Куликов А.А. (сост.) Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний
Подождите немного. Документ загружается.
61
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
xta
a
t)tx,(u
SS
S
331
9
2
2
22
2
2
coscos
ɢ
xtatt)tx,(u
S
S
22232
2
coscos
xta
a
SS
S
331
9
2
22
coscos
.
Ɂɚɞɚɱɢ
ɇɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ
)
t
x,(uu
ɫɦɟɲɚɧɧɨɣ ɡɚɞɚɱɢ:
1.
2
2
3
2
x
txuau
xxt
S
cossin , 10
x
, 0
!
t ,
x
x
)x,(u
2
3
20
S
cos ,
t)t,(u
x
cos
0 , tt
)
t,(u 21
cos .
2.
2
2
3
2
2
x
ttxuau
xxt
S
sincossin , 10
x , 0
!
t
,
x
x
)x,(u
2
0
S
sin
,
t
)
t,(u sin
0 ,
t)t,(u
x
cos
1
.
3.
xttxuau
xxt
S
522
2
sinsincos
,
10
x
,
0
!
t
,
2230
x
)
x,(u
S
sin ,
t
)
t
,(u cos20
,
t
t
)
t
,(u cossin 21
.
4.
322
222
xtxtauau
xxt
S
cossincos ,
10
x
,
0
!
t
,
420
2
xx)x,(u ,
20
)t,(u
x
, 221
t)t,(u
x
cos .
5.
2
2
32
2
x
txuau
xxt
S
sincos , 10
x
, 0
!
t ,
62
2
20
x
)x,(u
S
sin
,
t
)
t,(u sin
0 , t)t,(u
x
21
.
6.
2
22
2
x
txuau
xxt
S
cossin
,
10
x
,
0
!
t
,
2
2
5
30
x
)x,(u
S
cos ,
t)t,(u
x
0 , tt
)
t,(u cos21
.
7.
xtxtauau
xxt
S
232
222
coscossin
, 10
x
, 0
!
t ,
20
x
)
x,(u ,
10
)t,(u
x
, 121
t)t,(u
x
sin .
8.
132
2
xtxuau
xxt
S
sincos ,
10
x
,
0
!
t
,
2330
x
)
x,(u
S
sin ,
t
)
t
,(u
0
,
t
t
)
t
,(u
sin21
.
9.
2
2
3
2
x
txuau
xxt
S
sincos , 10
x
, 0
!
t ,
2
3
20
x
)x,(u
S
sin
,
t
)
t,(u 20
, t)t,(u
x
sin
1 .
10.
2
5
322
2
x
ttxuau
xxt
S
coscos
,
10
x
,
0
!
t
,
2
3
20
x
)x,(u
S
cos
,
t)t,(u
x
sin20
,
2
21 tt)t,(u
sin .
11.
2
322
2
x
txuau
xxtt
S
cossin
, 10
x
, 0
!
t ,
2
3
0
x
)x,(u
S
cos
,
2
2
5
20
x
)x,(u
t
S
cos
,
2
0 t)t,(u
x
, tt)t,(u sin21
2
.
63
12.
322
222
txt)ax(uau
xxtt
cossin , 10
x
, 0
!
t ,
12220
x
x
)
x,(u
S
cos ,
40
2
x)x,(u
t
,
t)t,(u
x
cos20
, tt)t,(u
x
cossin 221
.
13.
2
322
2
x
txuau
xxtt
S
sincos
,
10
x
,
0
!
t
,
2
2
3
20
x
)x,(u
S
sin ,
2
5
40
x
)x,(u
t
S
sin
,
t
)
t,(u cos20
,
2
1 t)t,(u
x
.
14.
xtxuau
xxtt
S
23
2
sinsin
, 10
x
, 0
!
t ,
2320
x
x
)
x,(u
S
S
sinsin ,
xx)x,(u
t
S
50 sin ,
20
)
t,(u , 21
t
)
t,(u sin .
15.
2
2
3
2
x
txuau
xxtt
S
coscos , 10
x
, 0
!
t ,
x
xx
)x,(u
2
5
2
2
3
0
S
S
coscos ,
2
40
x
)x,(u
t
S
cos
,
t)t,(u
x
cos
0
,
2
1 tt)t,(u
cos .
16.
2
32
2
x
ttxuau
xxtt
S
sinsincos
, 10
x
, 0
!
t ,
x
x
)x,(u 2
2
3
20
S
sin ,
1
2
5
0
x
)x,(u
t
S
sin ,
t
)
t,(u sin
0 , t)t,(u
x
cos21
.
