Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

61

а относительная приборная ошибка по формуле (4.3):

2

)(ln)(ln)(ln

zyx

R

dz

Rd

dy

Rd

dx

Rd

R

δδδ

δ

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

. (4.3)

Иногда при проведении серии из

n

опытов

()

,,...,...,,

321 ni

xxxxx

появляются результаты явно не вписы-

вающиеся в общий ряд. Причин может быть много, в том

числе, и нарушение условий опыта, ошибка эксперимента и

т.п. В этом случае возникает необходимость в оценке «вы-

скакивающего» результата по объективному критерию, так

как неоправданное отбрасывание непонравившихся экспери-

ментатору результатов ведет к ошибочным оценкам погреш

-

ности конечного результата.

Появление грубых ошибок можно трактовать как про-

верку однородности наблюдений: проверка гипотезы о том,

что все элементы выборки

(

)

,,...,...,,

321 ni

xxxxx

принадлежат

одной генеральной совокупности.

Если число измерений не велико (

n

<25) значение сред-

неквадратичного отклонения неизвестно. В этом случае, для

оценки вероятности

()

β

−1

случайного (неоправданного) по-

явления « выскакивающего » значения

β

x

в серии из

n

изме-

рений используют распределение:

n

S

xx

V

x

1

||

−

=

β

(4.4)

со степенью свободы f=n-2.

В таблице 4.3. приведены значения параметра распреде-

ления

.табл

V

для уровней значимости

(

)

β

−

1

от 0,01 до 0,1 с

числом повторений опытов

n

от 3 до 25. Величина

β

x

ис-

ключается из выборки как грубое измерение (на уровне зна-

чимости

()

β

−1

), если рассчитанное значение V окажется

больше табличного.

62

Таблица 4.3.

N

Значение

.табл

V для уровня значимости

()

β

−1

0.1 0.05 0.025 0,01

3 1,406 1,412 1,414 1,414

4 1,645 1,689 1,710 1,723

5 1,791 1,869 1,917 1,955

7 1,974 2,093 2,182 2,265

10 2,146 2,294 2,414 2,540

15 2,326 2,493 2,638 2,800

20 2,447 2,623 2,778 2,959

25 2,537 2,717 2,88 3,071

Наименьшее значение уровня значимости, при котором

нецелесообразно оставлять результат измерений составляет

0,01. Поэтому все результаты, вероятность появления кото-

рых меньше 1% всегда можно считать грубой ошибкой. Со-

ответственно результаты, вероятность появления которых со-

ставляет 0,1 и более рекомендуется оставлять всегда.

Если число измерений в серии велико, то допустимо вы-

являть грубую ошибку по

распределению Гаусса, принимая

среднеквадратичное отклонение

x

σ

равное выборочному зна-

чению

x

S

.

Как правило, оценка доверительных интервалов

xΔ

из-

меряемой величины (и ее истинного значения

a

) выполняет-

ся в предположении о нормальном законе распределения

ошибок измерения и при

n

<25 используется распределение

Стьюдента:

n

S

tx

x

n

,

β

=Δ

.

Итак, при любых измерениях присутствуют две ошибки:

приборная

x

δ

и случайная

x

Δ

(с соответствующей довери-

тельной вероятностью).

Для измерений, в которых значения

x

δ

и

x

Δ

оказывают-

ся близкими, оценку суммарной погрешности

x

δ

рекоменду-

63

ется проводить по формуле:

2

)(

x

xx

δδ

+Δ=

.

В соответствии с этим, минимально-возможная погреш-

ность измерения равна приборной ошибке. Тогда, при неиз-

менных приборах уменьшение погрешности можно добиться

только путем уменьшения случайной ошибки, что достигает-

ся за счет дисперсии

2

x

S

и числа измерений

n

.

Если для данной методики измерения дисперсия

2

x

S

ми-

нимальна, то повлиять на значение

x

δ

можно только увели-

чением

n

. Отсюда возникает вопрос о предельно-разумных

значениях числа измерений. В среднем можно считать, что

предельное значение

x

δ

в технических задачах не превышает

10%. Тогда условие, при котором можно пренебрегать слу-

чайной ошибкой выглядит следующим образом:

10

x

δ

≤

Δ

.

На практике допускается принимать менее жесткие усло-

вия:

3

x

δ

≤Δ

или даже

2

x

δ

≤

Δ

.

Пример. Необходимо определить погрешность в вычис-

лении объема

V

образца строительного материала (тяжелого

бетона) в форме куба с размером ребра 100 мм. Измерения

производятся штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм.

Приборную ошибку

l

δ

штангенциркуля примем равной

половине цены деления, а именно 0,05 мм.

