Корнилов И.А. Элементы страховой математики
Подождите немного. Документ загружается.
281
Затем по формуле
Ai вычисляется матрица
(0)
2
A
и находится
собственный вектор
(1)
1
C
с максимальным собственным значением для
уравнения:
(
)
(
)
(
)
0
1
111
1
1
0
=− CPCA
j
)
λ
Координаты этого вектора и будут новыми значениями меток
(1)
1
C
для
x
1
.
Теперь, зная
(1)
1
C
, определяется матрица
(0)
2
A
при фиксированных
значениях
(0)
q
0
3
(1)
1
C,...,C,C
и находят новый вектор
(1)
2
C
.
Далее для
j=
q2,
набор меток
(1)
j
C
определяется из решения
обобщенной задачи нахождения собственных значений
(1)
j
j
(1)
j
(0)
j
PCA C
∩
λ=
при фиксированных
0
p
(0)
1j
(1)
1-j
(1)
1
C,...,C,C,...,C
+
.
Вычислив все значения меток
(1)
p
(1)
1
C,...,C
переходят к определению
(2)
1
C
()
2
1
C
при фиксированных
(1)
p
(1)
2
C,...,C
, и вычисления повторяются.
Процесс останавливается, когда разница между значениями
критерия (9) на соседних шагах итерации будет меньше заданной
пороговой величины ε
nop
или число итераций k превзойдет заданное I
max
.
Таким образом, каждый из перечисленных выше способов
построения моделей по разнотипным признакам обладает
определенными достоинствами и недостатками при исследовании риска
в страховании (как жизни, так и имущества). Перечисленные методы
возможно использовать при подтверждении или отрицании влияния
качественные факторов на результирующий. В таком случае, выбор того
или иного метода осуществляется в каждом конкретном случае с учетом
его особенностей.
282
Заключение
Некоторые дополнительные сведения о работе актуария
Цивилизованный страховой рынок (в отличие от отечественного)
не скрывает тарифов. Компании пристально следят друг за другом и ни
одно изменение тарифов не остается незамеченным. Актуарные
принципы общеизвестны и не могут составлять коммерческую тайну.
Иначе дело обстоит с пакетами прикладных программ, реализующими
эти методы. Хороший пакет, обеспечивающий своему владельцу
минимальное преимущество (например, позволяющий ему снизить
тариф на 0.1%), является самой охраняемой тайной.
Таким образом, одной из важнейших задач актуария является
разработка концепций пакета, участие в процессе его создания, а затем
использование пакета для решения реальных задач, и при
необходимости модернизации пакета.
Другим следствием такой открытости на страховом рынке
является невозможность длительного сохранения монополии на новые
контракты. Поэтому конкуренция требует постоянного опережения
соперников в генерации новых идей. И поскольку изобрести новую
подотрасль страхования чрезвычайно сложно, необходимо постоянно
предлагать своим клиентам новые услуги (которые
сегодня они не
могут получить больше нигде!) хотя бы в виде
новой комбинации
договоров. И в конструировании этих новых комбинаций актуарий
принимает самое активное участие.
Классическим примером такой комбинации (часто используемой,
например, в ФРГ) является следующая. Родители новорожденного
ребенка заключают договор накопительного страхования жизни на срок
до его совершеннолетия. К этому моменту молодой человек становится
обладателем солидной суммы, которой достаточно для оплаты обучения
(приобретения специальности).
Стороны выполнили обязательства друг перед другом и могут
прервать «сотрудничество», однако компания, не желая расставаться с
хорошим клиентом (и его деньгами), предлагает новый договор. В
результате компания оплачивает обучение клиента, продлевает его
страховку, и еще становится посредником между клиентом и банком,
обеспечивая ему более высокий процент, чем он мог бы получить,
обратившись в банк сам.
Очевидно, этот эффект возникает из-за того, что частное лицо
приносит в банк небольшую сумму, и у банка нет гарантии, что он скоро
283
не закроет свой счет, поэтому банк платит этому клиенту «осторожный»
процент. Страховая компания аккумулирует большие средства и
является для банка солидным и надежным партнером, поэтому на вклад
компании банк платит совсем другой процент. Большую часть этой
разницы компания отдает своему клиенту (по законодательству ФРГ –
более 90%).
Молодой страхователь окончил учебу, получил специальность,
начал работать. Компания предлагает ему новый договор
накопительного страхования, который должен помочь клиенту накопить
сумму, достаточную для покупки (или строительства) дома (квартиры).
И через несколько лет компания предлагает клиенту помощь в
получении льготного кредита для строительства или покупки дома. (под
залог страхового полиса).
В какой-то момент на счете этого клиента в этой компании
накапливается такая сумма, что он больше не платит взносов. Денег на
счете достаточно для оплаты всех страховых взносов (страхование
жизни, пенсии, здоровья, ответственности, имущества и т.д.).
Естественно, клиенту это очень удобно и выгодно; компании - тоже.
Причина в том, что у компании об этом страхователе полное
досье, он для нее абсолютно предсказуем, в отличие от нового человека
с точно такими же параметрами (возраст, профессия, семейное и
имущественное положение и т.д.), но которого компания не знает.
Проблема
нового риска достаточно подробно рассмотрена ранее.
Естественно, в данном случае актуарий определяет, насколько
можно снизить тариф этому конкретному страхователю с учетом его
специфики.
Наконец, актуарий должен при разработке подобных конструкций
учитывать действующее законодательство, прежде всего - налоговое.
Дело в том, что в западно-европейских странах средства, вложенные в
страхование, подлежат льготному налогообложению. В частности, доход
в виде банковского процента облагается налогом, а доход, полученный
при накопительном страховании, либо освобождается от налога, либо
налог значительно меньше. Отметим стабильность законодательства в
странах с развитой рыночной экономикой.
Конечно, эта законодательная норма отражает заинтересованность
государства в снижении нагрузки на бюджет. И базируется на точном
актуарном расчете, выполненном на государственном уровне. Актуарию
страховой компании остается только сконструировать договор,
284
максимально сберегающий деньги клиента, и проиллюстрировать все
преимущества такого договора для клиента.
В настоящей книге автор предпринял попытку, с одной стороны,
консолидировать учебный курс по предмету «Основы актуарных
расчетов», а с другой стороны,- несколько выйти за рамки этого
учебного курса и поставить перед читателем некоторые вопросы (уже не
учебного, а исследовательского характера).
Представляется, что эта вторая составляющая может со временем
по своему значению, по крайней мере, сравниться с первой. И если идеи,
изложенные как в этой, так и в предыдущих книгах, найдут применение
в исследовательских работах студентов, дипломников и аспирантов,
автор будет считать свою цель достигнутой.
По мнению автора, круг вопросов, рассмотренных в этой и
предыдущих книгах, уже вышел за рамки семестрового учебного курса.
Дальнейшее развитие этого направления может быть достигнуто путем
разработки отдельных актуарных проблем (резервы, оценка
устойчивости страховщика, работа с документами его официальной
финансовой отчетности, перестрахование (особенно, страховые и
перестраховочные пулы), инвестирование временно свободных средств
страховщика и т.д.).
Представляется, что разработка этих (и других смежных) вопросов
и доведение их до уровня спецкурсов может быть востребовано в самом
ближайшем будущем. Как в системе вузовского, так и послевузовского
образования.
Поэтому автор приглашает к сотрудничеству всех
заинтересованных лиц, а также будет признателен за любые
конструктивные замечания по содержанию и структуре книги.
285
15. Рекомендуемая литература
1.
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М., ЮНИТИ, 1998, 1024 с.
2.
Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической
статистики. М., Наука, 1983, 416 с.
3.
Бурроу К. Основы страховой статистики. “Анкил”, М., 1992, 92
с.
4.
Гвозденко А.А. Финансово-экономические методы страхования.
М., Финансы и статистика, 1998, 180 с.
5.
Гербер Х. Математика страхования жизни. Мир, М., 1995, 160 с.
6.
Карри И. Прикладная статистика. Кузбассвузиздат, Кемерово,
1994, 185 с.
7.
Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. Наука, М.,
ГРФ-МЛ., 1966,
8.
Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов. МЭСИ, М., 1997,
117с.
9.
Корнилов И.А. Актуарные расчеты в практике страхования.
МЭСИ, М., 1998, 67с.
10.
Корнилов И.А. Вероятностно-статистические исследования в
страховании. М., МЭСИ, 1999, 106 с.
11.
Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов. /УПП ИДО/, М.,
МЭСИ, 1998, 120 с.
12.
Корнилов И.А. Актуарные расчеты в имущественном
страховании. /УПП ИДО/, М., МЭСИ, 1998, 104 с.
13.
Корнилов И.А. Распределение ресурсов и управление запасами в
страховании. М., МЭСИ, 2000, 120 с.
14.
Корнилов И.А. Статистический анализ риска на региональном
рынке страхования жизни. М., МЭСИ, 2000, 240 с.
15.
Королькевич В.А. Страхование. НТК “Трек”, М., 1994,
16.
Крамер Г. Математические методы статистики. М., Мир, 1975,
648с.
17.
Медведчиков Д.А. Организационно-экономические принципы
страхования космических рисков. М., Анкил, 1998, 184 с.
18.
Мхитарян В. С., Аль-Кодмани А. Автотранспортное
страхование. Актуарные расчеты. ММУБИИТ, М., 1994, 80 с.
19.
Практикум по страховому делу. Под ред. В.И. Рябикина, М.,
Финстатинформ, 1998, 72 с.
20.
Рейтман Л.И. Страховое дело. “ББ Н-КЦ”, М., 1992,
21.
Рябикин В.И. Актуарные расчеты. Финстатинформ, М., 1996, 92
с.
22.
Салин В.И., Абламская Л.В., Ковалев О.И. Математико-
экономическая методология анализа рисковых видов страхования. М.,
Анкил, 1997, 128 с.
286
23.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической
статистики. М., Наука, 1982, 356 с.
24.
Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику.
ИМУ, М., 1994, 86 с.
25.
Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании.
РЮИД., М., 1994, 130с
26.
Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни
и пенсионных схем. МГУ им. М.В. Ломоносова, М., 1996,
27.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Мир, М., т.1-1984, 528 с., т.2-1984, 752 с.
28.
Хэмптон Д.Д. Финансовое управление в страховых компаниях.
ИЦ “Анкил”, М., 1995, 264 с.
29.
Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. АО “АРГО”, М., 1993, 100
с.
30.
Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.
ДЕЛО Лтд, М., 1995, 320 с.
31.
Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном
пенсионном страховании. М., Дело, 1999, 120 с.
32.
Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования.
КРОКУС-Т, М., 1993, 150 с.
287
Приложение1. Сведения из теории вероятностей и математической
статистики.
1. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
ИХ ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ.
А. ЗАКОН ПУАССОНА
В общем случае рассматривается произвольный промежуток времени
(
0;t), где t-любое >0. Поэтому
{}
(
)
n!
λt
enN(t)P
n
λt
⋅==
−
И только, если t=1 (фиксирован), то
{}
n!
λ
enN(1)P
n
λ
⋅==
−
Взяв в качестве новой единицы времени не (
0;1), а (0;t), можно без
потери общности пользоваться результатами для более простой
формулы:
()
m!
λ
emkP
m
λ
⋅==
−
(Замена: «λt»→ «λ»)
Убедимся, что это «распределение», т.е.
∑
∞
=
==
0m
1m)P(k
Из разложения в ряд:
λ
3
2
0
m
e
3!
λ
2!
λ1
m!
λ
λ
=⋅⋅⋅++++=
∑
∞
следует:
∑∑∑
∞
=
−
∞
−
∞
=
−
===⋅==
0m
λλ
0
m
λ
m
0m
λ
1ee
m!
λ
e
m!
em)P(k
λ
Найдем математическое ожидание:
λeλe
m!
λ
λe
1)!(m
λ
λe
1)!(m
λ
λe
1)!(m
λ
e
m!
λ
me
m!
λ
me0
m!
λ
meP(m)mM(K)
λλ
0
m
λ
1
1m
λ
1m
1
λ
1
m
λ
1
m
λ
1
m
λ
0
m
λ
0
=⋅⋅=⋅⋅=
−
⋅⋅=
−
⋅⋅=
=
−
⋅==⋅+=⋅=⋅=
−
∞
−
∞
−
−
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
∑∑∑
∑∑∑∑∑
Итак:
М(K)=λ
Найдем дисперсию:
D(K)=M(K
2
)-[M(K)]
2
288
[ ]
()
[]
2λλ
0m
m
λ
1m
m
λ
1m
λ
m
λ
0m
m
0m
m
λ
1m
1m
1m
1m
λ
1m
1m
λ
1m
m
λ
1m
m
λ
0m
m
λ
0m
m
λ2
0m
22
λλeλλeλ
m!
λ
λλeλ
1)!(m
λ
λeλem
m!
λ
0λe
m!
λ
m
m!
λ
λe
1)!(m
λ
11)(m
1)!(m
λ
λe
λ
1)!(m
λ
11me
1)!(m
λ
me
m!
λ
mm0e
m!
λ
mme
m!
λ
emP(m)m)M(K
+=⋅⋅⋅+
=⋅⋅⋅+=
−
⋅⋅+=
+⋅+⋅=
=
+⋅⋅⋅=
−
⋅⋅+−⋅
−
⋅⋅=
=
⋅
−
⋅+−=
−
⋅⋅=
⋅+
=
⋅⋅=⋅⋅=⋅=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
−
∞
=
−
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
−
∞
=
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
D=(λ+λ
2
)-(λ)
2
= λ, итак : D(K) = λ, т.е. M(K)=D(K)=λ
Б. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
αx
eαf(x)
−
⋅= , x>0
Убедимся, что это - «распределение», т.е.
∫
∞
=
0
1f(x)dx
101ee
ee)d(eαx)d(edxαef(x)dx
0α
αxαx
0
αx
0
αx
0
αx
0
0
0
=−=−=
==−=−=−−==
∞−⋅−
−−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
∞
∞
∫∫∫∫
Найдем математическое ожидание:
[]
α
1
10
α
1
e
α
1
00
de
α
1
xeαx)d(e
α
1
eαx)(
α
1
αx)de(
α
1
αx)d(αx)e(
α
1
dαα(ααx)
α
1
dxxααf(x)dxxM(X)
0
0
0
αx
0
αxαx
0
αxαx
0
αx
0
αx
0
αx
0
αx
0
=−−=−−=
=−=−−⋅−=−=
=−−===⋅=
∞
∞
∞
−
∞
−−
∞
−−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
∫∫∫
∫∫∫∫
Итак:
α
1
M(X)
=
289
Для расчета дисперсии определим второй начальный момент:
() ()
()
22
0
αx
2
0
αx
2
0
2αxαx
2
2
0
αx2
2
0
αx
2
2
0
αx2
2
0
αx2
0
22
α
2
1
α
2
αx)de(
α
2
αx)d(2ααe
α
1
αx)d(eeαx
α
1
deαx)(
α
1
αx)d(eαx
α
1
d(α(αe(ααx
α
1
dxαexf(x)dxx)M(X
0
=⋅=−=−−⋅=
=
−−−−=−−=−−−=
====
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
∞
−
∞
−
∞
−−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
−
∞
∞
Тогда дисперсия равна:
2
2
2
α
1
α
1
α
2
D(X) =
−=
D(X)=[M(X)]
2
В. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
2
2
2σ
µ)(x
e
2πσ
1
f(x)
−
−
=
()
12π
2π
1
dte
2π
1
σ
µx
de
2π
1
dxe
2πσ
1
f(x)dx
2
2
2
2
t
2
1
σ
µx
2
1
2σ
µ)(x
=⋅=
==
−
==
∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
∞
∞−
−
−
∞
∞−
т.к.
2πdte
2
t
2
1
=
∫
∞
∞−
−
- интеграл Эйлера
∫∫
∞
∞−
−
−
∞
∞−
⋅=⋅⋅= xdxe
2πσ
1
dxxf(x)M(x)
2
2
2σ
µ)(x
t
σ
µx
=
−
,
t
σ
µ
x +=
,
σdtdx
=
µ0µde
2π
σ
µ
2
t
de
2π
σ
dte
2π
1
µdtte
2π
1
µdte
2π
1
dt)t(µe
2πσ
1
2
t
2
2
t
2
t
2
t
2
t
2
t
22
22
2
2
=+=−=+
+⋅=σ+=σ⋅σ+⋅
∫∫
∫∫ ∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
−−−
Итак:
µM(X) =
.
290
Найдем дисперсию через второй начальный момент:
()
[]
=+µσ+⋅=⋅+⋅
=⋅=⋅⋅=
−=
∫∫
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
−
∞
∞−
)dtσt2(µe
2π
1
σdt)tσσ(µe
2πσ
1
dxxe
2πσ
1
dxxf(x))M(X
M(X)XMD(X)
222
2
t
2
2
t
2
2σ
µ)(x
22
2
2
22
2
2
2
t
tde
2π
σ
01µdtte
2π
σ
tdte
2π
2µ
dte
2π
µ
2
2
t
2
22
2
t
2
2
t
2
t
2
2222
∫∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
++⋅=+
σ⋅
+
Рассмотрим этот интеграл отдельно:
∫∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
=−=
−−==⋅ )td(e
2
t
tde
2
t
dte
2
t
2
2
t
2
2
t
222
(по частям)
2πdte0dtete
2
t
2
t
2
t
222
=+=
−−−=
∫∫
∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
Итак:
()
22
2
22
σµ2π
2π
σ
µXM +=⋅+=
Тогда:
2222
σ(σµD(X) =µ−+= )
Г. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
(
)
2
,
σ
m
Если СВ: t ~ N (0,1) , то СВ:
mt
ex
+σ
=
~ Л.Н.Р.
(
)
2
,
σ
m
()
=
−
−
0
e
2πxσ
1
f(x)
2
2
2σ
mlnx
, x>0
x < 0
Можно доказать что:
−⋅=
=
+
+
1)(eeD(X)
e)M(X
22
22
σ2mσ
kmσk
2
1
k
Проверим, что: