Курсовая работа - Анализ и прогнозирование временного ряда развития строительства

Подождите немного. Документ загружается.

1994 103552,44 102522,06 1030,38 1061682,94

1995 121467,02 94583,66 26883,36 722715045

1996 101182,02 88610,9 12571,12 158033058

1997 87623,63 84603,78 3019,85 9119494,02

1998 71939,00 82562,3 -10623,3 112854503

1999 63090,51 82486,46 -19395,95 376202876

2000 72427,90 84376,26 -11948,36 142763307

2001 101036,92 88231,7 12805,22 163973659

2002 107099,14 94052,78 13046,36 170207509

2003 96067,92 101839,5 -5771,58 33311135,7

2004 110766,32 111591,86 -825,54 681516,292

Итого: 1544246,63 1544246,3 0,33 2782385101

Рассчитаем показатели силы и интенсивности колебаний:

1. Амплитуда (размах) колебаний — разность между наибольшим и

наименьшим по абсолютной величине отклонениями от тренда. Она составила от

-21614,08 до 26883,36, т. е. 48497,4 млрд. руб.

2. Среднее отклонение по модулю найдем, сложив абсолютные величины

, их сумма равна 171698, и, разделив на (n – р), согласно формуле (2.16)

получаем, а =171698:12 = 14308,2 млрд. руб.

3. Среднее квадратическое отклонение от тренда согласно (2.17) равно:



2782385101

)(ts

15227,13 млрд. руб.

Знак времени в скобках (t) указывает, что это показатель не

пространственной вариации, а колеблемости во времени.

4. Коэффициент колеблемости:

148,0

78,102949

13,15227

)(

)( 



или 14,8% - колеблемость значительная.

Уравнение параболического тренда для теоретических уровней общей

площади квартир, введенных в действие ЖСК Тюменской области имеет вид:

=44619,81+3431,07*t -76,28* t

, где t = 0 в 1997г.

Расчет показателей колеблемости приведен в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Расчет показателей колеблемости общей площади квартир, введенных в

действие ЖСК Тюменской области

Год

Общая площадь

квартир введенных в

действие ЖСК, м

Выровненные

уровни

=44619,81+3431,0

7*t -76,28* t

Отклонения

y-y

1990 13888 16864,60 -2976,6 8860147,56

1991 22624 21287,31

1336,69 1786740,16

1992 19932 25557,46

-5625,46 31645800,2

1993 32285 29675,05

2609,95 6811839

1994 37937 33640,08

4296,92 18463521,5

1995 42862 37452,55

5409,45 29262149,3

1996 48944 41112,46

7831,54 61333018,8

1997 30683 44619,81

-13936,81 194234673

1998 59124 47974,60

11149,4 124309120

1999 50200 51176,83

-976,83 954196,849

2000 46720 54226,50

-7506,5 56347542,3

2001 44454 57123,61

-12669,61 160519018

2002 65043 59868,16

5174,84 26778969

2003 64470 62460,15

2009,85 4039497,02

2004 68772 64899,58

3872,42 14995636,7

Итого:

647938

647938,75

-0,75 740341869

Рассчитаем показатели силы и интенсивности колебаний:

1. Амплитуда (размах) колебаний составила от -13936,81 до 11149,4, т. е.

25086,21 м

2. Среднее отклонение по модулю найдем, сложив абсолютные величины

, их сумма равна 87382,87, и, разделив на (n – р), согласно формуле (2.16)

получаем, а =87382,87: 12 = 7281,91 м

3. Среднее квадратическое отклонение от тренда согласно (2.17) равно:



740341869

)(ts

7854,63 м

Знак времени в скобках (t) указывает, что это показатель не

пространственной вариации, а колеблемости во времени.

4. Коэффициент колеблемости:

182,0

87,43195

63,7854

)(

)( 



или 18,2% - колеблемость значительная.

2.2.1. Выявление и измерение сезонных колебаний

При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных

колебаний. Этим колебаниям свойственны более или менее устойчивые

изменения уровней ряда по внутригодовым периодам: месяцам, кварталам. Для

выявления сезонных колебаний обычно анализируются месячные и квартальные

уровни ряда динамики за год или за несколько лет. При изучении сезонных

колебаний используются специальные показатели индексы сезонности (I

сез

Способы определения индексов сезонности различны; они зависят от характера

основной сезонности ряда динамики.

Для ряда внутригодовой динамики, в которой основная тенденция роста

незначительна (или она не наблюдается совсем), изучение сезонности основано на

методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых

уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года

рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах)

уровень каждого месяца. Это процентное отношение называется индексом

сезонности (формула (2.18)):

%100

сез

(2.18)

Однако помесячные данные одного года в силу элемента случайности

слишком ненадежные для выявления закономерности колебаний. Поэтому на

практике для выявления закономерности колебаний пользуются помесячными

(поквартальными) данными за ряд лет (в основном не менее 3 лет). В таком

случае применяется следующая методика.

1. По месячным или квартальным уровням за ряд лет вычисляется тренд.

2. Фактические уровни делятся на соответствующие уровни тренда,

получаются «индексы сезонности»:

сез





3. Эти индексы сезонности для каждого месяца или квартала усредняются за

все годы, при этом нужно вычислять взвешенные средние. Весами являются

средние месячные или квартальные уровни каждого года (формула (2.19)).



iсез

сез

. (2.19)

4. Уровни тренда умножаются на средние индексы сезонности

соответствующих месяцев (кварталов). Получаем уровни тренда с учетом

сезонной волны у для каждого месяца (квартала (формула (2.20)):

сезt

Iyy





Произведем расчет индексов сезонности на примере динамики общей

площади квартир, введенных в действие ЖСК Тюменской области за три года

(табл. 2.15). Будем считать тренд линейным.

Таблица 2.15

Расчет величин для определения индексов сезонности по отношению к

тренду

Год

Ква

ртал

Общая

площадь

квартир

введенных в

действие

ЖСК, м

, y

t t

Выровненные

уровни

=779506,87

+9318,27t

сез

, %

сез

100%

Тренд с

учетом

сезонности

сезt

Iyy





2002 I 15986,33 1 1 15986,33 46626,94 34,29 27,69 12910,03

II 16023,78 2 4 32047,56 50058,01 32,01 26,29 13158,87

III 16550,21 3 9 49650,63 53489,08 30,94 25,64 13712,06

IV 16482,68 4 16 65930,72 56920,15 28,96 24,04 13684,98

2003 I 15832,4 5 25 79162 60351,22 26,23 27,69 16710,00

II 16005,9 6 36 96035,4 63782,29 25,09 26,29 16766,61

III 16455,14 7 49 115185,98 67213,36 24,48 25,64 17230,31

IV 16176,56 8 64 129412,48 70644,43 22,90 24,04 16984,63

2004 I 16897,5 9 81 152077,5 74075,5 22,81 27,69 20509,97

II 17045,6 10 100 170456 77506,57 21,99 26,29 20374,34

III 17561,9 11 121 193180,9 80937,64 21,70 25,64 20748,56

IV 17267 12 144 207204 84368,71 20,47 24,04 20284,28

Итого 12 198285 78 650 1306329,5 785973,9 311,87 310,98 203074,66

По данным табл. 2.15 уравнение тренда



=779506,87+9318,27t, где t

отсчитываются от начала ряда. Взвешенные индексы сезонности составляют:

для I квартала:

для II квартала:

для III квартала:

для IV квартала:

Умножив уровни тренда соответствующих кварталов на эти средние индексы

сезонности (в разах), получаем уровни, учитывающие и тренд, и сезонные

колебания, обозначенные как

Далее можно вычислить средние за 3 года показатели силы сезонных

колебаний:

212

83034847590

)

(









сез





=55195,01

cее

сез







что говорит об умеренной колеблемости. При этом учтена потеря двух степеней

свободы колебаний (по числу параметров линейного тренда).

С учетом наличия сезонных колебаний общую сумму квадратов отклонений

фактических уровней динамического ряда от среднего уровня за весь изучаемый

период можно разложить на составляющие элементы:

)( yy





— сумму квадратов отклонений за счет тренда (за счет

фактора времени);

)

(





— сумму квадратов отклонений за сезонности.

)

(

 yy

— сумму квадратов отклонений за счет случайных

колебаний.

Таким образом (формула (2.21)):

ååå å



2222

)

()

()()( yyyyyyyy

itti



(2.21)

Рассчитаем эти суммы для данного примера (табл. 2.16).

277.0

25,49571

25,13725

25,49571

17193228,05,16117262,075,16260343,0





263.0

25,49571

1719322,05,16117251,075,1626032,0





256.0

25,49571

17193217,05,16117245,075,1626031,0





240.0

25,49571

17193205,05,16117229,075,1626029,0





Таблица 2.16

Расчет величин для разложения общей суммы квадратов отклонений

фактических уровней от их средней (

= 16523,75 )

Год

Квартал

Общая

площад

квартир

введенн

ых в

действи

е ЖСК,

, y

Выровн

енные

уровни

=7795

06,87

+9318,2

Тренд с

учетом

сезон-

ности

сезt

Iyy





)

)( yy





)

(





)

( yy



2002

15986,33 46626,94 12910,03 938846981,2 906199037,9 1136830020 9463621,69

16023,78 50058,01 13158,87 1158328812 1124543240 1361546533 8207709,31

III

16550,21 53489,08 13712,06 1364480117 1366431925 1582211320 8055095,42

16482,68 56920,15 13684,98 1635188980 1631865093 1869279925 7827125,29

2003

15832,4 60351,22 16710,00 1981925334 1920842744 1904556083 770181,76

16005,9 63782,29 16766,61 2282583441 2233364877 2210474166 578679,704

III

16455,14 67213,36 17230,31 2576396898 2569431493 2498305287 600888,529

16176,56 70644,43 16984,63 2966748862 2929042592 2879374136 652977,125

2004

16897,5 74075,5 20509,97 3269323684 3312198173 2869266004 13049939,5

17045,6 77506,57 20374,34 3655528893 3718898237 3264091705 11080510

III

17561,9 80937,64 20748,56 4016484421 4149142784 3622725351 10154802

17267 84368,71 20284,28 4502639485 4602931813 4106814168 9103978,6

198285 785973,9

203074,6

30348475908 30464892009 29305474699 79545508,9

Используя формулу (2.21), разложим общую сумму квадратов отклонений

уровня от средней величины за весь период на составляющие элементы. При этом

ввиду округления всех уровней в табл. 2.16 точного равенства не получится, но

расхождение сумм квадратов менее одной тысячной совершенно не существенно

для выводов о процессе.

Общая сумма квадратов или 100%,

в том числе за счет тренда

за счет сезонности

за счет случайной колеблемости

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайные

колебания в исходном ряду были весьма незначительны. Основные факторы

колеблемости уровней исследуемого ряда — тренд и сезонность.

2.3 Автокорреляция в рядах динамики. Построение моделей авторегрессии

Во многих рядах динамики можно наблюдать зависимость t-го уровня

от

предшествующих

1t

. Например, урожайность сельскохозяйственных

культур в отдельные годы также может быть связана с урожайностью в предшествующие

периоды.

Зависимость между последовательными (соседними) уровнями ряда

динамики называется в статистике автокорреляцией. Исследование рядов на

автокорреляцию — одна из частных, но важных задач при статистическом

изучении рядов динамики. В частности, если установлено наличие автокорреляции,

то эту зависимость можно выразить уравнением авторегрессии. В отдельных

случаях приходится устранять влияние автокорреляции на взаимосвязь между

исследуемыми показателями. Так возникает необходимость измерения

автокорреляции.

