Крамаренко А.А., Широких Л.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил

Подождите немного. Документ загружается.

57 58

численно равна перемещению в направлении i-й обобщённой си-

лы от смещения j-й связи на единицу (вторая теорема Рэлея).

При определении размерности величины r'

и δ'

необходимо

учитывать их удельный характер, т.е. то обстоятельство, что они

вызываются, соответственно, единичной обобщённой силой и

единичным смещением связи.

Теорема о взаимности реакций и перемещений применяется

в расчётах статически неопределимых систем смешанным мето-

дом.

15.5. Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте теорему о взаимности возможных работ

внешних сил. Какие теоремы взаимности строительной механики

вытекают из этой теоремы?

Сформулируйте теорему о

взаимности перемещений и запи-

шите её в математической форме.

Консольный стержень в со-

стоянии i загружен сосредоточен-

ной силой F

= 1, а в состоянии j –

сосредоточенным моментом M

= 1

(рис. 15.6). Покажите на чертеже

возможные перемещения

и δ

Какую размерность имеют величи-

ны этих перемещений?

Сформулируйте тео-

рему о взаимности реакций и

запишите её в математиче-

ской форме.

5. В двухпролётной не-

разрезной балке в состоянии i

правая опорная связь получа-

ет перемещение вверх на

единицу, а в состоянии j пе-

ремещение на единицу в таком же направлении получает средняя

опорная связь (рис. 15.7). Покажите на чертеже реакции r

и r

Какую размерность имеют величины этих реакций?

Сформулируйте теорему о взаимности реакций и переме-

щений и запишите её в математической форме.

В стержне, защемлённом на

левом конце и шарнирно опёртом

на правом, в состоянии i левая уг-

ловая связь i повёрнута на угол

равный единице, а в состоянии j на

стержень действует единичная со-

средоточенная сила F

= 1

(рис. 15.8). Покажите на чертеже

реакцию r'

и перемещение δ'

. Ка-

кую размерность имеют величины

и δ'

15.6. Рекомендуемая литература

1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем:

Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.:

Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.

Гл. 5. Основы теории расчёта линейно деформируемых систем.

§ 5.5. Теоремы о взаимности. – С. 104–109.

2. Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В.

Дар-

ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высш. школа, 1986. – 607 с.

Гл. 5. Определение перемещений в упругих системах. § 5.2. Теоре-

ма о взаимности работ. § 5.3. Теорема о взаимности перемещений.

– С. 163–168.

3. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы:

Учеб. для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащени-

ков, Н.Н. Шапошников. – М.:

Стройиздат, 1981. – 512 с.

Гл. IX. Основные энергетические теоремы. Свойства матриц по-

датливости и жёсткости. § 48. Теоремы о взаимности. – С. 255–262.

59 60

ЛЕКЦИЯ ШЕСТНАДЦАТАЯ

РАСЧЁ Т СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

МЕТОДОМ СИЛ НА СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

16.1. Основная система метода сил и требования,

предъявляемые к ней

16.2. Система канонических уравнений метода сил

16.3. Определение коэффициентов при неизвестных и

свободных членов системы канонических урав-

нений

16.4. Определение внутренних усилий в заданном со-

оружении

16.5. Промежуточные и окончательная проверки пра-

вильности расчёта

16.6. Пример расчёта статически неопределимой ра-

мы методом сил

16.7.

Расчёт статически неопределимых систем мето-

дом сил в матричной форме

16.8. Пример расчёта статически неопределимой ра-

мы методом сил в матричной форме

16.9. Вопросы для самопроверки

16.10. Рекомендуемая литература

16.1. Основная система метода сил и требования,

предъявляемые к ней

Основной системой метода сил (ОСМС) называется система,

образованная из заданной расчётной схемы сооружения удалени-

ем лишних связей (см. п. 14. 1 четырнадцатой лекции). Если уда-

ляются все лишние связи, то заданное статически неопределимое

сооружение преобразуется в статически определимое. В этом

случае, вычислив каким-либо способом реакции в лишних связях

от заданных воздействий (силовых

, температурных, кинематиче-

ских), мы задачу расчёта статически неопределимого сооружения

сведём к известной задаче по определению напряжённо-

деформированного состояния в статически определимом соору-

жении (см. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике

стержневых систем. Ч. 1 и 2. Статически определимые системы:

Курс лекций. – Новосибирск: НГАСУ, 2000; 2002).

