Коптев А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч.I. Течение жидкости вблизи вращающегося диска
Подождите немного. Документ загружается.
Это означает, что в бесконечности, или реально, при достаточно больших величинах z
0
, ε
0
значения всех составляющих скоро-
стей стремятся к нулю u → 0, v → 0, w → 0, а в безразмерном виде Н΄ → 0, G → 0, Н → 0, т.е. движение в целом вырождается.
Отсюда следует, что алгоритм решения задачи посредством разложения функции безразмерных скоростей Н, Н΄, G в степен-
ные ряды вблизи ε = 0 по уравнениям (1.1.1) и в экспоненциальные ряды при больших значениях ε, ε → ∞ по уравнениям
(1.117) и их сравнивании, а также их производных, при некотором промежуточном значении ε = ε
*
не работает, так как урав-
нение (1.1.1) имеет смысл, а уравнения (1.1.17) вырождаются в нули при
W = Н
∞
= 0. На основании этого предполагаем, что приближение к нулям функций и их производных при ε → ∞ не носит
асимптотический характер типа
(
)
ε−K
ef или
(
)
(
)
ε
ε−
Kef
K
sin .
Нам удалось проинтегрировать уравнения (1.3.1) при граничных условиях (1.3.2) вплоть до ε
0
= 500 и более. Мы уста-
новили, что функция G и ее производные быстро затухают до нуля всегда (рис. 1.3.1).
После некоторого интервала изменения ε отличными от нуля остаются только функция Н и ее первые две производные.
Старшие производные Н″(ε), включая Н′′′(ε) (рис. 1.3.2), также становятся исчезающе малы. Итак, система дифференциальных
уравнений (1.3.1) при значительном удалении от вращающегося диска z
0
превращается в одно уравнение:
02 =
′′
−
′
′
HHHH . (1.3.3)
Рис. 1.3.1. График безразмерной окружной скорости G
от аксиальной координаты ε при ε
0
= 100, С = 0
Рис. 1.3.2. График третьей производной Н′′′ от безразмерной
аксиальной координаты ε при ε
0
= 200, С = 0
Представим уравнение (1.3.3) в виде
H
H
H
H
′
′
′
=
′
2 и проинтегрируем aHH lnln2ln
+
′
=
, где а – постоянная интегриро-
вания. После потенцирования имеем
HHaH
′′
=
. (1.3.4)
Подставив выражение (1.3.4) в (1.3.2), получим
02
=
′
′
′
′
−
′
′
HHHaHH ,
или после упрощения
сonst
=
′
′
H . (1.3.5)
Тогда решением дифференциального уравнения (1.3.3) будет
2
210
ε+ε+= aaaH
, (1.3.6)
где а
0
, а
1
, а
2
– постоянные интегрирования.
На рис. 1.3.3 и в табл. 1.3.1 – 1.3.3 представлены результаты расчетов при ε
0
= 66,6; 100; 200 для функции Н(ε). Анализ
показывает, что с некоторого значения ε = ε
*
это действительно параболы в соответствии с уравнением (1.3.6), вершины ко-
торых лежат в точках с координатами (Н = 0, ε = ε
0
), где а
0
, а
1
, а
2
есть функции от ε
0
.
Расчеты при различных значительно больших величинах ε
0
дали результаты:
ε
0
∞
′
′
H
60 0,000281888
80 0,000153151
100 0,000095421
200 0,000022967
300 0,000010083
400 0,000005635
500 0,000003593
Статистическая обработка этих результатов дает с высокой точностью формулу аппроксимации
()
2
0
686,3
885165,0
−ε
=
′′
∞
H
. (1.3.7)
Точность этой формулы достигает долей процента.
Как пример приведем численное значение для воды ε
0
= 1000,
ω = 100 с
–1
, v = 1 ⋅ 10
–6
м
2
/с:
1,0
100
10
1000
v
6
00
==
ω
ε=
−
z м = 100 мм.
Значит за пределами 100 мм жидкость находится в "покое" в отличии от решения Кармана-Кохрена, когда из бесконеч-
ности подсасывается жидкость со скоростью
0088,02 −≈ων−=
∞
HW м/с.
С нашей точки зрения логичным является найденное нами решение в этом разделе при реализации в реальности.
Рис. 1.3.3. График зависимости безразмерной осевой скорости Н(ε)
при различных ε
0
:
1 – при ε
0
= 66,6; 2 – при ε
0
= 100; 3 – при ε
0
= 200; 4 – при ε
0
= 500
1.4. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В БЕСКОНЕЧНОСТИ
Положим, что при ε → ∞ безразмерные скорости Н(∞) → W, G(∞) → s, где W и s некоторые константы. Обозначим для под-
становки в дифференциальные уравнения (1.4)
hWH
+
=
, gsG += , (1.4.1)
где положено Cs =
2
, или Cs ±= .
При этом уравнения (1.4) принимают вид:
()
.2
;222
ghgWghhsg
hhhWggsghhh
′
−
′
−
′
+
′
=
′′
′
′
−
′
′
−
−
−
′
′
=
′′′
Считаем, что для разложения быстро убывающих функций в ряды можно в первом приближении оценить их произве-
дения величинами второго порядка малости, т.е. слагаемыми в (1.4.2)
hh
′
′
,
g
g , hh
′
′
, gh
′
, gh
′
пренебречь. Тогда получим
систему уравнений:
.22
;22
gWhsg
hWsgh
′
−
′
=
′′
′
′
−
−
=
′
′
′
Исключая из этой системы уравнений функцию g, получим обыкновенное линейное дифференциальное уравнение относи-
тельно h:
0444
22IVV
=
′
+
′′′
++ hshWWhh . (1.4.4)
С целью более простого интегрирования уравнения (1.4.4) введем новую функцию t (ε)
teh
Wε−
=
′
. (1.4.5)
Продифференцируем ее четыре раза
()
()
()
()
.464
;33
;2
;
IV234V
23IV
2
ttWtWtWtWeh
ttWtWtWeh
ttWtWeh
tWteh
W
W
W
W
+
′′′
−
′′
+
′
−=
′′′
+
′′
−
′
+−=
′′
+
′
−=
′′′
′
+−=
′′
ε−
ε−
ε−
ε−
Подставим (1.4.6) в (1.4.4), получим дифференциальное уравнение относительно t (ε):
(
)
042
242IV
=++
′′
− tsWtWt . (1.4.7)
Характеристическое уравнение для (1.4.7) будет
(
)
042
2424
=++− sWWrr . (1.4.8)
Это биквадратное уравнение относительно r. Корнями его будут
β±α±= ir
4,3,2,1
, (1.4.9)
где
(1.4.2)
(1.4.3)
(1.4.6)
2
4
224
WsW ++
=α
;
2
4
224
WsW −+
=β
. (1.4.10)
Уместно отметить некоторые свойства формул (1.4.10):
s
=
β
α
;
222
W=β−α
, (1.4.11)
которые при последующих преобразованиях мы будем использовать.
На основании (1.4.9) решение дифференциального уравнения следует искать в виде
(
)
(
)( )
βε+βε+βε+βε=ε
αεαε−
cossincossin
11
baebaet
. (1.4.12)
Поскольку из реальности мы полагали, что функции Н(ε) и G(ε) в бесконечности, ε → ∞, стремятся к ограниченным ве-
личинам W и s, то логично положить a
1
= b
1
= 0. Тогда выражение (1.4.12) принимает вид
(
)
(
)
βε+βε=ε
αε−
cossin baet . (1.4.13)
В итоге для функции безразмерной радиальной скорости h′ с учетом (1.4.5) получаем
(
)
(
)
βε+βε=
′
εα+−
cossin baeh
W
. (1.4.14)
Проинтегрируем (1.4.14) и продифференцируем его:
()
()
()
[]
()
[]
{}
()
()
[][]
{}
.cossin2
;cossin
;cossincossin
2
1
βεβ−+βεβ+α+=
′′′
βεβ+α+−+βεβ−α+−=
′′
βε−βε
α+
β
+
βε
α+
β
+βε−
α
=
εα+−
εα+−
εα+−
abWbaWeWh
aWbbWaeh
W
b
W
aeh
W
W
W
(1.4.15)
Из (1.4.3) найдем функцию g и ее производные:
()
()
()
()
[]
()
[]
{}
()( ) ( )
[]
.cossin2
;cossin
;cossin
βεβ++βεβ+−α+=
′′
βεβ−α+−+βεβ−α+=
′
βε+βε−=
εα+−
εα+−
baWabWWg
bWaaWbeg
abeg
W
W
Последующие члены разложения в ряды уравнений (1.4.2) находим из условий частного решения системы дифференци-
альных уравнений:
.222
;222
1
111
ghghhsgWg
hhgghhhWsgh
′
−
′
=
′
−
′
+
′′
′
′
−−
′
′
=
′
′
++
′′′
Воспользовавшись (1.4.7) – (1.4.9), найдем значения правых сумм для (1.4.17):
(
)
()
()
()
.22
;22
222
1
222
111
εα+−
εα+−
α
β
+−=
′
−
′
+
′′
α
+−=
′′
++
′′′
W
W
ebahsgWg
e
W
bahWsgh
Частное решение системы уравнений (1.4.18):
()
()( )
()
ε+α−
+α+αα
−
α
+−=
W
e
WW
W
bah
2
2
22
1
354
3
;
()
()
()
ε+α−
+αα
−
α
+=
′
W
e
W
W
bah
2
2
22
1
352
3
;
()
(
)
(
)
()
()
ε+α−
+αα
−
α
+
α
+−=
′′
W
e
W
WW
bah
2
2
22
1
35
3
;
()
(
)
()( )
()
ε+α−
+α+αα
+
α
β
+−=
W
e
WW
W
bag
2
2
22
1
352
32
;
(
)
(
)
()
()
ε+α−
+αα
+
α
β
+=
′
W
e
W
W
bag
2
2
22
1
35
32
. (1.4.19)
Окончательно, на основании выражений (1.4.1), (1.4.14) – (1.4.16), (1.4.19), находим зависимости для безразмерных ско-
ростей Н, Н΄, G вдали от диска:
(1.4.16)
(1.4.17)
(1.4.18)
()
()
()( )
()
;
354
3
cossincossin
2
1
2
4
22
K+
+α+αα
−α
+−
−
βε−βε
α+
β
+
βε
α+
β
+βε−
α
+=
ε+α−
εα+−
W
W
e
WW
W
ba
W
b
W
aeWH
()
()
()
()
()
;
352
3
cossin
2
2
22
K+
+αα
−α
++βε+βε=
′
ε+α−εα+− WW
e
W
W
babaeH
(
)
(
)
()
()
()( )
()
)20.4.1(.
352
32
cossin
2
2
22
K+
+α+αα
+αβ
+−
−βε+βε−+=
ε+α−
εα+−
W
W
e
WW
W
ba
abesG
Разложение этих функций в степенные ряды Тейлора при ε = 0 выполнено ранее (1.2.26).
Сращивание решений (1.4.20) и (1.2.26), а также их производных G΄ и H΄ при некотором промежуточном ε = ε
*
, позво-
ляет определить постоянные А, В, С, а, b. При этом одновременно находим зависимость W = f (s) на значительном интервале
изменения
Cs ±=
(рис. 1.4.1). На рис. 1.4.1. и табл. 1.4.1 мы находим два случая решения задачи Кармана при С = 0 (точки
К
1
, К
2
) и три решения, когда W = H
∞
= 0 (точки L
1
, L
2
, L
3
) ранее нами рассмотренные в разделах 1.1 и 1.2.
На рис. 1.4.2 графически, для зрительного восприятия, изображены зависимости начальных параметров
(
)
0HA
′
′
=
,
()
0GB
′
= и безразмерной аксиальной скорости W от окружной безразмерной скорости в бесконечности G
∞
= s вблизи мини-
мума s в увеличенном масштабе. Отметим, что начальный параметр
(
)
0HA
′
′
=
в своем изменении, как функция от s, делает
«петлю» в соответствии с табл. 1.4.1. При численном интегрировании координату ε
*
мы изменяли для обеспечения необхо-
димой точности расчетов (табл. 1.4.1).
На рис. 1.4.3 показана графически связь G (0) = f (G
∞
) = s при W как параметре. При этом видны эти функции при восхо-
дящих аксиальных потоках (W < 0) и нисходящих (W > 0). При W = 0 еще раз отмечены точки L
1
, L
2
, L
3
. Здесь функции G (0)
= f (s) суть линейные, что логично. Табличные данные решений не приводим из-за их громоздкости.
Рис. 1.4.1. Взаимосвязь безразмерных аксиальной W и окружной s
скоростей при большом значении безразмерной осевой координаты ε
*
от поверхности вращающегося диска и G (0) = 1
Отметим некоторые экстремальные величины на основе анализа табл. 1.4.1:
s
min
≈ –0,160538 при W ≈ –0,135;
W
max
≈ 0,460380 при s ≈ 0,008;
W
min
≈ –0,204188 при s ≈ –0,153;
W
max
≈ 0,244930 при s ≈ –0,006.