Коптев А.А. Движение жидкости в центробежных полях. Ч.I. Течение жидкости вблизи вращающегося диска
Подождите немного. Документ загружается.
Для сравнения с результатами первого решения имеем Н″(0) = А = = 0,49904292, G′(0) = В = –0,56374645, W = Н(∞) =
0,22386175, а = = 0,000872544, b = –0,000351585 при ε
*
= 30.
Анализируя полученное решение, видим, что функции безразмерных скоростей Н, Н′, G имеют ряд экстремумов, в от-
личие от первого решения. Так, функция Н имеет два экстремума: Н
max
≈ 0,228424 при ε ≈ 2,2; Н
min
≈ –1,248455 при ε ≈ 10,4;
функция Н′ имеет три экстремума: Н′
max
≈ 0,163109 при ε ≈ 0,8; Н′
min
≈ –0,287129 при ε ≈ 5,7; Н′
max
≈ ≈ 0,198018 при ε ≈ 14,6;
функция G имеет один экстремум: G
min
≈≈ –0,468596 при ε ≈ 10,0. Отметим, что в первом решении мы имели только один
экстремум функции Н′
max
≈ 0,180700 при ε ≈ 0,9, остальные функции скоростей монотонны, т.е. второе решение имеет более
сложную картину скоростей вблизи вращающегося диска.
1.2. ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ВБЛИЗИ
ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА ПРИ НАЛИЧИИ ГРАДИЕНТА ДАВЛЕНИЯ ВДОЛЬ РАДИУСА
Первые два решения о движении жидкости вблизи вращающегося диска, Кармана-Кохрена и наше, выполнены в пред-
положении отсутствия градиента давления вдоль радиуса, т.е.
0=
∂
∂
r
p
. Результатом стало наличие аксиальной составляющей
скорости жидкости в бесконечности по (1.3)
WHw
z
ων−=ων−=
∞∞→
22 .
В первом случае (решение Кармана) W = 0,44223706, во втором, (полученном нами решении) W = 0,22386175, т.е. акси-
альная скорость w
∞
направлена к поверхности диска. Вращательное же движение жидкости в бесконечности отсутствует. Но
возможно предположить обратное: вследствие вязкого трения поверхности вращающегося диска в тангенциальном направ-
лении возникает окружная составляющая скорости (1.3)
(
)
ε
ω
=
rGv .
При достаточно продолжительном времени вращательное движение жидкости может распространиться на большое рас-
стояние от поверхности диска, т.е. G
(∞) имеет некоторую подлежащую определению величину. Осевая же составляющая
скорости в бесконечности стремиться к нулю.
Для решения поставленной задачи воспользуемся дифференциальными уравнениями (1.4).
()
.2
;2
;2
22
HHHP
GHGHG
HHGHCH
′′
+
′′
=
′
′
−
′
=
′′
′′
−−
′
+=
′′′
Граничными условиями для решения системы уравнений (1.2.1) будут
Н = 0, Н′ = 0, G = 1, Р = Р(0) при ε = 0,
Н → 0, Н′ → 0, G → s при ε → ∞. (1.2.2)
Отметим, что коэффициент давления С ≠ 0.
Алгоритм совместного решения первых двух дифференциальных уравнений (1.2.1) разработаем из следующих сообра-
жений.
1. Разделим второе уравнение (1.2.1) на G
2
, получим
′
−
′
=
′′
22
2
G
GHGH
G
G
.
Проинтегрировав его, имеем
G
H
d
G
G
2
2
=ε
′′
∫
или
∫
ε
′
′
= d
G
G
GH
2
2
1
.
Продифференцируем последнее уравнение три раза и подставим в первое уравнение (1.2.1):
′′
+ε
′′
′
=
′
∫
G
G
d
G
G
GH
2
2
1
;
(1.2.1)
′′′
+ε
′′
′′
=
′′
∫
G
G
d
G
G
GH
2
2
1
;
′′′′
+
′′′′
−
+ε
′′
′′′
=
′′′
∫
2
IV
2
2
1
G
GGGGGG
d
G
G
GH
,
и после подстановки получим
()
.04
22
4
242
2
IV
2
2
2
2
=
+
′′′′
+
′′′′
−
+−
−ε
′′
′′′
−
′′
−
′′
′′
−
′′
∫∫
C
G
GGGGGG
G
d
G
G
G
GG
G
G
G
GGGG
Разрешив уравнение (1.2.3) относительно
∫
ε
′′
d
G
G
2
как квадратное и продифференцировав полученное выражение, бу-
дем иметь достаточно громоздкое дифференциальное уравнение относительно G. Оставим эти преобразования за рамками
исследования.
2. Очевидным является следующий порядок разделения переменных Н, G. Выразим из первого уравнения (1.2.1)
HHHHHCG
′′′
−
′′
−
′′
+= 2 .
Дважды продифференцируем его:
()
(
)
IV
5,0
225,0 HHHHHHHHCG −
′′′
−
′′′
−
′′
−
′′
+=
′
−
;
()
(
)
()
()
]
.222
225,05,0
VIV
5,0
2
IV
5,1
HHHHHHHHHHC
HHHHHHHHCG
−
′′′′
−−
′′′
−
′′
−
′′
++
++
′′′′′′
−
′′
−
′′
+−=
′′
−
−
После подстановки записанных выражений во второе уравнение (1.2.1) и некоторых преобразований получим диффе-
ренциальное уравнение относительно функции Н
()
()
()
()
[
()
()
]
.22
22222
225,0
IV
2
VIV
2
IV
HHHHHHHHCH
HHHHHCHHHHHH
HHHHHCHHH
+
′′′′′′
−
′′
−
′′
++
+
′′′
−
′′
−
′′
+
′
=−
′′′′
−−×
×
′′′
−
′′
−
′′
+−+
′′′
−
Уравнение (1.2.4) тоже громоздкое и неудобное для численного интегрирования.
3. На наш взгляд более продуктивным является следующий подход.
Продифференцируем уравнение из (1.2.1):
GHGHG
′
−
′
=
′
′
22 ; (1.2.5)
GHGHG
′′
−
′
′
=
′
′
′
22 . (1.2.6)
Умножим (1.2.5) на G и на G′, а (1.2.6) на G:
GHGGGHGG
′
−
′
=
′
′
22
; (1.2.7)
GGHGGHGG
′′
−
′
′
=
′
′
′
22 ; (1.2.8)
GGHGGHGG
′′
−
′
′
=
′
′
′
22 . (1.2.9)
Продифференцируем несколько раз уравнение также из (1.2.1):
HHGGHHCH
′′
−
−
′
′
+
=
′
′
′
2 ; (1.2.10)
GGHHH
′
−
′′′
−= 22
IV
; (1.2.11)
GGGGHHHHH
′
−
′′
−
′′′′
−−= 2222
IVV
; (1.2.12)
GGGGHHHHHHH
′′′
−
′′′
−
′′′′
−
′
−−= 62242
IVVVI
. (1.2.13)
В семь уравнений (1.2.8) – (1.2.13) входят шесть функциональных комплексов GG, GG′, G′G′, GG″, GG″′, G′G″, которые
из этих уравнений можно исключить алгебраическим путем. Выполнив это, получим дифференциальное уравнение
(1.2.3)
(1.2.4)
.163216
201684
162284
IV
IVVVI
HHHHHHHHHHHH
HHHHHHHHHHHH
HCHHHHHHHHCH
′′′
−
′′′
+
′′′
−
−−
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
−
−
′
−
′′′′′
+
′
+−
′′
−=
Уравнение (1.2.14) значительно компактнее, проще, чем выше полученные (1.2.3) и (1.2.4).
Займемся исследованием уравнения (1.2.14). Ввиду того, что при
ε → ∞ Н = W → 0, С ≠ 0, первое приближение решения найдем из равенства
HCH
′′
−= 4
VI
. (1.2.15)
Остальные слагаемые второго порядка малости, как произведения двух, трех функций, стремящихся к нулю.
Запишем уравнение (1.2.15) в форме
04
4VI
=
′′
+ HKH , (1.2.16)
где обозначили
4
CK = . (1.2.17)
Решением для (1.2.16) будет
ε
⋅
ε
+
ε
⋅
ε
+
ε
⋅
ε
+ε⋅ε= KKaKKaKKaKKaH chcosshcoschsinshsin
4321
,
или
ε⋅+ε⋅+ε⋅+ε⋅=
εεε−ε−
KebKebKebKebH
KKKK
cossincossin
4321
.
В случае K > 0 по логике удерживаем первые два слагаемых, так как последние два быстро увеличиваются с ростом ε,
т.е. следует положить b
2
= b
3
= 0. Если же K < 0, то удерживаем последние два слагаемых, полагая тогда b
1
= b
2
= 0. Будем
проводить разложение уравнения (1.2.4) в экспоненциальные ряды, преобразовав последнее уравнение к виду
(
)
ϕ+ε=
ε−
KeAH
K
sin
1
,
где
ϕ
= cos
1
Ab ,
ϕ
= sin
12
Ab ,
const=ϕ
.
Отметим, что а
1
, а
2
, а
3
, а
4
, b
1
, b
2
, b
3
, b
4
, А
1
, ϕ – постоянные интегрирования, связанные между собой определенными ра-
венствами:
(
)
(
)
[
]
ϕ+ε+ϕ+ε−=
′
ε−
KKKeAH
K
cossin
1
;
(
)
[
]
ϕ+ε−=
′′
ε−
KeKAH
K
cos2
2
1
;
(
)
(
)
[
]
ϕ+ε+ϕ+ε=
′′′
ε−
KKeKAH
K
cossin2
3
1
;
(
)
[
]
ϕ+ε−=
ε−
KeKAH
K
sin4
4
1
IV
;
(
)
(
)
[
]
ϕ+ε−ϕ+ε=
ε−
KKeKAH
K
cossin4
5
1
V
;
()
[]
ϕ+ε=
ε−
KeKAH
K
cos8
6
1
VI
. (1.2.18)
Второй член разложения найдем из частного решения дифференциального уравнения по (1.2.14)
HHKHHHHHHHKH
′
−
′′′′
+
′
+−=
′′
+
4IVV
1
4VI
162284
1
. (1.2.19)
Правая сторона, используя равенства (1.2.18), будет
ε−
−=
′
−
′′′′′
+
′
++−
K
eKAHHKHHHHHHHH
2524IVVV
8162228 .
Таким образом, надо найти частное решение дифференциального уравнения
ε−
−=
′′
+
K
eKAHKH
252
1
4VI
1
84 .
Его решением является
ε−
−=
K
e
K
A
H
2
2
1
1
10
1
;
ε−
=
′
K
eAH
22
11
10
2
;
ε−
−=
′′
K
KeAH
22
11
10
4
;
ε−
=
′′′
K
eKAH
222
11
10
8
;
ε−
−=
K
eKAH
232
1
IV
1
10
16
;
ε−
=
K
eKAH
242
1
V
1
10
32
;
ε−
−=
K
eKAH
252
1
VI
1
10
64
. (1.2.20)
Последующие члены разложения найдем как частные решения дифференциальных уравнений, решая их поочередно:
(1.2.14)
(
)
(
)
()()
()
,201684
162
284
IV
11
4
11
IV
1
IV
1
V
1
V
12
4VI
2
HHHHHHHHHHHH
HHHHKHHHH
HHHHHHHHHKH
−
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
−+
+
′
+
′
−
′′′′′
+
′′′′′
+
+
′
+
′
++−=
′′
+
откуда
()()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε=
′′
+
ε−
KKeKAHKH
K
cossin13
10
16
4
343
12
4VI
2
.