Рассмотрим примеры образования основных систем метода

сил для

статически неопределимых рам (рис. 16.1–16.8). Вычис-

лим сначала степень статической неопределимости этих рам, ис-

пользуя формулу "контуров" (14.1):

рис. 16.1,а – n

= 3⋅3 – 6 = 3; рис. 16.5,а – n

= 3⋅3 – 7 = 2;

рис. 16.2,а – n

= 3⋅3 – 7 = 2; рис. 16.6,а – n

= 3⋅3 – 4 = 5;

рис. 16.3,а – n

= 2⋅3 – 5 = 1; рис. 16.7,а – n

= 3⋅3 – 6 = 3;

рис. 16.4,а – n

= 4⋅3 – 8 = 4; рис. 16.8,а – n

= 2⋅3 – 3 = 3.

61 62

Основные системы метода сил из заданных статически неоп-

ределимых рам можно получить различными способами: удале-

нием опорных связей (рис. 16.1,в; рис. 16.2,в; рис. 16.3,б;

рис. 16.4,б), введением простых или кратных цилиндрических

шарниров (рис. 16,1,б; рис. 16.3,в; рис. 16.4,в; рис. 16.5,б;

рис. 16.7,б), введением поступательных шарниров, как правило, в

элементы, имеющие

по своим концам цилиндрические шарниры

(рис. 16,1,б; рис. 16.2,б,в; рис. 16.7,б,в), удалением всех или части

внутренних связей в цилиндрических шарнирах (рис. 16.8,б), раз-

резом по "живому" сечению (рис. 16.6,в) и другими способами,

включая различные сочетания вышеперечисленных.

Для заданной расчётной схемы статически неопределимого

сооружения существует множество вариантов основных систем

метода сил. Для расчёта принимается вариант, удовлетворяющий

ряду требований, среди которых обязательным является требова-

ние геометрической неизменяемости основной системы метода

сил. С этой точки зрения основные системы метода сил, показан-

ные на рис. 16.1,в и рис. 16.2,в не могут быть использованы для

63 64

расчёта заданных статически неопределимых рам. Основная сис-

тема метода сил, изображённая на рис. 16.1,в, по своей структуре

геометрически изменяема, так как состоит из двух дисков А и В,

соединённых между собой тремя параллельными связями ab, cd,

ef одинаковой длины. На рис. 16.2,в показан вариант мгновенно

изменяемой основной системы метода сил. Действительно, в этом

варианте диск А и диск "земля" В соединяются между собой ци-

линдрическим шарниром К и связью mn, ось которой проходит

через шарнир К.

Выполнение некоторых желательных требований при выборе

основной системы метода сил способствует сокращению времени

на расчёт статически неопределимого сооружения. Это, прежде

всего, образование простых по структуре основных систем мето-

дом

сил, где чётко просматриваются рабочие схемы (главные и

второстепенные части), легко определяются реакции опорных

связей и внутренние усилия. С этой точки зрения основная сис-

тема метода сил, показанная на рис. 16.3,б, предпочтительнее,

чем другая основная система (рис. 16.3,в) для этой же рамы.

Важно, чтобы в используемой для расчёта основной системе

метода сил эпюры внутренних усилий не "растекались" по всем

элементам, т.е. были бы локализованы, и имели бы возможно

меньшие по абсолютной величине ординаты. Часто выполнению

этого условия способствует введение цилиндрических шарниров

в узлы статически неопределимых систем (рис. 16.4,в и

рис. 16.6,б).

Для симметричных статически неопределимых сооружений

основную систему метода сил

следует выбирать также симмет-

ричной (рис. 16.6,б,в и рис. 16.7,б).

16.2. Система канонических уравнений метода сил

На плоскую стержневую систему с известными геометриче-

скими размерами и заданной топологией (рис. 16.9,а) независимо

друг от друга действуют р вариантов силовых полей (постоянная

и временные нагрузки). Будем считать, что в состав постоянной и

временных нагрузок входят сосредоточенные силы и моменты, а

также распределённые на различных участках нагрузки с задан-

ными

законами изменения интенсивностей, в том числе и равно-

мерно распределённые нагрузки. Изменение жесткостных харак-

теристик поперечных сечений вдоль осей элементов сооружения

на изгиб EJ

, сдвиг GA

и растяжение–сжатие EА

примем по

ступенчато переменному закону.

Степень статической неопределимости заданного сооруже-

ния равна n, т.е. сооружение имеет n лишних связей. Образуем

геометрически неизменяемую статически определимую основ-

ную систему метода сил (ОСМС), удалив из расчётной схемы со-

оружения n лишних связей (рис. 16.9,б). Действие отброшенных

связей заменим соответствующими реакциями X

, X

, ..., X

, …,

. Эти реакции в дальнейшем будем называть неизвестными ме-

тода сил. В п. 16.1 уже упоминалось о том, что при известных

значениях усилий в лишних связях X

, X

, ..., X

, …, X

задача

расчёта заданного сооружения сводится к расчёту статически оп-

ределимого сооружения, каким является основная система метода

сил.

65 66

Неизвестные метода сил X

, X

, ..., X

, …, X

определим из

условия эквивалентности напряжённо-деформированных состоя-

ний заданного сооружения (рис. 16.9,а) и его основной системы

метода сил (рис. 16.9,б), т.е. из условия равенства нулю переме-

щений по направлению X

(i = 1, 2, …, n)в основной системе ме-

тода сил от заданной нагрузки и неизвестных метода сил X

, X

..., X

, …, X

= 0, Δ

= 0, …, Δ

= 0. (16.1)

Каждое из перемещений в соотношении (16.1) в соответст-

вии с принципом независимости действия сил представим как

сумму перемещений отдельно от каждого неизвестного метода

сил X

, X

, ..., X

, …, X

и заданной нагрузки:

)x(

i21

=Δ+Δ++Δ++Δ++Δ+Δ KKK

)x(

i21

=Δ+Δ++Δ++Δ++Δ+Δ KKK

………………………………………………………… (16.2)

)x(

i21

=Δ+Δ++Δ++Δ++Δ+Δ KKK

…………………………………………………………

)x(

i21

=Δ+Δ++Δ++Δ++Δ+Δ KKK

В i-й строке выражений (16.2) записаны перемещения по на-

правлению усилия X

в основной системе метода сил, а именно:

)x(

– от неизвестного метода сил X

;

)x(

– от неизвестного X

;

)x(

Δ – от X

;

)x(

Δ – от X

;

)x(

Δ – от X

; Δ

– от заданной нагруз-

ки. Каждое из упомянутых перемещений представим, повторно

пользуясь принципом независимости действия сил, в виде:

11i

)x(

δ=Δ ,

22i

)x(

δ=Δ

………………

iii

)x(

δ=Δ , (16.3)

………………

jij

)x(

δ=Δ ,

………………

nin

)x(

δ=Δ .

Из формул (16.3) следует смысл коэффициентов δ

и δ

: δ

–

перемещение по направлению усилия X

от X

= 1, δ

– перемеще-

ние по направлению усилия X

от X

= 1 в основной системе ме-

тода сил.