Приборная погрешность

V

δ

при вычислении объема куба

V

по размеру одной их сторон является косвенной ошибкой и

определится по формуле (4.2) :

22

)(

lV

dl

dV

δδ

==

=

2

3

l

dl

l

δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

l

δ

2

3

= 1500 мм

3

.

64

Или относительная приборная ошибка составит:

%15,0%100

1000000

3000

%100 ===

V

δ

.

Если предположить, что при определении объема ис-

пользуется размер каждой стороны, то формула примет вид:

HBAV **=

,

Тогда приборная косвенная ошибка составит:

()()()

222

222222

)()()( BAAHBH

dH

dV

dB

dV

dA

dV

llllV

++=++==

δδδδδ

.Или принимая, что

lHBA

=

, получаем:

=== 33

24

ll

llV

δδδ

866 мм

3

. (4.5)

%09,0%100

1000000

866

%100 ===

V

δ

Методика экспериментального определения объема об-

разца материала состоит в следующем.

Объем куба определяется как результат вычисления по

формуле:

HBAV **=

,

где

HBA ,,

- соответственно осредненные размеры ребер ку-

ба. Условно назовем их - длина, ширина, высота, мм.

Средняя длина ребра куба определяется по результатам

измерения всех параллельных ребер и в середине каждой сто-

роны:

8

dadcdcbcbaba

A

+

=

;

8

kekgkgfgfefe

B

+

=

;

8

slspsptptltl

H

+

=

,

где

sptlkgfedcba ,,,,,,,,,,,

- длины ребер куба;

slpstpltkegkfgefdacdbcab ,,,,,,,,,,,

- размер середины

плоскости стороны куба.

65

Линейные размеры вычисляются как среднеарифмети-

ческие, по результатам прямых измерений:

6

1

∑

=

i

a

.

Каждая сторона измеряется шесть раз. Результаты измерения

приведены в таблицах 1-3. Для каждой серии опытов опреде-

ляется критерий

V

(4.4)

Таблица 1

Результаты измерения длин ребер

№ Ребро Значение опыта в серии

Сред-

нее

Диспер-

Сия

2

i

S

Опыта A 1 2 3 4 5 6

1 A 100,10 100,05 100,00 100,15 100 100,7 100,17 0,07167

1а A 100,10 100,05 100,00 100,15 100 0 100,06 0,00425

2 ad 100,00 100,10 100,10 99,95 99,95 100,05 100,03 0,00475

3 D 99,85 99,95 99,95 99,95 100 99,9 99,93 0,00267

4 dc 98,95 98,95 99,05 99,1 99,1 98,95 99,02 0,00567

5 C 100,05 100,10 100,10 100,05 100,05 100 100,06 0,00142

6 cb 100,00 100,0 100,05 99,95 99,95 99,95 99,98 0,00167

7 b 99,80 99,85 99,9 99,9 99,9 99,8 99,86 0,00242

8 ab 99,95 100,20 100,25 100,1 100,15 100,15 100,13 0,01067

Среднее: 99,88 0,00419

Ребро Значение опыта в серии Сред-

Нее

Диспер-

Сия

2

i

S

№

опыта

B 1 2 3 4 5 6

1 h 100,10 100,05 100,0 100,15 100,00 100,10 100,07 0,00367

2 hl 99,95 99,95 99,90 99,90 99,95 100,00 99,94 0,00118

3 L 100,05 100,05 100,10 100,10 100,00 100,00 100,05 0,00167

4 lf 100,15 100,10 100,15 100,15 100,10 100,10 100,13 0,00063

5 F 100,05 100,00 100,00 99,95 99,95 99,95 99,98 0,00139

6 fg 100,05 100,10 100,10 100,15 100,10 100,05 100,09 0,00118

7 g 99,95 99,95 100,00 100,00 100,05 100,05 100,00 0,00167

8 gh 99,95 100,05 100,05 100,00 100,05 100,10 100,03 0,00222

Среднее: 100,04

Значение опыта в серии Сред-

Нее

Диспер-

Сия

№

опыта

Ребро

C

1 2 3 4 5 6

1 k 100,05 100,05 100 100,1 100,05 100,1 100,06 0,00142

2 ke 100,1 100,1 100,05 100,1 100,1 100,05 100,08 0,00056

3 e 100 99,95 99,95 99,9 99,95 100 99,96 0,00118

4 ep 100 100 100,05 100,05 100,1 100,05 100,04 0,00118

5 p 100,05 100 100 100,05 100,05 100,05 100,03 0,00056

6 ps 100,1 100,1 100,1 100,15 100,1 100,05 100,10 0,00083

7 s 99,95 100 100 100,05 99,95 99,95 99,98 0,00139

8 sk 99,95 100,05 100 100 100 100,05 100,01 0,00118

Среднее: 100,03

66

Один из результатов прямого измерения ребра

a

(опыт

№1) можно рассматривать как «грубую» ошибку с довери-

тельной вероятностью 0,95. Средне значение длины ребра

«а» без учета исключенного результата составляет 100,06 мм.

