Кузьмин С.И. Методы научных исследований в технических задачах

Подождите немного. Документ загружается.

данием равным нулю и средним квадратичным отклонением

1−=

, то сумма квадратов

, будет распределена по закону

с плотностью вероятности который называется распределе-

нием

или Пирсона:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⋅

≤

−− 2/1)2/(

)2/(2

0 0

)(

fд

;

∑

()

xГ

- гамма-функция;

- число степеней свободы при

определении суммы

, равно (n-1).

Распределение Пирсона зависит только от

и с увели-

чение числа степеней свободы стремится к нормальному рас-

пределению. Кривые

- распределения асимметричны

(рис.2.10.), но коэффициент асимметрии стремится к нулю

при

∞→n

Рис. 2.10. Плотность распределения

2.3.5. Распределение Стьюдента (

- распределение)

Если сравнивать нормированную нормальную случай-

ную величину

с другой, независимой от

случайной ве-

личиной

, распределенной по закону Пирсона

сте-

пенями свободы, то это отношение имеет распределение, на-

зываемое распределением Стьюдента - t :

Плотность вероятности имеет вид:

+∞<<∞−+

⋅=

,)1(

)

(

)

(

)(

График плотности распределения быстро приближается к

нормальной кривой с увеличением

k (рис. 2.11.).

f(t)

∞

k=2

-t

Рис. 2.11. Распределение Стьюдента при различных

степенях свободы

2.3.6. Распределение Фишера

Если две независимые величины

распределены по

закону

со своими степенями свободы, соответственно

, то величина:

имеет распределение Фишера -

с плотностью:

2/)(

2/)2(

)(

)

()

(

)

(

)(

Fkk

−

⋅

, при F >0

(

)

при

≤

(

)

1 2

(

10;k

50)

(

10;k

)

Рис. 2.12. Графики плотности

F - распределения

Распределение Фишера определяется только числами

степеней свободы соотносящихся величин. Графики плотно-

стей

- распределения приведены на рис. 2.12.

3. Определение параметров функции распределения

3.1. Генеральная совокупность и случайная выборка

Из самого определения случайной величины следует, что

на практике можно получить только ограниченное количест-

во значений случайной величины, которое представляет со-

бой некоторую выборку из генеральной совокупности всех

возможных значений случайной величины. И при этом встает

вопрос о том, на сколько достоверно суждение о свойствах

случайной величины (генеральной совокупности) по свойст

вам ограниченной выборки.

Выборка называется репрезентативной (представитель-

ной), если она дает достаточное представление об особенно-

стях генеральной совокупности [4]. Если о генеральной сово-

купности ничего не известно, то единственной гарантией ре-

презентативности может служить случайный отбор в опреде-

лении случайной величины - рандомизация.

Любая ограниченная выборка сама по себе является слу-

чайной и из случайного характера

выборок следует, что лю-

бое суждение о генеральной совокупности по какой–либо

выборке случайно.

Предположим, что в результате эксперимента получена

выборка

xxxx ......,,

321

значений случайной величины

объемом

. Пусть

некоторая точка на числовой оси

. Ес-

ли обозначить через

число выборочных точек, располо-

женных левее

на той же оси, то отношение

пред-

ставляет собой частоту наблюдаемых в выборке значений

случайной величины

. Эта величина называется эмпи-

рической или выборочной функцией распределения

()

При

∞→n

, максимальная разность между функцией

распределения случайной величины и выборочной функцией

распределения стремится к нулю с вероятностью равной 1:

(

)

(

)

(

)

∞

→

=→−

xFxFP

Практически это означает, что при достаточно большой

выборке функцию распределения генеральной совокупности

приближенно можно заменить выборочной функцией рас-

пределения.

Если

xxxx

....

321

- упорядоченная по величинам

выборка из генеральной совокупности случайной величины

и все элементы имеют одинаковую вероятность, равную

, то имеем:

()

0=xF

при

()

nkxF

при

≤

xxx

()

1=xF

при

Все элементы выборки являются точками разрыва этой

функции.

При обработке наблюдений обычно не удается получить

эмпирическую функцию распределения. Ее тип определяется

на основе некоторых числовых параметров распределения.

По выборке могут быть рассчитаны выборочные стати-

стические характеристики, являющиеся оценками соответст-

вующих генеральных параметров. К оценкам генеральных

параметров предъявляют требования состоятельности и

не-

смещённости.

Оценка

(

)

xxxxa ....,,

321

называется состоятельной, если с

увеличением объема выработки

она стремиться (по веро-

ятности) к оцениваемому параметру

Оценка называется несмещенной, если ее математиче-

ской ожидание при любом объеме выборки равно оценивае-

мому параметру

[]

aaM

Оценками выборки могут быть: выборочное среднее и

дисперсия.

Для получения оценок применяют метод максимального

правдоподобия. Его сущность заключается в нахождении та-

ких оценок неизвестных параметров, для которых функция

правдоподобия при случайной выборке объема

будет

иметь максимальное значение.

3.2. Оценки математического ожидания и дисперсии

Для нормально распределенной случайной величины

оценками являются:

- среднее арифметическое

- для математического ожидания

xxn

∑

;

и выборочная дисперсия

- для дисперсии

[

]

1/)(

−−=

∑

nxxS

Уменьшение знаменателя на единицу связано с тем, что

величина

сама зависит от элементов выборки. Каждая ве-

личина, зависящая от элементов выборки и входящая в фор-

мулу выборочной функции, называется связью. Знаменатель

выборочной дисперсии всегда равен разности между объе-

мом выборки

и числом связей

наложенных на эту вы-

борку. Этот параметр называется числом степеней свободы

выборки

lnf

−

3.3. Определение дисперсии по текущим измерениям

Математическое ожидание и дисперсия генеральной со-

вокупности оцениваются средним и дисперсией выборки тем

точнее, чем больше объем выборки.

При этом среднее характеризует результат измерения, а

дисперсия - точность этого результата (называется дисперси-

ей воспроизводимости).

Если проделано m параллельных опытов, и получена вы-

борка

yyyyy ......,,

321

значений измеряемой величины

, то

дисперсия воспроизводимости будет равна:

)(

−

∑

воспр

где

- воборочное средне:

∑

Ошибка опыта (ошибка воспроизводимости):

воспрвоспр

SS =

Обычно ошибку воспроизводимости определяют по те-

кущим измерениям. Если в результате исследований сделано

n опытов, каждый опыт повторяется m раз, то общая диспер-

сия воспроизводимости всех опытов будет равна:

iвоспр

воспр

∑

;

Таким образом, при равном числе параллельных опытов

общая дисперсия воспроизводимости равна среднеарифмети-

ческому значению частных дисперсий.

Число степеней свободы общей дисперсии воспроизво-

димости равно:

(

)

−

mnf

воспр

И окончательно:

восп

iu i

()

−

∑∑

При вычислении дисперсии воспроизводимости по теку-

щим измерениям объединяют только значения опытов с рав-

ными дисперсиями.

3.4. Доверительные интервалы и доверительная

вероятность

Выборочные параметры являются случайными величи-

нами, и их отклонения от соответствующих генеральных па-

раметров так же будет случайным. Оценка этих отклонений

носит вероятностный характер, т.е. можно указать лишь ве-

роятность той или иной величины отклонения или погрешно-

сти. Для этого пользуются понятием доверительного интер-

вала и доверительной вероятности [4].

Пусть для генерального параметра

получена из опыта

несмещенная оценка

. Нужно оценить возможную при этом

ошибку

с некоторой достаточно большой вероятностью

Значение ошибки

, для которой вероятность появления

была бы равна

записывается следующим образом:

()

βε

=≤− AaP

При этом диапазон возможных значений ошибки будет

равен

. Большие по абсолютной величине ошибки будут

появляться с малой вероятностью:

−

. Вероятность

называется уровнем значимости, а вероятность

называется

доверительной вероятностью и характеризует надежность

полученной оценки, т.е. такого события, когда выполнятся

условие:

(

)

(

)

ββ

≤

− aAa

Интервал

(

)

ββ

±= aI

называется доверительным интер-

валом, а его границы (

∧

−=

∨

) - довери-

тельными границами.

Доверительный интервал при данной доверительной ве-

роятности определяет точность оценки. Величина довери-

тельного интервала зависит от доверительной вероятности, с

которой гарантируется нахождение параметра

внутри до-

верительного интервала. Чем больше

, тем шире довери-

тельный интервал, тем больше и погрешность

. Иначе го-

воря, с чем большей надежностью хотят гарантировать полу-

ченный результат, тем в большем интервале значений он мо-

жет находиться.

Обычно на практике задаются значением доверительной

вероятности (0,9;0,95 или 0,99) и, исходя из этого, определя-

ют доверительный интервал:

∫

−

==−−=≤Δ=≤−

ββββ

βεεεε

dxxfFFapAaP )()()()()|(|

(3.1)

где

(

)

- функция распределения ошибок

случайной ве-

личины

aΔ

;

()

- плотность распределения ошибок.

Таким образом, если известен закон распределения оцен-

ки

, то доверительный интервал определяется по уравне-

нию (3.1).

Для математического ожидания нормально распределен-

ной случайной величины

с известным среднеквадратич-

ным отклонением

, доверительный интервал определяется

следующим образом.

Пусть имеется выборка объема

значений этой случай-

ной величины. Оценкой математического ожидания

яв-

ляется среднее выборки

∑

Выборка из генеральной совокупности, распределенной

нормально, так же имеет нормальной распределение. Тогда с

помощью функции Лапласа, получается:

).(2|(|

ФmxP

βε

==<−

Задаваясь доверительной вероятностью

, определяется

соответствующее ей отношение

. И доверительный ин-

тервал для математического ожидания

примет вид:

xmx

ββ

)()( +≤≤−

Вводя обозначения:

получается:

xxx

kxmkx

ββ

≤

−

kxm

ββ

+≤≤−

, (3.2)

где

- определяется по функции Лапласа.

Из (3.2) видно, что уменьшение доверительного интерва-

ла обратно пропорционально корню квадратному из числа

наблюдений. И если надо уменьшить возможную ошибку в 2

раза, необходимо увеличить число опытов в 4 раза.

3.5. Проверка статистических гипотез

Как уже говорилось, закон распределения генеральной

совокупности в большинстве случаев неизвестен заранее. О

его виде можно сделать только предположение по отдельным

признакам или просто принять некую гипотезу о характере

распределения.

Под статистической гипотезой понимают некоторое

предположение относительно распределения генеральной со-

вокупности случайной величины.

Проверка гипотезы заключается в сопоставлении «крите-

риев

проверки» (критериев значимости), вычисляемых по

выборке, со значениями этих показателей, определенными в

предположении, что гипотеза верна.

При проверке гипотез подвергается испытанию некото-

рая гипотеза Н

в сравнении с альтернативной гипотезой Н,

которая формулируется.