Корнилов И.А. Элементы страховой математики

Подождите немного. Документ загружается.

301

Г. Оценка параметров нормального закона методом максимального

правдоподобия

2σ

µ)(x

ef(x)

2πσ

−

⋅=

2σ

µ)

e)f(x

2πσ

−

⋅=

∑

⋅=⋅=⋅=

−⋅−

−−

∏∏∏

−−

2σ

µ)

2σ

µ)

µ)(x

2πσ

e)(e)(e)f(x

=−⋅−=

∑

⋅=

∑

∏

−⋅−

2σ

2πσ

µ)(x

2πσ

µ)(xnln]e)ln[()]f(x[

2σ

∑

−⋅−−−=

2σ

µ)(x2πnlnnlnσ

=+−⋅⋅−=−⋅⋅−=

∑∑∑∑

∂

]1)µx2µx([µ)(x

2σ

]µ[µn]x[2µµnx2[0

nσ

2σ

222

∑

−⋅=−⋅=+−⋅−=

Приравняв к 0 получим:

∑

)

µ)(x

σ2

σ2)(σµ)(xn

∑

−

∑

−

∂

+−=⋅−⋅−−=⋅⋅⋅−−⋅−=

∑

Приравняв к 0 получим:

µ)(x

σ µ)(xnσ

∑

−

=−=

∑

)

Д. Оценка параметров логарифмически-нормального закона методом

максимального правдоподобия

0 ; )(

)(ln

>⋅=

−

xexf

πσ

∏∏∏

∑

⋅⋅=⋅=

−⋅−−

−

][)(][)(

)(ln

eexf

σσ

πσ

=−⋅−+=

∑∑∏

)(lnlnln)(ln

mxnxf

πσ

∑∑

−⋅−−−−

)(lnln2lnln

mxxnn

πσ

=⋅+⋅−⋅⋅−=−⋅⋅−=

∂

∑∑

])ln2([)(ln

nmxmmx

σσ

02)ln2(

2222

=−=⋅−−⋅−=

∑∑

σσσσ

mnx

∑∑

⋅==

)

=−⋅−⋅+−⋅=

∑

∂

])(ln[)ln(

mxn

σσσ

=⋅−⋅⋅−+⋅−

−

∂

∑

)()(ln

σσ

mxn

0)2()()(ln

)(ln

=−=−⋅−⋅−+−=

∑

−

∑

n i

∑

−

)(ln

)

302

Приложение 2. Практикум по курсу «Основы актуарных расчетов»

1. Решения тренировочных заданий

1. Реальная цена коттеджа 200000 у.е.

Владелец застраховал дом от пожара в

компании А на 60000 у.е. и в

компании В на 40000 у.е. Произошел

пожар, при котором реальный ущерб

составил 70000 у.е. Какое возмещение

должен выплатить каждый

страховщик?

C = 200000, S1 = 60000, S2 = 40000.

S = S1 + S2 = 100000 = C*50%.

X = 70000. Страхователь должен

получить 70000*50% = 35000. Причем

А выплатит 60% (т.е. 21000), а В –

40% (14000).

2. В условиях предыдущей задачи:

C = 200000, S1 = 150000, S2 = 100000,

X = 200000 (полное уничтожение).

Кто сколько должен заплатить?

2. S1 + S2 = 250000 > C. Но

возмещение не превосходит реальную

цену. Поэтому выплаты:

200000*(150000/250000) = 120000 и

200000*(100000/250000) = 80000

соответственно.

3. Страховая сумма 500 у.е. Граница

покрытия 200 у.е. Страховой взнос 20

у.е. Как он распределится между

цедентом и перестраховщиком (при

одинаковых надбавках)?

3. Риск делится в пропорции 200:300 =

2:3 поэтому и взносы распределятся

соответственно: 20*(2/5)=8 и

20*(3/5)=12.

4. Объем портфеля 2000, вероятность

страхового случая 0.01. Оценить

степень риска в портфеле.

4. N=2000, p=0.01, q=0.99, Np=20,

Npq=19.8,

Npq

=4.4,

K=4.4/20=0.22=22%.

5. Есть два субпортфеля: N1=4000,

p1=0.002, N2=4000, p2=0.003. Оценить

степень риска в каждом субпортфеле

и во всем портфеле.

5. Для субпортфелей в отдельности:

N1*p1=8, N1*p1*q1=7.984,

N1*p1*q1

=2.83,

K1=2.83/8=0.35=35%.

N2*p2=18, N2*p2*q2=17.946,

N2*p2*q2

=4.24,

K2=4.24/18=0.24=24%.

Для всего портфеля:

N1*p1 + N2*p2 = 8+18=26,

D=D1+D2=7.984+17.946=25.93,

25.93 =5.09,

K=5.09/26=0.20=20%.

303

6. Объем портфеля 3000, вероятность

страхового случая 0.004, страховая

сумма 1000 у.е. Какой максимальный

риск может принять страховщик?

6. К=СКО/МО=

Npq /Np= 11.952 /12=

3.46/12=0.29=29%.

При малой p для нового риска (в целях

сохранения К) max равен:

X=2* K

*NpS= 2*0.29

*12*1000 =

2018.4.

7. Вероятность предъявления

требования 0.05. При возникновении

страхового случая ущерб распределен

равномерно на (0,200). Найти

математическое ожидание и

дисперсию выплаты.

7. B U(0,200), p=0.05, q=0.95.

M(B|A)=100,

M(B

|A)=(1/3)*(1/200)*200

=10

*4/3;

D(B)=10

*4/3–100

=10

/3,

M(I)=p=0.05,

D(I)=pq=0.05*0.95=0.0475,

M(X)=p*M(B|A)=0.05*100=5,

M(X

)=p*M(B

|A) =0.05*10

/3 = 500/3,

D(X)= 500/3 – 5

= 141.67,

D = 11.9, K=11.9/5=2.38.

8. Объем портфеля 6000 договоров со

страховой суммой 10 у.е. и 4000

договоров со страховой суммой 20 у.е.

Вероятность предъявления

требований об оплате одинакова и

равна 0.01. Оценить вероятность

разорения, если компания имеет

капитал 300 у.е.

M(S)=6000*10*0.01+4000*20*0.01=1400,

D(S)=6000*10

*0.01*0.99+4000*20

*0.

01*0.99=21780,

D =147.6

P=Pr(S>1400+300)=Pr(t>300/147.6)=

Pr(t>2.03)=(1-Ф(2.03))/2=

=(1-0.9576)/2=0.02=2%.

9. В условиях предыдущей задачи

найти математическое ожидание и

дисперсию с помощью коллективной

модели.

λ1=n1*p1=60, λ2=n2*p2=40,

λ=λ1+λ2=100,

w1=

λ1/λ=0.6, w2=λ2/λ=0.4;

P(x)= 0, x<10; или P(x)=0.6,

10<x<20; или P(x)=1, x>20;

(X)=w1*S1+w2*S2=0.6*10+0.4*20=14;

M(X)=0.6*10

+ 0.4*20

= 60+160=220;

M(Y)=

λ*M(X)=100*14=1400;

D(Y)=

λ*M(X

)=100*220=22000.

10. Объем портфеля 5000, вероятность

предъявления требования об оплате

0.005, страховая сумма 100 у.е. Найти

резерв U, обеспечивающий

вероятность неразорения не ниже 99%

при отсутствии надбавки.

10. M=Np=25, D=Npq=24.875,

D =4.9875,

ε=0.01=(1-Ф(t))/2, Ф(t)=0.98, t=2.32,

t=(U/S-M)/

D ,

U/S=M+t*

D =25+2.32*4.9875=

=25+11.571=36.571,

U=36.571*100=3657.1 у.е.

304

11. Есть два субпортфеля с

параметрами: N1=1000, p1=0.001,

S1=10; N2=4000, p2=0.0005, S2=3.

Найти одинаковую относительную

рисковую надбавку, обеспечивающую

вероятность неразорения в портфеле

не ниже 0.95.

11.

ε=0.05=(1-Ф(t))/2, Ф(t)=0.90,

t=1.645,

M1=N1*p1=1, D1=N1*p1*q1=0.999,

M1*S1=10, D1*S1

=99.9,

M2=N2*p2=2, D2=N2*p2*q2=1.999,

M2*S2=6, D2*S2

=17.991;

Для всего портфеля:

M(X)=M1*S1+M2*S2=16,

D(X)=D1*S1

+D2*S2

=117.891;

117.891 =10.86,

d=t*

D(X) =1.645*10.86=17.86;

θ=d/M(X)=17.86/16=1.116=111.6%.

Относительная надбавка слишком

велика.

12. Выплаты страховщика

распределены экспоненциально.

Относительные надбавки: у

страховщика 30%, у перестраховщика

40%. Определить нижний предел

уровня удержания.

12.

θ*M(X)>h*M(Z), M(Z)=exp(-M),

θ>h*exp(-M), M>ln(h/θ),

M>ln(4/3)=0.29=29%.

Цедент должен оставить у себя не

менее 29% принятого риска.

13. Страховщик принял риск, для

которого с практической

достоверностью можно считать, что

ущерб не превысит 30 у.е. Он

установил уровень собственного

удержания 5 у.е. и заключил

соответствующий договор об

эксцедентном перестраховании с

лимитом ответственности

перестраховщика 10 у.е. А затем он

заключил второй договор о

перестраховании риска сверх

обусловленных первым договором. В

результате страхового случая

фактический ущерб составил 22 у.е.

Как распределены выплаты?

13. Страховщик выплачивает 5 у.е.,

первый перестраховщик 10 у.е.,

второй перестраховщик 7 у.е.

305

14. Размер ущерба не превышает 50

у.е. Собственное удержание цедента

10 у.е. Остальной риск передан на

квотное перестрахование, в котором

цедент оплачивает 20% убытка.

Реальный ущерб составил 30 у.е.

Сколько выплатит каждая сторона?

14. Страховщик платит:

10+20*20%=14 у.е., перестраховщик

платит: 20*80%=16 у.е.

15. В договоре перестрахования на

основе эксцедента убыточности

передано два риска. Цена объектов 30

у.е. и 50 у.е. Договор предусматривает

оплату перестраховщиком 20 у.е.

сверх 5 у.е. Убытки составили

соответственно 5 и 15 у.е. Определить

выплаты сторон.

15. Суммарный риск 80 у.е. Передан

риск от 6-й до 25-й у.е. включительно.

Реальный ущерб 20 у.е. Из них

страховщик платит 5 у.е., а

перестраховщик 15 у.е.

16. По данным прошлого года:

n=1000, m=100. Найти точечную

оценку вероятности и правую границу

доверительного интервала для

надежности 0.99.

16. m/n=0.1, Ф(t)=0.98, t=2.33,

d=2.33

⋅ 0.1 0.9 / 1000⋅ =0.022,

m/n+d=0.122.

17. Страховщик оценил p=0.02, число

договоров n=235. При каком числе

страховых случаев собранных

рисковых премий достаточно для

выплаты возмещений?

17. np=4.7, поэтому страховщик может

оплатить до 4-х случаев

включительно.

18. В условиях задачи 17 страховщик

создает начальный резерв, чтобы

обеспечить выплату 6 возмещений.

Найти резерв.

18. U=6-4.7=1.3.

19. Портфель состоит из 400

однородных договоров (S=1000,

p=0.01). Найти единовременную

рисковую премию.

19. П=Sp=10.

20. В условиях задачи 19 найти

рисковую надбавку, обеспечивающую

вероятность неразорения не ниже

0.95.

20. Np=4. Npq=3.96,

3.96 =1.99,

(1-Ф(t))/2=0.05, Ф(t)=0.9, t=1.645,

d=1.645

⋅1.99=1.629,

d/П=1.629/10=16.3%. П+d=11.63.

306

21. В условиях задачи 20 найти

брутто-премию, если нагрузка на

ведение дел составляет 20% от

тарифа.

21. f=0.2, 1-f=0.8, 11.63/0.8=14.54.

22. Найти нетто-премии в

субпортфелях. (N1=750, P1=0,004,

S1=1000); (N2=500, P2=0,006,

S2=1000); (

ε=0.05).

22. n1⋅p1=3, n2⋅p2=3,

⋅S1=4, p2⋅S2=6. ee

−−

005. .

P(m=k)=

k−

⋅

, k=0,1,...,6,7

P(m=k): 0.050, 0.150, 0.225, 0.225,

0.169, 0.101, 0.051, 0.022;

P(m

≤6)=0.97>0.95. 163+=Θ , Θ=1,

НП РП

2248

⋅

;

НП Р П

22612

⋅

23. Есть 2 субпортфеля: (N1=200,

P1=0.1, S1=30); (N2=300, P2=0,12,

S2=50); найти нетто-премии в

субпортфелях. (

ε=0.1).

23.

n1⋅p1=20 , n1⋅p1⋅q1=18,

18 4 24= .

⋅p1=3, S1⋅p1⋅n1=600,

⋅p2=36, n2⋅p2⋅q2=31.68, 3168 5 63..= ,

⋅p2=6, S2⋅p2⋅n2=1800,

Ф(t)=1-2

ε=0.8; t =1.282,

1282 4 24 30 163 07

⋅

.. .

=163.07/600=27% ;

НП

3127 381=⋅

1282 5 63 50 360 88

⋅

.. .

=360.88/1800=20% ; НП

612 72=⋅

24. Портфель (n=400, p=0.075,

S=1000). На рынке средняя надбавка

10%. Найти капитал,

обеспечивающий надежность 95%.

24. np=3, npq=2.775,

2.775 =1.666,

pS=75,

(1-Ф(t))/2=0.05, t=1.645,

d=1.666

⋅1.645=2.74, np+d=5.74,

d/np=0.91=91%, npS=3000,

=0.1,

=1.1, 3000⋅1.1=3300,

5.74

⋅1000=5740,

5740-3300=2440=U

25. Распределение ущерба:

X 100 200 300 400

P 0.5 0.3 0.15 0.05

Найти рисковые премии при

условной и безусловной франшизе

200.

25.M(X)=100⋅0.5+200⋅0.3+300⋅0.15+40

⋅0.05=165

При безусловной:

100

⋅0.15+200⋅0.05=25

При условной: 300

⋅0.15+400⋅0.05=65.

307

26. В портфеле два одинаковых

договора с распределением ущерба:

Xi 0 100 200 400

Pi 0.4 0.3 0.2 0.1

Найти рисковую премию при

перестраховании суммарного

ущерба более 300.

26.

M(Xi)=100*0.3+200*0.2+400*0.1=110

Суммарный ущерб имеет

распределение.

X 0 100 200 300 400 500 600 800

P 0.16 0.24 0.25 0.12 0.12 0.06 0.04 0.01

P(X > 300)=0.12+0.06+0.04+0.01=0.23.

M(X)=2*M(Xi)=220. Или

непосредственно

100*0.24+200*0.25+…+600*0.4+800*

0.01=220. X=Y+Z. где Y-

удерживаемый риск.

Распределение риска

перестраховщика:

Z 0 100 200 300 500

P 0.77 0.12 0.06 0.04 0.01

M(Z)=12+12+12+5=41 – искомая

рисковая премия перестрахования

27. В условиях примера 26

определить, как отразится

перестраховочный договор на цене

основного договора, если рисковая

надбавка страховщика 15%, а у

перестраховщика 20%.

27. Рисковая премия в основном

договоре 110, т.е. без

перестрахования нетто-премия равна

110⋅1.15=126.5. После

перестрахования рисковая премия

делится: 69 – страховщику и 41 –

перестраховщику, поэтому:

⋅1.15+41⋅1.20=128.55 – итоговая

нетто-премия (увеличилась на 2).

28. 1<X<9, U(X)=1 - e

(-2X)

; показать,

что U(X) – обладает свойствами

функции полезности.

28. Производная : 2e

(-2X)

>0, а вторая

производная: -4e

(-2X)

<0 .

29. 3<X<10, U(X)=ln X ; является ли

эта функция – функцией полезности?

29. Производная: 1/X >0 , вторая:

1/X

< 0 .

30. Цена подобного риска 10,

значения выплат по новому риску

составили : 12, 14, 13, 15.

Предполагается, что через 5 периодов

информации будет достаточно, чтобы

опираться только на новый риск.

Коэффициент доверия возрастает

равномерно. Найти взносы по

периодам.

30. Средние значения по периодам: 12,

13, 13, 13.5. Коэффициент равен: 0.2,

0.4, 0.6, 0.8. Поэтому взносы:

1) 0.2

⋅12 + 0.8⋅10 = 10.4

2) 0.4

⋅13 + 0.6⋅10 = 11.2

3) 0.6

⋅13 + 0.4⋅10 = 11.8

4) 0.8

⋅13.5 + 0.2⋅10 = 12.8

308

2. Тест для самоподготовки.

1. Одной из задач актуария является:

а) проверка правильности счетов, актов и т.д.;

б) оценка ситуации на рынке на качественном уровне;

в) количественная оценка риска финансовой деятельности.

Решающее правило Байеса требует:

а) равенства вероятностей ошибок;

б) равенства плат за ошибки;

в) равенства сумм: взносов и возмещений.

Принцип эквивалентности обязательств сторон предполагает:

а) равенство современных цен рисков сторон;

б) равенства сумм: взносов и возмещений;

в) равенства взносов и возмещений в каждый промежуток

времени.

Страховщик заинтересован в том, чтобы его портфель содержал:

а) большое количество одинаковых рисков;

б) малое количество одинаковых рисков;

в) малое количество различных рисков;

г) большое число различных рисков.

Субпортфель – это:

а) определенная доля всего портфеля;

б) однородное подмножество договоров;

в) часть всего портфеля, содержащая договора одного вида

страхования.

Для оценки вероятности страхового случая используется:

а) отношение числа страховых случаев (в прошлом году) к числу

заключенных договоров;

б) отношение суммы возмещений к сумме взносов;

в) отношение суммы возмещений к общему объему

ответственности.

Актуарий обязан найти пути для обеспечения:

а) максимально высокой надежности;

б) максимально высокой конкурентоспособности;

в) компромисса между высокими: надежностью и

конкурентоспособностью.

309

Увеличение рисковой надбавки:

а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль.

9. Создание значительного начального резерва:

а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль.

10.

Договор о перестраховании:

а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль.

11. Страховщик специализируется на страховании домов в сельской

местности. Условно все дома разделены на две группы. В одной – все

частные дома крестьян, постоянно проживающих в этой местности,

построенные 15 лет назад и более. В другой – коттеджи, построенные

“новыми русскими” за последние 3 года.

Каково соотношение между рисковыми ставками в двух группах: