Коптев А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч.I. Течение жидкости вблизи вращающегося диска
Подождите немного. Документ загружается.
Частные решения дифференциальных уравнений (1.1.12) имеют вид
(
)
(
)
ε−
++
=
W
e
W
baba
H
8
7
2222
3
73728
17
;
(
)
(
)
ε−
++
−=
′
W
e
W
baba
H
8
6
2222
3
9216
17
;
(
)
(
)
ε−
++
=
′′
W
e
W
baba
H
8
5
2222
3
1152
17
;
(
)
ε−
+
=
W
e
W
baab
G
8
6
22
3
1152
;
(
)
ε−
+
−=
′
W
e
W
baab
G
8
5
22
3
144
. (1.1.13)
Последующие члены разложения определяются из решения следующих выражений
()
()
.22
;22
1221331221334
33333344
GHGHGHGHGHGHGHGHGWG
HHHHHHHHGGHHHWH
′
−
′
−
′
−
′
−
′
+
′
+
′
+
′
=
′
+
′′
′′
−
′′
−
′′
−
′′
−−
′′
=
′′
+
′′′
(1.1.14)
Подстановка в правую часть уравнений (1.1.14) значений функций из формул (1.1.4), (1.1.6), (1.1.7), (1.1.10) и (1.1.13)
приводит к выражениям
(
)
(
)
()( )
.
28812
553
2
;
43218
13615
2
10
6
2222
44
10
6
2222
44
ε−
ε−
++
−=
′
+
′′
++
=
′′
+
′′′
W
W
e
W
babab
GWG
e
W
babaa
HWH
(1.1.15)
Частными решениями дифференциальных уравнений (1.1.15) являются
(
)
(
)
ε−
++
−=
W
e
W
babaa
H
10
9
2222
4
5209512
1361
;
(
)
(
)
ε−
++
=
′
W
e
W
babaa
H
10
8
2222
4
152295
1361
;
(
)
(
)
ε−
++
=
′′
W
e
W
babaa
H
10
7
2222
4
576147
13615
;
(
)
(
)
ε−
++
−=
W
e
W
babab
G
10
8
2222
4
240983
553
;
(
)
(
)
ε−
++
=
′
W
e
W
babab
G
10
7
2222
4
32498
553
. (1.1.16)
Суммируя члены разложения (1.1.4), (1.1.6), (1.1.7), (1.1.10), (1.1.13) и (1.1.16), окончательно получим асимптотические
выражения для безразмерных аксиальной Н, радиальной Н′ и окружной G скоростей:
(
)
()( ) ()( )
;
5209512
1361
72873
17
38432
2
10
9
2222
8
7
2222
6
5
22
4
3
22
2
K+
++
−
++
+
+
+
−
+
+−=
ε−ε−
ε−ε−ε−
WW
WWW
e
W
babaa
e
W
baba
e
W
baa
e
W
ba
e
W
a
WH
(
)
()( ) ()( )
;
152295
1361
9216
17
648
10
8
2222
8
6
2222
6
4
22
4
2
22
2
K−
++
+
++
−
−
+
+
+
−=
′
ε−ε−
ε−ε−ε−
WW
WWW
e
W
babaa
e
W
baba
e
W
baa
e
W
ba
aeH
(
)
(
)
()( )
,
240983
553
1152192
10
8
2222
8
6
22
6
4
22
2
K+
++
−
−
+
+
+
−=
ε−
ε−ε−ε−
W
WWW
e
W
babab
e
W
baab
e
W
bab
beG
(1.1.17)
где W – значение функции Н при ε → ∞.
Высшие производные легко вычисляются из (1.1.17).
В результате проведенного анализа мы получили полное решение рассматриваемой задачи, интегрирование нелинейной
системы дифференциальных уравнений (1.4), путем разложения входящих в нее функций в степенные ряды Тейлора вблизи
ε = 0 (1.1.1) и экспоненциальные ряды при значительно больших ε (1.1.17). Необходимо теперь значения функций, рассчи-
танных по (1.4) и (1.1.17), приравнивать при некотором промежуточном значении ε = ε
*
. Подлежат определению численно
пять постоянных величин А, В, а, b, W. Они определяются из условий равенства функций Н(ε
*
), Н′(ε
*
), G(ε
*
) и их производ-
ных Н″(ε
*
), G′(ε
*
), исходя из уравнений (1.1.1) и (1.1.17), т.е. условий гладкого смыкания. Это и есть как бы пять "граничных
условий". Точность решения может быть оценена сравнением численных значений Н″′(ε
*
), G″(ε
*
), рассчитанных по (1.4) и
(1.1.1) или (1.1.17).
Определив таким образом поле скоростей из совместного решения первых двух дифференциальных уравнений системы
(1.4), из третьего уравнения этой системы найдем производную безразмерной скорости давления
H
H
H
P
′
−
′
′
=
′
2
и после ее интегрирования
(
)
HHHPP
+
′
=
−
0 ,
где Р(0) – безразмерное давление в начале координат при r = 0, z = 0 или ε = 0, т.е. в критической точке.
Рис. 1.1.1. Графики безразмерных скоростей Н(ε), Н′(ε), G(ε)
решения уравнений (1.4) Т. Кармана–В. Кохрена
По вышеописанному алгоритму нами была составлена программа численного решения задачи и получены достаточно
точные результаты расчетов при ε
*
= 10, которые представлены в табл. 1.1.1 и графически изображены на рис. 1.1.1. В част-
ности имеем с высокой точностью Н″(0) = А = 0,51023262, G (0) = В = –0,61592201, а = 0,00013331, b =
= 0,00017328 при ε
*
= 10, Н (∞) = W = 0,44223706 [5].
Для сравнения приведем значения начальных параметров, вычисленных В. Кохреном: А = 0,510, В = –0,615, W = 0,443.
Полученные данные (табл. 1.1.1) и их сравнения с результатами
В. Кохрена, во-первых, позволили сделать заключение о хорошей работоспособности составленной нами программы для
решения нелинейной системы дифференциальных уравнений (1.4), во-вторых, значительно повысить точность численного
решения, в-третьих, анализировать и решать аналогичные задачи (1.4) с другими граничными условиями.
Итак, наши результаты решения задачи Т. Кармана представлены с точки зрения системности, сравнения и уточнения. Но
мы здесь преследуем другую основную цель: попытаться найти иное отличное от ставшего классическим поле скоростей, удов-
летворяющее нелинейную систему дифференциальных уравнений (1.4) и граничные условия (1.5), (1.6). Эту мысль подтвержда-
ет и то, что при смыкании степенного и асимптотического разложения из пяти уравнений (1.1.1) и (1.1.17) нужно найти кор-
ни алгебраической нелинейной системы из пяти уравнений (1.1.18).
()
()
()
() ()
() ()
+
+
−
+
+−=
=+ε
−
−ε−ε
−
+ε+
′
−
+
+
+
−=
=+ε
+
−ε−ε
−
+ε+ε+
+
+
−
+
+
+−=+ε
−
+ε
+
+
+ε
−
+ε−ε−ε−ε−
′′
+
+
+
+
−
−=+ε
−
+ε
+
+
+ε
−
+ε−ε−ε−ε−ε
′
+
+
−
+
+
+−=+ε
−
+ε
+
+
+ε
−
+ε−ε−ε−ε−ε
ε−ε−ε−
ε−ε−ε−
ε−ε−
ε−
ε−ε−
ε−
ε−ε−
ε−
.
14432
2
*
!5
816
*
!4
8
*
!3
22
*
!2
2
:
;
1152192
*
!6
816
*
!5
8
*
!4
22
*
!3
2
*1:
;
32
3
2
2*
!7
2444
*
!6
416
*
!5
82
*
!4
2
*
!3
2
*
!2
2
*:
;
648
*
!8
2444
*
!7
416
*
!6
82
*
!5
2
*
!4
2
*
!3
2
*
!2
1
*:
;
38432
2
*
!9
2444
*
!8
416
*
!7
82
*
!6
2
*
!5
2
*
!4
2
*
!3
1
*
!2
:
*8
5
22
*6
3
22
*2
5
22
432
*8
6
22
*6
4
22
*2
6
22
543
*6
3
22
*4
22
*27
22
6
2
543
2
2
*6
4
22
*4
2
22
*28
22
7
2
654
2
32
*6
5
22
*4
3
22
*29
22
8
2
765
2
432
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
WWW
WWW
WW
W
WW
W
WW
W
e
W
baab
e
W
bab
bWe
ABBABA
BG
e
W
baab
e
W
bab
be
ABBABA
BG
e
W
baa
e
W
ba
aWe
ABABB
ABABB
AH
e
W
baa
e
W
ba
ae
ABABB
ABABB
AH
e
W
baa
e
W
ba
e
W
a
W
ABABB
ABABBA
H
(1.1.18)
Как видим, эта система алгебраических уравнений нелинейна относительно А, В, а, b, W, решение которой в действи-
тельной области может быть не единственным. После продолжительных поисков нам удалось найти второе решение задачи
Т. Кармана. Оно представлено в табл. 1.1.2 и графически на рис. 1.1.2, причем положено ε
*
= 30.