Крамаренко А.А., Широких Л.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил

Подождите немного. Документ загружается.

135 136

оружений целесообразно проводить, используя симметричную

основную систему метода сил (см. п. 18.2 и 18.3 настоящей лек-

ции).

18.2. Использование симметричной основной системы

метода сил

Если для расчёта рамы, имеющей вертикальную ось симмет-

рии (рис. 18.1,а) на произвольное воздействие (силовое, темпера-

турное или кинематическое) использовать несимметричную ос-

новную систему метода сил, показанную на рис. 18.1,б, то этот

расчёт сведётся к решению полной системы четырёх алгебраиче-

ских неоднородных уравнений с четырьмя неизвестными Х

, Х

. Эта система уравнений для рассматриваемой задачи при-

мет вид:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=Δ+δ+δ+δ+δ

.0XXXX

,0XXXX

F4444343242141

F3434333232131

F2424323222121

F1414313212111

(18.1)

Приняв для расчёта рамы симметричную основную систему

(рис. 18.1,в), мы будем иметь дело с обратносимметричными (Х

и Х

) и симметричными неизвестными (Х

и Х

). От единичных

значений этих неизвестных эпюры внутренних усилий будут об-

ратносимметричными или симметричными. В частности, для рас-

сматриваемой рамы, учитывая только деформации изгиба её эле-

ментов, в основной системе будем иметь: эпюры М

и М

, соот-

ветственно, от Х

= 1 и Х

= 1 – обратносимметричными, эпюры

и М

от Х

= 1 и Х

= 1 –симметричными.

Сопрягая обратносимметричные эпюры изгибающих момен-

тов М

и М

с симметричными – М

и М

, получим:

∑

∫

==δ=δ

k2k1

2112

ds)s(M)s(M

∑

∫

==δ=δ

k4k1

4114

ds)s(M)s(M

∑

∫

==δ=δ

k3k2

3223

ds)s(M)s(M

∑

∫

==δ=δ

k4k3

4334

ds)s(M)s(M

С учётом нулевых значений вышеперечисленных побочных

коэффициентов система канонических уравнений метода сил

(18.1) распадётся на две независимых друг от друга системы двух

уравнений с двумя неизвестными, причём первая из этих систем

уравнений будет содержать только обратносимметричные неиз-

вестные, а вторая – только симметричные.

⎭

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

⎭

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

.0XX

,0XX

.0XX

,0XX

F4444242

F2424222

F3333131

F1313111

18.3. Группировка неизвестных метода сил

Часто при выборе симметричной основной системы не все-

гда удаётся получить только симметричные и обратносиммет-

ричные неизвестные метода сил. Например, рассмотрим для

137 138

симметричной рамы

(рис. 18.2,а) два вариан-

та симметричной основ-

ной системы метода сил.

Первый вариант

(рис. 18.2,б) содержит

симметричное неизвест-

ное Х

, обратносиммет-

ричное Х

и несиммет-

ричные неизвестные Х

и Х

. Во втором вариан-

те (рис. 18.2,в) все неиз-

вестные метода сил Х

, Х

несимметрич-

ны. Использование рас-

сматриваемых вариан-

тов симметричных ос-

новных систем для рас-

чёта рамы на произ-

вольную нагрузку при

указанных наборах не-

известных метода сил не

приведёт к разделению

одной группы неизвест-

ных метода сил от дру-

гой в системе канониче-

ских уравнений, так как

в единичных состояниях

первого

варианта ос-

новной системы только

часть эпюр внутренних

усилий будут носить симметричный (от Х

= 1) или обратносим-

метричный (Х

= 1) характер, а во втором варианте основной сис-

темы таких эпюр внутренних усилий вообще не будет.

Ситуация изменится, если в качестве неизвестных метода

сил использовать симметричные и обратносимметричные груп-

повые неизвестные. Искусственной группировке подлежат неиз-

вестные реакции в симметрично расположенных лишних связях,

чаще всего – в двух. В частности, для нашего примера:

в первом

варианте основной системы (рис. 18.2,б) – это Х

и Х

, а во вто-

ром (рис. 18.2,в) – Х

и Х

, Х

и Х

Кинематические условия, на базе которых составляется сис-

тема канонических уравнений метода сил, естественно, должны

быть выполнены. Так, для основной системы, показанной на

рис. 18.2,в, неизвестные метода сил подбираются из условий ра-

венства нулю перемещений по на-

правлению Х

, Х

от дейст-

вия всех неизвестных метода сил и

заданной нагрузки, т.е. из условий:

= 0, Δ

= 0.

Эти условия будут выполнены,

если в рассматриваемой основной

системе отрицать групповые пере-

мещения, а именно:

⎭

⎬

⎫

=Δ−Δ

=Δ+Δ

⎭

⎬

⎫

=Δ−Δ

=Δ+Δ

Указанным групповым пере-

мещениям соответствуют группо-

вые неизвестные метода сил

4321

, которые являются

симметричными или обратносим-

метричными. Единичные состоя-

ния, соответствующие принятым

групповым неизвестным, показаны

на рис. 18.3.

