Ковалюк Д.О., Москвіна С.М. Моделювання теплотехнологічних об’єктів з розподіленими параметрами

Подождите немного. Документ загружается.

4. В [17, 28, 30, 33, 79, 90] розглядаються задачі моделювання

теплового розподілу, в яких основна увага приділена хіміко-фізичним

властивостям матеріалу, що нагрівається. В цьому випадку до осно-

вного рівняння моделі, що описує тепловий розподіл, додається дода-

ткове рівняння, яке описує відповідний хімічний процес. Прикладом

цього класу моделей є:

а) задача моделювання заданого температурного розподілу при

найменшому окисленні поверхні мат

еріалу (металу), розглянута в

ро-

ботах [14, 15, 31, 58];

б) задача моделювання цементації, суть якої полягає у розподілі

концентрації вуглецю для підвищення міцності сталі:

(, ) ,

DcQ

tx x

∂∂ ∂

⎡

⎤

⎢

⎥

∂∂ ∂

⎣

⎦

(1.14)

де (,)QQxt

= – розподіл температури, ( , )DcQ – коефіцієнт дифузії

вуглецю, що визначається з формули:

(, ) ()exp

DcQ A Bc

⎡

⎤

=+ −

⎢

⎥

⎣

⎦

, (1.15)

де ,,

kR – сталі, що залежать лише від марки сталі, а ()

c – відома

функція від концентрації c.

в) задача моделювання термонапруг, що виникають всередині

тіла при нагріванні, в якій крім розподілу температури, враховуються

поля термонапруги (,)

, які виступають в моделі у вигляді обме-

жень:

( , ) , , 0

xt B S x S t≤σ ≤ − ≤ ≤ ≥

. (1.16)

5. В [12, 18, 28, 75, 118] розглядаються задачі моделювання про-

сторового переміщення оброблюваних виробів або нагріваючих аген-

тів. Якщо позначити розподіл температур агента, що нагріває, через

(,)Qxt, а розподіл температур агента, що нагрівається, –

(,)Qxt, то-

ді рівняння, що описує зміну

(,)Qxt в вибраній системі координат,

буде мати вигляд:

1111

(,) (,)

() () (,) (,)

Qxt Qxt

vx xQxt fxt

∂∂

++=

∂∂

, 0

< , 0t > , (1.17)

де

()vx

– швидкість руху агента, що нагріває, в додатному напрямку

;

()

– коефіцієнт теплообміну агента, що нагріває, з зовнішнім

середовищем;

(,)

xt – загальний потік тепла, що надходить до аген-

та, що нагріває.

Аналогічні рівняння можна записати для агента, що нагрівається:

2222

(,) (,)

() () (,) (,)

Qxt Qxt

vx xQxt fxt

∂∂

±+α=

∂∂

, (1.18)

де знак “плюс” перед другим доданком береться у випадку прямотоку

(знак “мінус” – у випадку протитоку).

Для цього класу задач можна виділити такі задачі моделювання:

а) моделювання відхилення поточної температури матеріалу на

виході з печі від заданої

∗

, що описується таким співвідношенням:

(() (,))

Qt QLt dt=−

∫

, 1

≥ , (1.19)

де T – деякий заданий час;

– задане число;

()Qt

∗

– задана програма

для температури матеріалу на виході з печі.

б) задача моделювання кожного елемента

рухомого матері-

алу за визначеною температурною програмою

(,)Qxt

∗

, що полягає у

визначенні температур у кожній точці

в кожен момент часу t .

в) задача моделювання “масивного”, у теплотехнічному розу-

мінні, тіла за товщиною уздовж вертикальної координати y .

Таким чином, на наш погляд для підвищення ефективності мо-

делювання ТОРП, враховуючи різноманітність задач моделювання,

необхідно розробити узагальнений підхід, для чого розглянемо най-

більш відомі моделі ТОРП.

