Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.

Что бы принять или отвергнуть гипотезу задаются уров-

нем значимости

(обычно одним из значений: 0,05;0,1;0,01).

Уровню значимости соответствует некая доверительная ве-

роятность

()

p−

. По

, используя гипотезу о распреде-

лении оценки

, находятся доверительные границы

−

, которые составляют критические значения гипотезы.

Значения

больше чем

−

и меньше

образуют «кри-

тическую область». Если найденное при выборке значение

попадает в интервал от

до

−

, то гипотеза допускает

такое значение в качестве случайного и поэтому нет основа-

ния ее отвергать. Если же найденное значение

попадает в

критическую область, то по гипотезе оно является практиче-

ски невозможным. Но так как оно появилось, то отвергается

сама гипотеза.

3.6. Оценка математического ожидания нормально

распределенной случайной величины

При отсутствии грубых и систематических ошибок мате-

матическое ожидание случайной величины совпадет с истин-

ным результатом наблюдений.

Если не известна дисперсия генеральной совокупности

, то используют выборочную дисперсию

. Ошибка от

замены тем меньше, чем больше объем выборки

. На прак-

тике эту погрешность не учитывают при

50≥n

При небольших объемах выборки для построения дове-

рительного интервала математического ожидания использу-

ют распределение Стьюдента

−

Если дисперсия

и среднее

определены по одной и

то же выборке, то число степеней свободы плотности вероят-

ности

()

распределения Стьюдента равно

(

)

1−

Распределение Стьюдента зависит только от числа сте-

пеней свободы, с которым определяется выборочная диспер-

сия

. При числе степеней свободы стремящемся к беско-

нечности

∞→f

, выборочная дисперсия стремится к дис-

персии генеральной совокупности

→

и распределение

Стьюдента сближается с нормальным.

Вероятность того, что случайная величина попадет в ин-

тервал

(

)

212

;

−

, определяется выражением:

(

)

−

≤

−

ptttP

212

Доверительные оценки для математического ожидания

составляют:

−

±≤

3.7. Сравнение двух дисперсий

При сравнении двух дисперсий проверяется гипотеза: яв-

ляются ли сравниваемые выборочные дисперсии оценками

одной и той же генеральной дисперсии?

Пусть имеются две выборки случайной величины

объ-

ёмами соответственно

,,......,...,,

1321 ni

xxxxx

′

′′′′

,,.....,...,,

2321 nj

xxxxx

′

′′′′′′

′

Средние значения каждой выборки равны

. Вы-

борочные дисперсии:

)(

−=→

−

′

∑

;

)(

−=→

−

′′

∑

Необходимо определить, являются ли выборочные дис-

персии

значимо различными или же их можно рас-

сматривать как взятые из генеральных совокупностей с рав-

ными дисперсиями.

Предположим, что первая выборка сделана из генераль-

ной совокупности с дисперсией

, а вторая с

. Проверя-

ется гипотеза о том, что различие между

случай-

ное, и дисперсии равны между собой

. Такая гипоте-

за называется «нуль - гипотезой» - Н

Что бы отвергнуть эту гипотезу необходимо доказать

значимость различия

при выбранном уровне значи-

мости

. В качестве критерия значимости используется кри-

терий Фишера -

Распределение Фишера зависит от числа степеней свобо-

ды, с которыми определяются выборочные дисперсии -

В Н

-нулевой гипотезе

σσ

, и следова-

тельно:

SSF =

;

При доверительной вероятности

(

)

−

доверитель-

ная оценка величины

имеет вид:

() ()

2;1,212;1,2 ffpffp

FFF

−

≤

или

()

2;1,1

1 ffpxx

FSS

−

≤

;

()

2;1,1

ffpxx

FSS

−

≥

Если полученное дисперсионное отношение попадает в

критическую область, то различие между дисперсиями надо

считать значимым.

4. Метрологические проблемы анализа и

моделирования в технических задачах

Математическое моделирование системы возможно, если

значения выхода

будет измерено или хотя бы количест-

венно упорядоченно.

Измерение - познавательный процесс, в котором на осно-

ве эксперимента получается информация о численном значе-

нии изучаемой величины. При этом сравнение одной величи-

ны

с другой однородной величиной

приводит к резуль-

тату:

Если свойства явления таковы, что к нему применимы

понятия «больше или меньше», то такие свойства называются

интенсивностями. Если большей интенсивности поставить в

соответствие большее число, то установление таких правил

ведет к количественному упорядочению. И соответственно

оно переходит в измерение, если выполняется условие о ра-

венстве промежутков между последовательными интенсив-

ностями.

