Ковалюк Д.О., Москвіна С.М. Моделювання теплотехнологічних об’єктів з розподіленими параметрами

Подождите немного. Документ загружается.

Динамічна система

прогнозування на

основі нейронної

мережі

1−

−

2−

1−

−

процедура

навчання

)(tu )(t

)(t

)(tu

)1( −tu

)

(

htu −

)1(

−

)( kty

−

)2(

−

)(ty

)(t

−

Рис. 1.8. Інтелектуальна система управління на основі нейромережі

Використання нейронних мереж, як показано в [148, 150, 151],

дозволяє не тільки прогнозувати стан технологічного об’єкта, але й

розв’язувати задачу оптимального управління шляхом створення ада-

птивної СУ на основі нейроконтролера (НК) зі здатністю до навчання

(рис. 1.9).

Учитель

Об'єкт управління

Нейроконтролер

Рис. 1.9. Загальна схема системи управління з нейроконтролером

Тут під навчанням розуміється процес створення в СУ бажаної ре-

акції на зовнішні сигнали шляхом багатократних впливів на систему

та зовнішнього коригування. Зовнішнє коригування здійснюється

вчителем, якому відома бажана реакція СУ на відповідні впливи. Та-

ким чином вчитель повідомляє системі додаткову інформацію про

правильність її реакції.

Ск

ажемо декілька слів про дослідження адекв

атності моделей

теплових об’єктів. Оскільки теплотехнологічні ОРП відносяться до

класу аварійно-небезпечних об’єктів, то перевірка та тестування мо-

делей здійснюється з використанням методів імітаційного моделю-

вання шляхом проведення на ЕОМ чисельних експериментів з мате-

матичною моделлю, що описує поводження складної системи протя-

гом певного періоду часу. Найбільш розповсюдженим способом імі-

таційного моделювання є статистичне моделювання, яке полягає в

проведенні чисельного експерименту з функціональною моделлю і

включає етапи:

–

моделювання на ЕОМ випадкових сигналів у вигляді число-

вих послідовностей із заданою кореляцією та законом розподілу ймо-

вірностей, які імітують вхідні сигнали та збурюючий вплив;

–

моделювання перетворення сигналів;

–

статистична обробка результатів моделювання.

Таким чином, математичні моделі та засоби моделювання на ба-

зі інтелектуальних технологій, що звичайно використовуються для за-

дач прогнозування, діагностики, управління складними об’єктами, до-

зволяють ефективно керувати режимами складних технологічних

процесів, здійснювати формалізацію людського досвіду при

розв’язанні складних проблем ідентифікації стану об’єкта та прийнят-

тя рішень.

1.5. Проблеми моделювання теплотехнологічних об’єктів з

розподіленими параметрами

Проведений аналіз сучасних методів моделювання теплотехно-

логічних ОРП дозволяє зробити такі висновки.

По-перше, більшість методів використовується для моделюван-

ня окремих потокових виробничих процесів, що характеризуються

спрямованим просування оброблюваного матеріалу та нагріванням

його під дією заданого температурного поля на окремих ділянках тех-

нологічного процесу. Це дозволяє розв’язувати окремі (часткові) зада-

чі оптимізації теплового по

ля об’єкта, але при цьо

му не враховуються

як параметри всього технологічного процесу, частиною якого висту-

пає ТОРП, починаючи від початкового етапу формування сировини і

закінчуючи показниками якості кінцевої продукції, так і характерис-

тики матеріалу та їх зміни на попередніх ділянках ТП, які суттєво

впливають на кінцеві показники якост

і продукції та визначають ефек-

тивність технологічного

процесу.

По-друге, для моделювання такого класу об’єктів на сьогодні

використовуються математичні моделі на основі положень класичної

теорії теплопровідності, що розв’язуються аналітично або з викорис-

танням чисельних методів. Постійне вдосконалення математичних

моделей таких об’єктів спрямоване або на врахування більшої кілько-

сті факторів для аналітичних моделей або на варіювання параметрів

чисельни

х методів моделювання таких як крок сітки, точність обчис

лення тощо. Проте не враховуються складність цього класу теплотех-

нологічних ОРП, що пов’язана з неперервністю технологічного про-

цесу, суттєвим розподілом властивостей газових потоків і матеріалу

по довжині об’єкта, неможливістю оперативного контролю властивос-

тей матеріалу під час термообробки, можливістю порушення темпера-

турного режиму, що за короткий час може привести до значних мате-

ріальних збитків при отриманні низької якості продукці

ї або до вибу

хонебезпечної ризикової ситуації.

По-третє, при моделюванні класичними методами звичайно

розв’язується задача теплового балансу з метою забезпечення безпеч-

ного стану роботи ТОРП, які працюють при дуже високих температу-

рах і тиску газу, і не враховують ризик управління такими об’єктами

як пар

аметр моделі.

Враховуючи вищесказ

ане, в цій роботі пропонується розглядати

моделювання теплотехнологічних ОРП перш за все з позицій моделю-

вання всього технологічного процесу, в якому функціонує ОРП, оскі-

льки саме процеси, що протікають в ОРП характеризуються найбіль-

шими еко

номічними витратами та впливають на якість кінцевої

про-

дукції. В цьому випадку моделювання теплотехнологічного ОРП буде

полягати у підтриманні такого температурного розподілу по довжині

ОРП, при якому здійснюється отримання заданої якості продукції з

врахуванням показників ризику при управлінні. Для цього, на наш по-

гляд, необхідно використати комбінацію методів моделювання техно-

логічних ОРП та методів моделювання технологічних процесів, якими

можуть слугувати як класичні методи регресійного аналіз

у, плануван-

ня ек

сперименту так і новітні інтелектуальні технології.

2. ПІДХОДИ ДО ПІДВИЩЕННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ МЕТОДІВ

МОДЕЛЮВАННЯ ТЕПЛОТЕХНОЛОГІЧНИХ ОБ’ЄКТІВ З

РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Велика різноманітність теплових об’єктів, умови їх функціону-

вання та задачі дослідження зумовили використання багатьох підходів

до моделювання ТОРП. Разом з тим застосування аналітичних, чисе-

льних або інтелектуальних методів та моделей не завжди забезпечу-

ють вимоги, висунуті до управління такими об’єктами і технологіч-

ними процесами зокрема. Тому підвищення ефективності методів мо-

делювання ТОР

П є

необхідною умовою для отримання адекватних

моделей та підвищення якості управління.

2.1. Вдосконалення моделей теплотехнологічних об’єктів з

розподіленими параметрами

Зазначимо, що математичні моделі ТОРП зазвичай описують

перебіг деякого процесу температурної обробки і базуються на рів-

няннях теплових балансів. Використання цих моделей можливе в двох

напрямках: для визначення оптимальних режимів роботи об’єктів на

етапі запуску в експлуатацію та безпосередньо для управління такими

об’єктами. В першому випадку модель дозволяє визначити необхідну

кількі

сть палива для обробки матеріалу або виробу в

статичному ре-

жимі. Такі моделі повинні мати високі показники точності для забез-

печення оптимальних умов протікання хімічних реакцій, що вплива-

ють на якість продукції, та економічну ефективность. В другому ви-

падку до моделей управління зазвичай висуваються вимоги, суть яких

полягає в компромісі між точністю і швидкодією. Причому підвищен-

ня швидк

одії

моделей в цій роботі розглядається як один з засобів пі-

двищення ефективності моделювання ТОРП.

2.1.1. Дослідження обмежень застосування чисельних методів

Як зазначено в першому розділі, моделі динаміки теплотех-

нологічних ОРП переважно описуються диференціальними рівнян-

нями в частинних похідних параболічного типу, що містять відпо-

відну кількість просторових змінних, зумовлену постановкою за-

дачі та метою дослідження. Для знаходження чисельного розв’язку

таких моделей на ЕОМ виконується їх дискретизація, що зазвичай

здійснюється з використанням методу кінцевих різниць. Оскільки

розв’язок дискретної задачі, отриманий з використанням чисель-

них методів, завжди буде відрізнятися від аналітичного, то основ-

ним питанням при застосуванні методу кінцевих різниць для моде-

люванн

я теплотехнологічних

ОРП виступає оцінка точності ма-

шинного та математичного розв’язку, що залежить, насамперед,

від збіжності різницевої схеми.

Розглянемо питання збіжності різницевої схеми. Різницеву схе-

му називають збіжною [11], якщо при згущенні вузлів сітки значення

похибки наближається до нуля, тобто,

lim 0.

δu

→

Якщо при цьому ви-

конується умова:

δuMh Mτ≤+, (2.1)

де M

, M

– сталі, що не залежать від h та τ, то різницева схема збіга-

ється зі швидкістю

()

+ та має р-й порядок точності за просто-

ровою та q-й порядок за часовою змінними.

З [125] відомо, що дослідження збіжності і порядку точності схе-

ми зводиться до дослідження стійкості та похибки апроксимації відпо-

відно: якщо схема стійка і апроксимує вихідну (неперервну) задачу, то

вона збігається, причому порядок точності (швидкість збіжності) спів-

падає з порядком

апроксимації.

Зазначимо, що стійкість різницевої схеми залежить від таких

параметрів як співвідношення розміру кроків за часовою і просто-

ровою змінними, кількості просторових змінних, типу схеми, які в

свою чергу визначають трудомісткість розв’язання різницевої за-

дачі. З огляду на це, для визначення умов ефективного застосуван-

ня кінцево-різниц

евого методу для моделювання ТОРП в роботі

проведено дослідження одно

-, дво- та тривимірних моделей тепло-

технологічних ОРП, результати яких подані нижче. Характеристики

методу кінцевих різниць досліджувалися шляхом варіювання параме-

трів сітки, використання явних та неявних схем, обчисленням трудо-

місткості операцій, максимальної відносної похибки між реальними та

розрахованими значеннями.

Розглянемо одновимірну математичну модель ТОРП (класи-

чна задача теплопровідності), що описує розподіл тепла в тонкому

неоднорідному стержні:

(,) ( )

kFxtu c

αρ

∂∂ ∂

⎛⎞

+−−Θ=

⎜⎟

∂∂ ∂

⎝⎠

, (2.2)

де ()cx – питома температура; ( )

– щільність;

– коефіцієнт

теплообміну; ( , )

tΘ – температура навколишнього середовища.

Для визначення єдиного розв’язку рівняння (2.2) до нього

додають початкові та граничні умови, задані, наприклад, таким чи-

ном:

(,) ()

uxt x

= ; (2.3)

(0, ) ( )ut t

(,) ()ult t

. (2.4)

Використавши формули заміни частинних похідних кінцеви-

ми різницями [117] виду:

−

∂

jjj

yyy

−

−+

∂

, 1,in= 1,

m= , (2.5)

де ,h

– крок дискретизації за просторовою та часовою змінними,

– значення функції

(,)uxt

у вузлі сітки з координатами ,ij та, ві-

дкинувши останній доданок в лівій частині (2.2), представимо різ-

ницеве рівняння у вигляді:

jjj

iii i

yyy

−+

−

, (2.6)

розв’язок якого відповідно визначається з формули:

222

jjjj

iii

yy yyf

hhh

τττ

−+

⎛⎞

=+− ++

⎜⎟

⎝⎠

. (2.7)

Такий підхід дозволяє розрахувати значення функції (, )

ux t у вузлах

сітки. Відзначимо, що для стійкості схеми велику роль відіграє шаб-

лон апроксимації, який в той же час визначає і трудомісткість обчис-

лень. Так, при заміні частинних похідних різницевими похідними, як

зазначено в [93], найбільш поширеною є параметрична двошарова ше-

ститочкова схема виду:

111

1111

(1 ) ,

jjj jjj

ii i i i i

yyy yyy

ξξ

+++

−+−+

⎡⎤

−+ −+

−

=+−

⎢⎥

⎣⎦

(2.8)

де 0a > ,

[

]

0,1

∈ .

При

отримуємо явну схему:

iii i

yyy

−

−+

−

= (2.9)

стійку при

=≤ з порядком апроксимації

(, )Oh

. При 1

отримуємо неявну схему:

111

jjj

iii i

yyy

−+

−

= (2.10)

стійку при довільних

і h з порядком апроксимації

(, )Oh

. При

1/2

= різницевий метод називається схемою Кранка–Ніколсона:

111

1111

jjjjjj

ii i i i i

yyyyyy

+++

−+−+

⎡⎤

−+ −+

−

⎢⎥

⎣⎦

(2.11)

і є стійким при довільних

і h з порядком апроксимації

(,)Oh

Ефективність методу кінцевих різниць для розв’язання одно-

вимірних задач виду (2.2)–(2.4) досліджено на прикладі рівняння:

3(3)

ext

∂∂

=+ −

∂

, 0 1

< , 0 1t

≤ , (2.12)

з початковими (,0) 1ux = , 0 1

≤

≤ та граничними (0, ) 1ut= ,

(1, )

ut e= , 0 1t

≤ умовами. Результати моделювання, наведені в

таблиці 2.1.

Чисельний розв’язок навіть найпростіших рівнянь параболічно-

го типу значно ускладнюється, якщо задача враховує більше одного

просторового виміру. Умова стійкості для багатовимірних схем на-

кладає настільки жорсткі обмеження на кроки за часом, що ефектив-

ний розрахунок по них можливий лише при використанні неявних

схем. Так різницева схема для чисельного розв’язку двовимірного рі-

вняння теплопровідності з просторови

ми змінними

та y :

uuu

∂

∂∂

∂

(2.13)

має вигляд:

ml ml

−

=Λ +Λ

, (2.14)

де

111

1, . 1,

jjj

ml ml ml

yyy

+++

−+

Λ=

;

111

,1 . ,1

jjj

ml ml ml

yyy

−

−+

Λ=

Ефективність методу кінцевих різниць для розв’язання дво-

вимірних задач виду (2.13) досліджено на прикладі рівняння:

22 2

12 12

2(2 ( ) )

tx x xxe

−

∂∂

=−++

∂

∑

01x

, 00,3t

≤ , (2.15)

з початковими

(, ,0)1ux x = , 01x

≤

≤ та граничними

(,0,)1ux t= ,

(,1,)

ux t e

−

= ,

(0, , ) 1uxt= ,

(1, , )

uxt e

−

= , 0 0.3t

≤ умовами. Ре-

зультати моделювання, наведені в таблиці 2.1.

Зазначимо, що збільшення кількості просторових змінних

призводить до нових проблем моделювання, пов’язаних із забезпе-

ченням стійкості схеми, ускладненням обчислювального алгоритму

та суттєвим збільшення об’єму розрахунків для отримання

розв’язку задачі з заданою точністю. Так для знаходження

розв’язку задачі (2.15) з використанням явної схеми в кожному ву-

злі сітки необхідне кінцеве число арифметичних операцій, порядок

яких дорівнює кількості вузлів сітки, тобто

, де

– розмірність

задачі. Для неявної схеми при переході на інший шар необхідно

розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, порядок якої

при

hhh== дорівнює

= .

Розглянуті вище рівняння (2.2) та (2.15), є загальними моде-

лями ОРП, що описують процеси передачі та розповсюдження теп-

ла вздовж просторових координат. Проте, для реальних теплотех-

нологічних об’єктів математичні моделі повинні не лише визнача-

ти просторовий розподіл температур, але й розраховувати темпе-

ратури декількох середовищ, параметри управління, втрати тепла в

навколишнє середовище, що призводить до збільшення розмірнос-

ті моделей. Прикладом математичної моделі реального теплотех-

нологічного ОРП на базі методу кінцевих різниць, є модель туне-

льної печі випалювання, описана в [28]. Аналітичну модель отри-

мано з використанням рівнянь теплового балансу, що відобража-

ють динаміку процесу тепловіддачі між газовим середовищем, те-

плоізолюючою стінкою печі та садкою цегли:

() () () () () ()

rx ry z m b a

Qt Qt Qt Qt Qt Qt−−−+=. (2.16)

Теплота

()

, що вноситься в газовий простір димовими га-

зами з попередньої підзони випалювання визначається з формули:

() () ()

rx rx rx rx

Qt cGtTt

(2.17)

де

– теплоємкість димових газів із попередньої підзони;

()

– ви-

трата димових газів із попередньої підзони; ( )

Tt – температура димо-

вих газів із попередньої підзони.

Теплота ()

Qt, що виноситься димовими газами з газового

простору підзони випалювання визначається з формули:

() () ()

ry g g g

Qt cGtTt

де

c – теплоємкість димових газів підзони випалювання; ( )

Gt – витра-

та димових газів підзони випалювання; ( ) (1 ) ( ) ( )

glbbrx

Gt LGt Gt

++;

()

Gt – витрата палива;

– коефіцієнт витрати повітря, що йде на

окислення палива; ( )

Tt – температура димових газів.

Теплота ()

Qt, що йде на випалювання керамічних виробів ви-

значається з формули:

122

() [ () (0, ,)] ,

zzgz

Qt H T t T xtdx

=−

∫

(2.18)

де

– приведений коефіцієнт випромінювання для системи теплоно-

сій–керамічні вироби;

– довжина підзони випалювання;

– розра-

хункова висота керамічної стінки; V – сумарний об'єм усієї цегли, що

знаходиться в підзоні випалювання;

– розрахункова товщина ке-

рамічної стінки (розрахункова товщина керамічної стінки дорівнює

товщині цегли);

(0, , )

Txt – температура поверхні керамічної стінки,

що межує з газовим простором.

Використовуючи граничні умови, отримано динамічну модель

теплового режиму підзони випалювання, що містить три просторові

змінні:

122

12 12 12

() () () () [ () (0, ,)]

()

[() (0,)]( )() ;

( , ,) ( , ,) ( , ,)

;

(, ,)

[(

rx rx rx g g g z g z

mg m b b lblb b gg

Zzz

zxg

cG tT t cG tT t H T t T xtdx

dT t

FTt T t q I LI Gt cV

T xxt T xxt T xxt

Txxt

λα

−

−− −

−−+++ =

∂∂ ∂

=−

∂∂

∂

−=

∂

∫

12 0

012 3 0

)(,,)];

(, ,)

(,0,) (,,);

(,) (,)

;

(,)

[() (,) ];

(,)

[(,) ].

zxS

mxgzx

mxSmxSL

Txxt

Tx t TxLt

Txt Txt

Txt

Tt Txt

Txt

Txt T

λα

⎧

⎪

−

∂

−=

⎨

∂

∂∂

∂

−=−

∂

−=−

∂

⎪

⎩

(2.19)

де теплові втрати ()

Qt через захисну теплоізолюючу стінку підзони

випалювання в навколишнє середовище, також будуть визначатися пе-

редачею теплоти випромінюванням і конвекцією від димових газів пі-

дзони випалювання:

() [ () (0,)],

mmgm

Qt FTt T t

=− (2.20)

де

– приведений коефіцієнт випромінювання для системи теплоно-

сій–теплоізолююча стінка;

F – поверхня теплообміну між димовими