Частное решение этого уравнения:
() ()
[]
ϕ+ε+ϕ+ε−=
ε−
KKeA
K
H
K
cos4sin
200
1
33
1
2
2
;
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε−=
′
ε−
KKeA
K
H
K
cos13sin
200
1
33
12
;
() ()
[]
ϕ+ε+ϕ+ε=
′′
ε−
KKeAH
K
cos38sin16
200
1
33
12
;
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε−=
′′′
ε−
KKeA
K
H
K
cos98sin86
200
33
12
;
() ()
[]
ϕ+ε+ϕ+ε=
ε−
KKeA
K
H
K
cos208sin356
200
33
1
2
IV
2
;
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε−=
ε−
KKeA
K
H
K
cos268sin1276
200
33
1
3
V
2
;
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε=
ε−
KKeA
K
H
K
cos472sin4096
200
33
1
4
VI
2
. (1.2.21)
Далее имеем
(
)
(
)
()()
()()
()
()
,163216
2016
84
162
284
IV
1
IV
1
IV
1111
111111
1122
4
1122
IV
11
IV
2
IV
2
V
11
V
2
V
23
4VI
3
HHHHHHHHHHHH
HHHHHHHHHHHHHHHHHH
HHHHHHHHHHHHHHHHHH
HHHHHHKHHHHHH
HHHHHHHHHHHHHKH
′′′
−
′′′
+
′′′
−
−++−
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
+
+
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
+
′′′′
−
−
′
+
′
+
′
−
′′′′′
+
′′′′′
+
′′′′′
+
+
′
+
′
+
′
+++−=
′′
+
откуда находим
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε+=
′′
+
ε−
KKe
KA
HKH
K
2cos10722sin6441328
50
4
4
33
1
4VI
3
.
Частное решение этого дифференциального уравнения имеет вид:
() ()
[]
ϕ+ε+ϕ+ε−=
ε−
KKe
K
A
H
K
2cos20482sin3554233
000663
4
3
4
1
3
;
() ()
[]
ϕ+ε−ϕ+ε−−=
′
ε−
KKe
K
A
H
K
2cos89022sin267693216
000663
4
2
4
1
3
.
(1.2.22)
Аналогичным методом получили еще один член разложения. Из-за громоздкости вывода запишем конечный его резуль-
тат:
() ()
[]
()
[
()
]
() ()
[]
()
[
()
]
.3cos15854513
3sin75666814
221400026013
cos1182383sin336518
260026013
;3cos6237328
3sin009962
221400026013
cos265164sin86324
260026013
5
3
5
1
5
3
5
1
4
5
4
5
1
5
4
5
1
4
ϕ+ε−
−ϕ+ε−
⋅⋅
+
+ϕ+ε−ϕ+ε−
⋅
=
′
ϕ+ε+
+ϕ+ε
⋅⋅
+
+ϕ+ε+ϕ+ε−
⋅
=
ε−
ε−
ε−
ε−
K
Ke
K
A
KKe
K
A
H
K
Ke
K
A
KKe
K
A
H
K
K
K
K
(1.2.23)
На основании (1.2.18), (1.2.20) – (1.2.23) асимптотическое разложение безразмерной аксиальной функции Н и безраз-
мерной радиальной функции Н′ выглядит следующим образом:
()
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
;3cos62373283sin009962
221400026013
cos651642sin86324
260026013
2cos20482sin3554233
000663
cos4sin
200
10
1
sin
5
4
5
1
5
4
5
1
4
3
4
1
3
2
3
1
2
2
1
1
K+ϕ+ε+ϕ+ε×
×
⋅⋅
+ϕ+ε+ϕ+ε−×
×
⋅
+ϕ+ε+ϕ+ε−×
×+ϕ+ε+ϕ+ε−×
×+−ϕ+ε=
ε−
ε−
ε−
ε−ε−ε−
KK
e
K
A
KK
e
K
A
KK
e
K
A
KK
e
K
A
e
K
A
KeAH
K
K
K
KKK
()()
[]
() ()
[]
()
[
()
]
()
[
()
]
() ()
[]
;3cos158545133sin75666814
221400026013
cos1182383
sin336518
260026013
2cos89022sin267616932
000663
cos13sin
20010
2
cossin
5
3
5
1
5
3
5
1
4
2
4
1
3
3
1
22
11
K+ϕ+ε−ϕ+ε−×
×
⋅⋅
+ϕ+ε−
−ϕ+ε−
⋅
+
+ϕ+ε−ϕ+ε−−×
×+ϕ+ε−ϕ+ε−×
×++ϕ+ε+ϕ+ε−=
′
ε−
ε−
ε−
ε−ε−ε−
KK
e
K
A
K
Ke
K
A
KK
e
K
A
KK
e
K
A
eAKKeAH
K
K
K
KKK
()
[]
() ()
[]
() ()
[]
()
[
()
]
() ()
[]
.3cos522719233sin254979113
221400026013
cos58263514
sin03430612
260026013
2cos256302sin5082272267
000663
cos19sin8
10010
4
cos2
5
2
5
1
5
2
5
1
4
4
1
3
3
1
22
1
2
1
K+ϕ+ε+ϕ+ε×
×
⋅⋅
+ϕ+ε+
+ϕ+ε
⋅
+
+ϕ+ε+ϕ+ε+×
×+ϕ+ε+ϕ+ε×
×+−ϕ+ε−=
′′
ε−
ε−
ε−
ε−ε−ε−
KK
e
K
A
K
Ke
K
A
KK
e
K
A
KK
e
A
eA
K
KeKAH
K
K
K
KKK
(1.2.24)
Подобным образом было получено разложение в асимптотический ряд безразмерной окружной функции G:
()()
[]
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
()
[
()
]
;...3cos2444641
3sin34295815
221400026013
cos73634sin058370
260026013
2cos77762sin554840410
000663
cos31sin3
200
5
2
cossin
5
3
5
1
5
3
5
1
4
2
4
1
3
3
1
22
11
+ϕ+ε+
+ϕ+ε−
⋅⋅
+
+ϕ+ε+ϕ+ε−
⋅
+
+ϕ+ε−ϕ+ε−−+
+ϕ+ε−ϕ+ε+
+−ϕ+ε−ϕ+ε−+=
ε−
ε−
ε−
ε−
ε−ε−
K
Ke
K
A
KKe
K
A
KKe
K
A
KKe
K
A
eAKKKeAsG
K
K
K
K
KK
()
() ()
[]
() ()
[]
() ()
[]
()
[
()
]
,...3cos24619655
3sin98839875
221400026013
cos738543sin5448151
260026013
2cos008202sin7443761641
000663
cos48sin11
1005
4
sin2
5
2
5
1
5
2
5
1
4
4
1
3
3
1
22
1
2
1
+ϕ+ε−
−ϕ+ε
⋅⋅
+
+ϕ+ε−ϕ+ε
⋅
+
+ϕ+ε+ϕ+ε+×
×+ϕ+ε+ϕ+ε×
×++ϕ+ε=
′
ε−
ε−
ε−
ε−ε−ε−
K
Ke
K
A
KKe
K
A
KK
e
K
A
KK
e
A
KeAKeKAG
K
K
K
KKK
(1.2.25)
где
()
VGCs =∞=±= .
Разложения функций в степенные ряды Тэйлора при ε = 0 запишем с использованием (1.9), (1.10):
(
)
;
!10
14411223210488
!9
4044424
!8
4816
!7
128
!6
22
!5
2
!4
2
!3
1
!2
10
223
9
2222
8
2
765
2
432
K+ε
++−+
+
+ε
+−+−
+ε
+−
+
+ε
−−
−ε
−
−ε−ε−ε
−
+ε=
ACBAACAB
CACBBAABBCB
CABACABBCA
H
(
)
;
!9
14411223210488
!8
4044424
!7
4816
!6
128
!5
22
!4
2
!3
2
!2
1
9
223
8
2222
7
2
654
2
32
K+ε
++−+
+
+ε
+−+−
+ε
+−
+
+ε
−−
−ε
−
−ε−ε−ε
−
+ε=
′
ACBAACAB
CACBBAABBCB
CABACABBC
AH
()
(
)
;
!8
14411223210488
!7
4044424
!6
4816
!5
128
!4
22
!3
2
!2
2
1
8
223
7
222
6
2
543
2
2
K+ε
++−+
+
+ε
+−+−
+ε
+−
+
+ε
−−
−ε
+
−ε−ε−ε−+=
′′
ACBAACAB
ACBBAABBCB
CABACABB
CAH
C
()
;
!9
320248224136168
!8
16402411288
!7
20162416
!6
816
!5
48
!4
122
!3
2
1
9
232
8
2
7
23
6
22
543
K+ε
+++−−
+
+ε
−++−
+ε
−−−
+
+ε
+
−ε
+−
+ε
−+
+ε+ε+=
BCABADCB
CCABCABBABACA
ABBCBCABA
BG
(
)
.
!8
320248224136168
!7
16402411288
!6
20162416
!5
816
!4
48
!3
122
8
232
7
2
6
23
5
22
432
K+ε
+++−−
+
+ε
−++−
+ε
−−−
+
+ε
+
−ε
+−
+ε
−+
+ε+=
′
BCABADCB
CCABCABBABACA
ABBCBCAB
ABG
(1.2.26)
Совместное решение уравнений (1.2.25) и (1.2.26) при ε = ε
*
, когда функции Н, Н′, G, вычисленные по уравнениям
(1.2.25), (1.2.26), равны, а также соблюдаются при этом равенства Н″ и G′ (гладкость смыкания), дает возможность опреде-
лить А
1
, ϕ, А, В, С.
В дальнейшем для удобства численного интегрирования обозначим для (1.2.24), (1.2.25)
()
K+ε+ε=
′
ε−
KbKaeH
K
cossin , откуда
(
)
()
.cossin
;cossin
1
1
ϕ−ϕ−=
ϕ+ϕ−=
KKKAb
KKKAa
На основании этого все члены разложения (1.2.24), (1.2.25) могут быть пересмотрены, вместо констант А
1
, ϕ вводим кон-
станты а, b.
В итоге получим:
() ()
[]
()
()
.
5
cossin
;
10
cossin
;
20
cossin
2
1
2
2
22
2
2
22
2
3
22
K
K
K
+
+
−ε+ε−+=
+
+
+ε+ε=
′
+
+
−ε+−ε−=
ε−ε−
ε−ε−
ε−ε−
KK
KK
KK
e
K
ba
KaKbesG
e
K
ba
KbKaeH
e
K
ba
KbaKabe
K
H
Нами было получено четыре варианта решения системы дифференциальных уравнений (1.2.1) при одинаковых гранич-
ных условиях (1.2.2) [6]. Множественность решений обусловлена нелинейностью уравнений (1.2.1). При составлении про-
грамм численного интегрирования систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений при различных гранич-
ных условиях мы использовали идеи [7]. Практические численные решения предыдущих, текущих и последующих задач пока-
зывает, что их число в общем случае нечетное (одно, три, пять, …) и только в отдельных соотношениях, точках при (ε
**
), чис-
ло решений четное. Это в последующем мы отметим. В рассматриваемом случае мы получили четыре решения. Пятым ре-
шением является тривиальное, когда А = 0, В = 0, G =1 = const, т.е. когда вся масса жидкости вращается как твердое тело с
угловой скоростью ω, равной скорости вращения диска. При этом коэффициент давления С = 1. Значит имеем упомянутые
пять вариантов решения.
Конкретные численные решения задачи представлены графически на рис. 1.2.1 – 1.2.16 в разных интервалах изменения
ε и разных масштабах функций Н, Н′, G для наглядности их поведения, анализа и выводов.
Если обратить внимание на выражения (1.2.24) и (1.2.25), то отметим, что они есть ряды сумм экспоненциально зату-
хающих гармонических функций. Значит, эти функции должны иметь п экстремумов, что видно из графического представ-
ления и табл. 1.12.1 – 1.2.4. Приведем их несколько значений, последующие экстремумы исчезающе малы.
Первое решение:
Н
max
= 0,242988 при ε ≈ 2,7; Н′
max
= 0,154262 при ε ≈ 0,8;
Н
min
= –0,011847 при ε ≈ 10,4; Н′
min
= 0,063364 при ε ≈ 4,6;
Н
max
= 0,000509 при ε ≈ 18,5; Н′
max
= 0,002991 при ε ≈ 12,5;
G
max
= –0,168036 при ε ≈ 8,6;
G
min
= –0,153600 при ε ≈ 16,0;
при ε → ∞ G
∞
→ –0,154200 = s.
