Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

141

5. Обсяг поняття.

Елементи теорії множин

Зупинимося на другому елементові логічної структури

поняття, на обсязі поняття.

О б с я г о м поняття називається множина пред-

метів, кожен з яких є носієм ознак, що складають

зміст поняття.

Наприклад, до обсягу поняття «столиця» входять

предмети: «Київ», «Варшава», «Париж». Але до обсягу

цього поняття не ввійдуть предмети: «Харків», «Краків»,

«Нью-Йорк» тощо, тому що жоден з цих предметів не є но-

сієм ознаки «бути столичним містом».

Як ви звернули увагу, у самому визначенні обсягу по-

няття фігурує термін «множина». Справа у тому, що обся-

гом будь-якого поняття є деяка множина, а тому це дає

можливість вивчити природу обсягу поняття, змоделювати

його структурні, функціональні особливості на такому

об’єкті, як множина. Тобто, надалі для нас обсягом понят-

тя буде множина і ми будемо з нею поводитися як обсягом

конкретних понять. Така точка зору зумовлює необхідність

визначити такий об’єкт, як множина, і охарактеризувати

основні її ознаки.

М н о ж и н о ю називається будь-яка сукупність ви-

значених і розрізнюваних між собою об’єктів, мислимих

як єдине ціле. Множина – це абстракція, в якій кожний

предмет, що входить до неї, розглядається лише з точки

зору тієї ознаки, яка дозволила включити його до свого

складу. Тому предмети, що складають множину, не розріз-

нювані між собою (їм приписуються одні й ті самі ознаки).

Наприклад, множина книг, множина держав, множина

рослин тощо. Для кожного із предметів, що входять у пе-

рераховані множини, характерним є те, що для них усіх

притаманні ознаки, на основі яких утворені ці множини:

«бути книгою», «бути державою», «бути рослиною».

Можна сказати, що предмети, які входять до множини,

розрізняються між собою. Але це розрізнення один від од-

ного відбувається не за властивостями і відношеннями, а

за їх іменами. Так, у множині держав кожний із предметів

як носій ознаки «бути державою» не відрізняється від ін-

шого, але відрізняється як індивідуальність, як носій вла-

сного імені («Україна», «Франція», «Аргентина» тощо).

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

142

Предмети, що належать до певної множини, назива-

ються елементами. Позначають їх малими буквами ла-

тинського алфавіту –

а, в, с ...; х, у z ... (або а

, а

... х

, х

...).

Самі множини позначають великими буквами латинсь-

кого алфавіту –

А, В, С...; Х, Y, Z ... .

Множина, яка містить кінцеве число елементів, на-

зивається скінченною (наприклад, множина планет Со-

нячної системи; множина формально-логічних законів то-

що). А множина, яка має нескінченне число елементів,

називається нескінечною (наприклад, множина чисел,

множина зірок тощо).

Оскільки множини можуть складатися з об’єктів різно-

манітної природи, це визначає їх універсальний характер

і, як наслідок, дає можливість застосовувати в різноманіт-

них галузях (математиці, біології, лінгвістиці тощо), а не

тільки в логіці.

Між множиною та її елементом існує відношення нале-

жності. Належати до множини – це означає бути носі-

єм ознаки, на підставі якої ця множина утворена. Від-

ношення належності позначається знаком « ∈ ». Факт

належності елемента «х» до множини «А» записується

так: «х ∈ А». Факт неналежності елемента «х» до множи-

ни «А» має вигляд:

Ax ∈ » або « Ax ∉ ».

Якщо дві множини А і В складаються з одних і тих са-

мих елементів, то вони вважаються рівними: «А = В», а

якщо ні, то: «А ≠ В».

Існує два найуживаніших способи задання множин. Пер-

ший полягає у простому перерахуванні елементів, що скла-

дають дану множину. Наприклад, множина арифметичних

дій, множина планет Сонячної системи тощо. Відповідно

записується: А = {х

, х

, х.

}

, В = { х

, х

, ... х

Отже, цей спосіб ефективний, коли мають справу із

скінченними множинами. Коли ж розглядаються нескін-

ченні множини, той цей спосіб не підходить. У цих випа-

дках користуються іншим способом, який полягає у за-

данні множини через характеристичну властивість.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

143

Характеристичною називається властивість, яка на-

лежить будь-якому елементу даної множини, і не на-

лежить жодному предмету, що не входить до неї. За-

писується це так:

М = {х / А(х)}

– «множина усіх «х», що мають властивість «А».

Спеціально необхідно виділити універсальну множину,

тобто множину, яка складається із усіх елементів до-

сліджуваної предметної області. Позначається універса-

льна множина буквою «U», а графічно зображується мно-

жиною точок у середині прямокутника:

..........

U ............

Окрім універсальної множини виділяють порожню

множину, тобто множину, яка не містить жодного

елемента (наприклад, «дерево, яке проводить електрич-

ний струм», «метал, який легший повітря» тощо) . По-

значається порожня множина символом: ∅.

Будь-яку частину множини називають підмножиною.

Якщо універсальну множину задати характеристичною

властивістю Q:

U = {х / Q(х)},

то множини А, В, С ..., що є частинами універсальної

множини U, визначаються властивостями відповідно:

Q(а), Q(в), Q(с), ... .

Тоді підмножину «А» визначаємо:

А =

{х / х ∈ U i Qа (х)}

– читається: «А» за визначення є множиною усіх тих і

тільки тих «х», які належать до «U» і мають властивість

Q(a)». Наприклад, якщо «U» – множина всіх геометрич-

них фігур, «Q(a)» – «мати при перетині діагоналей прямі

кути», то «А» – множина квадратів.

Якщо властивості, якими задані деяка множина і її

підмножини співпадають, то ці множини будуть рівні.

У цьому випадку говорять, що множина є частиною самої

себе, або повною частиною. А у тому випадку, якщо влас-

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

144

тивість, якою задається деяка підмножина суперечить

властивості, за допомогою якої задана сама множина,

то така підмножина буде порожньою. Тому порожня

підмножина є частиною будь-якої множини, її ще назива-

ють «порожньою частиною».

Повна і порожня частини називаються невласними

підмножинами. Решта підмножин є власними.

За формулою 2

можна вирахувати кількість під-

множин будь-якої множини (2 вказує на кількість не-

власних підмножин: саму множину, як частину самої

себе; і порожню множину ∅), а n – число елементів, що

входить у множину. Наприклад, маємо множину «А» із

трьох елементів {1, 2, 3}. Застосуємо формулу 2

для ви-

значення кількості підмножин цієї множини: 2

= 8. За-

пишемо всі підмножини множини «А»:

{{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ∅}.

Між множинами існує відношення включення. Множина

«А» включена у множину «В» тоді і тільки тоді, коли кож-

ний елемент множини «А» є елементом множини «В». По-

значається відношення включення символом « ⊂ ». Запису-

ється факт включення «А» у «В» таким чином: «А ⊂ В».

При цьому «А» називається підмножиною, а «В» – над-

множиною.

Відношення включення буває двох видів:

а) включення в широкому смислі, і

б) включення у вузькому смислі.

«А» включається у «В» в широкому смислі тоді і тіль-

ки тоді, коли «А» включається у «В» і не виключено, що

«А = В». Ця ситуація записується так:

«А ⊆ В».

«А» включається у «В» в вузькому смислі, або суворо, тоді

і тільки тоді, коли «А ≠ В», (тобто у «В» існують елементи,

які не належать «А»). Записується це так: «А ⊂ В».

Як уже зазначалося, зміст поняття відображає власти-

вості предметів або відношення між ними. Коли предмет

позначити через «х», а його властивість через «Q», то об-

сягом поняття буде множина, кожний елемент якої, буду-

чи підставлений на місце «х» у формулі «Q(х)», даватиме

істинне судження.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

145

Наприклад, нехай у формулі «Q(х)» Q – представляє

властивість «бути планетою», тоді замість «х» можна

підставити імена предметів: «Земля», «Марс», «Юпітер»

тощо, і при цьому отримаємо істинні судження («Земля

– планета», «Марс – планета», «Юпітер – планета»

тощо).

Треба зауважити, що вираз «Q(х)» близький за смислом

до виразу «х ∈ Q». Так, коли говорять про властивість

«бути планетою», мають на увазі множину предметів,

кожному з яких притаманна ця властивість:

х ∈ Q

≡

Q (х)

– «х є елементом множини Q тоді і тільки тоді, коли

х має властивість Q». А оскільки обсяг поняття склада-

ють тільки ті предмети, яким належить ознака «Q(х)», то

справедливим буде твердження:

∀х (х ∈ Q)

≡

А(х)

– «кожний предмет такий, що коли він є елементом

обсягу поняття, то йому належить ознака, що складає

зміст цього поняття».

Якщо врахувати все це і звернутися до понятійної фун-

кції, то стає очевидним, що обсягом поняття є значення

понятійної функції:

Значення Функція Аргументи

{a, b, …, n} x Q(x) Q(a), Q(b), …, Q(n)

Аргументами понятійної функції будуть істинні вислов-

лювання: Q(a), Q(в), ... Q(n), а значенням – область істин-

ності предикату «Q(х)», або обсяг поняття. Тоді обсяг, як

значення понятійної функції, можна записати у вигляді

формули: W х Q(х), де W – перевернуте М – оператор

утворення множини.

Відповідно синтаксис поняття можна зафіксувати так:

– х Q(х) – об’єкт думки в понятті;

– Q(х) – зміст поняття;

– W х Q(х) – обсяг поняття.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

146

6. Закон оберненого відношення

між змістом та обсягом поняття

Оскільки обсяги понять – це множини, то усі відно-

шення між множинами і операції над ними можна засто-

сувати до обсягів понять. Наприклад, візьмемо поняття

«підручник» – х А(х) і поняття «книга» – х В(х).

Між обсягами цих понять існує відношення вклю-

чення:

1. W х А(х) ⊂ W х В(х) = ∀ х (х ∈ Wх А(х) ⊃ х ∈ Wх В(х)) –

«Якщо обсяг поняття х А(х) включається до обсягу

поняття х В(х), то для будь-якого предмета «х» вірно,

що коли «х» є елемент обсягу поняття х А(х), то він

також є елементом обсягу поняття х В(х).

З попередньої характеристики обсягу поняття відомо,

що коли предмет «х» є елементом обсягу поняття х А(х),

то він є носієм змісту поняття х А(х).

Отже справедливою є рівність:

2. х ∈ Wх А(х) = А(х).

У такому разі рівність 1 буде мати вигляд:

3. W х А(х) ⊂ Wх В(х) = ∀ х (А(х) ⊃ В(х)).

Рівність 3 є формулою закону оберненого відношення

між обсягом і змістом поняття. Ліва сторона цієї рівно-

сті –

(Wх А(х) ⊂ Wх В(х))

представляє відношення між обсягами понять Wх А(х) і

Wх В(х), а права

(А(х) ⊃ В(х))

– відношення між змістами цих понять.

Сам закон читається так: «Якщо обсяг одного поняття

повністю включається до обсягу іншого поняття, то із

змісту поняття, що включається, логічно випливає

зміст поняття, що включає».

Іншими словами, цей закон вказує на те, що чим біль-

ший зміст поняття, тим вужчий обсяг цього поняття. І на-

впаки, чим вужчий зміст поняття, тим ширший обсяг да-

ного поняттям.

Наприклад, візьмемо поняття «держава» – обсяг цього

поняття досить широкий, оскільки включає у себе весь

клас держав, додамо до нього більше змісту і отримаємо

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

147

поняття «європейська держава», тобто ми збільшили зміст

поняття «держава», але цим самим обсяг його зменшили.

Таким же чином цей закон діє і у зворотньому порядку.

7. Види понять

Після аналізу логічної структури поняття буде дореч-

ним розглянути види понять. Всю множину понять можна

розбити на декілька підмножин:

 за кількістю елементів обсягу;

 за характером елементів обсягу;

 за типом елементів обсягу;

 за характером ознак, що складають зміст по-

няття.

За кількістю елементів обсягу поняття поділяються

на пусті (нульові) і непусті. Непусті поділяються на

одиничні і загальні.

П у с т и м називається поняття, у обсязі якого не-

має жодного елемента. Наприклад, «кентавр», «вічний

двигун», «абсолютно тверде тіло» тощо.

Пустота поняття може бути зумовлена двома обставинами:

а) фактичною хибністю змісту поняття;

б) логічною хибністю змісту поняття.

Розглянемо по черзі. Якщо ознаки, що складають

зміст поняття такі, що не можуть належати пред-

метам, які узагальнюються у понятті, то отримують

пусте поняття першого роду. Наприклад, «житель Мі-

сяця», «електропровідне дерево» тощо.

Якщо ж між ознаками, що складають зміст понят-

тя, має місце відношення логічного протиріччя, тоді це

пусте поняття другого роду. Наприклад, «житель Киє-

ва, який ніколи не жив у Києві», «круглий квадрат» тощо.

Мовою символів структуру такого поняття можна записати

таким способом:

х (А(х) &



А(х)).

Серед непустих понять виділяють одиничні і загальні.

О д и н и ч н и м називається поняття, у обсязі яко-

го узагальнюється один предмет. Наприклад, «заснов-

ник логіки», «столиця Франції» тощо.

У одиничному понятті (як і у загальному) виділяють

клас предметів, хоча цей клас складається лише із одного

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

148

елемента. Одиничні поняття є основою утворення описових

власних імен за допомогою



-оператора і

– оператора

(операторів визначеної і невизначеної дескрипції).

З а г а л ь н и м називається поняття, у обсязі яко-

го узагальнюється більше ніж один предмет. Напри-

клад, «столиця», «підручник», «трикутник» тощо.

За характером елементів обсягу поняття поділяються

на збірні і незбірні.

З б і р н и м називається поняття, у обсязі якого

узагальнюються не окремі предмети, а деякі множини,

що мисляться як окремі предмети. Наприклад, «колек-

тив», «сузір’я», «список студентів», «бібліотека», «ліс»

тощо. Елементами обсягу збірного поняття «сузір’я» є не

окремі предмети (зірки), а одиничні множини: «сузір’я Ле-

ва», «сузір’я Рака» тощо.

Н е з б і р н и м називається поняття, у обсязі яко-

го узагальнюються окремі предмети. Наприклад, «зір-

ка», «студент», «трикутник» тощо.

Збірні поняття можуть бути одиничними («наукова біб-

ліотека Київського університету імені Т. Шевченка»,

«Голосіївський ліс» тощо) і загальними («футбольна ко-

манда», «студентська група» тощо).

Треба мати на увазі, що збірними і незбірними, як і одини-

чними та загальними, можуть бути тільки непусті поняття.

За типом елементів обсягу розрізняють конкретні і

абстрактні поняття.

К о н к р е т н и м називається поняття, у обсязі яко-

го узагальнюються предмети або їх упорядковані сукуп-

ності. Наприклад, «книги», «рослина», «сучасник» тощо.

А б с т р а к т н и м називається поняття, у обсязі

якого узагальнюються властивості предметів. Напри-

клад, «талант», «успішність», «одночасність» тощо.

За характером ознак, що складають зміст поняття,

виділяють позитивні та негативні, співвідносні та без-

відносні поняття.

П о з и т и в н и м називається поняття, зміст

якого складається із позитивних ознак, або у назві яко-

го є вказівка на наявність певної ознаки у предмета.

Наприклад, «старанний студент», «успішність», «прові-

дник електричного струму», «історизм» тощо.

Н е г а т и в н и м називається поняття, у змісті

якого є негативні ознаки, або в назві якого міститься

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

149

вказівка на відсутність якоїсь ознаки у предмета. На-

приклад, «антиісторизм», «безвідповідальність», «іного-

родній» тощо.

С п і в в і д н о с н и м називається поняття, зміст

якого не має автономного смислу, тобто зміст якого є

осмисленим тоді і тільки тоді, коли воно похідне відно-

сно будь-якого іншого поняття. Наприклад, «кінець за-

нять» – «початок занять», «батьки» – «діти», «при-

чина» – «наслідок», «учитель» – «учень» тощо.

Б е з в і д н о с н и м и називаються поняття, зміст

яких має самостійний автономний смисл. Наприклад,

«геометрична фігура», «університет», «злочин» тощо.

Таким чином, поділ понять за кількістю елементів обся-

гу і за характером елементів обсягу називають екстенсіо-

нальним. У літературі цей поділ іноді називають «види

понять за обсягом». А поділ понять за типом елементів

обсягу і за характером ознак, що складають зміст поняття,

називають інтенсіональним. У підручниках з логіки його

іноді називають «поділом понять за змістом».

Але оскільки зміст і обсяг поняття взаємозв’язані (що

знайшло своє відображення у законі оберненого відношен-

ня між змістом та обсягом поняття), то типологія понять

за обсягом чи за змістом у значній мірі є умовною. Визна-

чення виду поняття завжди передбачає урахування обсяго-

вих і змістовних характеристик. Треба мати на увазі, що

підстави поділу понять на види не виключають одна одну.

Тому коли здійснюють логічну характеристику поняття, то

враховують кожну із чотирьох підстав.

Дати логічну характеристику поняття означає ви-

значити до яких видів належить певне поняття. На-

приклад, необхідно дати логічну характеристику поняття

«книга». Для цього необхідно співставити це поняття із

кожною з чотирьох підстав. Отже, дане поняття – 1) за-

гальне, 2) незбірне, 3) конкретне, 4) безвідносне.

8. Логічні відношення між поняттями

З’ясувавши види понять, перейдемо до характеристики

логічних відношень між поняттями.

Л о г і ч н и м в і д н о ш е н н я м між поняттями

називають основні типи відношень між структурними

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

150

елементами понять, тобто відношення між змістом і

обсягом.

Виходячи з цього визначення, поняття поділяють на

порівнювані і непорівнювані.

П о р і в н ю в а н и м и називають поняття, які

мають спільну родову ознаку або спільне родове по-

няття. Наприклад, «автомобіль» і «літак», «підручник»

і «словник», «лекція» і «семінар» тощо.

Н е п о р і в н ю в а н и м и називаються поняття,

які не мають спільного родового поняття. Наприклад,

«трикутник», «злочин», «поезія», «ріка», «дім», «успіш-

ність» тощо.

Порівнювані поняття поділяють на сумісні і несумісні.

С у м і с н и м и називають поняття, видові ознаки

яких забезпечують повне або часткове співпадання їх

обсягів. Наприклад, «юрист – депутат», «книга – під-

ручник» тощо.

х А(х) сумісне з х В(х) =

∃ х (х ∈ Wx A(x) & x ∈ Wx

B(x)) – читається: «Поняття х А(х) сумісне з поняттям

х В(х) тоді і тільки тоді, коли існує хоча б один спільний

елемент у їх обсягах».

Між сумісними поняттями існує три види відно-

шень:

а) відношення тотожності (рівнозначності або пов-

ного співпадання);

б) відношення підпорядкування;

в) відношення часткового співпадання.

У відношенні тотожності знаходяться поняття, об-

сяги яких повністю співпадають. Тотожні поняття – це

різні знакові вирази, які мають різний смисл, але однако-

вий денотат. Наприклад, «квадрат» і «ромб, у якого всі

кути прямі», «столиця України» і «місто, в якому роз-

ташований університет імені Тараса Шевченка» тощо.

Тотожні поняття не треба плутати з абсолютними сино-

німами (тобто, знаками, що мають однаковий смисл і од-

наковий денотат). Тобто, абсолютні синоніми – це різні

слова, що виражають одне поняття (смисл). Наприклад,

«бегемот» – «гіпопотам», «лінгвістика» – «мовознавс-

тво» тощо.

х А(х) тотожне з х В(х) = ∀х (х ∈ Wx A(x) ⊃ x ∈ Wx

B(x)) & ∀x (x ∈ Wx B(x) ⊃ x ∈ Wx A(x)) – тобто, «поняття

х А(х) тотожне з поняттям х В(х) тоді і тільки тоді, коли