,3
13,009,0
108
334,0
10
)1025,6(
теор
J
кгм
2
.
5
22
5
2
3
4
2
1049,5
13,009,0
108
444,0
10
)1069,9(
теор
J
кгм
2
.
5
22
5
2
3
3
3
101,9
13,009,0
108
544,0
10
)1028,1(
теор
J
кгм
2
.
m
2
, кг
J
эксп
,
кгм
2
J
теор
,
кгм
2
0,2
4,4410
-4
1,1210
-5
6,2510
-4
3,5410
-5
0,31
7,8410
-4
1,2610
-5
9,6910
-4
5,4910
-5
0,41
1,0210
-3
1,3810
-5
1,2810
-3
9,110
-5