Второе решение:
(1.2.28)
(1.2.27)
Н
max
= 0,221815 при ε ≈ 2,3; Н′
max
= 0,158869 при ε ≈ 0,8;
Н
min
= –0,93967 при ε ≈ 9,9; Н′
min
= –0,240301 при ε ≈ 5,4;
Н
max
= 0,022930 при ε ≈ 22,5; Н′
max
= 0,143290 при ε ≈ 13,8;
Н′
min
= –0,004660 при ε ≈ 25,0;
G
min
= –0,385974 при ε ≈ 9,4;
G
max
= –0,073030 при ε ≈ 19,6;
G
min
= –0,099199 при ε ≈ 30,5;
при ε → ∞ G
∞
→ –0,0982774 = s.
Третье решение:
Н
max
= 0,226062 при ε ≈ 2,2; Н′
max
= 0,161682 при ε ≈ 0,8;
Н
min
= –1,143782 при ε ≈ 10,1; Н′
min
= –0,27188 при ε ≈ 5,6;
Н
max
= 0,077067 при ε ≈ 22,6; Н′
max
= 0,179940 при ε ≈ 14,4;
Н
min
= –0,003551 при ε ≈ 35,5; Н′
min
= –0,012076 при ε ≈ 26,0;
Н′
max
= 0,000545 при ε ≈ 39,0;
G
min
= –0,440938 при ε ≈ 9,7;
G
max
= 0,059631 при ε ≈ 32,5;
при ε → ∞ G
∞
→ 0,0570578 = s.
Четвертое решение:
Н
min
= –11,662031 при ε ≈ 3,375; Н′
min
= –5,385601 при ε ≈ 1,625;
Н
max
= 0,145467 при ε ≈ 7,80; Н′
max
= 4,860681 при ε ≈ 5,125;
Н
min
= –0,006433 при ε ≈ 10,2; Н′
min
= –0,121697 при ε ≈ 8,4;
Н
max
= 0,000276 при ε ≈ 12,6; Н′
max
= 0,005385 при ε ≈ 10,8;
G
min
= –10,482257 при ε ≈ 3,35;
G
max
= –0,940109 при ε ≈ 7,00;
при ε → ∞ G
∞
→ –1,657492 = s.
Из приведенных таблиц и графиков первых трех решений мы видим, что при удалении по оси от поверхности диска че-
редуются нисходящие и восходящие слои жидкости. Напомним выражение осевой скорости: Hw ων−= 2 .
В четвертом решении картина изменения скорости w – это чередование восходящих и нисходящих слоев.
Приведем для сравнения начальные параметры при ε = 0:
первое решение
А = Н″(0) = 0,475080, В = G′(0) = –0,583970, С = 0,023678;
второе решение
А = Н″(0) = 0,490259, В = G′(0) = –0,561329, С = 0,009659;
третье решение
А = Н″(0) = 0,496117, В = G′(0) = –0,562759, С = 0,003256;
четвертое решение
А = Н″(0) = –5,972042, В = G′(0) = –2,351111, С = 2,747283.
Четвертое решение резко отличается от остальных и по начальным параметрам. Поэтому с уверенностью можно кон-
статировать, что в реальности оно не осуществляется. Какая картина течения с большей вероятностью в действительном
процессе реализуется, требуются дополнительные исследования по устойчивости течения?
Рис. 1.2.1. Графики
безразмерных аксиальных
скоростей Н(ε) первого,
второго, третьего и
четвертого решений
на начальном участке ε
при Н
∞
= W → 0
Рис. 1.2.2. Графики
безразмерной скорости Н
первого, второго и
третьего решений
Рис. 1.2.3. График первого
решения Н(ε) при Н
∞
= W → 0
Рис. 1.2.4. Графики безразмерных
аксиальных скоростей Н(ε) второго и
третьего решений при Н
∞
= W → 0
Рис. 1.2.5. График безразмерной
аксиальной скорости Н(ε)
четвертого решения
при Н
∞
= W → 0
Рис. 1.2.6. График безразмерной
аксиальной скорости Н(ε)
четвертого решения при Н
∞
= W → 0