17.
422
22
txtauau
xxtt
sin , 10
x
, 0
!
t ,
3320
x
)
x,(u
S
cos ,
220
2
xx)x,(u
t
,
t)t,(u
x
sin20
, tt)t,(u
x
sin221
.
64
18.
2
3
2
2
x
txuau
xxtt
S
sinsin
,
10
x
,
0
!
t
,
2
5
2
2
30
xx
)x,(u
S
S
sinsin
,
12
2
3
0
x
x
)x,(u
t
S
sin ,
t
)
t
,(u
0
, t)t,(u
x
sin21
.
19.
xtxuau
xxtt
S
222
2
sincos
,
10
x
,
0
!
t
,
xx
)
x,(u
S
S
3420 sinsin
,
2530
x)x,(u
t
S
sin ,
t
)
t
,(u 20
, tt)t,(u 21
2
sin .
20.
4
2
3
2
x
txuau
xxtt
S
sinsin
, 10
x
, 0
!
t ,
2
5
2
3
20
xx
)x,(u
S
S
sinsin
,
x
x
)x,(u
t
2
40
S
sin ,
2
20 t)t,(u
, t)t,(u
x
sin
1 .
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ
ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ ɤɜɚɞɪɚɬɵ
ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ
ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ I – IV
1
I.
2
¸
¹
·
¨
©
§
l
n
n
S
O
,
l
xn
)x(X
n
S
sin
,
2
2
l
X
n
,
!,, 21
n
.
II. ɚ)
2
22
4
12
l
)n(
n
S
O
,
l
x)n(
)x(X
n
2
12
S
cos
,
2
2
l
X
n
,
!,, 21
n
.
1
ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɦ. ɜ §6.
65
ɛ)
2
nn
W
O
, !,, 21
n , ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
1
h
l
W
W
tg ;
x
h
x)x(X
n
n
nn
W
W
W
sincos
1
,
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
hhl
X
W
W
, !,, 21
n .
III. ɚ)
2
22
4
12
l
)n(
n
S
O
,
l
x)n(
)x(X
n
2
12
S
sin ,
2
2
l
X
n
, !,, 21
n .
ɛ)
2
nn
W
O
,
!,, 21
n
, ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
2
h
l
W
W
tg ;
x)x(X
nn
W
sin
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2 h
hhl
X
n
n
n
W
W
, !,, 21
n .
IV. ɚ)
2
¸
¹
·
¨
©
§
l
n
n
S
O
,
l
xn
)x(X
n
S
cos
, !210 ,,
n ,
lX
2
0
,
2
2
l
X
n
ɞɥɹ !,, 21
n .
ɛ)
2
nn
W
O
, !,, 21
n , ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
W
W
2
h
l
tg ;
x)x(X
nn
W
cos
,
66
ɜ)
2
nn
W
O
, !,, 21
n , ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
W
W
1
h
l
tg ;
x
h
x)x(X
n
n
nn
W
W
W
sincos
1
,
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
hhl
X
W
W
, !,, 21
n .
ɝ)
2
nn
W
O
, !,, 21
n , ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
)hh(
hh
l
21
21
2
W
W
W
ctg
;
x
h
x)x(X
n
n
nn
W
W
W
sincos
1
,
)hIJ(
)hh()hhIJ()hIJ()hIJ(l
X
nn
nnn
n
2
2
22
2121
22
2
22
1
2
2
2
W
,
!,, 21
n .
Ʌɢɬɟɪɚɬɭɪɚ
1. Ʉɭɞɪɹɜɰɟɜ Ʌ.Ⱦ. Ʉɭɪɫ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ : ɜ 2-ɯɬ. / Ʌ.Ⱦ. Ʉɭɞɪɹɜ-
ɰɟɜ. – Ɇ. : ȼɵɫɲ. ɲɤ., 1981. – Ɍ. 2. – 584 ɫ.
2.
Ɍɢɯɨɧɨɜ Ⱥ.ɇ. ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ / Ⱥ.ɇ. Ɍɢɯɨɧɨɜ,
Ⱥ.Ⱥ. ɋɚɦɚɪɫɤɢɣ. – Ɇ. : ɇɚɭɤɚ, 1977. – 736 ɫ.
3.
Ʉɨɲɥɹɤɨɜ ɇ.ɋ. ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢ-
ɡɢɤɢ / ɇ.ɋ. Ʉɨɲɥɹɤɨɜ, ɗ.Ȼ. Ƚɥɢɧɟɪ, Ɇ.Ɇ. ɋɦɢɪɧɨɜ. – Ɇ. : ȼɵɫɲ. ɲɤ.,
1970. – 712 ɫ.