Система чисел или иных элементов, принятая для оценки

измерения величин, называется шкалой. Шкалы делятся на:

номинальные (классификационные), порядковые (ранговые)

и количественные (метрические).

Простейшие - номинальные шкалы, допускают только

взаимно-однозначные преобразования. Они позволяют разде-

лить объекты на классы без указания их взаимного порядка.

Например, классификация специальностей в ВУЗе - 2901,

2903, 2908. При этом название

заменяется кодом.

Порядковые шкалы - упорядочивают объекты в опреде-

ленной последовательности, однако без четкой единицы из-

мерения. К ним можно отнести шкалы педагогических оце-

нок, баллы, выставляемые за выступления в некоторых видах

спортивных состязаний (гимнастика, фигурное катание) и

т.д. Порядковые шкалы не дают возможность установить

точные количественные соотношения между элементами, но

числовые оценки

по этим шкалам можно использовать для

математического моделирования и даже для оптимизации

объекта.

Количественные или метрические шкалы предполагают

наличие эталонного единичного объекта, в качестве базы для

сравнения явлений между собой и наиболее полно соответст-

вуют процессу измерения.

Результаты измерения

содержат погрешности- ошибки

измерения, которые возникают по различным причинам.

Ошибку измерения

можно представить как разность

между истинным

и измеренным

значением величины:

ми

YYy

−

Ошибки измерения классифицируют на пять групп [1]:

1. Ошибки объекта исследования - изменением объекта

во времени, его неоднородность в пространстве, влия-

ние процесса измерения на состояние объекта.

2. Ошибки оператора, связанные с уровнем его квалифи-

кации и психофизиологическим состоянием (болезнь,

усталость, реакция на раздражители).

3. Инструментальные ошибки, связанные с погрешно-

стью измерительных приборов.

4. Методические ошибки - связанные с неправильными

или упрощенными представлениями о закономерно-

стях процесса, со степенью разработки методики про-

ведения измерительных операций.

Ошибки, возникающие от влияния внешней среды на

объект.

Совокупность ошибок составляет погрешность измере-

ния

hΔ

, которую можно условно разделить на две части: сис-

тематическую

()

и случайную

(

)

Систематическая погрешность - определяется ошибками,

величина которых во всех измерениях, проводящихся одним

и тем же методом с помощью одних и тех же приборов, оди-

накова или изменяется по некоторому детерминированному

(т.е. одной и той же причине вызывающее одно и тоже след-

ствие) закону.

Знание источника возникновения ошибки и закона

() ()

xfyh =

позволяет устранить систематическую ошибку.

Случайные ошибки

(

)

- величина которых, во всех

измерениях, проводящихся одним и тем же методом с помо-

щью одних и тех же приборов, изменяется, причем вероят-

ность появления ошибки

(

)

меньше некоторой величины

()

подчиняется соответствующему закону распределения:

(

)

(

)

≤

Ошибка

()

отражает объективный закон действитель-

ности и связана с воздействием на измеряемый параметр всех

неучтенных факторов. Часто принимается гипотеза о том, что

случайные ошибки независимых измерений подчиняются

нормальному закону распределения.

Иногда различают и грубые ошибки, являющиеся след-

ствием нарушения условий измерения. Они, как правило, ис-

ключаются из рассмотрения (см.п.2.3.3.)

Оценка

истинного значения измеряемой величины всегда

связана с определением ошибки измерения. Даже если изме-

ряемая величина

не является случайной, то наличие в из-

меренном показателе случайной составляющей переводит ее

в категорию случайных величин. Поэтому для оценки значе-

ния

применимы все положения из математической стати-

стики.

Любая физическая величина

имеет свое истинное зна-

чение

, хотя оно и неизвестное наблюдателю. На числовой

оси

занимает определенное место. Если измеряемое зна-

чение величины

составит величину

с некоторой по-

грешностью

, то измерение можно считать удовлетвори-

тельным, если истинное значение

покрывается интервалом

()

xaxa

+− ;

Однако надо иметь ввиду, что местоположение измеряе-

мой величины

на числовой оси тоже носит случайный ха-

рактер и подчиняется соответствующему закону распределе-

ния. Следовательно, утверждение о покрытии измеряемым

интервалом истинного значения

также носит случайный

характер, вероятность которого соответствует доверительной

вероятности

. Таким образом, ситуация с измерением мо-

жет рассматриваться, как типичная задача проверки стати-

стических гипотез.

