Крамаренко А.А., Широких Л.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил
Подождите немного. Документ загружается.
77 78
⎭
⎬
⎫
=−⋅+⋅−
=+⋅−⋅
.0120X3X1
,090X1X4
21
21
Отсюда получим: Х
1
= -13,64 кН⋅м, Х
2
= 35,45 кН⋅м. Знак
"минус" для числового значения усилия в лишний связи Х
1
ука-
зывает на обратное направление действия этого усилия по срав-
нению с предварительно принятым при выборе основной системе
метода сил.
7. Определение изгибающих моментов в сечениях заданной
рамы и построение соответствующей эпюры. Для рассматривае-
мой задачи соотношение (16.11) примет вид:
M = M
1
X
1
+ M
2
X
2
+ M
F
.
Ординаты эпюры М
1
умножим на –13,64 кН⋅м, а М
2
– на
35,45 кН⋅м, затем произведём сложение эпюр М
1
Х
1
, М
2
Х
2
и M
F
(рис. 16.12). Эпюра изгибающих моментов заданной раме показа-
на рис. 16.13,а.
8. Кинематическая проверка. Для этой цели используем сум-
марную эпюру изгибающих моментов M
s
(рис. 16.10,е)
.0
EJ
36,76
EJ
36,76
1
3
2
45,353
2
1
EJ
1
)5,0
2
64,1360
4164,13(
EJ6
3
1
3
2
55,543
2
1
EJ
1
1
3
2
64,733
2
1
EJ
1
)164,135,018,834(
EJ26
6
ds)s(M)s(M
EJ
1
5
1k
0
Fksk
k
k
=−=⋅⋅⋅⋅⋅+
+⋅
−
⋅+⋅−⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−
−⋅⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅
⋅
=
=
∑
∫
=
l
Кинематическая проверка
выполнена с нулевой абсолют-
ной погрешностью.
9. Построение эпюр попе-
речных и продольных сил в за-
данной раме. Читателям предла-
гается, используя методику, из-
ложенную в п. 5.4 первой части
настоящего курса лекций, эпюру
поперечных сил построить по
эпюре изгибающих моментов, а
эпюру продольных сил – по эпю-
ре поперечных сил
. Эпюры Q и N
для заданной рамы показаны на
рис. 16.13,б,в.
16.7. Расчёт статически
неопределимых систем
методом сил в
матричной форме
Система канонических урав-
нений метода сил (16.4) в мат-
ричной форме запишется:
δX + Δ
F
= 0. (16.20)
δ – матрица перемещений по
направлению усилий в удалён-
ных связях Х
i
в единичных со-
стояниях основной системы ме-
тода сил, или матрица внешней
податливости основной системы
метода сил по направлению
X
i
(i = 1, 2, …, n).
79 80
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δδδδ
=δ
nnnj2n1n
inij2i1i
n2j22221
n1j11211
KK
KKKKKK
KK
KKKKKK
KK
KK
.
Число строк и столбцов этой матрицы равно степени стати-
ческой неопределимости сооружения n, т.е. матрица
δ – это квад-
ратная матрица. С учётом теоремы о взаимности перемещений
матрица
δ симметрична. В силу разрешимости системы уравне-
ний (16.20) матрица внешней податливости основной системы
метода сил является невырожденной, так как её определить не
равен нулю (det
δ ≠ 0).
Х – матрица усилий в лишних связях сооружения, или мат-
рица неизвестных метода сил.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)p(
n
)2(
n
)1(
n
)p(
i
)2(
i
)1(
i
)p(
2
)2(
2
)1(
2
)p(
1
)2(
1
)1(
1
XXX
XXX
XXX
XXX
X
K
MMMM
K
MMMM
K
K
.
Δ
F
– матрица перемещений по направлению неизвестны ме-
тода сил в основной системе от заданного силового воздействия,
или матрица свободных членов системы канонических уравнений
метода сил.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔ
=Δ
)p(
nF
)2(
nF
)1(
nF
)p(
iF
)2(
iF
)1(
iF
)p(
F2
)2(
F2
)1(
F2
)p(
F1
)2(
F1
)1(
F1
F
K
MMMM
K
MMMM
K
K
.
Число строк в матрицах Х и
Δ
F
равно степени статической
неопределимости сооружения n, а число столбцов – числу ком-
бинаций внешних нагрузок р (постоянной и временных).
Элементы матриц
δ и Δ
F
– это перемещения в основной сис-
теме метода сил по направлению усилий в удаленных связях X
i
,
соответственно, от единичных значений этих усилий и заданной
нагрузки. Упомянутые перемещения
δ
ii
, δ
ij
, Δ
iF
можно вычислить
в матричной форме, используя соотношение (13.18):
δ = L
T
B L, (16.21)
Δ
F
= L
T
B L
F
. (16.22)
L – матрица необходимых для расчёта сооружения на сило-
вое воздействие внутренних усилий (изгибающих моментов, по-
перечных и продольных сил) в основной системе метода сил от
X
1
= 1, X
2
= 1, …, X
j
= 1, …, X
n
= 1.
L = [L
1
L
2
… L
j
… L
n
],
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
j
j
j
j
N
Q
M
L.
Число столбцов матрицы L равно числу неизвестных метода
сил n, а число строк блоков M
j
,
Q
j
, N
j
этой матрицы определяется
характером внешней нагрузки и числом грузовых участков со-
оружения.
Для k-го грузового участка с равномерно распределённой на-
грузкой
81 82
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)e(
jk
)c(
jk
)в(
jk
jk
M
M
M
M.
Здесь в и е – концевые сечения грузового участка (начало и
конец), с – среднее сечение грузового участка.
Для k-го грузового участка, на котором распределённой на-
грузки нет
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)e(
jk
)в(
jk
jk
M
M
M.
Для участка с произвольно ориентированной по отношению
к оси стержня равномерно распределённой нагрузкой
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)e(
jk
)в(
jk
jk
Q
Q
Q,
для грузового участка с такой же нагрузкой, но не перпендику-
лярной его оси
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)e(
jk
)в(
jk
jk
N
N
N.
Если равномерно распределённая нагрузка перпендикулярна
оси стержня, то продольную силу на таком грузовом участке бе-
рут в одном, произвольно взятом, сечении. При отсутствии на-
грузки поперечную и продольную силы также фиксируют в од-
ном сечении грузового участка.
В соотношении (16.22) L
F
– матрица внутренних усилий в
основной системе метода сил от заданной нагрузки.
L
F
= [L
F1
L
F2
… L
Fj
… L
Fp
],
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Fj
Fj
Fj
Fj
N
Q
M
L.
Число строк в блоках M
Fj
, Q
Fj
, N
Fj
матрицы L
F
также зависит
от вида нагрузки, количества грузовых участков заданной систе-
мы и совпадает с числом строк блоков M
j
, Q
j
, N
j
матрицы L. Ко-
личество столбцов матрицы L
F
равно числу комбинаций силовых
воздействий р.
В матричных соотношениях (16.21) и (16.22) В – матрица
внутренней упругой податливости сооружения.
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
N
Q
M
B00
0B0
00B
B
.
В
М
– матрица упругой податливости, учитывающая изгибные
деформации элементов сооружения. Для грузового участка с по-
стоянной изгибной жёсткостью поперечного сечения (EJ
k
= const)
при наличии на нём равномерно распределённой нагрузки
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
040
001
EJ6
B
k
k
Mк
l
,
при отсутствии нагрузки –
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
21
12
EJ6
B
k
k
Mk
l
.
B
Q
– матрица упругой податливости, учитывающая дефор-
мации сдвига элементов системы. На k-ом участке с равномерно
распределённой нагрузкой в случае GA
k
= const
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
τ
21
12
GA6
k
B
k
kk
Qk
l
,
без такой нагрузки –
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
τ
k
kk
Qk
GA
k
B
l
.