После подстановки соотношений (16.3) в выражения (16.2)

получим систему канонических уравнений метода сил:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=Δ+δ++δ++δ++δ+δ

.0XXXXX

,0XXXXX

nFnnnjnjini22n11n

iFninjijiii22i11i

F2nn2jj2ii2222121

F1nn1jj1ii1212111

KKK

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

KKK

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

KKK

(16.4)

В системе уравнений (16.4) коэффициенты при неизвестных

, расположенные на главной диагонали, называются главными

коэффициентами, коэффициенты δ

– побочными. Свободные

члены системы канонических уравнений Δ

при силовом воздей-

ствии называются грузовыми коэффициентами. Побочные коэф-

фициенты δ

и δ

подчиняются теореме о взаимности перемеще-

ний (см. п. 15.2 пятнадцатой лекции), т.е.

= δ

Определив коэффициенты при неизвестных и свободные

члены системы канонических уравнений и решив её, получим не-

известные метода сил X

, X

, ..., X

, …, X

, т.е. усилия в лишних

связях.

16.3. Определение коэффициентов при неизвестных

и свободных членов системы канонических уравнений

Главные, побочные и грузовые коэффициенты системы ка-

нонических уравнений (16.4) по смыслу представляют собой пе-

67 68

ремещения в основной системе по направлению реакций в уда-

лённых связях от неизвестных метода сил, численно равных еди-

нице, и от заданной нагрузки. Эти перемещения можно вычис-

лить по формуле Мора, если известны внутренние усилия в ос-

новной системе метода сил от X

= 1, X

= 1 и от заданного сило-

вого воздействия, в грузовом и единичном состояниях (см. п. 11.2

второй части настоящего курса лекций). Следует иметь ввиду,

что при вычисления главного коэффициента δ

грузовое и еди-

ничное состояния совпадают.

;

ds)s(N

ds)s(Q

ds)s(M

k n

∑

∫

∑

∫

∑

∫

++=δ

lll

(16.5)

;

ds)s(N)s(N

ds)s(Q)s(Q

ds)s(M)s(M

jkik

jiij

∑

∫

∑

∫

∑

∫

++=δ=δ

(16.6)

ds)s(N)s(N

ds)s(Q)s(Q

ds)s(M)s(M

Fkik

∑

∫

∑

∫

∑

∫

++=Δ

(16.7)

В соотношениях (16.5)–(16.7):

(s), Q

(s), N

(s), M

(s), Q

(s), N

(s) – функции, описы-

вающие изменение внутренних усилий (изгибающих моментов,

поперечных и продольных сил) на k-ом грузовом участке, от дей-

ствия X

= 1, X

= 1 в основной системе метода сил;

(s), Q

(s), N

(s) – функции, описывающие изменение

внутренних усилий на k-ом грузовом участке от заданной нагруз-

ки, в основной системе метода сил;

– коэффициент, учитывающий неравномерность распреде-

ления касательных напряжений по высоте поперечного сечения

на соответствующем грузовом участке;

ℓ

– длина k-го грузового участка для конкретного усилия;

, n

– число грузовых участков, в пределах которых за-

кон изменения изгибающих моментов, поперечных и продольных

сил описывается одним аналитическим выражением.

В рамных и балочных системах доля перемещений, опреде-

ляемых деформациями сдвига и растяжения-сжатия, незначи-

тельна по сравнению с долей перемещений, вызываемых изгиб-

ными деформациями (см. п. 11.3 второй части настоящего курса

лекций). В этом случае, с точностью достаточной для инженер-

ных расчётов, определение коэффициентов δ

, δ

и Δ

в основной

системе метода сил может быть произведено только с учётом де-

формаций изгиба, т.е.

;

ds)s(M

∑

∫

=δ

(16.8)

;

ds)s(M)s(M

jkik

jiij

∑

∫

=δ=δ

(16.9)

ds)s(M)s(M

Fkik

∑

∫

=Δ

(16.10)

Определённые интегралы выражений (16.5)–(16.7) чаще все-

го вычисляются по формуле Симпсона (см. п. 11.4 второй части

настоящего курса лекций). При ступенчато-переменных значени-

ях жёсткостей поперечных сечений EJ

, GA

, EA

и при действии

на сооружение произвольных сосредоточенных сил и моментов, а

также распределённых нагрузок с постоянной интенсивностью,

эта формула даёт точные значения определённых интегралов,

входящих в формулу Мора. В случае, когда одна или обе подын-

тегральных функции линейны, вычисление вышеупомянутых оп-

ределённых интегралов можно произвести, используя правило

Верещагина.

16.4. Определение внутренних усилий

в заданном сооружении

На данном этапе расчёта статически неопределимого соору-

жения мы располагаем эпюрами внутренних усилий M

, Q

, N

, Q

, N

, …, M

, Q

, N

, …, M

, Q

, N

, M

, Q

, N

, построенными

69 70

в основной системе метода сил от Х

= 1, Х

= 1, …, Х

= 1, …,

= 1 и заданного силового воздействия, а также реакциями в

лишних связях Х

, Х

, …, Х

, полученными в результате

решения системы канонических уравнений метода сил (16.4).

Внутренние усилия в сечениях заданной статически неопредели-

мой системы от внешней нагрузки вычислим, применяя принцип

независимости действия сил:

M = M

+ M

+ … + M

+ M

; (16.11)

Q = Q

+ Q

+ … + Q

+ Q

; (16.12)

N = N

+ N

+ … + N

+ N

. (16.13)

В статически неопределимых рамных и балочных системах,

где коэффициенты δ

, δ

, Δ

определяются с учётом только из-

гибных деформаций по сокращённым формулам Мора (16.8)–

(16.10), в сечениях заданного статически неопределимого соору-

жения могут быть получены только изгибающие моменты (см.

соотношение (16.11)). В этом случае поперечные и продольные

силы определяются по известной эпюре изгибающих моментов из

условий равновесия элементов и узлов заданного сооружения

(см. п. 5.4

первой части настоящего курса лекций).

16.5. Промежуточные и окончательная проверки

правильности расчёта

Из пунктов 16.1–16.4 настоящей лекции просматривается

следующая последовательность расчёта статически неопредели-

мых систем методом сил:

1. Выбор основной системы.

2. Построение в основной системе метода сил эпюр внутрен-

них усилий от X

= 1 (j = 1, 2, …, n) и от заданной нагрузки.

3. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных

членов системы канонических уравнений метода сил.

4. Решение системы канонических уравнений.

5. Определение внутренних усилий в заданном сооружении.

Многоэтапность расчёта требует постоянного контроля за

ходом решения задачи. В первую очередь, необходимо убедиться

в правильности построения эпюр внутренних усилий в основной

системе

от неизвестных метода сил X

= 1 (j = 1, 2, …, n) и задан-

ной нагрузки (см. п. 5.2 и 5.4 первой части настоящего курса лек-

ций).

Далее проводится проверка достоверности вычислений ко-

эффициентов при неизвестных и свободных членов системы ка-

нонических уравнений. Изложим здесь ход этой проверки для

рамных и балочных систем, где коэффициенты при неизвестных

и свободные члены вычисляются только сопряжением эпюр

из-

гибающих моментов M

, M

, …, M

, M

, построен-

ных в основной системе метода сил от Х

= 1, Х

= 1, …, Х

= 1,

…, Х

= 1, …, Х

= 1 и заданной нагрузки. Для проверки исполь-

зуем суммарную эпюру изгибающих моментов:

= M

+ M

+ … + M

+ … M

+ …+ M

. (16.14)

Сопрягая эту эпюру саму на себя, получим сумму всех коэф-

фициентов при неизвестных системы канонических уравнений:

.222

ds)s(M

n,1nij12

nnjjii2211

−

δ++δ++δ+

+δ+δ++δ++δ+δ=

∑

∫

KKK

(16.15)

В этом нетрудно убедиться, подставив соотношение (16.14) в

левую часть формулы (16.15). Если полученная сумма не совпа-

дает с суммой всех коэффициентов при неизвестных, ранее вы-

численных по формулам (16.8) и (16.9), то необходимо выявить

ошибку путём построчной проверки правильности вычисления

коэффициентов при неизвестных метода сил. Эту сумму для i-й

строки системы канонических уравнений

получим, сопрягая

суммарную эпюру изгибающих моментов M

с эпюрой изгибаю-

щих моментов M

, построенной в основной системе от действия

= 1.

