Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

491

де 

– знак логічної необхідності, а 

– знак фізичної

необхідності.

Наприклад, відповідно до закону тотожності істинним є

висловлювання: «Якщо метал – електропровідник, тоді

він завжди проводитиме електричний струм». Цей логіч-

ний наслідок є також істиною фізики. Але те, що у металу

є певна кількість вільних електронів на зовнішній орбіті,

регламентується законом фізики, а не логіки.

ІІ. ◊

Існує два види можливості:

а) логічна і

б) фізична.

Л о г і ч н а можливість пов’язана із внутрішньою

несуперечливістю висловлювання. Логічно можливим є

те, що не суперечить законам логіки, є сумісним із ни-

ми і заперечення якого не випливає з них.

Ф і з и ч н о можливим є те, що узгоджується із за-

конами природи, не суперечить їм і заперечення якого

не випливає з них.

Зв’язок між логічною можливістю (◊л) і фізичною (◊ф)

можливістю можна зафіксувати у вигляді такої залеж-

ності:

«Все, що можливо фізично, те можливо і логічно, але

не все, що можливо логічно є можливим фізично».

Схематично це записується у вигляді такої формули:

[∀

◊

А ⊃ ∀

◊

А] ∧ [∀

◊

А ⊃∀

◊

А].

Наприклад:

а) якщо фізично можливо побудувати міст через певну

річку, то й теоретично можливо здійснити проектування

цієї дії;

б) якщо теоретично можна спроектувати вічний двигун,

то фізично це неможливо.

ІІІ. ∇

Випадковість визначають через можливість. якщо мож-

ливість – це те, що може бути, то випадковість – це

те, що може бути, а може й не бути.

Випадковість теж поділяють на:

а) логічну та

б) фізичну.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

492

Л о г і ч н о випадковим є висловлювання, якщо ні

воно саме, ні його заперечення не містить внутрішньої

суперечності.

Ф і з и ч н о випадковим є те, наявність чого чи його

відсутність не регламентована природними законами.

Введемо дефініції , ◊, ∇.

1. р ≡ Df  ◊р («р є необхідним, якщо і тільки якщо

неможливим є заперечення р»);

2. ◊р ≡ Df  р («р є можливим, якщо і тільки якщо

не є необхідним заперечення р»);

3. ∇р ≡ Df ◊р ∧ ◊р («р є випадковим, якщо і тільки,

якщо можливим є р і його заперечення»).

б) Алетична логіка і теорія «можливих світів»

Щоб установити логічне значення дескриптивного ви-

словлювання, ми співставляємо дане висловлювання з тим,

про що в ньому йдеться (або з дійсністю).

Якщо маємо відповідність висловлювання з дійсністю,

то фіксуємо за ним значення «істина», а якщо ні – зна-

чення «хиба».

Так, наприклад, «Варшава – столиця Польщі» – це

висловлювання відповідає дійсності, отже воно є істинним,

а висловлювання «Авраам Лінкольн відкрив Америку» не

відповідає дійсності, отже, є хибним.

А як себе поводять в такій ситуації модальні вислов-

лювання? Виявляється, що модальні висловлювання не

є ні категорично істинними, ні категорично хибни-

ми, а є істинними або хибними в деяких або усіх ви-

падках.

Проілюструємо зазначене на прикладах.

Візьмемо дескриптивне висловлювання:

1) «Всі планети мають атмосферу» (р). Утворимо від

нього модальне висловлювання:

2) «Необхідно, що всі планети мають атмосферу» (р).

Отже, можемо сформулювати відповідний постулат:

«Якщо дескриптивне висловлювання хибне, то утво-

рене від нього необхідне висловлювання буде хибним»:

р → р

↓ ↓

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

493

Маємо висловлювання:

1) «Будь-яка планета є космічним об’єктом» (р);

2) «Необхідно, що будь-яка планета є космічним

об’єктом» (р);

1′) «Всі мої приятелі мають вищу освіту» (р);

2′) «Необхідно, що всі мої приятелі мають вищу осві-

ту» (р).

Якщо в ситуації (1, 2) ми із істинного дескриптивного

висловлювання отримуємо істинне модальне висловлюван-

ня, то у ситуації (1′, 2′) – сумнів, що висловлювання

«р» фіксує безумовність і неминучість даного факту.

Звідси випливає постулат: «Якщо дескриптивне висло-

влювання істинне, то утворене від нього необхідне ви-

словлювання може бути будь-яким (як істинним, так і

хибним)»:

p → р

↓

i(i, x).

Подібним чином, але тільки у зворотньому розумінні,

поводить себе оператор можливості (◊).

Звернемося до прикладу:

1) «Всі учасники конференції підготували змістовні до-

повіді» (р);

2) «Можливо, що всі учасники конференції підготували

доповіді» (◊р).

«Якщо дескриптивне висловлювання істинне, то

утворене від нього можливе висловлювання також буде

істинним»:

p →

◊

↓

Наведемо ще такий приклад:

1) «Природні супутники мають атмосферу» (р);

2) «Можливо, що природні супутники мають атмосфе-

ру» (◊р).

1′) «Метали – рідини» (р);

2′) «Можливо, що метали – рідини» (◊р).

Якщо у ситуації (1, 2) із хибності дескриптивного ви-

словлювання ми отримуємо хибність модального вислов-

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

494

лювання, то у випадку (1′, 2′) із хибності дескриптивного ви-

словлювання ми маємо істинне модальне висловлювання.

Отже, якщо дескриптивне висловлювання хибне, то

утворене від нього можливе висловлювання може бути

будь-яким (як хибним, так і істинним).

p → ◊р

↓

x(≈x, i)

Із наведених прикладів випливає, що для встановлен-

ня логічного значення модальних висловлювань недо-

статньо лише співставити його із реальною дійсністю,

а треба мати на увазі всю множину варіантів ситуації,

з якими є смисл співставляти дане висловлювання. При

цьому необхідно враховувати ці ситуації стосовно ми-

нулого, майбутнього, просторової координації прийня-

тих моральних, правових норм системи оцінок, стан-

дартів пізнавальної діяльності тощо.

У пізнавальній, практичній діяльності у нас постійно

виникає потреба оцінювати свої дії, поведінку інших лю-

дей, прогнозувати події, виражати своє ставлення до ре-

зультатів як своєї діяльності, так і оточуючих. Іншими

словами, ми постійно вимушені припускати стосовно пев-

ного факту, події довільне число можливостей, альтерна-

тив, підходів, які забезпечують їх інтерпретацію.

У зв’язку з цим множину альтернативних підходів,

множину припустимих варіантів пояснення ситуацій,

розв’язання проблем, прогнозування подій, оцінки ре-

зультатів діяльності тощо прийнято називати мож-

ливими світами.

Фундатор теорії «можливих світів» – Г.Лейбніц. Саме

він, досліджуючи природу істини розуму та істини факту,

звертається до поняття «можливий світ». Трактовка

Г.Лейбніцем «можливого світу» переобтяжена гносеологі-

чним змістом. Це наклало відповідний відбиток при ви-

значенні необхідного висловлювання як істинного у всіх

можливих світах, а можливого – хоча б в одному.

У сучасній логіці «можливий світ» розглядається як

теоретико-множинне поняття. Навіть тоді, коли ми гово-

римо, що дескриптивне висловлювання співставляється

для визначення його значення з дійсністю, реальним ста-

ном справ, то мається на увазі не реальна дійсність, яка є

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

495

незалежною від суб’єкта, що пізнає, а «істина» не як то-

тожність мислення і буття, а «хиба» як спотворене відо-

браження дійсності, а маються на увазі теоретико-

множинні поняття «належності», чи «не належності» еле-

мента до множини, «включення» чи «не включення» одні-

єї множини в іншу. Тим більше це стосується «можливого

світу».

Оскільки, можливі світи моделюють різні обставини,

альтернативні стани справ, різноманітні гносеологічні

стандарти, припустимі і неприпустимі норми, оцінки

відносно якогось випадку чи умови, то кожен можливий

світ розглядається як елемент деякої множини можли-

вих світів.

Між можливими світами існує відношення досяжно-

сті, яке також має теоретико-множинний смисл. Це не

відношення співставлення, яке має місце між дескрип-

тивними висловлюваннями і реальним (дійсним) сві-

том, а відношення обстеження перегляду множини мо-

жливих світів, які якимось чином зв’язані, стосуються

реального світу.

Відношенню досяжності (альтернативності) прита-

манні такі властивості, як:

 рефлексивність,

 симетричність,

 транзитивність.

Якщо позначити можливі світи символами w

, w

, …

, а відношення досяжності – R, то названі властивості

можна записати так:

1. w R w – рефлексивність;

2. w R w

→ w

R w – симетричність;

3. (w R w

∧ w

R w

) → w R w

– транзитивність.

Р.Карнап конкретизує поняття можливий світ через те-

рмін «опис стану».

Опис стану – це один з можливих розподілів істині-

сних значень для елементарних висловлювань.

Так, для висловлювання р ∧ q можливими є чотири

комбінації розподілу істинністних значень:

1. р — і, q — і;

2. р — і, q — х;

3. р — х, q — і;

4. р — х, q — х.

Кожна з цих комбінацій є описом стану.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

496

Можливий світ – це саме той світ, який є заданим пе-

вним описом стану. Ми маємо чотири можливих світи. У

нашому прикладі лише перший опис стану відповідає реаль-

ному світові. Р.Карнап використовує поняття «опис стану»

для дефініції логічної і фактичної істинності висловлювання.

Л о г і ч н о і с т и н н и м є висловлюваня, яке іс-

тинне в усіх описах світів, а ф а к т и ч н о і с т и н -

н и м – яке лише в деяких описах станів істинне.

Враховуючи вищезазначене, визначимо основні алетичні

модальності і аналітичні правила для них.

Визначення , ◊ у термінах можливих світів:

а) Висловлювання А буде необхідним у деякому мож-

ливому світі w, якщо воно буде істинним в усіх можли-

вих світах, досяжних із w:

Tw 

T

Tw’A

при

ww’,

де w′ є будь-який можливий світ, який досяжний із wґ.

б) Висловлювання А не буде необхідним у деякому

можливому світі w, якщо воно буде хибним хоча б в од-

ному можливому світі w, який є досяжним із w:

 wA

F

Tw’A

при

ww’,

де w’ – є деякий можливий світ, якого ще не було в попе-

редніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовується це пра-

вило, і який досяжний із w.

в) Висловлювання А буде можливим у деякому мож-

ливому світі w, якщо воно буде істинним хоча б в одно-

му можливому світі wґ, який є досяжним із w:

◊

T◊

Tw’A

при

ww’,

де w’ є деякий можливий світ, якого ще не було в попере-

дніх рядках тієї гілки таблиці, де застосовувалося це пра-

вило, і який досяжний із w.

г) Висловлювання А не буде можливим у деякому

можливому світі w, якщо воно буде хибним у будь-

якому можливому світі wґ, який досяжний із w:

◊

T

Tw’A

при

ww’,

де w’ є будь-який можливий світ, який досяжний із w.

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

497

Застосування аналітичних правил ефективне для здійс-

нення проблеми розв’язання в алетичній логіці.

При побудові аналітичних таблиць для формул але-

тичної логіки треба мати на увазі, що таблиця вважа-

ється замкненою лише тоді, коли одна і та сама пропо-

зиціна змінна буде з індексом Т і F у тому самому мо-

жливому світі.

Здійснимо побудову аналітичної таблиці для формули:

А ⊃ А

0. Fw  A ⊃ A

1. Tw  A

I 2. Fw A F⊃, 0

II 3. Tw A T, 1 .

Аналітична таблиця є замкненою. Отже, дана формула є

законом алетичної логіки і при цьому відношення досяж-

ності R є рефлексивним: «Все необхідне є реальним».

Наведений закон відображає фундаментальне відношен-

ня між необхідністю і дійсністю. Буквально він засвідчує

те, що при істинності А А буде завжди істинним в усіх

можливих світах і в дійсному також.

Ця залежність іноді може провокувати невірне обмеже-

не твердження: «Все дійсне є необхідним». Але не завджи

із дійсності випливає необхідність чогось. Для цього дійс-

ність повинна мати атрибут необхідності.

Наприклад, із того, що «Всі мешканці нашого будинку

знають англійську мову», не випливає необхідність цього

факту.

Наведемо ще один приклад.

Маємо формулу ◊(А ⊃ А).

Побудуємо для неї аналітичну таблицю:

0. Fw  ◊ (A ⊃ A)

І 1. Fwґ  ◊ (A ⊃ A) F, 0

ІІ 2. Fwґґ  ◊ (A ⊃ A) F, 1

Ш 3. Fwґґ (A ⊃ A) F ◊, 2

ІV 4. TwґґA

5. Fw A

«Все необхідне є реальним».

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

498

Отже, формула є законом алетичної логіки, а відношен-

ня досяжності R є транзитивним і рефлексивним.

Розглянемо ще два закони алетичної логіки.

А ⊃ ◊А

«Все дійсне є можливим».

Аналітична таблиця цього закону матиме вигляд:

0. Fw (AA)

1. TwA F⊃, 0

I 2. Fw ◊ A

3. Fw F ◊, 2

Даний закон регламентує той аспект відношення

між реальним і можливим, коли визнання висловлюван-

ня можливим означає його істинність хоча б в одному з

можливих світів, але не виключено, що ним може бути

дійсний світ.