1.3. Моделі теплотехнологічних об’єктів

В основі моделювання теплових об’єктів лежить дослідження

різних процесів перенесення тепла, що описуються відомими рівнян-

нями математичної фізики. Такий підхід передбачає отримання мате-

матичних моделей об’єктів, у вигляді диференціальних рівнянь в час-

тинних похідних, методи розв’язання яких вибираються з урахуван-

ням специфіки конкретних задач, технологічних обмежень, цілей дос-

лідження.

Оскільки на сьогодні розроблено велику кількість математичних

моделей ТОРП, то розглянемо лише деякі з них, які побудовані для

теплотехнологічних об’єктів нового покоління.

Прикладом моделі такого ТОРП є математична модель теплопе-

реносу в печі з випромінювальними стінами, представлена в роботі

[58], що має такий вигляд:

[]

(,)

()() () ( ,)

C T T div T gradT K

∂τ

ρ=λ τ

∂τ

, , (0, )

∈

∈ ; (1.20)

(, 0) ()TK T Kτ= =

, ( )

∈

+ ; (1.21)

xzz

TTT TT

xyy zz

===δ

==δ

∂∂∂ ∂∂

== == =

∂∂∂ ∂∂

, (1.22)

[]

() ( ,) () ( ,)

iiiГ ikkii

ffT TK T bTK

ατ τ τ τ

∈Ω

∂Φ

⎡

⎤

−=−∈Ω+−∈Ω

⎢

⎥

∂

⎣

⎦

∑

(,) (,), ,1,2,...,;

jiji

TK bTK ij m

ττ

≠

⎡⎤

⎢⎥

+∈Ω−∈Ω =

⎢⎥

⎣⎦

∑

(1.23)

[]

()

( ) () ()

( , () () ();

ГГ лkk Г

ii ГГ

CTМ fT T

fTK T aT V

∂τ

ατ−τ+

∂τ

+α ∈Ωτ− τ− τ τ

∑

(1.24)

[]

()

( ) () () () ( ,)

kk л kk Г kkii

CTМ fT T T bTK

∂τ Φ

⎡

⎤

=α τ− τ − τ− ∈Ωτ −

⎢

⎥

∂τ

⎣

⎦

∑

[

]

[

]

1234

() () ();

koc Г

aT T a a aT V−τ−++−ττ

(1.25)

(0)

, (1.26)

де G – область виробів; S – адіабатна межа області; Ω – теплосп-

риймальна межа області; n – нормаль; ,C

– теплоємність, теп-

лопровідність та щільність матеріалу виробів;

– коефіцієнт тепло-

віддачі;

– площа поверхні теплообміну;

– маса;

iij

– оптико-

геометричні коефіцієнти системи, що обчислюються за формулами:

⎛⎞

Φ= −

⎜⎟

μΔ

⎝⎠

(1)

()

iij

ii ij

−

μΔ−

при ij≠ ,

μ= −

0 i

r =

, (1.27)

де

5,67C = Вт(м

);

– випромінююча здатність поверхні виробу;

– мінор визначника Δ :

21 1

12 1

1...

... ... ... ...

... 1

+−φ −φ

−φ + − φ

Δ=

−φ −φ +

, (1.28)

де

– кутовий коефіцієнт випромінювання;

k k kg kg oc oc

fff

−

⎛⎞

=+ +

⎜⎟

αλα

⎝⎠

∑

, (1.29)

де

2 экз

aa=

– тепловий потік від додаткових екзотермічних реакцій;

н eT в

а QNqq=+++

, де

– потужність електронагрівачів;

н T в

Qqq

– теплота, що виділяється при згоранні палива, і фізична

теплота, що вноситься паливом і повітрям за одиницю часу;

– теп-

лота, що виноситься з димовими газами;

()V

– функція управляючо-

го впливу енергії, що виділяється в комірці;

індексами позначено:

,ij

– номери розрахункових зон; m– кількість

зон; k – кладка стіни печі; п – число шарів стіни печі;

– газове се-

редовище; о – початковий стан; ос – навколишнє середовище.