Для определения «однородности» результатов измере-

ний вычисляется критерий

max

V

для наибольшего отклонения

результата измерения от среднего в каждом опыте (таблица

2).

Таблица 2

№ Грань Средн.квадр. Vmax Vтабл Случ.ошибка(дов.инт)

Опыта A Ошибка Р=0,95 Р=0,99

2,57 4,03

1 A 0,268 1,99 1,96 0,688 1,079

1 A 0,065 1,38 1,96 0,181 0,263

2 ad 0,069 1,09 1,96 0,177 0,278

3 D 0,052 1,61 1,96 0,133 0,208

4 Dc 0,075 0,89 1,96 0,193 0,303

5 C 0,038 1,55 1,96 0,097 0,152

6 Cb 0,041 0,82 1,96 0,105 0,165

7 B 0,049 1,19 1,96 0,126 0,198

8 ab 0,103 1,78 1,96 0,265 0,416

Среднее: 0,065 0,160 0,248

№ Грань Средн.квадр. Vmax Vтабл Случ.ошибка(дов.инт)

Опыта В Ошибка Р=0,95 Р=0,99

2,57 4,03

1 H 0,061 0,55 1,96 0,156 0,244

2 Hl 0,038 1,55 1,96 0,097 0,152

3 L 0,045 1,12 1,96 0,115 0,180

4 Lf 0,027 0,91 1,96 0,070 0,110

5 F 0,041 1,63 1,96 0,105 0,165

6 Fg 0,038 1,11 1,96 0,097 0,152

7 G 0,045 1,12 1,96 0,115 0,180

8 Gh 0,052 1,61 1,96 0,133 0,208

Среднее: 0,04314 0,111 0,174

№ Грань Средн.квадр. Vmax Vтабл Случ.ошибка(дов.инт)

Опыта H ошибка Р=0,95 Р=0,99

2,57 4,03

1 K 0,038 1,55 1,96 0,097 0,152

2 Ke 0,026 1,29 1,96 0,066 0,104

3 E 0,038 1,11 1,96 0,097 0,152

4 ep 0,038 1,55 1,96 0,097 0,152

5 P 0,026 0,65 1,96 0,066 0,104

6 Ps 0,032 1,58 1,96 0,081 0,127

7 S 0,041 1,63 1,96 0,105 0,165

8 Sk 0,038 1,55 1,96 0,097 0,152

Среднее: 0,03433 0,088 0,138

67

Соответственно суммарные ошибки в определении ли-

нейного размера для доверительной вероятности 0,95 соста-

вят:

- для ребра А:

17,0)16,0()05,0()()(

2222

=+=Δ+= AA

A

δδ

мм.;

- для ребра B:

12,0)11,0()05,0()()(

2222

=+=Δ+= BB

B

δδ

мм.;

- для ребра H:

10,0)088,0()05,0()()(

2222

=+=Δ+= HH

H

δδ

мм.

Тогда ошибка в определении объема образца составит:

()

() ()

( )()( )()( )()

3

222222

2

222222

2308

1,004,100*88,9912,003,100*88,9917,003,100*04,100

)()()(

мм

HABBHAAHB

H

dH

dV

B

dB

dV

A

dA

dV

V

=

=++=

=++==

δδδ

δδδδ

Относительная ошибка почти в три раза больше полу-

ченной по формуле (4.5):

%23,0%100

03,100*04,100*88,99

2308

%100 ===

V

δ

Таким образом, для увеличения точности результатов

следует, прежде всего, уменьшить случайную ошибку. Кроме

того, из приведенного примера следует, что нет смысла уве-

личивать точность измерительных приборов.

5. Статистический анализ параметров системы

5.1. Дисперсионный анализ

При экспериментальных исследованиях средние значе-

ния наблюдаемых величин меняются в связи с изменением

основных факторов (определяющих условия опыта) и слу-

чайных факторов. Исследование влияния факторов на измен-

чивость средних, является задачей дисперсионного анализа,

68

автором которого является английский математик Р. Фишер

[4].

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке

отдельных факторов, вызывающих изменение изучаемой ве-

личины. Для этого производится разложение суммарной вы-

борочной дисперсии на составляющие, обусловленные неза-

висимыми факторами. Каждая из этих составляющих пред-

ставляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности.

