Кошак Ж.В, Минина Е.М. Применение ЭВМ в отрасли
Подождите немного. Документ загружается.
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОДОВОЛЬСТВИЯ
Кафедра информатики и вычислительной техники
ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ОТРАСЛИ
Учебное пособие
для студентов специальностей
490102 «Технология хранения и переработки животного сырья»
910101 «Производство продукции и организация общественного питания»
специализации:
49010201 "Технология мяса и мясных продуктов"
49010202 "Технология молока и молочных продуктов"
91010101 «Технология продукции и организация общественного питания»
дневной и заочной формы обучения
Могилев 2005
2
УДК 681.3
Рассмотрены и утверждены
на заседании кафедры
«Информатика и вычислительная техника»
Протокол №_____ от «____»_________2005 г.
Составители к.т.н., доц. Ж.В. Кошак
асс. Е.М. Минина
Рецензент к.т.н., доц. Белорусско-российского
университета
Л.Г. Черная
© Могилевский государственный университет продовольствия
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................5
1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ. ОТСЕВ
ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ .................................................................................
6
2 ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ ...............................................................................
7
2.1 Метод наименьших квадратов..........................................................................7
2.2 Регрессионный анализ ......................................................................................8
2.3 Корреляционный анализ ...................................................................................10
2.4 Дисперсионный анализ .....................................................................................11
2.5 Алгоритм регрессионно-корреляционного анализа ........................................12
2.6 Реализация методов с помощью анализа данных в электронных таблицах
Excel.........................................................................................................................
12
2.7 Подбор уравнения регрессии при помощи линий тренда в электронных
таблицах Excel.........................................................................................................
13
2.8 Реализация метода наименьших квадратов средствами MathCAD................13
3 ПОИСКОВАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ........................................................................15
3.1 Понятие линейного программирования ..........................................................15
3.2 Типы задач, решаемые методами линейного программирования ..................15
3.2.1 Задача о наилучшем использовании ресурсов..............................................15
3.2.2 Задача о выборе оптимальных технологий...................................................16
3.2.3 Задача о смесях...............................................................................................17
3.3 Симплексный метод ..........................................................................................17
3.4 Построение двойственных задач и их свойства ..............................................20
3.5 Реализация симплексного метода с помощью Поиска решения в
электронных таблицах Excel..................................................................................22
3.6 Алгоритм решения задачи о наилучшем использовании ресурсов................24
4 СТАТИСТИЧЕСКИЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ .....................................24
4.1 Реализация дисперсионного анализа с помощью анализа данных в
электронных таблицах Excel..................................................................................
27
4.2 Алгоритм реализации однофакторного дисперсионного анализа..................28
5 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА..............................................................29
5.1 Полный факторный эксперимент 2
3
.................................................................30
5.2 Построение эксперимента в пакете Statgraphics Plus .....................................35
5.3 Анализ математической модели и результатов эксперимента ......................36
5.4 Алгоритм реализации ПФЭ 2
3
..........................................................................38
6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ ...............39
7 ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ...............................................................................42
7.1 Постановка транспортной задачи по критерию стоимости ............................42
7.2 Построение начального опорного плана..........................................................43
7.3 Метод потенциалов ...........................................................................................44
7.4 Условия оптимальности....................................................................................44
7.5 Открытая модель транспортной задачи ...........................................................45
7.6 Реализация транспортной задачи с помощью поиска решения в
электронных таблиц Excel......................................................................................50
4
8 Вопросы по дисциплине «Применение ЭВМ в отрасли»..................................53
Список литературы .................................................................................................54
ПРИЛОЖЕНИЕ А Задания по теме «Регрессионно-корреляционный анализ»..56
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Задания по теме «Задача о наилучшем использовании
ресурсов».................................................................................................................62
ПРИЛОЖЕНИЕ В Задания по теме «Дисперсионный анализ»............................71
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Задания по теме «ПФЭ 2
3
»......................................................75
ПРИЛОЖЕНИЕ Д Задания по теме «Критерии принятия решения»..................81
ПРИЛОЖЕНИЕ Е Задания по теме «Транспортная задача»................................89
5
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в пищевой промышленности получают широкое
распространение ЭВМ. Автоматизация расчетов позволяет пищевым
предприятиям избежать ошибок и сбоев при выпуске продукции. С помощью
ЭВМ можно прогнозировать количественные и качественные показатели
выпускаемой продукции.
В связи с этим в данном пособии рассмотрены математические методы и
модели, которые позволяют обрабатывать опытные данные и прогнозировать
результаты. Реализация данных методов на ЭВМ автоматизирует и упрощает
расчеты, при этом расчеты могут быть выполнены несколькими способами.
Наличие различных способов реализации математических методов и моделей дает
возможность пользователям выбирать наиболее удобный и понятный каждому
пользователю. Следует отметить, что в данном пособии рассмотрены способы
реализации в наиболее простых программных средствах, таких как электронные
таблицы Excel, математический пакет MathCAD и STATGRAPHICS PLUS.
Данное пособие призвано помочь студентам освоить различные
математические методы и модели. Рассмотрение конкретных методов
продиктовано требованиями учебной программы по дисциплине «Применение
ЭВМ в отрасли» для студентов специальностей 490102 – Технология хранения и
переработки животного сырья, 910101 – Производство продукции и организация
общественного питания. Пособие включает в себя такие разделы как
предварительная обработка опытных данных, корреляционный и регрессионный
анализ, поисковая оптимизация и решение типовых задач методами линейного
программирования, симплексный метод, двойственная задача, полный факторный
эксперимент, статистический дисперсионный анализ, транспортная задача и
критерии принятия решения.
6
1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ОПЫТНЫХ ДАННЫХ.
ОТСЕВ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Предварительная обработка результатов измерений или наблюдений
необходима для того, чтобы в дальнейшем с наибольшей эффективностью,
корректно использовать для построения эмпирических зависимостей
статистические методы. Содержание предварительной обработки в основном
состоит в отсеивании грубых погрешностей измерения. Грубые погрешности
измерения – это аномальные или сильно выделяющиеся значения.
Другим важным моментом предварительной обработки данных является
проверка соответствия результатов измерения закону нормального
распределения, или какому либо другому закону.
Только после проведения предварительной обработки можно перейти к
построению эмпирических формул, применяя различные методы (например,
метод наименьших квадратов).
Если в распоряжении экспериментатора имеется выборка небольшого
объема n<=25, то можно воспользоваться методом вычисления максимального
относительного отклонения
p
i
S
xx
−
≤
−
1
2
τ
(1)
x
i
– крайний (наибольший или наименьший) элемент выборки, по которой
подсчитывались Sиx .
Τ
1-p
- табличное значение статистики τ, вычисленное при доверительной
вероятности q.
Если это неравенство соблюдается, то наблюдение считается грубой
погрешностью и отсеивается. Отсев грубых погрешностей можно произвести и
для больших выборок. Для практических целей лучше всего использовать
таблицы распределения Стьюдента. Этот метод исключения аномальных
значений для выборок большого объема отличается простотой. Распределение
Стьюдента относиться к категории распределений, связанных с нормальным
распределением.
Вычисляется статистика τ
.
2
S
xx
i
−
=τ
(2)
Максимальные относительные отклонения могут быть разделены на три
группы:
1)
np,
τ
τ
≤
2)
npnp ,1, +
≤
≤
τ
τ
τ
3)
np,
τ
τ
≥
Наблюдения, попавшие в первую группу нельзя отсеивать ни в коем случае.
Наблюдения второй группы можно отсеять, если в пользу данной процедуры
имеются и другие предпосылки. Наблюдения третьей группы отсеиваются всегда.
7
2 ПАССИВНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И
РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
Одной из основных задач математической статистики является
исследование зависимости между двумя или несколькими переменными.
На практике при обработке экспериментальных данных закон
распределения случайной величины (x, y) как правило, неизвестен. В
распоряжении экспериментатора имеются только полученные значения
двумерной величины (x
i
; y
i
) (i=1, 2, … n). Если результаты выборки изобразить в
виде точек в декартовой системе координат, то полученную точечную диаграмму
называют корреляционным полем. Приближенное выражение модельной
функции регрессии называют эмпирической функцией регрессии
),,,,( dbaxfy
x
K
=
.
Модельную функцию регрессии или модель чаще всего подбирают по
характеру расположения точек (x
i
; y
i
) на корреляционном поле, так, чтобы она
отражала характерные особенности расположения этих точек. Поскольку
оценками модели являются средние значения y, то эмпирическая линия регрессии
должна проводится не через точки (x
i
; y
i
), а должна усреднять (сглаживать)
результаты измерений (x
i
; y
i
). Усреднить – это найти такую функцию
),,,,( dbaxfy
x
K
=
, график которой наилучшим образом приближается к
неизвестной модельной линии регрессии.
2.1 Метод наименьших квадратов
Для решения задачи нахождения эмпирических уравнений регрессии
применяется метод наименьших квадратов. Метод наименьших квадратов
позволяет при заданном виде зависимости выбрать параметры этой зависимости.
В качестве параметров выступают коэффициенты уравнения регрессии.
Предположим, что уравнение регрессии имеет следующий вид:
y=b
0
+b
1
⋅x
(3)
Для удобства вычислений создается таблица следующего вида:
Таблица 1
x
i
y
i
x
i
2
y
i
2
x
i
*y
i
x
i
+y
i
(x
i+
y
i
)
2
В последней строке таблицы размещается сумма по всем столбцам
Контроль произведенных вычислений осуществляем по формуле
∑
∑
∑
∑
+⋅+=+
2
2
2
2)(
iiiiii
yyxxyx
(4)
Для нахождения коэффициентов уравнения запишем систему
нормальных уравнений с учетом значений в таблице 1:
8
⋅=+
=+
∑∑∑
∑
∑
iiii
ii
yxxbxb
yxbnb
2
10
10
(5)
Составленная система уравнений решается методом Крамера. Для этого
составляются определители:
∑∑
∑
=∆
2
ii
i
xx
xn
∑∑
∑
∑
⋅
=∆
2
0
iii
ii
xyx
xy
b
∑∑
∑
⋅
=∆
iii
i
yxx
yn
b
1
(6)
Определители раскрываются по следующей формуле, например первый
определитель:
∑∑∑
⋅−⋅=∆
iii
xxxn
2
(7)
Коэффициенты b
0
и b
1
находятся по формуле:
∆
∆
=
0
0
b
b
∆
∆
=
1
1
b
b
(8)
2.2 Регрессионный анализ
Регрессионный анализ – это анализ функций регрессий первого и второго
рода. С его помощью решаются следующие задачи:
o находятся точечные и интервальные оценки параметров эмпирической
функции регрессии;
o производится точечное и интервальное оценивание условных
математических ожиданий, необходимое для предсказания средних значений
одной случайной величины, соответствующих определенным фиксированным
значениям другой величины;
o проверяется согласованность найденной эмпирической функции
регрессии с экспериментальными данными.
Для решения первой задачи регрессионного анализа определяются средние
квадратичные ошибки S
b0
и S
b1
, характеризующие точность найденных
коэффициентов уравнения регрессии, вычисляется среднеквадратичная ошибка,
характеризующая рассеивание эмпирических точек вокруг линии регрессии.
Для этого создается таблица 2.
Таблица 2
x
i
y
i
01
bxby
ii
+⋅=
)
iii
yy
)
−=ε
2
i
ε
В последней строке таблицы размещается сумма по всем столбцам
Расчет значений в данной таблице осуществляется аналогичным образом, как и
расчет значений в таблице 1. Формулы для расчета приведены в заголовке
таблицы 2.
Несмещенная оценка дисперсии зависимой переменной y определяется по
формуле:
∑
−
−
=
22
)(
2
1
ii
yx
yy
n
S
)
(9)
9
Эмпирические дисперсии точечных оценок коэффициентов регрессии
определяются следующим образом:
∑∑
∑
−⋅
⋅
=
2
2
2
2
2
)(
0
ii
i
yx
b
xxn
xS
S
∑∑
−⋅
⋅
=
2
2
2
2
)(
1
ii
yx
b
xxn
Sn
S
(10)
Для построения 95 %-ных доверительных интервалов необходимо
воспользоваться формулами:
95 %-ный доверительный интервал для коэффициента b
0:
00
2
00
2
0 bb
StbbStb ⋅+<<⋅−
αα
(11)
95 %-ный доверительный интервал для коэффициента b
1:
11
2
11
2
1 bb
StbbStb ⋅+<<⋅−
αα
(12)
По таблицам t-распределения Стьюдента [4] по числу степеней свободы и
доверительной вероятности находится критическое значение статистики
2
α
t . Число
степеней свободы определяется по формуле: к = n-2, где n – количество опытов и
вероятности α = 0,05.
Для решения второй задачи регрессионного анализа осуществляется
статистическое оценивание коэффициентов регрессии, т.е. проверяется нулевая
гипотеза Н
0
, т.е. проверяется отличается ли статистически значимо оценка
коэффициента регрессии от нуля. Границу значимости устанавливают на
основании распределения Стьюдента.
Для этого вычисляется статистика:
2
1
2
r
n
rt
набл
−
−
⋅= (13)
По таблицам распределения Стьюдента при α=0,05 и числу степеней
свободы k = n-2 находим t
α/2;k
. Сравниваем t
набл
с t
α/2;k
. Необходимо чтобы t
набл
>
t
α/2;k
. В этом случае регрессионная модель выбрана удачно, т.е. она согласуется с
экспериментальными данными и значение коэффициента отличается от нуля. В
противном случае регрессионная модель не согласуется с экспериментальными
данными, т.е. регрессионная модель выбрана не удачно. Если это условие
выполняется, то гипотеза Н
0
отклоняется.
Коэффициент детерминации характеризует степень совпадения
экспериментальных данных модельным (рассчитанным по уравнению регрессии).
Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выше точность значений
рассчитанных по уравнению регрессии. Коэффициент детерминации изменяется
от 0 до 1.
Вычисляется коэффициент детерминации:
∑
∑
−
−
=
2
2
2
)(
)(
yy
yy
R
i
i
)
(14)
Очень часто на практике считают, что условное математическое ожидание
М(Y/X) является линейной функцией, т.е. М(Y/X) = β
0
+β
1
х. Это предположение
является гипотезой, которую надо проверить. Проверка этой гипотезы
основывается на оценивании коэффициента корреляции.
10
2.3 Корреляционный анализ
Корреляционный анализ – это анализ оценок коэффициента корреляции.
Корреляционный анализ позволяет ответить на вопрос: существует ли линейная
функциональная зависимость между случайными величинами X и Y.
В случае положительного ответа позволяет измерить степень тесноты
статистической зависимости (степень близости статистической зависимости к
функциональной). Существует ряд случаев, характеризующих линейность
уравнения регрессии:
1) r=1. Линейная положительная функциональная связь существует, линии
регрессии Y на X и X на Y совпадают, коэффициенты регрессии равны b
0
=b
1
и оба
положительны. График такой зависимости представлен на рисунке 1а.
2) r=-1. Линейная отрицательная функциональная связь существует, линии
регрессии Y на X и X на Y совпадают, коэффициенты регрессии равны b
0
=b
1
и оба
отрицательны. График зависимости представлен на рисунке 1б.
3) r=0. Линейная функциональная зависимость не существует между
переменными X и Y. Линии регрессии параллельны координатным осям,
коэффициенты регрессии равны нулю. График зависимости представлен на
рисунке 1в.
4) -1<r<1. В данном случае линейная зависимость может существовать, а
может и не существовать. Для точного ответа на этот вопрос необходим
дополнительный дисперсионный анализ. График зависимости представлен на
рисунке 1г.
Y=f(X)
y = 2x + 2
r = 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
02468
X
Y
а)
Y=f(X)
y = -2x - 2
r = 1
-20
-15
-10
-5
0
02468
X
Y
б)