4.
ȼɥɚɞɢɦɢɪɨɜ ȼ.ɋ. ɍɪɚɜɧɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ / ȼ.ɋ.
ȼɥɚɞɢɦɢ-
ɪɨɜ. – Ɇ. : ɇɚɭɤɚ, 1976. – 528 ɫ.
5.
Ɇɢɯɥɢɧ ɋ.Ƚ. Ʌɢɧɟɣɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ / ɋ.Ƚ. Ɇɢɯ-
ɥɢɧ. – Ɇ. : ȼɵɫɲ. ɲɤ., 1977. – 432 ɫ.
6.
ɋɜɟɲɧɢɤɨɜ Ⱥ.Ƚ. Ʌɟɤɰɢɢ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɟ / Ⱥ.Ƚ. ɋɜɟɲɧɢɤɨɜ,
Ⱥ.ɇ. Ȼɨɝɨɥɸɛɨɜ, ȼ.ȼ. Ʉɪɚɜɰɨɜ. – Ɇ. : ɂɡɞ-ɜɨ ɆȽɍ, 1993. – 352 ɫ.
7.
ɑɢɫɥɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɯ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢ-
ɡɢɤɢ : ɭɱɟɛ.-ɦɟɬɨɞ. ɩɨɫɨɛɢɟ / ɫɨɫɬ. Ⱥ.Ⱥ. Ʉɭɥɢɤɨɜ. – ȼɨɪɨɧɟɠ : ɅɈɉ ȼȽɍ,
2006. – 63 ɫ.
67
ɋɈȾȿɊɀȺɇɂȿ
ɉɪɟɞɢɫɥɨɜɢɟ . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. ɉɨɧɹɬɢɟ ɨɛ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɢ ɨɛ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§2. Ʉɪɚɟɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
§3. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§4. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
§5. ɇɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ.
ɉɪɢɧɰɢɩ Ⱦɸɚɦɟɥɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
§6. Ɂɚɞɚɱɚ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
§7. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɦɟɬɨɞɨɦ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ . . . . . . . . . 36
§8. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫɬɪɭɧɵ ɦɟɬɨɞɨɦ ɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Ɂɚɞɚɱɢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Ʌɢɬɟɪɚɬɭɪɚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
68
ɍɱɟɛɧɨɟ ɢɡɞɚɧɢɟ
ɋɆȿɒȺɇɇɕȿ ɁȺȾȺɑɂ ȾɅə ɍɊȺȼɇȿɇɂə ɌȿɉɅɈɉɊɈȼɈȾɇɈɋɌɂ
ɂ ɍɊȺȼɇȿɇɂə ɄɈɅȿȻȺɇɂɃ
ɍɱɟɛɧɨ-ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ ɞɥɹ ɜɭɡɨɜ
ɋɨɫɬɚɜɢɬɟɥɶ
Ʉɭɥɢɤɨɜ Ⱥɥɟɤɫɚɧɞɪ Ⱥɥɟɤɫɚɧɞɪɨɜɢɱ
ɂɡɞɚɧɨ ɜ ɚɜɬɨɪɫɤɨɣ ɪɟɞɚɤɰɢɢ
ɉɨɞɩɢɫɚɧɨ ɜ ɩɟɱɚɬɶ 11.09.07. Ɏɨɪɦɚɬ 60×84/16. ɍɫɥ. ɩɟɱ. ɥ. 3,95.
Ɍɢɪɚɠ 50 ɷɤɡ. Ɂɚɤɚɡ 1028.
ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨ-ɩɨɥɢɝɪɚɮɢɱɟɫɤɢɣ ɰɟɧɬɪ
ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ.
394000, ɝ. ȼɨɪɨɧɟɠ, ɩɥ. ɢɦ. Ʌɟɧɢɧɚ, 10. Ɍɟɥ. 208-298, 598-026 (ɮɚɤɫ)
http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@typ.vsu.ru
Ɉɬɩɟɱɚɬɚɧɨ ɜ ɬɢɩɨɝɪɚɮɢɢ ɂɡɞɚɬɟɥɶɫɤɨ-ɩɨɥɢɝɪɚɮɢɱɟɫɤɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚ
ȼɨɪɨɧɟɠɫɤɨɝɨ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ.
394000, ɝ. ȼɨɪɨɧɟɠ, ɭɥ. ɉɭɲɤɢɧɫɤɚɹ, 3. Ɍɟɥ. 204-133.
.