Система канонических урав-

нений для определения групповых

неизвестных

4321

запи-

шется:

139 140

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=Δ+δ+δ+δ+δ

F4444343242141

F3434333232131

F2424323222121

F1414313212111

(18.2)

В системе уравнений (18.2)

iFijii

Δδδ

– групповые переме-

щения в основной системе, соответственно, от единичных груп-

повых неизвестных и заданной нагрузки. Учитывая симметрич-

ный характер групповых неизвестных

и обратносиммет-

ричный –

, как и в п. 18.2 настоящей лекции, получим:

4334422431132112

=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ=δ

С учётом нулевых значений восьми побочных коэффициен-

тов система уравнений (18.2) распадётся на две системы двух

уравнений с двумя неизвестными:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

F4444141

F1414111

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

F3333232

F2323222

Первая из приведённых систем уравнений содержит только

симметричные групповые неизвестные

, а вторая – толь-

ко обратносимметричные

При построении эпюр внутренних усилий в заданном соору-

жении различий между обычными и групповыми неизвестными

метода сил не делают. Например, эпюру изгибающих моментов в

статически неопределимой раме, показанной на рис. 18.2,а, от

действия произвольной нагрузки, можно получить, имея эпюры

изгибающих моментов

4321

в групповых единичных

состояниях и зная численные значения групповых неизвестных

4321

, следующим образом:

F44332211

M ++++= .

18.4. Случай симметричного или обратносимметричного

внешнего воздействия

В симметричных статически неопределимых системах, под-

верженных симметричному или обратносимметричному внешне-

му воздействию (силовому, температурному, кинематическому),

при использовании симметричной основной системы упрощение

системы канонических уравнений метода сил достигается за счёт

обращения в нуль части её свободных членов. Если во всех еди-

ничных состояниях основной системы эпюры внутренних усилий

симметричны или обратносимметричны

, то в случае симметрич-

ных внешних воздействий (рис. 18.4,а) обратносимметричные

неизвестные метода сил в заданном сооружении будут равны ну-

лю, а в случае обратносимметричных воздействий (рис. 18.4,б) –

симметричные неизвестные метода сил равны нулю.

Покажем это на примере рамы, подверженной симметрично-

му силовому воздействию (рис. 18.4,а). Используя группировку

неизвестных, в единичных

состояниях основной системы метода

сил этой рамы (рис. 18.3) будем иметь симметричные эпюры из-

гибающих моментов

от симметричных групповых не-

известных

= 1 и

= 1 и обратносимметричные –

от обратносимметричных групповых неизвестных

= 1 и

= 1. В системе канонических уравнений в этом случае про-

изойдёт разделение симметричных и обратносимметричных не-

известных метода сил, и она запишется в виде двух независимых

друг от друга систем уравнений:

⎭

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

F4444141

F1414111

(18.3)

⎭

⎬

⎫

=Δ+δ+δ

F3333232

F2323222

(18.4)

141 142

При симметричном воздействии на раму в системе уравне-

ний (18.4) свободные члены будут равны нулю, так как в основ-

ной системе метода сил эпюры изгибающих моментов в единич-

ных состояниях

обратносимметричны, а грузовая эпю-

ра M

– симметрична, т.е.

ds)s(M)s(M

Fkk3

Fkk2

∑

∫

∑

∫

==Δ==Δ

Система уравнений (18.4) преобразуется в однородную:

⎭

⎬

⎫

=δ+δ

.0X

,0X

333232

323222

(18.5)

В силу однозначности решения задачи по определению

внутренних усилий в заданной раме, для системы линейных ал-

гебраических однородных уравнений (18.5) имеем:

)(Det

3332

2322

≠

δδ

=δ .

Если определитель системы уравнений (18.5) не равен нулю,

то неизвестные этой системы уравнений равны нулю, т.е.

= 0,

= 0, что и требовалось доказать.

Используя систему уравнений (18.3) и аналогичный ход рас-

суждений, покажем, что в симметричной статически неопреде-

лимой раме от обратносимметричной нагрузки (рис. 18.4,б) сим-

метричные неизвестные метода сил равны нулю, т.е.

= 0,

= 0.

18.5. Вопросы для самопроверки

1. За счёт чего может быть произведено упрощение системы

канонических уравнений метода сил при расчёте на произвольное

внешние воздействие (силовое, температурное, кинематическое)

статически неопределимых систем, имеющих хотя бы одну ось

симметрии?

При каких условиях произойдёт разложение системы ка-

нонических уравнений метода сил на две независимые друг от

друга системы уравнений? Какой характер имеют неизвестные

метода сил, содержащиеся в каждой из этих систем уравнений?