Измерить автокорреляцию между уровнями ряда можно с помощью

коэффициента автокорреляции

, исчисленный по формуле парного линейного

коэффициента корреляции:

yxxy







(2.22)

Коэффициент автокорреляции

можно рассчитывать либо между

соседними уровнями, либо между уровнями, сдвинутыми на любое число единиц

времени т. Этот сдвиг, именуемый временном лагом, определяет порядок

коэффициента автокорреляции: 1-го порядка при т == 1, т.е. между соседними

уровнями; 2-го порядка при т == 2, т.е. при сдвиге уровней на 2 периода, и т.д.

Коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

Если исходные фактические уровни ряда, относящиеся к определенному

моменту времени (или периоду) t обозначить через

, то сдвинутые уровни (в

зависимости от направления сдвига) соответственно обозначают

1t

или

1t

Тогда формулу коэффициента автокорреляции можно записать в двух вариантах:









tttt

yyyy



(2.23)

Предпочтение

обычно отдается второй формуле. При достаточно большом числе уровней ряда









tttt

yyyy



значения средних уровней и средних квадратических отклонений у исходного и

сдвинутого рядов практически совпадают, т. е.

1



уу

1





Используя эти равенства и отдавая предпочтение средней

и дисперсии



рассчитанным для всех

членов исходного ряда, получим приближенную формулу

коэффициента автокорреляции:

(2.25)

или тождественную ей

(2.26)

Чтобы иметь возможность пользоваться данными формулами для коротких

рядов, у которых первый и последний уровни отличаются незначительно,

сдвинутый ряд условно дополняют, принимая

уу 

(чтобы сдвинутый ряд не

укорачивался и чтобы средний уровень и дисперсия одного ряда были

соответственно равны среднему уровню и дисперсии второго ряда).

Расчет коэффициента автокорреляции приведен на условном примере,

известны данные о размерах посевной площади по Тюменской области.

Таблица 2.1.5.

Год Посевная

площадь,

млн. га.

(фактические

уровни)

Уровни

сдвинутые на

один год

1t

1tt

yу

1990 1,6 (0,78) 1,248 2,56

1991 1,57 1,6 2,512 2,46

1992 1,49 1,57 2,339 2,22

1993 1,38 1,49 2,056 1,91

1994 1,23 1,38 1,697 1,51

1995 1,19 1,23 1,464 1,42

1996 1,18 1,19 1,404 1,39

1997 1,01 1,18 1,192 1,02

1998 0,96 1,01 0,969 0,92

1999 0,94 0,96 0,902 0,88

2000 0,93 0,94 0,874 0,86

2001 0,91 0,93 0,846 0,83

ttt

yyy

)(













)(

ttt

yny

ynyy

2002 0,85 0,91 0,774 0,72

2003 0,78 0,85 0,663 0,61

16,02 16,02 18,94 19,31

По итоговым данным табл. 2.1.5. найдены:

14,1

02,16



;

29,114,1)(



;

38,1

31,19



;

;09,029,138,1)(

222



tty



35,1

94,18



tt

yу

Полученные значения необходимо подставить в формулу (2.25)

Тат же результат будет получен и при использовании формулы (2.26)

Найденное значение коэффициента автокорреляции само по себе еще не говорит о

наличие или отсутствии автокорреляции. Его необходимо сравнить с критическим.

Фактическое значение коэффициента автокорреляции

необходимо сравнить с

табличным (критическим).

Рассчитанное в данном примере значение коэффициента автокорреляции

=0,67

сравнивается с табличным при 5-процентном уровне значимости, для

=14 при а = 0,05

критическое значение коэффициента автокорреляции равно 0,335. Так как рассчитанное

значение

(0,67) больше табличного (0,335), то с вероятностью Р =0,95 (Р =

1

)

можно сделать вывод о наличии автокорреляции в исследуемом ряду .