B
N
– матрица упругой податливости, учитывающая дефор-
мации растяжения-сжатия сооружения. Если равномерно распре-
делённая нагрузка не перпендикулярна оси k-го грузового участ-
ка, то
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
21
12
EA6
B
k
k
Nk
l
,
83 84
если же такого рода нагрузка действует перпендикулярно оси
грузового участка или вообще отсутствует на нём, то
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
k
k
Nk
EA
B
l
.
Из системы канонических уравнений (16.20) получим матри-
цу неизвестных метода сил:
X = –δ
-1
Δ
F
. (16.23)
δ
-1
– матрица, обратная по отношению к матрице внешней
податливости δ. Из линейной алгебры известно, что
δ ⋅ δ
-1
= Е,
где Е – единичная матрица.
Подставляя соотношение (16.21) и (16.22) в матричное вы-
ражение (16.23), получим:
X = –(L
T
B L)
-1
(L
T
B L
F
). (16.24)
Вычислив матрицу усилий в лишних связях сооружения Х и
используя матрицы L и L
F
, элементы которых есть внутренние
усилия (изгибающие моменты, поперечные и продольные) от
X
1
= 1, X
2
= 1, …, X
j
= 1, …, X
n
= 1 и заданной нагрузки, в соот-
ветствии с принципом независимости действия сил, получим:
LXL
N
Q
M
S
F
)F(
)F(
)F(
+=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
. (16.25)
S – матрица внутренних усилий (изгибающих моментов M
(F)
,
поперечных Q
(F)
и продольных N
(F)
сил в заданном сооружении от
силового воздействия. Число строк этой матрицы совпадает с
числом строк матрицы L и L
F
, а число столбцов – с числом
столбцов матрицы L
F
, т.е. с количеством комбинаций внешних
воздействий.
С учётом выражения (16.24) матричное соотношение (16.25)
в окончательной форме запишется:
S = L
F
– L(L
T
BL)
-1
(L
T
BL
F
). (16.26)
Для кинематической проверки расчёта заданного статически
неопределимого сооружения на силовое воздействие производит-
ся сопряжение окончательных эпюр внутренних усилий, описы-
ваемых элементами матрицы S, с эпюрами внутренних усилий в
единичных состояниях основной системы метода сил, описывае-
мых элементами матрицы L. Если расчёт произведён правильно,
то результат сопряжения вышеупомянутых эпюр в матричной
форме даст
нулевую матрицу, т.е.
L
T
B S = 0. (16.27)
В расчётах плоских статически неопределимых рамных и ба-
лочных систем в соотношениях (16.26) и (16.27) матрицы L, L
F
будут содержать блоки, учитывающие только изгибающие мо-
менты, а матрица В – только элементы, соответствующие изгиб-
ным деформациям сооружения. С учётом данного обстоятельст-
ва, когда L = M, L
F
= M
F
, B = B
M
, S = M
(F)
, имеем
M
(F)
= M
F
– M(M
T
B
M
M)
-1
(M
T
B
M
M
F
), (16.28)
M
T
B
M
M
(F)
= 0. (16.29
16.8. Пример расчёта статически неопределимой рамы
методом сил в матричной форме
В раме, показанной на рис. 16.14,а, построить эпюры внут-
ренних усилий отдельно от постоянной равномерно распределён-
ной нагрузки q
1
= 20 кН/м, первой временной равномерно рас-
пределённой нагрузки q
2
= 12 кН/м, второй временной нагрузки –
сосредоточенной силы F = 24 кН, а также вычислить расчётные
изгибающие моменты в её характерных сечениях. Соотношение
между изгибными жесткостями поперечных сечений ригеля и
стоек задано: EJ
p
: EJ
c
= 2 : 0,5.
Порядок расчёта рамы на заданные воздействия в матричной
форме определяется соотношением (16.28):
M
(F)
= M
F
– M(M
T
B
M
M)
-1
(M
T
B
M
M
F
).
1. Подготовительный этап расчёта: определение степени ста-
тической неопределимости рамы (n
st
= 3 ⋅ 3 – 7 = 2), выбор основ-
ной системы метода сил (рис. 16.14,б), построение эпюр изги-
бающих моментов в основной системе от Х
1
= 1, Х
2
= 1
(рис. 16.14,в,г), постоянной нагрузки (рис. 16.15,а), первой вре-
менной (рис. 16.15,б) и второй временной нагрузки (рис. 16.15,в).
85 86
2. Нумерация грузовых участков и сечений, необходимых
для формирования матриц изгибающих моментов M и M
F
(рис. 16.16).
3. Формирование матриц изгибающих моментов M и M
F
от
Х
1
= 1, Х
2
= 1 и заданных нагрузок (постоянной и временных) в
основной системе метода сил в соответствии с принятой нумера-
цией грузовых участков и сечений. Правило знаков для элемен-
тов этих матриц было сформулировано ранее (см. пример 13.4.1
тринадцатой лекции).
87 88
15,F
14,F
13,F
12,F
11,F
10,F
9,F
8,F
7,F
6,F
5,F
4,F
3,F
2,F
1,F
F
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
000
36540
000
36540
000
0040
000
36540
000
3654180
00180
000
000
000
000
M,
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
00
05,0
00
15,0
00
05,0
01
15,0
00
15,0
10
00
10
10
00
M
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
=
1
5
6
4
3
2
4. Формирование матрицы внутренней упругой податливости
рамы, учитывающей изгибные деформации её грузовых участков.
Примем EJ
p
= 2EJ, EJ
с
= 0,5EJ (EJ – произвольное число).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
6,M
5,M
4,M
3,M
2,M
1,M
M
B
B
B
B
B
B
B,
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
===
21
12
EJ
1
21
12
EJ5,06
3
BBB
6,M5,M1,M
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
==
5,000
020
005,0
EJ
1
100
040
001
EJ26
6
BB
3,M2,M
;
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
=
333,000
0332,10
00333,0
EJ
1
100
040
001
EJ26
4
B
4,M
.
5. Вычисление элементов матрицы внешней податливости
принятой для расчёта основной системы метода сил, или матри-
цы коэффициентов при неизвестных δ системы канонических
уравнений.
δ = М
T
B
М
М =
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
650,0
50,092,1
EJ
1
.
6. Вычисление элементов матрицы грузовых коэффициентов,
или матрицы свободных членов Δ
F
системы канонических урав-
нений
Δ
F
= М
T
B
М
М
F
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
108108180
1810867,71
EJ
1
.
7. Обращение матрицы внешней податливости δ.
δ ⋅ δ
-1
= Е,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
10
01
bb
bb
650,0
50,092,1
2221
1211
.
89 90
1,92b
11
– 0,5b
21
= 1,
-0,5b
12
+ 6b
21
= 0.
Отсюда b
11
= 0,533, b
21
= 0,044.
1,92b
12
– 0,5b
22
= 0,
-0,5b
12
+ 6b
22
= 1.
Отсюда b
12
= 0,044, b
22
= 0,170.
δ
-1
= (М
T
B
М
М)
-1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
170,0044,0
044,0533,0
EJ
1
.
8. Вычисление элементов матрицы неизвестных метода сил Х.
X = –δ
-1
Δ
F
= –(М
T
B
М
М)
-1
(М
T
B
М
М
F
) =
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
108108180
1810867,71
EJ
1
170,0044,0
044,0533,0
EJ =
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
2,1961,1385,3
4,148,5222,46
.
9. Вычисление элементов матрицы изгибающих моментов
M
(F)
в заданной раме от постоянной и временной нагрузок.
