Крамаренко А.А., Широких Л.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Часть 3: Статически неопределимые системы. Метод сил
Подождите немного. Документ загружается.
19 20
как элементы матриц M
i
и M
F
: на участках 1 и 3, где нет распре-
делённой нагрузки, – в начале и в конце; на участке 2, несущем
равномерно распределённую нагрузку, – в начале, середине и в
конце (рис. 13.4,г). Порядок нумерации сечений должен строго
соответствовать последовательности нумерации грузовых участков.
4. Формирование матриц изгибающих моментов M
i
и M
F
, а
также матрицы внутренней податливости рамы В
М
, учитывающей
изгибные деформации на выделенных грузовых участках. Эле-
менты матриц M
i
и M
F
будем считать положительными, если из-
гибающие моменты в рассматриваемых сечениях растягивают
нижние волокна на горизонтальных участках и правые – на вер-
тикальных. Отрицательные элементы этих матриц соответствуют
изгибающим моментам, растягивающим верхние волокна на го-
ризонтальных участках и левые – на вертикальных.
.
M
M
M
M
M
M
M
00
69
69
00
69
69
120
M;
M
M
M
M
M
M
M
00
5,05,1
5,05,1
00
5,05,1
5,05,1
00
M
7
6
5
4
3
2
1
F
7
6
5
4
3
2
1
i
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
Так как на всех грузовых участках рамы изгибные жёсткости
поперечных сечений постоянны, матрица внутренней податливо-
сти второго грузового участка определится соотношением
(13.11), а первого и третьего – соотношением (13.13):
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
100
040
001
EJ
1
100
040
001
EJ6
6
B
2,M
;
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅
==
21
12
EJ
1
21
12
EJ5,06
3
BB
3,M1,M
.
Для всей рамы матрица внутренней податливости В
М
форми-
руется из блоков, записанных выше для отдельных грузовых уча-
стков:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
21
12
100
040
001
21
12
EJ
1
B00
0B0
00B
B
3,M
2,M
1,M
M
.
5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θθ
ΔΔ
=Δ
)M()q(
)M()q(
F
kk
kxkx
=
FM
T
i
MBM =
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
00
69
69
00
69
69
120
21
12
100
040
001
21
12
EJ
1
05,05,005,05,
00
05,15,105,15,10
21 22
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
00
69
69
00
69
69
120
5,015,005,015,0
5,135,105,135,1
EJ
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
=
EJ
12
EJ
18
EJ
72
0
1218
720
EJ
1
.
Из полученной матрицы перемещений видно, что горизон-
тальное перемещение узла К равно нулю, что и следовало ожи-
дать, так как вычисление этого перемещения по формуле Мора
∑
∫
=
=Δ
3
1k
0
k
qkk1
)q(
kx
k
EJ
ds)s(M)s(M
l
сводится к сопряжению симметричной эпюры изгибающих мо-
ментов M
q
с обратносимметричной эпюрой изгибающих момен-
тов М
1
. Так как величины перемещений
)q(
k
θ
,
)M(
kx
Δ
и
)M(
k
θ
полу-
чились отрицательными, то это значит, что направление этих пе-
ремещений противоположно направлению соответствующих
единичных силовых факторов.
П
РИМЕР 13.4.2. В ферме, показанной на рис. 13.5,а, от со-
средоточенных сил F = 16 кН определить вертикальное переме-
щение узла 1 (Δ
1у
) и горизонтальное перемещение узла 6 (Δ
6х
), т.е.
вычислить элементы матрицы перемещений
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
=Δ
)F(
x6
)F(
y1
F
.
Жёсткости поперечных сечений элементов фермы на растя-
жение–сжатие известны и равны: для горизонтальных стержней –
2ЕА, вертикальных – ЕА, наклонных – 0,5ЕА.
Требуемую матрицу пере-
мещений определим по форму-
ле (13.14)
F
Δ
=
FN
T
i
NBN.
1. Определение продоль-
ных усилий в стержнях фермы
от заданной нагрузки F = 16 кН
(рис. 13.5,а).
2. Определение продоль-
ных усилий в стержнях фермы
от вертикальной единичной си-
лы F
1y
, приложенной к узлу 1
(рис. 13.5,б) и от горизонталь-
ной единичной силы F
6x
= 1,
приложенной к узлу 6
(рис. 13.5,в).
Результаты расчётов по оп-
ределению усилий в стержнях
фермы от заданной нагрузки и
от единичных сосредоточенных
сил приведены в табл. 1. Про-
дольные усилия от заданной на-
грузки вычислены в кН.
Таблица 1
N
A1
N
23
N
3B
N
45
N
56
N
A2
N
24
F=16 кН -16 -16 -16 -2,67 -2,67 -14 -2
F
1y
=1 0 0 0 -0,67 -0,67 -0,5 -0,5
F
6x
=1 -1 -1 0 0 0 -0,75 0
Продолжение табл. 1
N
13
N
35
N
B6
N
43
N
36
N
21
F=16 кН -12 -16 -2 3,33 3,33 20
F
1y
=1 1 0 -0,5 0,83 0,83 0
F
6x
=1 -0,75 0 0,75 0 -1,25 1,25
23 24
3. Формирование матриц продольных усилий в стержнях
фермы N
i
от единичных силовых факторов и N
F
от заданной на-
грузки. Порядок записи продольных усилий в упомянутых мат-
рицах сохраним такой же, как в табл. 1.
0 0 0 -0,67 -0,67 -0,5 -0,5
=
T
i
N
-1 -1 0 0 0 -0,75 0
N
A1
N
23
N
3B
N
45
N
56
N
A2
N
24
1 0 -0,5 0,83 0,83 0
-0,75 0 0,75 0 -1,25 1,25
N
13
N
35
N
B6
N
43
N
36
N
21
=
T
F
N
-16 -16 -16 -2,67 -2,67 -14 -2
-12 -16 -2 3,33 3,33 20
4. Формирование матрицы внутренней податливости фермы
B
N
, учитывающей деформации растяжения–сжатия её стержней.
Выше было показано, что для k-го стержня фермы
k
k
Nk
EA
B
l
= [1].
Учитывая это соотношение, получим:
– для горизонтальных стержней –
]2[
EA
1
]1[
EA2
4
B
N
== ;
– вертикальных –
]3[
EA
1
]1[
EA
3
B
N
== ;
– наклонных –
]10[
EA
1
]1[
EA5,0
5
B
N
== .
Для всей фермы матрица внутренней податливости B
N
имеет
диагональную структуру и запишется:
[]
1010103333322222
EA
1
diagB
N
= .
5. Вычисление требуемой матрицы перемещений
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
==
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
Δ
=Δ
EA
37,326
EA
44,53
NBN
FN
T
i
)F(
)F(
F
x6
y1
.
Операция умножения матриц здесь не приведена. Читатели,
при желании, могут это выполнить самостоятельно. Знак "плюс"
элементов матрицы Δ
F
показывает, что от заданной нагрузки вер-
тикальное перемещение узла 1 фермы будет происходить вниз, а
горизонтальное перемещение узла 6 – влево.
П
РИМЕР 13.4.3. В комбинированной системе (рис. 13.6,а)
изгибная жёсткость поперечного сечения горизонтального эле-
мента АК равна EJ, а жёсткости поперечных сечений на растяже-
ние–сжатие опорных элементов ДС, СВ и ВК – ЕА, причём
ЕА = 10EJ. В этой системе требуется вычислить вертикальное пе-
ремещение шарнира К отдельно от постоянной (q = 2 кН/м) и
временной (М = 48 кН⋅
м, F = 16 кН) нагрузок, т.е. требуется оп-
ределить элементы матрицы перемещений
[
]
)temp(
ky
)const(
ky
ΔΔ=Δ .