Часто приходится решать вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции не

между уровнями ряда, а между их отклонениями и от тренда или от среднего

уровня, т. е. между так называемыми остаточными величинами. Сумма таких

остаточных величии и средняя из них равны нулю.

Из формулы (2.26) коэффициент автокорреляции, для рядов со средним

уровнем равным нулю

0у

, равен: (2.27)

.67,0

09,0

29,135,1

)(













ttt

yyy



.67,0

02,161431,19

02,161494,18

)(













ttt

yny

ynyy

Формула коэффициента

корреляции для остаточных автокорреляции для остаточных величин примет вид:











(2.28)

Кроме показателя

, для обнаружения автокорреляции между соседними

остаточными величинами часто используется критерий, разработанный Дурбиным и

Ватсоном.

Критерии Дурбина-Ватсона, обозначаемый как

(иногда DW),

рассчитывается по формуле







)(





(2.29)

Этот показатель можно связать с формулой (2.28) коэффициента

автокорреляции для остаточных величин. Так, если предположить, что

å å

 





2 2



то, возведя в квадрат числитель критерия

, можно записать

22)1(212

rrd 



















å å



















(2.30)

Очевидно, что если автокорреляция отсутствует, т. е.

= 0, то

= 2. Если же

имеет место полная автокорреляция, т. е.

равен 1 или -1, то значение

будет

соответственно 0 или 4.

Для того чтобы иметь возможность более точно судить об отсутствии

автокорреляции в остаточных величинах



, составлена таблица, в которой для

разного числа наблюдений

и числа независимых переменных в уравнении

регрессии

определены верхнее

и нижнее

критические границы критерия

Для проверки нулевой гипотезы об устранении автокорреляции в остаточных

величинах рассчитанное фактическое значение

сравнивается с табличными

1) если

dd

(до 4-

), гипотеза об отсутствии автокорреляции

принимается;





2) если

dd 

, гипотеза об отсутствии автокорреляции отвергается;

3) если

ddd 

или (4 -

)

)4(

dd 

, ничего определенного сказать

нельзя и требуется дальнейшее исследование;

4) если

)4(

dd 

, имеет место отрицательная автокорреляция.

Для иллюстрации расчета критерия Дурбина-Ватсона

, а также

используются данные табл. 2.1.4.

На основе фактических и выровненных уровней рассчитываются остаточные

величины

yу





их необходимо проверить на автокорреляцию. Расчеты

представлены в табл. 2.1.6.

При аналитическом выравнивании рядов динамики остаточные величины

проверяются на автокорреляцию. Цель проверки - определить адекватность

подобранной функции (линии тренда), используемой для отражения тенденций

развития в исследуемый период. Если в остаточных величинах обнаруживается

автокорреляция, это признак неадекватности выбранного уравнения тренда.

Таблица 2.1.6.

Расчет величин для исчисления коэффициента

и критерия

Дурбина-Ватсона

Год Урожайност

ь,

ц/га

Выравненные

уровни

Остаточные

величины

ttt





1t



1tt





)(





1997 20,8 18,9 1,9 - - 3,61 -

1998 13,6 19 -5,4 1,9 -10,26 29,16 53,29

1999 16,7 19,1 -2,4 -5,4 12,96 5,76 60,84

2000 17,5 19,2 -1,7 -2,4 4,08 2,89 0,49

2001 24,1 19,3 4,8 -1,7 -8,16 23,04 42,25

2002 21,0 19,4 1,6 4,8 7,68 2,56 10,24

2003 20,3 19,5 0,8 1,6 1,26 0,64 0,64

134 134,4 0 7,56 67,66 167,75

Итак, коэффициент автокорреляции для



по данным табл. 2.1.6.

.112,0

66,67

56,7











Для

=7 и

05,0

критическое значение коэффициента автокорреляции

равно 0,370. Так как рассчитанное фактическое значение

(по модулю) меньше

критического (

370,0112,0 

), следовательно автокорреляция в остаточных величинах

отсутствует.

Для этой же цели рассчитывается критерий Дурбина-Ватсона: