Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

521

Дамо визначення основних епістемічних модальностей

стосовно нашого предмета розгляду.

П е р е к о н а н н я м, або суб’єктивною достатніс-

тю, є свідоме визнання істинним якогось положення

стосовно особи, яка його висловлює, або до якої воно

відноситься, або якій воно адресується. Іншими слова-

ми, переконання є свідоме визнання чогось істинним

для самого себе.

Наприклад, коли вчитель пояснює учневі теорему Піфа-

гора, то вона постає для нього не просто істиною, яку від-

крив багато віків тому для людської цивілізації давньогре-

цький мислитель, а стає істиною для нього, яку він

відкриває слідом за вчителем, усвідомлюючи його пояс-

нення доведення знаменитої теореми.

Д о с т о в і р н і с т ь, або об’єктивна достатність,

є свідоме визнання чогось істинним для будь-кого.

Наприклад: «Після літа наступає осінь», «Найкорот-

ша відстань між двома точками – пряма лінія» тощо.

Н е п е в н о ю д у м к о ю є визнання чогось істин-

ним при відсутності суб’єктивної і об’єктивної доста-

тності.

Наприклад: «На мою думку, в цьому лісі є білі гриби».

В і р а є свідоме визнання істинним якогось положен-

ня з точку зору суб’єктивної достатності при чіткому

усвідомленні відсутності об’єктивної достатності.

Це часто призводить до того, що ми вимушені приймати

деякі положення без доведення, без перевірки, оскільки

вони на даний момент не можуть бути обгрунтованими. В

цьому розумінні віра

є протилежністю знанню, як єдності

суб’єктивної та об’єктивної достатності.

С у м н і в о м називається оцінка інформації, коли

суб’єкт не переконаний ні в її істинності, ні в її хиб-

ності.

Переконання, віра, припущення можуть бути будь-

якими, в той час як знання завжди істинне.

Це і зумовило два основні напрями епістемічної ло-

гіки:

а) логіка знання;

б) логіка переконання.

На відміну від наукової віри релігійна віра намагається бути основою знан-

ня: «Я знаю тому, що вірю».

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

522

Є два варіанти логіки знання в залежності від того, яка

оцінка береться за вихідну – «доведено» чи «істинно».

Система логіки, де вихідним є термін «доведено»,

має такі закони:

а) «Якщо висловлювання доведено, то воно істинне»

(оскільки довести можна лише істину).

Наприклад, якщо висловлювання «Сума внутрішніх

кутів трикутника дорівнює 180 градусів» доведено, то

воно істинне.

б) «Логічний наслідок доведеного є також доведеним».

Наприклад, якщо положення «Будь-яка планета є кос-

мічним об’єктом» доведено, то і його наслідок «Земля є

космічним об’єктом» також є доведенним.

в) «Якщо дещо доведено, то доведено, що воно дове-

дено».

г) «Логічне протиріччя не доводиться» (тобто дове-

дення хибного висловлювання не існує).

Наприклад, не можна побудувати доведення для висло-

влювань: «Камінь проводить електричний струм», «Мі-

сяць має атмосферу» тощо.

Коли ми за вихідний термін візьмемо поняття «іс-

тини», то матимемо логіку істини, де законами є такі

положення:

а) «Якщо висловлювання істинне, то невірно, що його

заперечення також істинне».

Наприклад, якщо істинно, що «О. Дюма є автором ро-

ману «Три мушкетери»», то не вірно, що істинно, «Ніби-

то йому не належить авторство цього роману»;

б) «Кон’юнкція істинна, якщо і тільки якщо обидва

кон’юнкти істинні».

Наприклад, істинно, що Земля має природній супутник і

атмосферу, тільки якщо істинно, що Земля має природній

супутник і істинно, що вона має атмосферу.

У логіці переконання вихідним є термін «перекона-

ний» («вірить»).

До законів логіки переконання відносять такі поло-

ження:

а) «S вірить, що перше і друге, якщо і тільки якщо

він вірить, що перше і вірить, що друге»;

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

523

б) «Не можна одночасно вірити і сумніватися, бути

переконаним і заперечувати; сумніватися і заперечу-

вати»;

в) «S або переконаний у чомусь, або сумнівається в

цьому, або відкидає це».

Наприклад, суб’єкт або переконаний в тому, що на

Марсі є життя, або відкидає це;

г) «Неможливо бути переконаним одночасно в чомусь

і в протилежному йому».

Наприклад, не можна одночасно вірити в те, що єги-

петські піраміди створили люди і прибульці з космосу.

Для вихідних понять логіки знання «знає», «істинно»,

«доказувано», «вірно», що логічний наслідок відомого є

відомий, істинного – істинний, доказуваного – дове-

дений.

У логіці переконання ця залежність має свою специфі-

ку. Мається на увазі така ситуація: Чи буде суб’єкт пере-

конаний в усіх логічних наслідках, що випливатимуть із

прийнятих ним вихідних положень?

Наприклад, якщо суб’єкт переконаний в надійності

правил гри в шахи, то він приймає все, що відбувається

на шаховій дошці, як наслідок дії цих правил. Але пого-

джуючись з правилами гри як вихідними принципами, лю-

дина може не знати розв’язку конкретної шахової задачі.

Отже, якщо людина в чомусь переконана, то вона не

завжди буде переконана в наслідках цього.

Підсумовуючи попередні міркування, необхідно звернути

увагу на той факт, що хоча в епістемічній логіці є логіка

знання і логіка переконання, але в назві цього розділу мо-

дальної логіки зберігається словосполучення «епістемічна

логіка» (від грецького слова episteme), бо в цьому розділі

логічними засобами досліджуються саме знання як рухли-

вий процес, як процес взаємодії названих епістемічних

станів, між якими існують різноманітні зв’язки, переходи,

відношення.

б) Мова епістемічної пропозиційної логіки.

Алфавіт мови епістемічної пропозиційної логіки

включає:

1. Список пропозиційних змінних: (p, r, q та інші);

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

524

2. Список пропозиційних зв’язок: (~, ∧,∨, ⊃, ≡ та інші);

3. Список епістемічних операторів:

а – а знає, що......

В а – а вірить, що......

С а – а сумнівається, що......

О а – а спростовує, що......

Введемо визначення формули:

1. Будь-яка пропозиційна змінна є формулою;

2. Якщо p і q формули, то ~ p, p ∨ q, p ∧ q, p ⊃ q, Кар,

Вар, Сар, Оар;

3. Ніщо крім вказанного в пунктах 1 і 2 даної дефіні-

ції не є формулами.

Відповідно до цього визначення вирази Кар, р ⊃ Кар, ~

Оар, Ва ~ р, є формулами, а вирази Ка, К ~ а ⊃, ОВа ⊃ р

такими не є.

Використовуючи засоби мови пропозиційної епістеміч-

ної логіки, опишемо характерні особливості логіки знання

як одного з напрямків епістемічної логіки.

Дамо визначення епістемічних модальностей логіки

знання Ка, Са, Оа у вигляді правил редукції. Такий під-

хід, з одного боку розкриє своєрідність кожного оператора,

а з іншого – вкаже на специфічні зв’язки з іншими опе-

раторами.

Oap

pKa ~

– «Якщо, а знає, що на Місяці немає земного тяжіння,

то а спростовує наявність земного тяжіння на Місяці»,

або «із знання не-р випливає спростування р».

Kap

pOa ~

– «Із спростування не-р, випливає знання р».

Cap

pCa ~

Позначною для цього оператора є перша буква в англійському слові Knowl-

edge (знання).

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

525

– «Із сумніву не-р, випливає сумнів р».

OapCap

Kap~

– «Якщо а не знає р, то або а сумнівається в р, або а

спростовує р».

OapKap

Cap~

– «Якщо а не сумнівається в р, то або а знає р, або а

спростовує р».

CapKap

Oap~

– « Якщо а не спростовує р, то або а знає р, або сумні-

вається в р».

()

Kaq

Kap

QpKA

∨

()

CaqKaqCaq

KapCapCap

qpCa

∨

()

CaqKaqCaqOaqKaqOaq

CapCapOapKapOapOap

qpOa

∧

()

CaqKaqCaqKaqOaqKaq

CapCapKapOapKapKap

qpKa

∨

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

526

()

CaqOaqCaq

OapCapCap

qpCa

∨

()

CaqKaqCaqOaqKaqKaq

CapCapOapOapOapKap

qpKa

⊃

()

CaqOaqCaq

KapCapCap

qpCa

⊃

Якщо стовпчик таблиці містить хоча б одну пару

формул (Кар, Сар), (Сар, Оар), (Кар, Оар), то вважається

замкненим.

Пропозиційному численню логіки знання притаманні

такі положення:

1. ┤ Кар ⊃ р

2. ┤ Ка (р ⊃ р)

3. ├ ~ (Кар ∧ Ка ~ р)

4. ├ ~ Ка (р ∧ ~ р)

5. ┤ Оа (р ∧ ~ р)

6. ├ ~ Кар ∨ ~ Оар

7. ┤ Кар ∨ Оар

8. ├ Ка (р ∧ ~р) ⊃ Каq

9. ├ Ка (р ∧ q) ≡ Кар ∧ Каq

10.├ (Кар ∨ Каq) ⊃ Ка (р ∨ q)

11. ┤ Ка (р ∨ q) ⊃ Кар

12. ├ Ка (р ⊃ q) ⊃ (Кар ⊃ Каq)

13. ├ Ка (р ⊃ q) ⊃ (Оаq ⊃ Оар)

14. ├ Са (р ∧ q) ⊃ (Сар ⊃ Саq)

15. ├ Кар ∨ Сар ∨ Оар

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

527

Твердження 1–15 є характеристиками знання в даному

численні.

Твердження 1 вказує на те, що тут не визнається пра-

вило: «Знання р спонукає істинність р». Визнання цього

правила передбачає граничну ідеалізацію пізнавального

процесу. «Якщо я знаю, що р, то я неявно заперечую, що

яка-небудь нова інформація заставить мене зміни-

ти свою точку зору». А це означає відкинути прогрес в

науці.

Твердження 2 і 5 показують, що ті характеристики

знання, які вони описують, не передбачають «логічного

беззаконня».

Твердження 3 зазначає, що формальне протиріччя не

входить до складу знання.

Твердження 6 показує, що незнання, на відміну від

знання, повне: «Для будь-якого р вірно, що а або не знає

р, або не спростовує р».

Згідно з твердженням 7 знання не повне в такому розу-

мінні: «Для довільного р не можна довести, що будь-

який або знає р, або спростовує р». Фактично це є своє-

рідне формулювання знаменитої теореми К. Геделя: «Як-

що система S не суперечлива, то в ній існує таке ви-

словлювання р, що ні само р, ні його заперечення не

можуть бути доведені засобами S».

Твердження 8 фіксує, що із знання формального проти-

річчя випливає знання будь-якого висловлювання.

Твердження 12 і 13 є епістемічними варіантами правил

модус поненс і модус толленс.

Згідно з твердженням 15 набір епістемічних операторів

Ка, Са, Оа є повним, тобто для будь-якого р а або знає р,

або сумнівається в р, або спростовує р.

Важливу роль в дослідженні процесу пізнання відіграє

логіка віри. Цікавим є об’єднання в рамках епістемічної

логіки «логіки знання» і «логіки віри».

Співставлення в операторів віри і знання дає насту-

пні, важливі своїми наслідками, правила:

Bap

Kap

BaKap

Kap

Ці правила показують, що наукова віра є наслідком

знання, тобто знання є істинною вірою, оскільки суб’єкт

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

528

знає щось, якщо і тільки якщо він вірить у нього і пред-

мет віри має місце:

Кар ~ ≡ Вар ⊃ р.

Звідси випливає таке твердження:

Кар ⊃ ВаКар

– а вірить в те, що знає р, (або суб’єкт вірить у свої знан-

ня).

У логіці віри приймається залежність В~р ⊃ ~ВВар, але

не приймаються залежності:

~ Вар ⊃ Ва ~ р і

Вар ∧ (р ≡ q) ⊃ Ваq.

Другу залежність можна прокоментувати таким чином.

