Коптев А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч.I. Течение жидкости вблизи вращающегося диска

Подождите немного. Документ загружается.

() ()

(

)

(

)

(

)

K+ε

′′′

+ε

′′

+ε

′

+=ε

HHH

;

() ()

(

)

(

)

(

)

K+ε+ε

′′′

+ε

′′

′

=ε

′

HHH

;

() ()

(

) () ()

K+ε

′′′

+ε

′

+ε

′

+=ε

GGG

. (1.6.8)

Положим, что Н′(0) = D – безразмерное радиальное проскальзывание относительно поверхности диска и G(0) = Е – воз-

можное тангенциальное проскальзывание относительно поверхности диска, тогда для разложения в ряды Тейлора получим:

()

00 =H ;

()

DH =

′

0 ;

()

AH =

′′

0 ;

()

10 EDH −+=

′′′

;

()

BEH 20

−= ;

()

223V

22220 BDEDDH −−−−= ;

(

)

BDEAEADAH 42220

22VI

−−−−= ; (1.6.9)

. . . . . . . . . . . . .

()

EG =0 ;

()

BG =

′

0 ;

()

DEG 20 =

′′

;

()

AEG 20 =

′′′

;

()

EDABEEG

23IV

22220 −+−= ;

(

)

ADEBDBBEG 84480

22V

−++−= ; (1.6.10)

. . . . . . . . . . . . .

В результате степенные ряды Тейлора разложения безразмерных скоростей вблизи поверхности диска ε = 0 будут:

•

аксиальная скорость

()

(

)

()

;

!2!1

223

K+ε

+++

−

−ε

+++

−ε−ε

−+

+ε+ε=ε

BDEAEADA

BDEDDBEEDAD

• радиальная скорость

()

(

)

()

;

223

K+ε

+++

−

−ε

+++

−ε−ε

−+

+ε+=ε

′

BDEAEADA

BDEDDBEEDA

• тангенциальная скорость

()

(

)

()

K+ε

−++−

+ε

−+−

+ε+ε+ε+=ε

ADEBDBBE

EDABEEAEDEB

Вдали от диска остаются в силе асимптотические гармонические ряды (1.4.20):

()

;...cossin

cossin



















βε−βε

α+



















βε

α+

+βε−

εα+−

aeWEH

()

(

)

(

)

;cossin K+βε+βε=ε

′

εα+−

baeH

(

)

(

)

(

)

,cossin K+βε+βε−+=ε

εα+−

abesG

(1.6.12)

(1.6.11)

где

224

WsW ++

=α

;

224

WsW −+

=β

Мы численно проинтегрировали систему дифференциальных уравнений (1.6.7) по ранее описанному алгоритму и при

приведенных в данном разделе допущениях. Ввиду больших касательных напряжений трения жидкости о поверхность диска

возможно ее проскальзывание. По этой причине гипотеза о прилипании жидкости к поверхности не выполняется.

Сначала мы исследовали случаи проскальзывания жидкости относительно поверхности диска только в радиальном на-

правлении и прилипания ее в тангенциальном направлении. Первые расчеты провели вблизи точки L

(рис. 1.4.10). При этом

изменяли безразмерную скорость диска до G(0) = –1, сохраняя в бесконечности G(∞) = s = 1, т.е. до случая, когда угловая

скорость жидкости в бесконечности и угловая скорость диска равны по модулю и имеют противоположные направления

вращения.

В табл. 1.6.1 представлены начальные параметры, в том числе величина безразмерного радиального проскальзывания

жидкости относительно поверхности диска Н΄(0), в функции от G(0) при Н(∞) = W = 0, G(∞) = s = 1. На рис. 1.6.1 изображена

зависимость Н΄(0) = f(G(0)) при W = 0, и для сравнения при Н(∞) = W = –0,674713 (решение задачи Бедевадта). Точкой М от-

мечено положение, когда вектор безразмерной относительной скорости жидкости на поверхности диска и вектор трения

жидкости о поверхность диска лежат на одной прямой.

Рис. 1.6.1. Зависимость проскальзывания безразмерной

радиальной скорости Н΄(0) от безразмерной окружной скорости диска G(0) при G(∞) = s = 1:

1 – осевая безразмерная скорость Н(∞) = W = 0;

2 – осевая безразмерная скорость Н(∞) = W

= –0,674713

Координаты точки М: G(0) = –0,82895; Н΄(0) = 0,402273; G

= –1, где G

– безразмерная окружная скорость диска; G(0) –

безразмерная окружная скорость жидкости на поверхности диска; G(0) – G

– относительная безразмерная окружная ско-

рость, проскальзывание жидкости в тангенциальном направлении на поверхности диска, отставание.

По значениям начальных параметров (табл. 1.6.1) показана графически зависимость Н′′(0) = f(G′(0)) на рис. 1.6.2, куда

отображена т. М, имеющая координаты: G′(0) = –2,965335; Н′′(0) = 1,260871.

Рис. 1.6.2. График взаимосвязи производных скоростей Н′′(0) = А и

G′(0) = В при G(∞) = s = 1 и Н(∞) = W = 0

При расчетах требовалось определить семь коэффициентов А, В, D, Е, а, b, W в соответствии с уравнениями (1.6.11) и

(1.6.12). Поэтому мы выбирали, например, W = const, затем задавались величиной G(0) = Е. Остальные пять констант опреде-

ляли из условия гладкой стыковки функций при некотором ε = ε

, где вычисленные по (1.6.11) и (1.6.12) между собой равны

величины: Н(ε

), Н′(ε

), Н′′(ε

), G(ε

), G′(ε

). Таким образом мы находим оставшиеся пять констант: А, В, D, ε, а, b.

В табл. 1.6.2 и графически на рис. 1.6.3 – 1.6.5 представлены для примера функции от ε безразмерные аксиальная Н(ε),

радиальная Н΄(ε), окружная G(ε) скорости с начальными параметрами, соответствующими их величинам в т. М.

Отметим, что все эти функции имеют колебательный затухающий характер в соответствии с уравнением (1.6.12), и при

ε → ∞ выполняются условия: Н(∞) = W → 0, Н′(∞) → 0, G(∞)→ 1.

Запишем экстремальные значения безразмерных скоростей, в соответствии с табл. 1.6.2:

max

≈ 0,02729 при ε ≈ 0,15;

min

≈ –8,261287 при ε ≈ 4,20;

max

≈ 0,109952 при ε ≈ 9,80;

min

≈ –0,004806 при ε ≈ 13,00;

Н΄

min

≈ –3,126136 при ε ≈ 2,00;

Н΄

max

≈ 2,784142 при ε ≈ 6,40;

Н΄

min

≈ 0,066811 при ε ≈ 10,60;

Н΄

max

≈ 0,003039 при ε ≈ 13,50;

max

≈ 6,061607 при ε ≈ 4,20;

min

≈ 0,582532 при ε ≈ 8,80;

max

≈ 1,01481 при ε ≈ 12,00.

Остальные экстремумы – в соответствии с (1.6.12). Из приведенных величин экстремумов видим, что первые или вторые

экстремумы по модулю значительно больше единицы. Затем идет быстрое затухание функций безразмерных скоростей Н(ε),

Н′(ε), G(ε).

Рассмотрим составляющие вязкого трения жидкости на поверхности диска. Касательное напряжение трения в радиаль-

ном направлении по закону Ньютона будет













µ=τ

, (1.6.13)

где µ – динамическая вязкость жидкости.

Рис. 1.6.3. Безразмерные скорости Н(ε), Н′(ε) и G(ε) близи поверхности

вращающегося диска при G(∞) = s = 1, Н(∞) = W = 0 с проскальзыванием

относительно диска безразмерных радиальной Н′(0) и окружной G(0)

скоростей при безразмерной скорости диска G

= –1

Рис. 1.6.4. Графики безразмерных радиальной Н′(ε) и осевой Н(ε)

скоростей вдали от диска при проскальзывании относительно

поверхности вращающегося диска радиальной Н′(0) и окружной G(0)

скоростей при скорости диска G

= –1, G(∞) = s = 1, Н(∞) = W = 0

Преобразуем (1.6.13) к виду

()()

()

Hrd

′′

ωνρω=

























′

νρ=τ

=ε

. (1.6.14)

Рис. 1.6.5. График безразмерной окружной скорости G(ε) вдали от

поверхности диска при проскальзывании относительно поверхности

вращающегося диска радиальной Н′(0) и окружной G(0) скоростей

при скорости диска G

= –1

По аналогии, в тангенциальном направлении касательное напряжение трения будет иметь выражение

()

′

ωνρω=τ

. (1.6.15)

Найдем их отношение, используя численные значения из табл. 1.6.2,

(

)

()

3518,2

260871,1

965335,2

−=

−

′

. (1.6.16)

Это по сути есть тангенс угла γ между результирующей величиной вязкого трения

τ+τ=τ

и τ

(рис. 1.6.6).

С другой стороны, из рассмотрения относительных скоростей жидкости на поверхности диска запишем, используя табл.

1.6.2,

(

)

()

3518,2

1828952,0

402273,0

+−

−

′

. (1.6.17)

Это есть значение тангенса угла γ между вектором результирующей относительной скорости

отн

VuV += и вектором

относительной окружной скорости V

отн

. Сравнение 1.6.16 и 1.6.17 показывает, что вектор относительной скорости жидкости

на поверхности диска и вектор вязкого трения жидкости о поверхность диска лежат на одной прямой, но они направлены в

противоположные стороны, что логично.

Рис. 1.6.6. Линии тока на поверхности диска при проскальзывании

относительно поверхности вращающегося диска

На рис. 1.6.6 изображены линии тока относительных скоростей жидкости, которые совпадают с линиями касательных

напряжений вследствие трения жидкости о поверхность диска.

Итак, в каждой точке поверхности диска для нами рассматриваемой задачи равенства (1.6.16) и (1.6.7) соблюдаются (на-

помним, что нами исследовались условия течения жидкости в т. L

при W = 0). Значит, в каждой точке на поверхности диска

угол γ = arctg 2,3518 = 1,168753 =

= const. Линии тока относительного движения жидкости при z = 0 описываются для рассматриваемого случая уравнением

спирали Архимеда

3518,2r , (1.6.18)

где

– угловая координата в радианах.

На рис. 1.6.7 и 1.6.8 графически изображены зависимости радиального проскальзывания жидкости относительно поверх-

ности вращающегося диска при W как параметр, и безразмерной тангенциальной скорости в бесконечности G(∞) = s = 1 =

const. Табличные данные семейства зависимостей не приводим из-за громоздкости таблиц. Предел исследований – от H′(0) =

0 (рис. 1.6.7) до G(0) = –1 (рис. 1.6.8). Пунктирной линией (рис. 1.6.8) показано положение точек М, когда векторы относи-

тельной скорости жидкости и векторы вязкого трения жидкости о диск лежат на одной прямой линии. Будем считать такое про-

скальзывание сбалансированным. Кроме того, мы наблюдаем, что при некоторых значениях W, например при W = –0,75 и W = –

0,8, кривые H′(0) = f(G(0)) не достигают значения G(0) = –1, делая поворот. Нам удалось определить предельное значение W =

–0,736909, когда функция касается ординаты G(0) = –1 в точке H΄(0) = 0,667656. Это изображено графически на рис. 1.6.8 и в

табл. 1.6.3. Значит зависимости H΄(0) = f(G(0)) при

W < –0,736909 не достигают значений G(0) = –1, а при W > –0,736909 пересекают ординату G(0) = –1 дважды.

Рис. 1.6.7. Радиальное проскальзывание жидкости Н′(0) в зависимости

от безразмерной окружной G(0) скорости диска и G(∞) = s = 1

при Н(∞) = W как параметр

Рис. 1.6.8. Радиальное проскальзывание Н′(0) как функция

безразмерной скорости вращающегося диска G(0)

при G(∞) = s = 1 и Н(∞) = W как параметр (фрагмент)