Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)
Подождите немного. Документ загружается.
Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
151
для будь-якого «х» вірно, якщо «х» є елементом Wx A(x),
то «х» є елементом Wx B(x) і для будь-якого «х» вірно,
якщо «х» є елементом Wx B(x), то «х» є елементом Wx
A(x)».
Схема відношення тотожності зображується так
1
:
Wx A(x),
Wx B(x)
Відношення підпорядкування фіксує співставлення
родового і видового поняття. Наприклад, «гуманітарна
наука» – «історія», «злочин» – «грабіж», «населений
пункт» – «місто» тощо.
Поняття, яке входить до обсягу іншого поняття, на-
зивається «підпорядкованим», а поняття, яке включає
до свого обсягу інше поняття, називається «підпоряд-
ковуючим». Так, поняття «історія» буде підпорядкованим,
а поняття «гуманітарна наука» – підпорядковуючим:
х А(х) підпорядковується
х В(х) =
Df
∀х (х ∈ Wx A(x) ⊃ x ∈ Wx B(x)) &
∀x (x ∈
Wx B(x) ⊃ x ∈ Wx A(x)),
тобто, «поняття х А(х) підпорядковується поняттю х
В(х) тоді і тільки тоді, коли для будь-якого «х» вірно, що
коли «х» є елементом Wx A(x), то «х» є елементом Wx
B(x) і не вірно, що для будь-якого «х», якщо «х» є елемен-
том x B(x), то «х» є елементом Wx A(x)».
Схема відношення підпорядкування така:
Wx
A
(x)
Wx B(x)
У відношенні часткового співпадання знаходяться
поняття, обсяги яких частково співпадають. Напри-
клад, «письменник» – «лауреат», «камінь» – «коштов-
ність» тощо.
1
Відношення між обсягами понять зображуються за допомогою «Кіл Ейлера»
(які отримали свою назву за іменем видатного математика ХУШ ст. – Ейлера).
А. Є. Конверський. ЛОГІКА
152
х А(х) частково співпадає з х В(х) =
Df
∃х (х ∈ Wx A(x) &
x ∈ Wx B(x)) &
∀х (х ∈ Wx A(x) & x ∈ Wx B(x)) – тобто,
«поняття х А(х) частково співпадає з поняттям х В(х) тоді
і тільки тоді, коли існує такий «х», для якого вірно, що
він є і елементом Wx А(x), і елементом Wx B(x). І не вір-
но, що будь-який «х» є одночасно елементом Wx A(x) і
елементом Wx B(x)».
Схема відношення часткового співпадання має такий
вигляд:
Wx
A
(x)
Wx B(x)
Н е с у м і с н и м и називаються поняття, видові
ознаки яких обумовлюють повне неспівпадання їх обсягів.
Наприклад: «гуманітарні науки» – «природничі науки»,
«обгрунтований вирок» – «необгрунтований вирок» тощо.
х А(х) несумісне з х В(х)
Df
=
∃ х (х ∈ Wx A(x) & Wx
B(x)) – тобто «поняття х А(х) несумісне з поняттям х В(х)
тоді і тільки тоді, коли не існує такого «х», який одночас-
но належить і Wx A(x) і Wx B(x)».
Несумісні поняття можуть знаходитися у трьох
відношеннях:
а) протиріччя;
б) протилежності;
в) супідрядності.
У відношенні протиріччя знаходяться поняття,
зміст одного з яких повністю заперечує зміст іншого
поняття, а сума обсягів цих понять вичерпує обсяг ро-
дового поняття. Наприклад, «житель Києва» – «іного-
родній», «електропровідник» – «діелектрик», «повноліт-
ній» – «неповнолітній» тощо.
Схематично відношення протиріччя зображується так:
Wx
A
(x) Wx
A
(x)
Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
153
Так, зміст понять «повнолітній» х А(х) і «неповноліт-
ній» х
А(х) – повністю заперечують один одного, але у
сумі їх обсяги вичерпують обсяг родового поняття «вік лю-
дини» х С(х).
Протилежними називаються поняття, зміст яких
відрізняється вищою мірою. Це означає не тільки неспів-
падання їх обсягів, а й те, що у сумі вони не вичерпують
обсягу родового поняття.
Наприклад, «початок занять» – «кінець занять»,
«високий» – «низький» тощо.
Графічно це відношення фіксується схемою:
Wx
A
(x) Wx B(x)
Wx С(x)
Якщо взяти поняття «білий» х А(х) і «чорний» х В(х),
то їх зміст відрізняється вищою мірою (тобто, це крайні
види одного роду, але у сумі вони не вичерпують обсягу
родового поняття «колір» х С(х).
Якщо видові поняття одного роду не знаходяться ні
у відношенні протиріччя, ні у відношенні протилежно-
сті, то їм притаманне відношення супідрядності.
Наприклад, «метал» – «рідина», «університет» –
«консерваторія», «крадіжка» – «грабіж», «місто» – «се-
ло» тощо.
Схема цього відношення така:
Wx
A
(x)
Wx B(x)
Wx С(x)
Коли маємо поняття «поезія» х А(х) і «проза» х В(х), то
вони несумісні, але разом підпорядковуються поняттю
«жанри літературної творчості» х С(х).
А. Є. Конверський. ЛОГІКА
154
Загальна схема типології понять за логічними від-
ношеннями буде така:
НепорівнюваніПорівнювані
Поняття
Сумісні Несумісні
тотожності
підпорядкування
часткового
призначення
протиріччя
протилежності
супідрядності
Аналіз відношень між поняттями має важливе значен-
ня для дослідження логічної структури суджень і умови-
водів, у яких функціонують поняття. Обсягові та змістов-
ні відношення між поняттями виступають у структурі
суджень і умовиводів як відношення між дескриптивними
термінами, а також емпірично виражають смисл логічних
термінів: «всі», «деякі», «суть», «і», «або», «якщо, то»
тощо.
Знання відношень між поняттями дає можливість кра-
ще осягнути смисл логічних операцій над поняттями.
9. Логічні операції
над поняттями
Л о г і ч н о ю о п е р а ц і є ю над поняттями нази-
вається така дія, за допомогою якої з одних понять
отримують нові поняття.
До логічних операцій над поняттями відносяться:
а) обмеження і узагальнення понять;
б) операції над обсягами понять як множинами;
в) поділ понять;
г) визначення понять.
Традиційно прийнято вважати, що операції а, б, в є
власне операціями над обсягами понять, а операція г є
операцією, що розкриває зміст понять.
Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
155
а) Обмеження
і узагальнення понять
В основі операції обмеження і узагальнення понять ле-
жить залежність, яку фіксує закон оберненого відношення
між змістом і обсягом понять.
О б м е ж е н н я м поняття називається логічна
операція, яка полягає в переході від поняття з більшим
обсягом, але меншим змістом до поняття з більшим
змістом, але меншим обсягом. Наприклад, візьмемо по-
няття «людина» х А(х) і обмежимо його. Для цього послі-
довно збагачуємо його зміст новими ознаками: «поет» х
В(х), «український поет» х С(х), «український поет ХІХ
ст» х Д(х), «автор «Кобзаря» а.
Wx A(x)
Wx B(x)
Wx С(x)
Wx D(x)
a
Межею обмеження є одиничне поняття (у нашому випа-
дку поняття а – «автор «Кобзаря»).
У з а г а л ь н е н н я м поняття називається логіч-
на операція, за допомогою якої переходять від поняття
з більшим змістом, але меншим обсягом до поняття з
більшим обсягом, але меншим змістом.
У нашому випадку – це перехід від поняття а –
«автор «Кобзаря» до поняття х А(х) – «людина». Ме-
жею узагальнення є універсальне поняття, тобто понят-
тя, у якого область визначення предиката, що виражає
його (поняття) зміст, співпадає з областю істинності цьо-
го предиката.
А. Є. Конверський. ЛОГІКА
156
б) Операції над обсягами понять як множинами
Оскільки ми ототожнюємо обсяги понять з множинами,
то маємо право застосувати до них усі операції, що й до
множин:
доповнення, перетин, об’єднання, різницю.
Д о п о в н е н н я м обсягу поняття Wx A(x) назива-
ється обсяг нового поняття Wx
A(x), який складається
з тих елементів універсуму, які не належать Wx A(x).
Позначається ця операція символом (
).
Це визначення записується у вигляді рівності:
а) Wx
A(x) =
Df
Wx (x
∈ Wx A(x)).
Графічно операція доповнення зображується так:
І.
Wx
A
(x)
Wx A(x)
Якщо ми маємо обсяг поняття «киянин» Wx A(x), то
доповненням до нього буде обсяг поняття «іногородній»
WxA(x). Із схеми І очевидно, що будь-який елемент уні-
версального поняття належить або Wx A(x), або WxA(x).
П е р е т и н о м обсягів понять Wx A(x) і Wx B(x) є
обсяг нового поняття, який складається із усіх тих і
тільки тих елементів, які одночасно належать і Wx
A(x) і Wx B(x):
х ∈ (Wx A(x) ∩ Wx B(x)).
Позначається операція перетину так: Wx A(x) ∩ Wx
B(x) – читається: «перетин Wx A(x) і Wx B(x)».
Операцію перетину записують у вигляді рівності:
б) Wx A(x) ∩ Wx B(x) =
Df
Wx(x∈Wx A(x) &x ∈Wx B(x)).
Графічно операція перетину зображується схемою:
П.
Wx
A
(x)
Wx B(x)
U
Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
157
Відомо, що х ∈ Wx A(x) = A(x) і х ∈ Wx B(x) = В(х).
Коли зробити підстановку у б), то отримаємо:
в) Wx A(x) ∩ Wx B(x) = Wx (A(x) & B(x)).
Права частина рівності в) виражає обсяг нового поняття
х (А(х) & В(х)), яке змістом має складний предикат: (А(х)
& B(x)). Із схеми даної операції очевидно, що у результаті
перетину обсягів понять отримуємо найбільшу спільну ча-
стину обсягів, що перетинаються:
1. Wx A(x) ∩ Wx B(x) ⊂ Wx A(x).
2. Wx A(x) ∩ Wx B(x) ⊂ Wx B(x).
Оскільки у формулах 1, 2 – вирази до знаку включення
(⊂) є лівою стороною рівності в), то отримуємо:
3. Wx (A(x) & B(x)) ⊂ Wx A(x).
4. Wx (A(x) & B(x)) ⊂ Wx B(x).
Відповідно до закону оберненого відношення між зміс-
том і обсягом поняття отримуємо:
5. A(x) & B(x) ⊃ A(x).
6. A(x) & B(x) ⊃ B(x).
Вирази 5, 6 свідчать про те, що із змісту понять, обсяги
яких перетнулися, логічно випливає зміст кожного із по-
нять, що не перетинаються. Операцію перетину можна
здійснювати над сумісними поняттями.
Маємо тотожні поняття: «квадрат» х А(х) і «рівносто-
ронній прямокутник» х В(х). У результаті перетину отри-
муємо: «квадрат» або «рівносторонній прямокутник»:
Wx
A
(x), Wx B(x)
Візьмемо поняття, що знаходяться у відношенні частко-
вого співпадання: «поет» х Р(х) і «лауреат» хQ(x). Здійс-
нюючи над їх обсягами операцію перетину, отримуємо:
«людина, яка є і поетом, і лауреатом»:
Wx (
P
(x) & Wx Q(x)Wx Q(x) Wx
P
(x)
А. Є. Конверський. ЛОГІКА
158
Перетнемо підпорядковані поняття: «книга» х К(х) і «під-
ручник» х F(x). Отримаємо: «книга, яка є підручником».
Wx
K
(x)
Wx F(x)
Результат перетину несумісних понять дорівнює порож-
ній множині (∅), оскільки їх обсяги не мають спільних
елементів.
О б ‘є д н а н н я м обсягів понять Wx A(x) і Wx B(x)
є обсяг нового поняття, який складається із усіх тих і
тільки тих елементів, які належать хоча б одному із
обсягів Wx A(x) або Wx B(x):
x ∈ (Wx A(x) ∪ Wx B(x)).
Позначається операція об’єднання так:
Wx A(x) ∪ Wx B(x)
– читається: «об’єднання Wx A(x) ∪ Wx B(x)».
Записується операція об’єднання так:
а) Wx A(x) ∪ Wx B(x) = Wx (x ∈ Wx A(x) ∨ x ∈ Wx B(x)).
Графічно операція об’єднання зображується схемою:
Ш.
Wx
A
(x)
Wx B(x)
U
Метою операції об’єднання є виявлення усіх елементів
обсягів, що об’єднуються. У правій частині рівності а), яка
є новим обсягом зробимо підстановку:
б) Wx A(x) ∪ Wx B(x) = Wx (A(x) ∨ B(x))
Права частина рівності б) це новий обсяг нового поняття
х (А(х) ∨ В(х)), змістом якого є складний предикат
А(х) ∨ В(х).
Операцію об’єднання обсягів можна здійснювати над
сумісними і несумісними поняттями.
Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА
159
1. Часткове співпадання: наприклад, «юрист» х А(х) і
«депутат» х В(х). Результатом об’єднання є нове поняття
«або юрист, або депутат»:
Wx
A
(x)
Wx B(x)
2. Відношення тотожності: наприклад, «квадрат» х
А(х) і «прямокутний ромб» х В(х). Об’єднання тотожних
понять дасть нове поняття, яке за змістом співпадатиме з
одним із понять, що об’єднуються:
Wx
A
(x), Wx B(x)
3. Відношення підпорядкування: наприклад, «косміч-
ний об’єкт» х А(х) і «планета» х В(х). При об’єднанні
цих понять отримуємо нове поняття «космічний об’єкт»
(«космічний об’єкт» або «планета»):
Wx
A
(x)
Wx B(x)
4. Відношення протиріччя: Наприклад, «трикутник» х
А(х) і «не трикутник» хА(х). У результаті об’єднання цих
понять отримуємо нове поняття «геометрична фігура»:
Wx
A
(x)
Wx A(x)
А. Є. Конверський. ЛОГІКА
160
5. Відношення протилежності: наприклад, «дитина»
х А(х) і «людина похилого віку» х В(х). Результатом об’єд-
нання цих понять буде нове поняття «основні параметри
людського віку»:
Wx
A
(x) Wx B(x)
6. Відношення супідрядності: наприклад, «крадіжка»
х А(х) і «грабіж» х В(х). Об’єднавши ці поняття, отримує-
мо нове поняття «види злочинів»:
Wx
A
(x)
Wx B(x)
Отже, операції над обсягами понять (об’єднання і пе-
ретин) не треба ототожнювати з логічними відношеннями
між поняттями. Одну і ту саму операцію можна здійс-
нювати над поняттями, що знаходяться у різних від-
ношеннях. Логічні відношення між поняттями висту-
пають своєрідним емпіричним вихідним матеріалом
для операцій об’єднання і перетину.
Стосовно операції об’єднання треба мати на увазі, що її
результатом є знаходження найменшого обсягу (Wx A(x) ∪
Wx B(x)), частинами якого є обсяги Wx A(x) і Wx B(x).
З точки зору закону оберненого відношення зміст по-
нять, що об’єднуються, більш інформативний, ніж зміст
поняття, що є результатом об’єднання. Свідченням цього є
такі формули:
Wx A(x) ⊂ Wx A(x) ∪ Wx B(x)
Wx B(x) ⊂ Wx A(x) ∪ Wx B(x)
A(x) ⊃ (A(x) ∨ B(x)
B(x) ⊃ (A(x) ∨ B(x).
Різницею обсягів Wx A(x) і Wx B(x) називається обсяг
нового поняття, який складається із усіх тих і тільки
тих елементів обсягу Wx A(x), які не належать обсягу
Wx B(x).