Зрозуміло, що обернена залежність буде невірною: «Із

того, що можливо, не випливає його дійсність».

Наприклад, із того, що «Київське Динамо» може ви-

грати у черговому турі, не випливає його перемога.

A ⊃ ◊A

«Все необхідне є можливим».

Цей закон є наслідком із попередніх двох законів:

A ⊃ A

A ⊃ ◊A



⊃

◊

У цьому законі зафіксована залежність: «Якщо А іс-

тинне, то А буде істинним в усіх можливих світах, у

тому числі і в дійсному, а, отже, і ◊А буде істинним».

Даний закон перевіримо за допомогою аналітичної таблиці:

0. Fw A ⊃ ◊A

1. TwA

I 2. Fw ◊AF⊃, 0

II 3. TwґAT, 1

III 4. FwґAF◊, 2

Книга друга. СУЧАСНА ЛОГІКА

499

2. Темпоральна логіка

Т е м п о р а л ь н о ю, або часовою, логікою назива-

ють розділ модальної логіки, який досліджує природу,

ознаки, логічні зв’язки часових висловлювань.

Дамо визначення часового висловлювання.

Ч а с о в и м висловлюванням називається вислов-

лювання, в якому часовий параметр включається до

його логічної форми.

Тобто до складу темпорального висловлювання входять

модальності P, F, H, G (відповідно «було так, що …», «бу-

де так, що …», «завжди було так, що …», «завжди буде

так, що …»).

Темпоральна логіка як самостійний розділ починає

формуватися в ХХ ст. Фундаторами темпоральної логіки є

А.Прайор, Г.Х. фон Врігт, М.Решер, Х. Укварт та інші.

Але перші дослідження в галузі темпоральної логіки зна-

ходимо в часи античності у Арістотеля, у середньовіччі

у Діодора Кроноса, У.Оккама, Ж.Бурідана, Альберта

Саксонського.

Темпоральна логіка розробляє апарат, за допомогою

якого можна було б більш адекватно дослідити міркування

про предмети і явища, які залежні від часу. Звідси і поділ

часових логік за часовими рядами. Часові ряди незалежні

один від одного, вони не зводяться один до одного, вони

не повторюють один одного, нарешті, вони не перети-

наються один з одним. Завдяки цьому часові ряди охоп-

люють, характеризують речі, явища, події, які відбували-

ся, відбуваються і будуть відбуватися у світі. Чи це буде

світ описуваний гуманітарними науками, чи – природни-

чими.

Таких рядів існує два.

Один з них позначають буквою А, другий – В.

Ряд А охоплює часовий простір з оцінками «буде»,

«було», «завжди буде», «завжди було».

Ряд В відображає часовий простір з оцінками «рані-

ше», «пізніше», «одночасно».

Той розділ темпоральної логіки, який описує ряд А,

називають А-логіка, а той розділ темпоральної логіки,

який описує ряд В – часовою В-логікою.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

500

а) Мова темпоральної логіки висловлювань

Мова темпоральної логіки висловлювань складається із

засобів мови класичної логіки висловлювань і доданих до

них знаків темпоральних модальностей.

Алфавіт

1. Пропозиційні змінні для позначення дескриптив-

них висловлювань:

p, q, r, …

2. Пропозиційні зв’язки (константи): , ∧, ∨, ⊃, ∾.

3. Знаки темпоральних модальностей:

Р – «було так, що …»

F – «буде так, що …»

H – «завжди було так, що …»

G – «зажди буде так, що …»

4. технічні знаки, якими є ліва та права дужки, кома,

кома з крапкою, двокрапка, тире: (.),; : –

Дефініція формули:

1. Будь-яка пропозиційна змінна – формула.

2. Якщо А і В формули, то А, А ∧ В, А ∨ В, А ⊃ В,

А ∾ В, PА, FА, HА, GА – формули.

3. Ніщо, крім вказаного в пунктах 1, 2 дефініції, не є

формулою.

Наведена дефініція є ефективною.

Так, вирази Hр ⊃ р, р ⊃ Fр, HFр ⊃ р, H(р ⊃q)∾(Hр ⊃

Hq) є формулами, а вирази р ⊃H ∨ F, Pq ⊃, рH ∨ р фор-

мулами не будуть.

Використовуючи мову темпоральної пропозиційної логі-

ки, запишемо

Основні закони часової логіки

1. Gр ⊃ Fр

(«Якщо після зими завжди наступатиме весна то, так

воно і буде».)

2. Hр ⊃ Pр