Нехай «р» означає «бачить Вальтера Скотта», а «q»

– «бачить автора «Веверлея». Але сучасники Вальтера

Скотта не вірили, що Вальтер Скотт і «автор Веверлея» це

імена однієї і тієї самої людини. Тому із віри в те, що

суб’єкт бачить Вальтера Скотта, не слідує, що бачить «ав-

тора «Веверлея»:

Вар ∧ (р ≡ q) не випливає Ваq.

Сучасні дослідження епістемічної логіки направлені на

дослідження реального процесу пізнання, тому ефективне

застосування результатів цих досліджень лежить на шляху

поєднання епістемічних модальностей з алетичними, деон-

тичними та темпоральними.

в) Епістемічна логіка

і теорія можливих світів

В епістемічній логіці для аналізу її висловлювань вико-

ристовується семантика можливих світів. Тут вводиться

поняття «епістемічно можливий світ». Якщо співста-

вити алетично можливі світи з епістемічно можливими, то

епістемічно можливий світ є лише фрагментом логічно

можливого світу. Це пояснюється тим, що епістемічно мо-

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

529

жливі світи співставляються і є сумісними з тим, що знає

носій, виразник епістемічного висловлювання. Це співста-

влення і визначає відношення досяжності R.

Епістемічно можливий світ специфікується, співвідно-

ситься із носієм епістемічного висловлювання. Тому у ко-

жного суб’єкта своя множина епістемічно можливих світів.

Не існує такої множини можливих світів, які є спільними

для різних суб’єктів. Іншими словами, множини епістемі-

чно можливих світів різних суб’єктів повністю не співпа-

дають.

Засобами семантики можливих світів оператор «Ка»

має таку дефініцію:

«Якщо Кар ∈ w, де w ∈ W, то для усіх w’ ∈ W, та-

ких, що R (w,w’), має місце р ∈ w’», або «Кар є істинним

у світі w, якщо тільки в альтернативному епістеміч-

ному світі w р є істинним».

У вигляді аналітичного правила модальність знання

можна записати так:

pwT

TwKap

′

– за умови R (w,w’), де w’ – будь-який епістемічний світ,

який є досяжним із w.

Приймаємо, що заперечення модальності знання ~Ка

трактується як сумнів. А саме, якщо суб’єкт в чомусь

сумнівається то це означає, що воно може не мати місця,

тобто буде хибним, аналітичне правило в цьому випадку

матиме вигляд:

pwF

FwKap

′

– за умови R (w,w’), де w’ – деякий епістемічний світ,

який ще не зустрічався в попередніх рядках тієї гілки

таблиці, де застосовувалося це правило, який є досяжним

із w.

Побудуємо аналітичну таблицю для формул

Кар ⊃ р, ~ (Кар ∧ Ка ~ р)

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

530

а)

0. Fw Ka

⊃

1. TwKap – F ⊃, 0

I 2. Fp

II 3. Tp – Tk, 1

б)

0. Fw ~ (

∧

a ~

)

I 1. Tw (Kap ∧ Ka ~ p) F ~, 0

II 2. Tw Kap

3. Tw Ka ~ p – T∧, 1

III 4. Fw Kap F ~ 3

IV 5. Fw’p Fk, 4

V 6. T w’p Tk, 2

Таким способом можна будувати аналітичні таблиці для

будь-яких формул в епістемічній логіці.

Сучасні досягнення епістемічної логіки є багатогалузе-

вими, тому їх ефективність передбачає залучення засобів із

інших розділів модальної логіки.

Контрольні питання і вправи.

1. Визначення алетичної логіки.

2. Характеристика основних логічних модальностей.

3. Алфавіт мови пропозиційної модальної логіки.

4. Поняття «можливий світ».

5. Алетично можливі світи.

6. Відношення досяжності.

7. Поняття «опис стану».

8. Визначення модальних операторів через аналітичні пра-

вила.

9. Побудова аналітичних таблиць.

10. Чи є наведені вирази формулами алетичної пропозиційної

логіки?

а) ◊p ⊃ ◊◊p

б) p ⊃ ◊◊ p

в) ◊ р∧ p

г) ◊ p