В результаті розв’язання математичної моделі (1.20)–(1.29) зна-

ходиться функція управляючого впливу

()V

, що дає змогу більш

економно витрачати теплову енергію при випалюванні кераміки. Про-

те, застосування цієї моделі на практиці є проблематичним через її

складність та обмежене використання теплотехнологічних ОРП з ви-

промінювальними стінами.

В роботі [142] розроблена математична модель температурно-

часових режимів випалювання цегли в тунельних печах. Диференціа-

льне рівняння, що описує температурне поле, має вигляд [55]:

∂

Δθ

∂

, (1.30)

де

−

θ=

−

– безрозмірна температура;

(, ,,)ttxyz

– температур-

не поле зразка, град;

– початкова температура зразка, град;

– те-

мпература газового потоку, град;

– координати, м;

– час, с;

222

∂∂∂

Δ= + +

∂∂∂

– оператор Лапласа;

Xxb

Yyb=

zb=

– безрозмірні координати; b – характерний розмір, м;

Fatb=

–

критерій Фур’є (безрозмірний час); a – коефіцієнт температуропрові-

дності зразка,

с .

Для виділення єдиного розв’язку з множини розв’язків до рів-

няння (1.30) додаються граничні умови третього роду (1.31) і початко-

ві умови (1.32).

Граничні умови третього роду згідно з [55]:

()

∂

θ−θ

∂

, (1.31)

де

iabY=

- критерій Біо (безрозмірний коефіцієнт тепловіддачі); Y

– коефіцієнт теплопровідності зразка,

тм С

⋅

; Nnb

– нормаль

до поверхні зразка; a – коефіцієнт тепловіддачі,

тм С⋅

;

()

θ=

−

– безрозмірна температура газового потоку.

Початкові умови:

;

. (1.32)

Ці умови можуть бути визначені безпосередньо з експерименту

або задані у вигляді закономірностей, отриманих на підставі узагаль-

нення експериментальних даних. Тоді система рівнянь має вигляд:

;

()

();

0, 1

∂θ

⎫

=Δ θ

⎪

∂

⎪

∂θ

⎪

=θ−θ

⎬

∂

⎪

=θ=

⎪

⎭

(1.33)

і розв’язується за допомогою методу теорії теплопровідності, відомо-

го як теорема про перемножування розв’язків. При цьому безрозмірна

температура зразка дорівнює добутку безрозмірних температур трьох

безмежних пластин:

=θ ⋅θ ⋅θ

, (1.34)

де

θθθ

– безрозмірні температури трьох безмежних пластин різ-

ної товщини, що визначаються таким чином:

(,)

tx t

τ−

θ=

−

(,)

ty t

−

θ=

−

(,)

tz t

−

θ=

−

. (1.35)

Значення

θθ

знаходяться методом поділу змінних (тим-

часовий і просторовий), а остаточне рівняння має вигляд:

00 0

(, , ) (, , ) (, , )

xx y yy z zz

F X Bi F F Y Bi F F X Bi Fθ= ⋅ ⋅

. (1.36)

Розв’язок рівняння (1.36) задовольняє систему рівнянь (1.33) і

визначає температуру зразка садки в будь-якому місці, у будь-який

момент часу.

В роботі [136] зазначено, що для оперативного розв’язання за-

дачі оптимального управління модель динаміки повинна бути пред-

ставлена системою звичайних диференціальних рівнянь обмеженої

розмірності. Розглянемо таку модель.

1. Зміна температури в центральній частині i -ї зони печі опису-

ється системою звичайних диференціальних рівнянь другого порядку:

111121

22 212 22

,, ,

(),

() ()

() (),1,,

{, },1,,1,,

iiii

ii ii

iii ii

is i s is i s

ij i j h i j i

zzt

But Cwt

zBut Cwt

ut Cwt i n

BBhHjsin

⎧

⋅−τ+ −τ

⎪

=⋅−τ+ −τ

⎨

⎪

⋅−τ+ −τ =

⎪

⎩

=∈==



(1.37)

де

– температура і швидкість її зміни в i -й зоні; n – число зон;

– управління в i -й зоні;

– температурний вплив, який чинять на

i -ту зону сусідні зони;

– час запізнення по каналу регулюван-

ня та збурення відповідно;

– множина масивів, які враховують

стан працездатності

hH∈ ;

C – масиви параметрів при

w ;

– чи-

сло температурних інтервалів для i -ї зони.

2. Температура

(, )zlt

по довжині печі l між центрами зон

та

змінюється по логістичній функціональній залежності:

11 1 1 1

() [ , ]: (,) (,) () ( ( 1,) (,))

ii j

l ll zlt zit fl zi t zit

∀∈ = + ⋅ + − ;

,1,,

−

(1.38)

де ,

– параметри сигмоїдальної функції для ділянки печі

[, ]

Аналізуючи існуючі моделі, можна зауважити, що незважаючи

на конструктивні відмінності ТОРП, більшість з них описує динаміку

температурного поля по довжині об’єкта. В зв’язку з цим, на наш пог-

ляд, необхідно узагальнити наявні моделі з метою визначення кола

методів для їх розв’язання.

Розглянемо узагальнену математичну модель ТОРП, яка описує

його властивості. Як показано в [15, 118, 119], для широкого класу те-

плотехнологічних ОРП їх функція стану (,)Qxt, визначена по просто-

ровій змінній

∈

у замкнутій області D , задовольняє рівняння:

[(,)] (,), , 0,

Qxt f xt x D t

∈> (1.39)

де D – відкрита частина області

, що не містить її границі;

– де-

який заданий лінійний, в загальному інтегро-диференціальний опера-

тор, конкретний вид якого визначається змістом процесу, що опису-

ється, для розглянутого виходу (,)Qxt з урахуванням прийнятих до-

пущень; ( , )

xt – відома функція, що характеризує зовнішній вплив

на процес, що може розглядатися як вхід ОРП.

Зауважимо, що в більшості практичних задач моделювання ОРП

[9, 10, 19, 23, 64, 128], математична модель стану ОРП описується ди-

ференціальними рівняннями в частинних похідних, які відображають

фундаментальні закони збереження речовини та енергії в елементар-

ному об’ємі, а

в рівнянні (1.39) є диференціальним оператором. В

цьому випадку для одержання єдиного розв’язку рівняння (1.39) необ-

хідно доповнити початковими та граничними умовами, які в досить

загальному випадку описуються деяким лінійним оператором N ,

[(,)] (), , 0NQxt Q x x D t

∈=, (1.40)

де

()Qx – задана початкова функція, що описує з необхідною повно-

тою розподіл в області D стану ОРП у початковий момент.

Зауважимо, що на відміну від ОЗП рівняння (1.40) є необхідною,

але не достатньо умовою для виділення єдиного розв’язку рівняння

(1.39). Повна система додаткових співвідношень, як правило, повинна

містити ще граничні умови для (,)Qxt, які характеризуючи взаємодію

(,)Qxt з зовнішнім середовищем, повинні виконуватися для 0t > на

границі

D∂

області

[ (,)] (,), , 0,Г Qxt gxt x D t

∈∂ >

(1.41)

де

– відповідний лінійний оператор, а (,)gxt– зовнішній вплив, що

також можна розглядати як другий вхід об’єкта, поряд з (,)

xt.

Рівняння (1.39)–(1.41) із заданими лінійними диференціальними

операторами ,

N і

складають крайову задачу, яку в сукупності

можна розглядати як базову математичну модель теплотехнологічного

ОРП з керованою вихідною функцією стану (,)Qxt і зовнішніми вхо-

дами (,)

xtі (,)qxt.

В роботах [18, 109, 117] показано, що в більшості випадків ма-

тематичні моделі стану (,)Qxt ОРП є просторово-часовими характе-

ристиками полів різної фізичної природи і тому в багатьох випадках із

задовільною точністю описуються в першому наближенні добре ви-

вченими лінійними диференціальними рівняннями математичної фі-

зики виду (1.42), що моделюють основні фізичні явища.

Враховуючи вищесказане, в якості базової моделі ОРП розгля-

даються саме лінійні крайові задачі (1.39)–(1.41), що допускають мак-

симальні можливості для їх аналітичного дослідження і отримання

фундаментальних результатів загального характеру. Для найпрості-

шого випадку просторового розподілу (,)Qxt по одній координаті

що змінюється на відрізку

[,]

⊃

(одновимірний ОРП), лінійне

диференціальне рівняння (1.39) другого порядку досить загального

виду записується в такий спосіб:

222

111

[(,)] (,) (,) (,)

(,) (,) (,) (,),

QQQ

LQx t Ax t Bx t C x t

Axt Bxt CxtQ fxt

∂∂∂

=+++

∂∂

++ +=

∂∂

(1.42)

де

, C,

C – задані досить гладкі функції від

і t , що,

зокрема, можуть приймати постійні значення. В останньому випадку

одержуємо рівняння (1.42) з постійними коефіцієнтами. В залежності

від значення дискримінанта цього рівняння розрізняють рівняння гі-

перболічного, параболічного, еліптичного та змішаного типів.

До рівнянь параболічного типу, найчастіше у формі, що містить

лише першу похідну (,)Qxt за часом і другу – за просторовою коор-

динатою, приводять задачі, пов’язані з процесами теплопровідності,

дифузії, з розповсюдженням електромагнітних хвиль, з рухом в‘язкої

речовини та ін. Найпростішим і найбільш типовим представником па-

раболічних рівнянь є рівняння теплопровідності (рівняння Фур'є) ма-

тематичної фізики:

;0,(,),0.

a a const x x x t

∂∂

==>∈>

∂

(1.43)

Рівняннями виду (1.46) описуються, наприклад, у першому на-

ближенні температурні поля процесів нестаціонарної теплопровіднос-

ті, нестаціонарні електромагнітні поля, поля концентрацій у процесах

нестаціонарної дифузії, тепломасопереносу.

В окремому випадку при 0

== в (1.42) одержуємо рів-

няння першого порядку, яке у першому наближенні описує (одним

або системою таких рівнянь) поводження цілого класу рухливих ОРП,

до яких можна віднести процеси нагрівання металу в агрегатах безпе-

рервної дії, теплообмінні процеси в середовищах, що рухаються, про-

цеси передачі рідин і газу по довгих трубопроводах, тепломасообмінні

процеси в хімічних реакторах, поширення електромагнітних хвиль у

довгих електричних лініях і т. п.

Наведені приклади ілюструють лише найпростіші варіанти мо-

жливого опису ОРП у рамках загального рівняння (1.42), що зводяться

до невеликого числа добре вивчених типових рівнянь математичної

фізики, які охоплюють, проте, найширше коло найрізноманітніших

фізичних явищ і процесів.

Незважаючи на цілий ряд припущень і спрощень, ці рівняння, з

огляду на основні якісні особливості аналізованих явищ, у багатьох

випадках використовують для моделювання поведінки ОРП із задові-

льною для практичних цілей точністю.

1.4. Аналіз методів моделювання теплотехнологічних об’єктів з

розподіленими параметрами

Аналіз моделей теплотехнологічних ОРП та їх узагальнення по-

казали, що об’єкт управління зазвичай описується диференціальним

рівнянням в частинних похідних, а самі моделі є відповідними крайо-

вими задачами. Розв’язок таких задач може бути здійснений аналітич-

ними (точними) або наближеними методами. Слід відмітити, що

останнім часом широке розповсюдження для моделювання та управ-

ління такими об’єктами отримали інтелекту

альн

і методи. Розглянемо

групи методів моделювання ТОРП.

1.4.1. Аналітичні методи

Перевагою аналітичних методів, значний внесок в розвиток

яких зробили Бутковський А.Г., Плотніков В.І., Шокін Ю.І, Кунце-

вич В.М., Мельник В.С., Куржанський О.Б., Ляшко І.І., є достатньо

висока точність отриманих моделей, однак, на жаль, явний розв’язок

цих рівнянь в аналітичному вигляді видається можливим лише в

окремих простих випадках.