Значимость влияния данного фактора

оценивается по значи-

мости соответствующей выборочной дисперсии в сравнении

с дисперсией воспроизводимости, обусловленной случайны-

ми факторами. Проверка значимости оценок проводится по

критерию Фишера -

F

. Если рассчитанное значение

F

ока-

жется меньше табличного, то нет оснований считать значи-

мым влияние рассматриваемого фактора на поведение выхо-

дов системы -

y

.

Основные этапы дисперсионного анализа проследим на

примере однофакторного исследования [4].

Рассмотрим действие единичного фактора

X

, который

принимает

k

различных значений. На каждом уровне произ-

водится

n наблюдений, результаты которых имеют вид (табл.

5.1.).

Дисперсионный анализ проводится в следующей после-

довательности:

1. Определяются итоговые суммы по столбцам:

∑

=

n

j

ji

AA

1

Таблица 5.1.

Уровни фактора Номер наблюде-

ния

X

1

X

2

X

i

X

k

1.

2.

…

n.

Y

11

Y

12

…

Y

1n

Y

21

Y

22

…

Y

2n

Y

i1

Y

i2

…

Y

in

Y

k1

Y

k2

…

Y

kn

Итого

∑

=

n

j

YA

1

11

∑

=

n

j

YA

1

22

∑

=

n

j

iji

YA

1

∑

=

n

j

kjk

YA

1

69

2. Вычисляетcя сумма квадратов всех результатов:

∑

=

i

ij

j

YS

22

1

;

и средняя сумма квадратов по столбцам:

∑

=

1

22

2

1

i

A

n

S

3. Определяется средняя сумма квадратов:

2

1

2

3

1

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

∑

=

k

i

A

kn

S

.

4. Находится разность:

2

3

2

SSS

A

−=

.

5. Вычисляется общая сумма квадратов

2

0

S :

2

3

2

1

2

0

SSS −=

.

6. Находят остаточную сумму квадратов, для оценки ошибки

эксперимента

2

SΔ

:

2

1

2

SSS −=Δ

.

7. Определяется дисперсия каждого фактора

2

x

S :

22

1

Ax

S

k

S

−

=

.

8. Определяют выборочную дисперсию

2

y

S

:

()

1

2

−

Δ

=

nk

S

y

.

9. Проверяется значимость фактора: влияние

X

значимо, если

выполняется условие:

);;1(

2

21

ffp

y

x

F

S

−

≥

1

−

=

kf

;

(

)

1

2

−

=

nkf

.

Рассмотрим выполнение дисперсионного анализа на

примере определения влияния на коэффициент теплопровод-

ности материала его плотности. При испытаниях получены

следующие результаты (таблица 5.2). Необходимо опреде-

лить является ли различие в коэффициентах теплопроводно-

сти трех материалов значимым или это различие носит слу-

чайный характер.

70

Таблица 5.2

.

97,6

22

1

==

∑

i

ij

j

YS

()

96,639,1288,86,6

4

11

1

22

2

=++==

∑

=i

i

A

n

S

()

85,652,39,257,2

4*3

11

2

1

2

3

=++=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

∑

=

k

i

A

kn

S

44,2

2

3

2

=−= SSS

A

12,085,697,6

2

3

2

1

2

0

=−=−= SSS

01,096,697,6

2

1

2

=−=−=Δ SSS

22,144,2

13

1

22

=

−

=

−

=

Ax

S

k

S

()

0011,0

)14(3

01,0

1

2

=

−

=

−

Δ

=

nk

S

y

1220

0011,0

22,1

2

===

y

x

S

F

FFF

ffp

≤

=

−

9,3

)12;2;95,0();;1(

21

Следовательно, влияние плотности на коэффициент теп-

лопроводности нельзя признать случайным.

5.2. Корреляционный и регрессивный анализ

Между случайными величинами существует стохастиче-

ская связь, когда изменение одной величины

X

вызывает из-

менение другой

Y

. Оценкой силы стохастической связи яв-

ляется коэффициент корреляции r.

№

Уровни фактора X

i

λ

опыта

=

i 1,2

=

i 1,4

=

i 1,6

=

j

1

0,62 0,74 0,86

=

j

2

0,66 0,73 0,88

=

j

3

0,64 0,76 0,90

=

j

4

0,65 0,75 0,88

Сумма

=

1

A 2,57

=

2

A 2,98

=

3

A 3,52

Среднее

i

A

0,6425 0,745 0,88

2

i

A

6,6049 8,8804 12,3904

Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.