Задана симметричная статически неопределимая система

(балка, рама или ферма). Определите степень статической неоп-

ределимости этого сооружения и выберите для его расчёта сим-

метричную основную систему метода сил. Какой характер носят

неизвестные метода сил в полученной основной системе (сим-

метричный, обратносимметричный, несимметричный)? Произве-

дите, при необходимости, группировку несимметричных неиз-

вестных метода

сил. Запишите в общем виде систему канониче-

ских уравнений относительно принятых неизвестных для расчёта

заданного сооружения. Какие побочные коэффициенты этой сис-

темы уравнений будут равны нулю и почему? Что произойдёт с

системой канонических уравнений после исключения из неё чле-

нов с нулевыми побочными коэффициентами?

143 144

4. Задано симметричное статически неопределимое соору-

жение, подверженное симметричному (обратносимметричному)

внешнему силовому, температурному или кинематическому воз-

действию. Выберите симметричную основную систему метода

сил, произведите, при необходимости, группировку неизвестных

метода сил, запишите в общем виде систему канонических урав-

нений для расчёта заданного сооружения на симметричное (об-

ратносимметричное) внешнее воздействие. Укажите неизвестные

метода сил

, равные нулю, при симметричном (обратносиммет-

ричном) внешнем воздействии. Объясните, почему при указан-

ном характере внешнего воздействия эти неизвестные метода сил

равны нулю?

18.6. Рекомендуемая литература

1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем:

Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.:

Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.

Гл. 6. Метод сил. § 6.8. Возможные упрощения при расчёте стати-

чески неопределимых систем методом сил. – С. 142–147.

Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В. Дар-

ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высш. школа, 1986. – 607 с.

Гл. 6. Расчёт статически неопределимых систем методом сил.

§ 6.10. Использование симметрии. § 6.11. Группировка неизвест-

ных. § 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки. –

С. 238–245. § 6.15. Примеры расчёта рам. – С. 249–263.

Смирнов А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы:

Учеб. для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащени-

ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Стройиздат, 1981. – 512 с.

Гл. XI. Метод сил. § 61. Способы разделения неизвестных в систе-

ме канонических уравнений. – С. 335–349.

Клейн Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строи-

тельной механики. Статика стержневых систем: Учеб. пособие /

Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев. – М.: Высш. школа, 1980. – 384 с.

Гл. IX. Расчёт рам методом сил. § IX.2. Использование симметрии

при расчёте рам. – С. 145–159.

Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах.

Ч. 2. Статически неопределимые системы: Учеб. пособие /

Н.Н. Анохин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2000.

– 464 с.

Гл. 5. Расчёт сооружений методом сил. § 5.1. Основная идея метода

сил. Выбор рациональной основной системы. Пример 5.2. – С. 12–

14. Примеры 5.6–5.9. – С. 15–19. Пример 5.11. – С. 20.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем:

Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.:

Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.

Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В. Дар-

ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высш. школа, 1986, – 607 с.

Смирнов А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы: Учеб.

для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников,

Н.Н. Шапошников. – М.: Стройиздат, 1981, – 512 с.

Снитко Н.К. Строительная механика: Учеб. для вузов /

Н.К. Снитко. – М.: Высш. школа, 1972. – 487 с.

Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах.

Ч. 1. Статически определимые системы: Учеб. пособие / Н.Н. Ано-

хин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 1999. – 334 с.

Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах.

Ч. 2. Статически неопределимые системы: Учеб. пособие / Н.Н. Ано-

хин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2000. – 464 с.

Доценко И.С. Строительная механика: Учеб. пособие /

И.С. Доценко. – Киев: Вища школа, 1986. – 294 с.

Клейн Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строи-

тельной механики. Статика стержневых систем: Учеб. пособие /

Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев и др. – М.: Высш. школа, 1980. – 384 с.

Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых сис-

тем. Ч. 1. Статически определимые системы: Курс лекций (лекции

№ 1–7) / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2000. – 136 с.

10.

Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых сис-

тем. Ч. 2. Статически определимые системы: Курс лекций (лекции

№ 8–12) / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2000. – 104 с.

11.

Крамаренко А.А. Расчёт статически неопределимых систем мето-

дом сил: Метод. указания / А.А. Крамаренко, Л.А. Широких. – Но-

восибирск: НГАСУ, 1999. – 44 с.

12.

Проценко В.М. Расчёт статически неопределимых рам: Методиче-

ские указания / В.М. Проценко, В.Г. Себешев. – Новосибирск:

НГАС, 1993. – 56 с.

13.

Крамаренко А.А. Определение перемещений в статически опреде-

лимых системах. Статически неопределимые системы: Сборник

задач / А.А. Крамаренко, Л.А. Широких. – Новосибирск: НГАС,

1996. – 40 с.

14.

Себешев В.Г. Инструкция к программе "MEFOR" расчёта статиче-

ски неопределимых стержневых систем в матричной форме: Учеб-

ная программа / В.Г. Себешев. – Новосибирск: НИСИ, 1988. – 14 с.

15.

Себешев В.Г. Основные символы и обозначения, используемые в

курсе дисциплин кафедры строительной механики / В.Г. Себешев.

– Новосибирск: НГАСУ, 1998. – 27 с.