Решая поставленную задачу, будем пренебрегать влиянием
деформаций сдвига и растяжения–сжатия горизонтального эле-
мента АК на величину искомого перемещения.
1. Построение эпюр изгибающих моментов M
const
и M
temp
и
определение продольных усилий в опорных элементах от посто-
янной (рис. 13.6,б) и временной (рис. 13.6,в) нагрузок.
2. Вычисление продольных сил в элементах ДС, СВ, ВК и
построение эпюры изгибающих моментов М
1
на участке АК от
вертикальной сосредоточенной силы F = 1, приложенной к шар-
ниру К (рис. 13.6,г).
Все вышеперечисленные операции по определению внутрен-
них усилий в заданной системе читателям предлагается выпол-
нить самостоятельно.
3. Сквозная нумерация грузовых участков и сечений на эле-
менте АК и стержней, для которых задана жёсткость поперечных
сечений на растяжение
–сжатие ЕА (рис. 13.6,д).
25 26
4. Формирование матриц, необходимых для решения постав-
ленной задачи по формуле (13.16)
F
T
iF
BLL=Δ .
Блоки M
i
, B
M
и M
F
этих матриц для грузовых участков 1 и 2
формируются по правилам, изложенным выше для рам и балок
(см. пример 13.4.1), а блоки N
i
, B
N
, N
F
для опорных элементов 3,
4, 5 – по соответствующим правилам для ферм (см. пример
13.4.2).
;
N
N
N
M
M
M
M
M
M
00
22,1277,17
22,1277,17
00
33,2967,26
66,5838,21
66,5833,21
33,5367,26
00,480
N
M
L;
N
N
N
M
M
M
M
M
M
0
11,1
11,1
0
33,1
66,2
66,2
33,1
0
N
M
L
9
8
7
6
5
4
3
2
1
F
F
F
9
8
7
6
5
4
3
2
1
i
i
i
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
5,N
4,N
3,N
2,M
1,M
N
M
B
B
B
B
B
B0
0B
B,
где В
М,1
= В
М,2
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
333,100
0332,50
00333,1
EJ
1
100
040
001
EJ6
8
;
В
N,3
= В
N,4
= В
N,5
=
[] [] []
5,0
EJ
1
1
EJ10
5
1
EA
5
== .
5. Вычисление элементов требуемой матрицы перемещений.
27 28
[]
[]
17,99199,510
EJ
1
BLL
F
T
i
)temp(
ky
)const(
ky
−−==ΔΔ=Δ .
Знак "минус" величин полученных перемещений означает,
что шарнир К заданной комбинированной системы от постоянной
и временной нагрузок будет перемещаться вверх.
13.5. Определение перемещений от температурных
воздействий
В двенадцатой лекции (см. п. 12.2, часть 2 настоящего курса
лекций) получена формула для определения перемещений от из-
менения температуры в статически определимых плоских стерж-
невых системах
∑
∫
∑
∫
==
Δα+
Δα
=Δ
N
k
M
k
n
1k
0
k,0kik
n
1k
0
k
k,nrkt
ikjt
dst)s(Nds
h
t
)s(M
l
o
l
o
. (13.19)
По-прежнему будем считать постоянными на любом участке
сооружения величины коэффициента линейного температурного
расширения материала α
k
, высоты поперечного сечения h
k
и при-
ращения температуры
o
k
tΔ . Эпюры внутренних усилий M
ik
(s) и
N
ik
(s) на участках, где происходит изменение температуры, при
определении линейных и угловых перемещений сечений и узлов
стержневой системы от единичных сосредоточенных сил и со-
средоточенных моментов линейны.
Определённые интегралы соотношения (13.19) имеют одина-
ковую структуру и для k-го участка могут быть записаны в обоб-
щённой форме:
∫
k
0
ktktk
dsTB)s(L
l
. (13.20)
Здесь L
tk
(s) – представление линейных функций изгибающих мо-
ментов M
ik
(s) и продольных сил N
ik
(s);
tk
B– представление по-
стоянных физических и геометрических характеристик участка
α
k
и h
k
, T
k
– постоянных неравномерных
o
k,nr
tΔ и равномерных
o
k,0
tΔ приращений температуры (рис. 13.7).
Определённый интеграл (13.20) вычислим по формуле
Симпсона, принимая во внимание, что
tk
B = const, T
k
= const,
(
)
ktk
)e()c()в(
k
0
tkktk
TBLL4L
6
ds)s(LTB
tktktk
k
++=
∫
l
l
. (13.21)
Учитывая линейность функции
L
tk
(s), получим:
(
)
)e()в()c(
tktktk
LL
2
1
L += . (13.22)
Обозначим
tk
B ℓ
k
= B
tk
и подставим
зависимость (13.22) в соотношение
(13.21). После несложных преобразова-
ний получим точное численное значе-
ние определённого интеграла (13.20).
.TBL
ds)s(LTBdsTB)s(L
ktk
)c(
0
tkktk
0
ktktk
tk
kk
=
==
∫∫
ll
(13.23)
Формула (13.23) по существу есть
представление численного значения оп-
ределённого интеграла (13.20) в виде
произведения трёх матриц первого порядка, т.е. в матричной
форме. С учётом всех участков, где происходит изменение тем-
пературы, формула (13.19) для определения перемещений в мат-
ричной форме запишется:
TBL
t
T
tt
=Δ . (13.24)
В матричном соотношении (13.24) Δ
t
– матрица перемеще-
ний от температурных воздействий. Количество её строк равно
количеству определяемых перемещений n, а столбцов – числу ва-
риантов температурных воздействий f.
Матрица L
t
– это матрица внутренних усилий (изгибающих
моментов и продольных сил) от единичных факторов, приложен-
ных в направлении определяемых перемещений.
[
]
tntj2t1tt
LLLLL KK
=
, где L
tj
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
tj
tj
N
M
.
29 30
Для k-ых участков, где задано изменение температуры
o
k
tΔ = const, элементы блоков M
tj
и N
tj
фиксируются в срединных
сечениях этих участков.
Матрица B
t
называется матрицей температурной податливо-
сти сооружения и состоит из двух блоков: B
tn,r
– податливости,
определяемой неравномерным приращением температуры, и B
t,0
– равномерным приращением температуры.
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0,t
nr,t
t
B0
0B
B.
В случае, когда для k-го участка изменения температуры
α
k
= const, h
k
= const, имеем:
kk
)k(
0,t
k
kk
)k(
nr,t
B,
h
B l
l
α=
α
= .
Наконец, Т – это матрица приращений температуры по вари-
антам воздействий.
T = [T
1
T
1
… T
j
… T
f
], где
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
j,0
j,nr
j
T
T
T.
T
nr,j
и T
0,j
, соответственно, – подматрицы неравномерных и
равномерных приращений температур j-го варианта температур-
ного воздействия. Элементами этих матриц на k-ом участке из-
менения температуры являются перепады приращений темпера-
тур по высоте поперечного сечения
o
k,nr
tΔ и приращения темпера-
туры в центре тяжести поперечного сечения
o
k,0
tΔ .
П
РИМЕР 13.5.1. Стержни трёхшарнирной рамы с затяжкой
(рис. 13.8,а) имеют прямоугольные поперечные сечения, причём
высота этих сечений для горизонтальных элементов равна 50 см,
для вертикальных – 30 см. Материал, из которого изготовлена
рама, имеет коэффициент линейного температурного расширения
материала α = 12⋅10
-6
1/°С. Первым воздействием на раму будем
считать снижение наружной температуры на
o
н
tΔ = -40 °С, вто-
рым – повышение температуры внутри заданного контура на
o
в
tΔ = 60 °С (рис. 13.8,а). От каждого из этих воздействий требу-
ется определить горизонтальное перемещение узла С и угол по-
ворота сечения "к", т.е. требуется вычислить элементы матрицы
перемещений
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θθ
ΔΔ
=Δ
)2()1(
)2()1(
t
kk
CxCx
.
Для решения задачи используем матричное соотношение
(13.24)
TBL
t
T
t
t
=Δ .
31 32
1. Вычисление перепадов приращений температур
o
k,nr
tΔ и
приращений температуры на уровне центров тяжести поперечных
сечений элементов рамы
o
k,0
tΔ
от каждого воздействия отдельно.
На рис. 13.8,б,в графически, в виде эпюр, показано изменение
этих величин, являющихся элементами матрицы Т, вдоль всех
участков, где происходит изменение температуры. Ординаты
эпюры T
nr
откладываются со стороны более "тёплых" волокон, а
на эпюре Т
0
фиксируется знак "плюс" в случае положительных
приращений температур на уровне центров тяжести поперечных
сечений и знак "минус" – в случае отрицательных приращений
температур.
2. Построение эпюр изгибающих моментов М
1
, М
2
и про-
дольных сил N
1
, N
2
от единичных факторов, приложенных в на-
правлении искомых перемещений, и вычисление ординат в сред-
них сечениях участков указанных эпюр с линейным характером
изменения (рис. 13.9,а,б).
3. Нумерация участков, где происходит приращение темпе-
ратуры и где эпюры М
1
, М
2
, N
1
, N
2
имеют линейный характер, а
также срединных сечений этих участков (рис. 13.8,г).
4. Формирование матриц L
t
, T и B
t
. Элементами матрицы L
t
являются изгибающие моменты М
t
и продольные силы N
t
(см.
эпюры М
1
, М
2
, N
1
, N
2
на рис. 13.9,а,б), а элементами матрицы Т –
перепады приращений температур по высоте поперечных сече-
ний T
nr
и приращение температур на уровне центров тяжести по-
перечных сечений Т
0
на участках, показанных на рис. 13.8,г (см.
рис. 13.8,б,в).
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
300
3020
3020
3020
020
600
6040
6040
6040
040
T
T
T,
N
N
N
N
N
M
M
M
M
M
125,01
083,0667,0
125,01
083,0667,0
083,0667,0
00
75,02
00
25,04
02
N
M
L
0
nr
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
t
t
t
Матрица температурной податливости B
t
является диаго-
нальной и состоит из блоков B
t,nr
и B
t,0
, характеризующих подат-
ливость, определяемую, соответственно, неравномерными и рав-
номерными приращениями температуры.
33 34
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0,t
nr,t
t
B0
0B
B=
[
]
==
)5(
0,t
)4(
0,t
)3(
0,t
)2(
0,t
)1(
0,t
)5(
nr,t
)4(
nr,t
)3(
nr,t
)2(
nr,t
)1(
nr,t
BBBBBBBBBBdiag M
.
hhhhh
diag
54321
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
ααααα
α
α
α
αα
=
lllllM
l
l
l
ll
6
6
)4(
nr,t
)2(
nr,t
)1(
nr,t
10160
3,0
41012
BBB
−
−
⋅=
⋅⋅
=== ;
6
6
)5(
nr,t
)3(
nr,t
10288
5,0
121012
BB
−
−
⋅=
⋅⋅
== ;
66)4(
0,t
)2(
0,t
)1(
0,t
104841012BBB
−−
⋅=⋅⋅=== ;
66)5(
0,t
)3(
0,t
10144121012BB
−−
⋅=⋅⋅== .
[
]
14448144484828816028816016010diagB
6
t
M
−
= .
5. Вычисление требуемой матрицы перемещений.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θθ
ΔΔ
==Δ
0048,00036,0
0192,00278,0
TBL
)2()1(
)2()1(
t
T
tt
kk
CxCx
.
Таким образом, горизонтальное перемещение узла С от сни-
жения наружной температуры на
o
н
tΔ = -40 °С составит
)1(
Cx
Δ = 0,0278 м = 2,78 см, а от повышения температуры внутри
замкнутого контура на
o
в
tΔ = 60 °С –
)2(
Cx
Δ = 0,0192 м = 1,92 см.