[]

+++++++

∑

∫

∑

∫

iknkjkikk2k1

iksk

ds)s(M)s(M)s(M)s(M)s(M)s(M

ds)s(M)s(M

KKK

+ δ

+ … + δ

+ … +δ

. (16.16)

71 72

Сумму всех грузовых коэффициентов системы канонических

уравнений получим, сопрягая суммарную эпюру изгибающих

моментов M

с грузовой эпюрой изгибающих моментов M

, по-

лученной в основной системе от заданного силового воздействия.

[]

+++++++

∑

∫

∑

∫

Fknkjkikk2k1

Fksk

ds)s(M)s(M)s(M)s(M)s(M)s(M

ds)s(M)s(M

KKK

nFjFiFF2F1

++Δ++

KKK (16.17)

Сумма грузовых коэффициентов, полученная из соотноше-

ния (16.17), должно совпадать с суммой свободных членов сис-

темы канонических уравнений, ранее вычисленных по формуле

(16.10).

На заключительном этапе расчёта проводится проверка пра-

вильности эпюр внутренних усилий M, Q, N, построенных в за-

данном статически неопределимом сооружении от внешней на-

грузки. Эти эпюры достоверны, если выполнены кинематические

условия

, а именно: перемещения по направлению любого неиз-

вестного метода сил X

(i = 1, 2, …, n) в основной системе от дей-

ствия всех усилий в лишних связях X

, X

, …, X

и задан-

ной нагрузки должно быть равно нулю, так как в заданном со-

оружении имеется связь, препятствующая перемещению по на-

правлению X

. Для вычисления этого перемещения проверяемые

эпюры внутренних усилий M, Q, N сопрягаются с эпюрами внут-

ренних усилий M

, Q

, N

, полученными в основной системе мето-

да сил от X

(i = 1, 2, …, n).

ds)s(N)s(N

ds)s(Q)s(Q

ds)s(M)s(M

ikk

∑

∫

∑

∫

∑

∫

(16.18)

В расчётах статически неопределимых рамных и балочных

систем эта проверка производится по сокращённой формуле

Мора:

ds)s(M)s(M

ikk

∑

∫

(16.19)

Для кинематической проверки правильности расчёта стати-

чески неопределимого сооружения могут быть использованы

эпюры внутренних усилий, построенные в каких-то других ос-

новных системах метода сил от X

(i = 1, 2, …, n) и ранее не ис-

пользуемых для расчёта заданной системы, а также суммарные

эпюры внутренних усилий, полученные в любой основной систе-

ме M

, Q

, N

от X

(i = 1, 2, …, n) (см., например, соотношение

(6.14) для M

16.6. Пример расчёта статически неопределимой рамы

методом сил

Построить эпюры внутренних усилий от силового воздейст-

вия в раме, изображённой на рис. 16.10,а, если известно, что из-

гибная жёсткость поперечных сечений ригелей рамы EJ

вдвое

больше изгибной жёсткости поперечных сечений её стоек EJ

, т.е.

: EJ

= 2 : 1.

1. Определение степени статической неопределимости рамы

по формуле "контуров" (14.1).

= 3K – H = 3 ⋅ 2 – 4 = 2.

При вычислении n

учтено, что шарнир правой стойки рамы,

соединяющий в узле три диска, эквивалентен двум простым шар-

нирам.

2. Выбор основной системы метода сил и её кинематический

анализ. Основную систему образуем введением цилиндрических

шарниров в верхний и нижний узлы правой стойки рамы, т.е.

удалением связей, препятствующих взаимному повороту двух со-

седних сечений

верхнего правого узла рамы и повороту сечения,

расположенному близко к правому опорному защемлению рамы.

За неизвестные метода сил в нашем случае принимаются усилия

в удалённых угловых связях, а именно – изгибающие моменты Х

и Х

(рис. 16.10,б).

73 74

Принятая для расчёта основная система метода сил с кине-

матической точки зрения имеет простую структуру и геометриче-

ски неизменима. Действительно, диск 1 основной системы закре-

пляется к диску "земля" цилиндрическим шарниром А и связью

ab, ось которой не проходит через шарнир А (рис. 16.11,а). К гео-

метрически неизменяемой структуре AbaС узел

В присоединён

диадой (двумя связями СВ и аВ).

3. Построение эпюр изгибающих моментов в основной сис-

теме метода сил от Х

= 1 (рис. 16.10,в), Х

= 1 (рис. 16.10,г) и за-

данной нагрузки (рис. 16.10,д). Эти эпюры читателям предлагает-

ся построить самостоятельно, приняв во внимание рабочую схему

основной системы (рис. 16.11,б), на которой показаны её главная

и второстепенная части и определён порядок расчёта.

4. Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных

членов системы канонических уравнений:

⎭

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

.0XX

,0XX

F2222121

F1212111

Сопряжение соответствующих эпюр изгибающих моментов

будем производить, используя формулу Симпсона и правило Ве-

рещагина (см. п. 11.4 второй части настоящего курса лекций).

Напоминаем, что определение коэффициентов δ

, δ

и Δ

в рам-

ных и балочных системах производится только с учётом изгиб-

ных деформаций по формулам (16.8)–(16.10).

Примем EJ

= 2EJ, EJ

= EJ (EJ

– произвольное число), сохра-

няя заданное соотношение между изгибными жесткостями попе-

речных сечений ригелей и стоек рамы.

75 76

Читателям рекомендуется тщательно проверить арифметиче-

ские выражения, записанные ниже для численных значений оп-

ределённых интегралов формулы Мора.

;

EJ2

ds)s(M

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

==δ

∑

∫

;

EJ2

ds)s(M)s(M

EJ2

212112

−=⋅⋅⋅⋅⋅−=

==δ=δ

∫

;

EJ2

ds)s(M

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=

==δ

∑

∫

;

603

306

EJ2

5,0904

EJ26

ds)s(M)s(M

Fkk1

=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅

==Δ

∑

∫

120

903

306

EJ2

ds)s(M)s(M

Fkk2

−=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=

==Δ

∑

∫

5. Проверка правильности вычисления коэффициентов при

неизвестных и грузовых коэффициентов системы канонических

уравнений. Суммарная эпюра изгибающих моментов M

= M

от Х

= 1 и Х

= 1 в основной системе метода сил показана на

рис. 16.10,е.

EJ2

ds)s(M

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=

∑

∫

Результат сопряжения эпюры изгибающих моментов M

саму

на себя равен сумме

22211211

=+−−=δ+δ+δ+δ ,

что подтверждает достоверность вычисления коэффициентов при

неизвестных.

903

603

5,0904

EJ26

ds)s(M)s(M

Fksk

−=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅

∑

∫

Сумма ранее вычисленных грузовых коэффициентов систе-

мы канонических уравнений

120

F2F1

−=−=Δ+Δ

совпадает с результатами сопряжения эпюр изгибающих момен-

тов M

и M

, что свидетельствует о правильности их вычисления.

6. Решение системы канонических уравнений:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=−⋅+⋅−

=+⋅−⋅

120

В заданной системе уравнений абсолютное значение жёстко-

сти поперечного сечения стоек рамы EJ

= EJ сокращается, т.е.

величины усилий в лишних связях Х

и Х

и, следовательно, зна-

чения внутренних усилий от заданной нагрузки во всех сечениях

рамы зависят от относительного значения изгибных жесткостей

поперечных сечений элементов рамы. Этот вывод распространя-

ется на любые статически неопределимые стержневые системы

при их расчёте на силовое воздействие.