)F(
15
)F(
14
)F(
13
)F(
12
)F(
11
)F(
10
)F(
9
)F(
8
)F(
7
)F(
6
)F(
5
)F(
4
)F(
3
)F(
2
)F(
1
F
)F(
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
000
8,2861,2711,23
000
0,240,1474,10
000
2,74,2689,16
4,148,5222,46
6,98,6696,56
000
6,921,4104,123
2,1961,1315,146
000
2,1961,1385,
33
2,1961,1385,33
000
MXMM
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−−
−−
−−−
−
−
=+=
10. Кинематическая проверка правильности вычисления эле-
ментов матрицы M
(F)
, являющихся ординатами эпюр изгибающих
моментов в заданной раме от постоянной, первой и второй вре-
менных нагрузок в сечениях, показанных на рис. 16.16.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−−
−−−
=
60,5760,5780,4083,4018,8924,89
60,3360,3360,4161,4126,2726,27
MBM
)F(
M
T
.
Относительные погрешности вычислений при сопряжении
окончательных эпюр изгибающих моментов, описываемых эле-
ментами матрицы M
(F)
, с соответствующими эпюрами от Х
1
= 1 и
Х
2
= 1 в основной системе метода сил, описываемых элементами
матрицы М, не превышают 0,07 %.
11. Построение эпюр изгибающих моментов в заданной раме
M
const
от постоянной нагрузки q
1
= 20 кН/м – по элементам перво-
го столбца матрицы M
(F)
(рис. 16.17);
)1(
temp
M от первой временной
91 92
нагрузки q
2
= 12 кН/м – по элементам второго столбца матрицы
M
(F)
(рис. 16.18);
)2(
temp
M от второй временной нагрузки F = 24 кН
– по элементам третьего столбца матрицы M
(F)
(рис. 16.19).
93 94
12. Построение эпюр поперечных (Q
const
,
)1(
temp
Q
,
)2(
temp
Q
) и
продольных сил (N
const
,
)1(
temp
N,
)2(
temp
N) от каждого из вышеупомя-
нутых воздействий (рис. 16.17, 16.18, 16.19).
13. Статическая проверка условий равновесия рамы в целом.
Здесь эту проверку проведём только в случае действия постоян-
ной нагрузки (рис. 16.20).
∑F
x
= 0, 11,28 – 7,70 – 3,58 = 0, 0 ≡ 0;
∑F
y
= 0, 41,28 + 149,73 + 100,55 + 28,44 – 20⋅16 = 0, 0 ≡ 0;
∑
mom(F)
B
= 0, 41,28⋅6 – 100,55⋅6 – 28,44⋅10 – 20⋅6⋅3 +
+ 20⋅10⋅5 = 1247,68 – 1247,70 = –0,02.
Относительная погрешность вычислений при проверке по-
следнего условия равновесия составляет
68,1247
02,0
⋅ 100 % = 0,0016 %.
14. Вычисление расчётных изгибающих моментов в харак-
терных сечениях рамы (табл. 2).
Таблица 2
Изгибающие моменты, кН⋅м
Расчётные изгибаю-
щие моменты, кН⋅м
№
се-
че-
ний
M
const
)1(
temp
M
)2(
temp
M
max min
3 -33,85 13,61 19,2 -1,04 -33,85
5 -146,15 -13,61 -19,2 -146,15 -178,96
6 -123,04 -41,21 9,6 -113,44 -164,25
8 -56,96 -66,8 -9,6 -56,96 -133,36
9 -46,22 -52,8 14,4 -31,82 -99,02
10 16,89 -26,4 7,2 24,09 -9,51
12 10,74 14,0 24,0 48,74 10,74
14 23,11 -27,61 28,8 51,91 -4,50
2 -33,85 13,61 19,2 -1,04 -33,85
16.9. Вопросы для самопроверки
1. Что называется основной системой метода сил?
95 96
2. Какие приёмы используются для удаления лишних свя-
зей из заданного статически неопределимого сооружения?
3.
В каком случае основная система метода сил для задан-
ного статически неопределимого сооружения будет статически
определимой?