Обычно принимается (если нет веских оснований для

противоположного суждения), что ошибки измерения под-

чиняются нормальному распределению и вероятность

по-

крытия точки истинного значения

случайным

интервалом

()

xaxa

+− ;

равна площади под кривой плот-

ности распределения между точками границ интервала

Вероятность того, что случайный интервал полностью

окажется либо правее, либо левее значения

составляет по

. Вероятность

- это вероятность ошибки первого рода

при формулировании нуль-гипотезы: точка

находится вне

- интервала. Поэтому в соответствии с правилом проверки

статистических гипотез, задается доверительная вероятность,

с которой готовы принять гипотезу о накрытии неизвестного

значения измеряемой величины некоторым доверительным

интервалом. Серединой доверительного интервала служит

измеренное значение

, а его ширина зависит от выбранной

вероятности ошибки первого рода (или, что эквивалентно - от

доверительной вероятности).

Ширина доверительного интервала вычисляется по рас-

пределению плотности вероятности. Уже отмечалось, что

ошибки измерений распределяются, как правило, по нор-

мальному закону. Но использование в данном случае распре-

деления Гаусса не представляется возможным, та как

неиз-

вестно среднеквадратичное отклонение

. Поэтому, для ог-

раниченного числа измерений

используют распределение

Стьюдента -

с плотностью:

)2/)1(()1(

)2/(

)(

nдn

nд

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+⋅

−−

∞≤

≤

∞

Распределение Стьюдента определяется только объемом

выборки (числом измерений)

. Ширина доверительного ин-

тервала

xΔ

и среднеквадратичное отклонение среднего

арифметического

связаны соотношением:

()

− ,1

(4.1.)

где

()

,1−

- критерий (коэффициент) Стьюдента, завися-

щий от доверительной вероятности и числа изме-

рений.

- среднее квадратичное отклонение.

Некоторые значения коэффициентов

()

,1−

приведены в

таблице 4.1. Вероятность

попадания истинного значения

в заданный доверительный интервал:

()

[

]

()

[

]

pStxaStxP

xnpxnp

−

≤

−

−−

1)**(

Таблица 4.1

Коэффициенты Стьюдента

Доверительная вероятность

p−= 1

0.9 0.95 0.99

2 6.30 12.2 63.2

3 2.9 4.3 9.9

7 1.94 2.8 4.6

10 1.83 2.3 3.3

40 1.68 2.1 3.0

60 1.67 2.0 2.6

∞

1.64 2.0 2.6

При решении практических задач в качестве доверитель-

ной вероятности обычно используют значения 0,90; 0,95 или

0,99. Выбор конкретного значения

зависит от решаемой

задачи и получаемого решения.

Обычно стремятся получить доверительный интервал

возможно более узким. Но если доверительная вероятность и

погрешность каждого измерения заданы, то, как видно из со-

отношения (4.1.), на величину

можно повлиять только

числом измерений -

, так как ширина доверительного ин-

тервала пропорциональна корню квадратному из

В таблице 4.2. приведены размеры доверительного ин-

тервала

xΔ

(в долях от

- среднеквадратичного отклонения)

в зависимости от числа измерений при отмеченных выше до-

верительных вероятностях.

Таблица 4.2

Число измерений при доверительной веро-

ятности

Δ=Δ

0,9 0,95 0,99

2 3 7 11

1 9 18 31

0,2 154 387 668

0,1 648 1540 2659

Методика обработки результатов измерений предлагает

формализованные процедуры, позволяющие оценить точ-

ность и достоверность полученных экспериментальных дан-

ных, и состоит в следующем [1]:

- определение приборных ошибок;

- выделение промахов (или грубых ошибок)

- определение ошибок прямых измерений;

- определение ошибок косвенных измерений;

- выделение доверительного интервала измеряемой вели-

чины;

- определение суммарной ошибки измерения;

В прямых (непосредственных) измерениях величина

приборной ошибки

определяется разрешающей способно-

стью измерительного прибора и характеризуется классом

точности

100

max

⋅=

где

max

- предельное значение величины

которое можно

измерить прибором.

Зная класс точности можно определить приборную

ошибку:

100/*

max

Класс точности прибора устанавливается по технической

характеристике (паспорту). При отсутствии данных величина

приборной ошибки не рассчитывается, а принимается равной

половине цены деления шкалы.

Ошибки косвенных измерений

величины

()

...,, zyxfR =

, в случае, когда результаты прямых измерений

()

,...., zyx

независимы, вычисляются по формуле (4.2):

222222

)()()(

zyxR

δδδδ

++==

, (4.2)