Указанное перемещение происходит по направлению действия
сосредоточенной силы F = 1 (см. рис. 13.9,а). Угол поворота се-
чения "к" от вышеупомянутых воздействий равен, соответствен-
но,
)1(
k
θ = -0,0036 рад и
)2(
k
θ = -0,0048 рад. Отрицательные значе-
ния величин
)1(
k
θ и
)2(
k
θ означают, что поворот сечения "к" от за-
данных изменений температуры совершится против часовой
стрелки, т.е. в направлении, противоположном действию сосре-
доточенного момента М = 1 (рис. 13.9,б).
13.6. Определение перемещений от кинематических
воздействий
Для определения перемещений в статически определимых
системах от кинематических воздействий, в частности, от смеще-
ния опорных связей, используется формула, полученная в п. 12.3
части второй настоящего курса лекций.
∑
=
Δ−=Δ
n
1k
)k()k(jc
R
, (13.25)
где n – число смещаемых связей.
Соотношение (13.25) представим в матричной форме, удоб-
ной для вычисления группы перемещений от различных вариан-
тов кинематических воздействий:
)c(
T
c
ER
c
Δ=Δ . (13.26)
В матричной зависимости (13.26) Δ
с
– это матрица переме-
щений в заданном сооружении, вызванных заданными смеще-
ниями связей. Число её строк равно количеству определяемых
перемещений, а столбцов – числу вариантов кинематических воз-
действий. Каждый вариант такого воздействия может включать в
себя смещение одной или группы связей.
Элементы матрицы R
c
представляют собой реакции в сме-
щаемых связях от единичных факторов, приложенных в направ-
лении определяемых перемещений.
[
]
β
=
ccj2c1cc
RRRRR KK , где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
nj,c
kj,c
j2,c
j1,c
cj
R
R
R
R
R
M
M
.
Реакции в k-ой смещаемой связи от единичных воздействий,
приложенных в направлении искомых перемещений, в матрицу
35 36
R
c
вносятся со знаком "плюс", если их направление совпадает с
направлением смещения этой связи, и со знаком "минус", – если
не совпадает.
Δ
(с)
– матрица заданных смещений связей по вариантам воз-
действий.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
ΔΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔ
ΔΔΔ
=Δ
ν
ν
ν
ν
)()2()1(
)()2()1(
)()2()1(
)()2()1(
)c(
)n()n()n(
)k()k()k(
)2()2()2(
)1()1()1(
M
MMMM
M
MMMM
K
K
.
Число строк в матрицах R
c
и Δ
(с)
равно n – суммарному числу
задаваемых смещений связей во всех вариантах воздействий;
число столбцов: в матрице R
c
– числу определяемых перемеще-
ний β, в матрице Δ
(с)
– числу вариантов задаваемых смещений
связей ν.
Знак "минус" в формуле (13.25) учитывается в единичной
матрице Е, число строк и столбцов которой равно n.
E = diag [-1 -1 … -1 -1].
П
РИМЕР 13.6.1. В раме (рис. 13.10,а) заданы независимые
друг от друга кинематические воздействия: первое – смещения
опорных связей фундамента А (рис. 13.10,б) и второе – смещение
опорных связей фундамента В (рис. 13.10,в). От каждого из ука-
занных воздействий требуется определить горизонтальное и вер-
тикальное перемещение сечения С, а также взаимный угол пово-
рота сечений m
и n, т.е. вычислить элементы матрицы пере-
мещений
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θθ
ΔΔ
ΔΔ
=Δ
)2()1(
)2()1(
)2()1(
c
mnmn
CyCy
CxCx
.
Для решения поставленной задачи воспользуемся матрич-
ным соотношением (13.26)
)c(
T
c
ER
c
Δ=Δ .
1. Вычисление реакций в смещаемых опорных связях от еди-
ничных факторов, приложенных в направлении определяемых
перемещений (рис. 13.10,г). Эту операцию читателям рекоменду-
ется выполнить самостоятельно.
2. Формирование матриц R
c
и Δ
(с)
.
.
005,00
015,00
0001,0
002,0
001,0
,
R
R
R
R
R
1067,0
5,001
532
1167,0
5,000
R
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
)c(
)5(
)4(
)3(
)2(
)1(
c
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=Δ
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−
−
=
3. Вычисление матрицы требуемых перемещений.
=Δ=Δ
)c(
T
c
ER
c
37 38
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
−−−
=
1
1
1
1
1
15,0515,0
00310
67,01267,00
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
0025,00200,0
00170,0
0183,00113,0
005,00
015,00
0001,0
002,0
001,0
.
Вертикальное и горизонтальное перемещение сечения С от
заданных кинематических воздействий вычислены в метрах, вза-
имный угол поворота сечений m и n – в радианах. Читателям
предлагается самостоятельно пояснить смысл каждого элемента
полученной матрицы перемещений.
13.7. Определение перемещений от воздействий
различного характера
Ранее полученные матричные соотношения (13.8), (13.24) и
(13.26) для определения перемещений в плоских статически оп-
ределимых стержневых системах отдельно от воздействий раз-
личного характера могут быть представлены единой матричной
зависимостью:
ΣΣ
=Δ LBL
0
T
0
. (13.27)
В формуле (13.27): Δ
∑
– матрица перемещений в заданном
сооружении; L
0
– матрица усилий от единичных факторов, при-
ложенных в направлении определяемых перемещений; В
0
– мат-
рица общей податливости сооружения; L
∑
– матрица характери-
стик состояния системы при заданных воздействиях.
Практический интерес представляет задача вычисления эле-
ментов матрицы перемещений сооружения от независимых друг
от друга силовых, температурных и кинематических воздействий.
В этом случае матрицы, вошедшие в соотношение (13.27), имеют
следующую структуру:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
Σ
)c(
F
t0
c
t
i
0
00
0T0
00L
L,
E00
0B0
00B
B,
R
L
L
L,
[
]
ctF
L
Δ
Δ
Δ
=
Σ
.
Порядок формирования блоков L
i
, B, L
F
, L
t
, B
t
, T, R
c
, E, Δ
(с)
описан в п. 13.4, 13.5, 13.6 настоящей лекции.
13.8. Вопросы для самопроверки
1. Какой смысл имеют элементы матрицы перемещений? От
чего зависит размер матрицы перемещений для заданного соору-
жения? Сколько строк и столбцов имеет эта матрица?
2. Любой член формулы Мора в обобщённой форме может
быть представлен так:
∫
ΦΦ
k
0
k
Fkik
)s(T
ds)s()s(
l
.
Поясните, как найти численное значение этого определённо-
го интеграла в матричной форме в следующих случаях:
а) все подынтегральные функции произвольны;
б) функции Ф
ik
(s) и Ф
Fk
(s) произвольны, а Т
k
(s) = const = T
k
;
в) функции Ф
ik
(s) и Ф
Fk
(s) линейны, а Т
k
(s) произвольна;
г) функции Ф
ik
(s) и Ф
Fk
(s) линейны, а Т
k
(s) = const = T
k
;
д) все подынтегральные функции постоянны, т.е. Ф
ik
(s) = const =
= Ф
ik
, Ф
Fk
(s) = const = Ф
Fk
, Т
k
(s) = const = T
k
.
3. Для конкретной балочной или рамной системы от силово-
го воздействия требуется вычислить заданную преподавателем
матрицу перемещений. Запишите матричное соотношение для
решения поставленной задачи. Какой смысл имеют элементы
матриц M
i,
B
M
, M
F
? Каковы размеры этих матриц? Какой вид бу-
дет иметь матрица В
М
на грузовом участке, несущем распреде-