4.
Сформулируйте требования, предъявляемые к основной
системе метода сил. Выполнение какого требования является аб-
солютно обязательным при выборе основной системы?
5.
Для заданного преподавателем статически неопредели-
мого сооружения, испытывающего силовое воздействие, запиши-
те в общем виде систему канонических уравнений метода сил,
используя статически определимую основную систему. Поясните
физический смысл i-го уравнения этой системы.
6.
Какой смысл имеют неизвестные метода сил X
1
, X
2
, …,
X
j
, …, X
n
?
7.
Поясните физический смысл входящих в систему кано-
нических уравнений произведений чисел
δ
ii
X
i
и δ
ij
X
j
?
8.
Какой физический смысл имеют коэффициенты при не-
известных
δ
ii
и δ
ij
, а также грузовые коэффициенты Δ
iF
системы
канонических уравнений метода сил? Как определяются эти ко-
эффициенты для плоских стержневых систем в общем случае?
Какие упрощения при вычислении коэффициентов
δ
ii
, δ
ij
и Δ
iF
имеют место в плоских рамных и балочных системах?
9.
Как проверить правильность вычисления коэффициентов
при неизвестных и свободных членов системы канонических
уравнений метода сил?
10.
Каким образом при силовом воздействии вычисляются
внутренние усилия в заданном статически неопределимом со-
оружении, если известны усилия в лишних связях этого сооруже-
ния X
1
, X
2
, …, X
j
, …, X
n
: для плоских стержневых систем в об-
щем случае? для плоских рамных и балочных систем?
11.
Как производится проверка правильности эпюр внутрен-
них усилий при силовом воздействии, полученных: для произ-
вольной плоской статически неопределимой стержневой систе-
мы? для плоской рамной или балочной системы?
12.
Запишите в общем виде систему канонических уравне-
ний метода сил в матричной форме, а также матричные соотно-
шения для вычисления элементов: матрицы внешней податливо-
сти сооружения
δ, матрицы грузовых коэффициентов системы
канонических уравнений
Δ
F
, матрицы неизвестных метода сил Х,
матрицы внутренних усилий в заданном статически неопредели-
мом сооружении S.
13.
Какой смысл имеют элементы матриц L, L
F
, B, S? Какие
блоки (подматрицы) включают в себя матрицы L, L
F
, B, S?
14.
Определите число строк и столбцов в матрицах L, L
F
, B
для конкретной плоской стержневой системы с заданным сило-
вым воздействием.
15.
Каким образом проверяется правильность вычисления
элементов матрицы внутренних усилий в заданном статически
неопределимом сооружении при силовом воздействии?
16.10. Рекомендуемая литература
1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем:
Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.:
Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.
Гл. 6. Метод сил. § 6.1. Основная идея метода сил. § 6.2. Лишние
неизвестные. Выбор основной системы метода сил.
§ 6.3. Канонические уравнения метода сил и их свойства.
§ 6.4. Вычисление
коэффициентов и свободных членов канониче-
ских уравнений и их проверка. § 6.5. Построение окончательных
эпюр внутренних усилий. Статическая и кинематическая проверки.
– С. 124–134. § 6.7. Пример расчета статически неопределимой ра-
мы методом сил. – С. 136–140. § 6.10. Матричная форма метода
сил. – С. 149–151.
2. Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В. Дар-
ков, Н.Н. Шапошников
. – М.: Высш. школа, 1986. – 607 с.
Гл. 6. Расчёт статически неопределимых систем методом сил.
§ 6.2. Канонические уравнения метода сил. § 6.3. Расчёт статически
неопределимых систем на действие заданной нагрузки. – С. 199–
213. § 6.7. Построение эпюр поперечных и продольных сил. Про-
верка эпюр. – С. 222–228. § 6.14. Проверка коэффициентов и сво-
бодных членов системы канонических уравнений. § 6.15. Примеры
расчёта рам. – С. 247–260.