Конверський А. Є. Логіка (традиційна та сучасна)

Подождите немного. Документ загружается.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

161

Позначається операція різниці обсягів так:

«Wx A(x) ∩ Wx



B(x)» або

«Wx A(x) | Wx B(x)», або

«Wx A(x) – Wx B(x)».

Записується операція різниці обсягів так:

Wx A(x) ∩ Wx



B(x) =

Wx (х ∈Wx A(x) & x



∈ Wx B(x)).

Графічно зображується у вигляді такої схеми:

(x)

Wx B(x)

Якщо візьмемо поняття «студент» х S(x), «відмінник»

х V(x), і здійснимо різницю їх обсягів, то матимемо:

Wx S(x) ∩ Wx



V(x) =

= Wx (x ∈ Wx S(x) & x ∈ Wx V(x)),

тобто ми отримали обсяг нового поняття – х (S(x) &



V(x))

– «студент, який не є відмінником».

Різниця двох множин може бути пустою і непустою.

Візьмемо два поняття «дерево» х D(х) і «рослина» х R(x)

запишемо різницю їх обсягів:

Wx D(x) ∩ WxR(x) = Wx (x ∈ Wx D(x) & x∈ Wx R(x))

Права сторона рівності – обсяг нового поняття Wx

(D(x) &



R(x)) : «дерево, яке не є рослиною», тобто результа-

том різниці є пусте поняття. Але різницю обсягів можна

записати по-іншому:

Wx D(x) ∩ Wx



R(x) = Wx (x ∈ Wx D(x) & x



∈ Wx R(x)).

Тепер права сторона рівності є обсягом не пустого по-

няття: x (



D(x) & R(x)) – «рослина, яка не є деревом».

Екстраполяція операцій над множинами, на обсяги по-

нять, а також аналіз цієї екстраполяції дав змогу глибше

осягнути, що в основі формування знакових синтаксичних

засобів логіки лежать теоретико-множинні уявлення.

Коли ми інтерпретуємо множини як обсяги понять і ста-

вимо їм у відповідність зміст понять у вигляді предикатів, і

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

162

коли ми інтерпретуємо теоретико-множинні операції як ло-

гічні, то маємо можливість прослідкувати історичні корені

походження тих синтаксичних засобів, які зараз широко за-

стосовуються для аналізу традиційних проблем логіки.

в) Поділ поняття та правила поділу

Розглянемо тепер наступну операцію – поділ поняття.

П о д і л о м понять називають логічну операцію, за

допомогою якої розкривають обсяг поняття. Розкрити

обсяг поняття можна шляхом перерахування його елемен-

тів, які є носіями тих ознак, що складають зміст даного

поняття. Це можна зробити стосовно понять: «планета

Сонячної системи», «арифметична дія», «логічні операції

над поняттями» тощо. Тобто, логічна операція поділу по-

нять застосовується стосовно понять із скінченною кількіс-

тю елементів обсягу. Але у тих випадках, коли кількість

елементів обсягу досить велика або нескінченна, такий

спосіб є мало ефективним.

Тут треба йти шляхом розподілу обсягу поняття на види.

Тобто, через групування індивідів за відповідними видами.

Структура операції поділу складається із:

 діленого поняття;

 членів поділу;

 підстави поділу.

Д і л е н и м називається поняття, обсяг якого по-

трібно розкрити.

Ч л е н а м и поділу називають видові поняття, на

які розбивають обсяг діленого поняття.

П і д с т а в о ю поділу називають ознаку, за якою

виділяються члени поділу.

Наприклад, візьмемо поняття «студент» і здійснимо

над ним операцію поділу поняття: студенти бувають

денної форми навчання, заочної та вечірньої. Тут діленим

є поняття «студент», членами поділу : студент заочної

форми навчання, студент вечірньої форми навчання, сту-

дент денної форми навчання; піставою поділу є видова

ознака – «форма навчання».

Розрізняють два види поділу понять:

а) поділ за видозмінюваною ознакою,

б) дихотомічний поділ.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

163

Поділом за в и д о з м і н ю в а н о ю ознакою нази-

вають такий вид поділу, за допомогою якого розбива-

ють ділене поняття на види на підставі специфічного

прояву ознаки у різних видах діленого поняття. Напри-

клад, «науки бувають гуманітарні, природничі, техніч-

ні». Тут кожному із членів поділу специфікується ознака

«предмет науки».

Назва дихотомічний поділ походить від грецького слова

«дихотомія», що означає: «розсікати на дві частини».

Д и х о т о м і ч н и м називається поділ, за допомо-

гою якого ділене поняття розбивають на два супереч-

ливі поняття.

Наприклад, «студенти бувають здібні і нездібні», «ви-

роки бувають обгрунтовані і необгрунтовані», «книжки

бувають художні і нехудожні» тощо.

Схематично цю операцію можна записати так:







aне

Операція поділу поняття підпорядковується спеціа-

льним правилам.

1. Поділ поняття повинен бути співмірним. Тобто

сума обсягів членів поділу повинна вичерпувати обсяг ді-

леного поняття. Порушення цього правила призводить до

помилок, які називаються «занадто вузький поділ» і «за-

надто широкий поділ».

Суть помилки «занадто вузький поділ» полягає у тому,

що не всі члени поділу знайдені. Наприклад, «арифметич-

ні дії» – це «додавання», «віднімання» і «ділення». Тут

пропущений четвертий член поділу – «множення». При-

кладом помилки «занадто широкий поділ» може бути:

«рослини – це дерева, квіти, трави, кущі і газон». Тут

поняття «газон» не є видовим поняттям діленого поняття.

2. Поділ слід здійснювати за однією підставою. По-

рушення цього правила веде до помилки «підміна підста-

ви поділу». Наприклад, «міжнародні угоди бувають спра-

ведливими, несправедливими, усними і письмовими». Тут

використано одночасно дві підстави поділу:

1) рівноправність і нерівноправність;

2) форма складання договорів.

3. Члени поділу повинні виключати один одного. Це

правило випливає із другого правила. Наприклад, «війни

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

164

бувають справедливі, несправедливі і визвольні». Поняття

«визвольна війна» входить до обсягу поняття «справедлива

війна», тому даний поділ є помилковим.

4. Поділ повинен бути послідовним, тобто, члени по-

ділу повинні бути однопорядковими видами. Порушен-

ня цього правила веде до помилки, яка називається

«стрибок у поділі». Наприклад, «науки бувають приро-

дничі, гуманітарні, технічні і біологічні». Тут члени по-

ділу «природничі науки» і «біологічні науки» не є одно-

порядковими.

Логічну операцію поділ поняття треба відрізняти від

процедур подібних до поділу понять.

Це такі процедури, як класифікація і поділ цілого на

частини.

К л а с и ф і к а ц і є ю називається систематизація

предметів на основі угоди чи певних практичних мірку-

вань і на основі ознак, що випливають із природи сис-

тематизованих предметів.

Класифікацію, яка передбачає систематизацію пред-

метів на основі угоди чи практичних міркувань, нази-

вають д о п о м і ж н о ю.

Наприклад, список групи студентів за алфавітом.

Класифікацію, у основі якої при систематизації

предметів лежать ознаки, що випливають із природи

цих предметів, називають природною. Прикладом, може

бути «періодична таблиця хімічних елементів Д. Менде-

лєєва». Тут за основу класифікації взята об’єктивна залеж-

ність між валентністю і вагою хімічних елементів. У цій

класифікації кожний предмет має чітко визначене цією

залежністю місце і поміняти місцями H з Cl чи Ft з Fе

неможливо.

Поділ цілого на частини полягає у мисленному роз-

членуванні цілого на частин.

Наприклад, «рік складається з січня, лютого, березня

тощо». Тут маємо не поділ поняття, а розчленування ціло-

го на частини. Справа у тому, що будь-який член поділу

має ознаку діленого поняття. Частина ж не є носієм озна-

ки цілого, оскільки між частиною і цілим відсутній родо-

видовий зв’язок. Наприклад, побудуємо судження: «Січень

є рік» – отримали хибне висловлювання, як свідчення то-

го, що будь-якій частині року (в даному випадку місяцю)

не притаманна ознака цілого.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

165

г) Визначення поняття

та правила визначення

В и з н а ч е н н я м поняття називається логічна

операція, яка розкриває зміст поняття. Адекватніше

операцію визначення можна сформулювати ще й так: «Ви-

значенням називається логічна процедура, за допомо-

гою якої відшукується, будується який-небудь предмет,

відрізняється від інших, а також формується значення

вперше вживаного терміна чи уточнюються значення

уже існуючого терміна».

Назва операції визначення походить від латинського

слова – definitio, дефініція. Тому часто замість назви «ви-

значення» вживають слово «дефініція».

За своєю структурою операція визначення склада-

ється із:

 визначуваного і

 визначуючого.

Наприклад, «дім є будівля, яка пристосована для по-

стійного проживання». У цьому визначенні поняття «дім»

є визначуваним, тобто поняттям, зміст якого розкриваєть-

ся, або definiendum (дефінієндум), і позначається символом

«Dfd».

Та частина визначення, яка виражає способи отото-

жнення, розрізнення, виділення, конструювання об’єк-

тів думки (у нашому випадку – «будівля, що пристосо-

вана для постійного житла») називається визначаючим.

Називають її definiens (дефінієнс) і позначають символом

«Dfn».

Операцію визначення поняття можна аналізувати в

трьох площинах:

1) семантичній,

2) синтаксичній,

3) прагматичній.

З позицій логічної семантики дефініція є операцією,

за допомогою якої розкривається або смисл, або денотат

«визначуваного терміна» (Dfd) через смисл чи денотат «ви-

значуючого терміна» (Dfn).

Наприклад, у визначенні «Планета – це космічний

об’єкт, який рухається по еліптичній орбіті навколо Со-

нця і має природний супутник» – Dfn репрезентує собою

смисл, інформацію, зафіксовану у Dfd. А у визначенні

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

166

«Планети – це Земля, Марс, Юпітер, Меркурій» – Dfn

репрезентує денотат, тобто ті об’єкти, до яких відноситься

визначуваний термін.

Треба зауважити, що у Dfn виражається конкретний

смисл або конкретне значення Dfd, а не логічний смисл і

значення Dfd. Це зумовлено тим, що тип логічного значення

і смислу Dfd визначається тією семантичною категорією, до

якої належить Dfd. Відомо, що Dfd може бути представлений

або термом, або предикатором, або висловлюванням.

Якщо подивитися з цієї точки зору на наведені приклади

визначень, то у них Dfd відноситься до категорії предикато-

рів. Можна ще сказати, що із позиції логічної семантики ви-

значення є, по суті, операцією за допомогою якої детерміну-

ються смисл і денотат визначуваного терміна шляхом спів-

ставлення їх із смислом і денотатом визначуючого терміна.

З точки зору логічного синтаксису дефініція (Df)

складається з двох термінів і може бути виражена фо-

рмулою: Dfd =

Dfn. Знак рівності (=) у цій формулі

означає можливість взаємозамінювання Dfd i Dfn.

Факт взаємозамінювання фіксується двома прави-

лами:

1. Правило введення Dfd:

Dfd

Dfn

2. Правило усунення Dfd: .

Dfn

Dfd

Ці правила фіксують те, що з синтаксичної точки зору

дефініція є способом ототожнення двох термінів «визначу-

ваного» (Dfd) і «визначуючого» (Dfn), завдяки чому стає

можливим їх взаємозаміна у тих контекстах, де вони фігу-

рують.

З точки зору логічної прагматики дефініції дослі-

джуються з боку їх ролі у комунікативних процесах.

Відомо, що у процесі інформаційної комунікації дефініції

вносять зміни до наявного фонду комунікантів або тієї мо-

ви, у контекстах якої ці дефініції фігурують.

Ці зміни стосуються по-перше, встановлення відношен-

ня синонімії між Df, які уже є в інформаційному фонді,

по-друге, уточнення або видозмінення усталеного смислу

чи значення терміна, по-третє, введення принципово но-

вого значення і смислу для термінів.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

167

Види дефініцій

У формулюванні визначення як логічної операції (яке

наводилось вище) можна виділити два основних завдання,

які вирішує ця операція:

по-перше, відшукує, будує який-небудь предмет, вирі-

зняє його серед інших предметів;

по-друге, формує значення для терміна, який вво-

диться вперше у комунікативний процес або уточнює

значення уже вживаного терміна.

Залежно від цих завдань усю множину дефініцій поді-

ляють на дві підмножини:

а) реальні дефініції і

б) номінальні дефініції.

Р е а л ь н о ю дефініцією називається визначення,

яке ототожнює, розрізняє, будує, виділяє предмет. Ін-

шими словами, реальна дефініція визначає предмет.

Н о м і н а л ь н о ю дефініцією називається визна-

чення, за допомогою якого розкривається, уточнюєть-

ся, вводиться значення термінів. Назва номінального ви-

значення походить від латинського слова – nomina (ім’я).

Як уже зазначалося, визначення – це детермінація

смислу і значення одного терміна Dfd через смисл і зна-

чення другого терміна Dfn. Хоча кажуть, що визначення

(реальне) як логічна операція розкриває предмет, але усві-

домлюють те, що Dfd – це завжди термін, тобто послідов-

ність знаків (природної чи штучної мови).

Тому, незважаючи на розподіл всієї множини дефініцій

на реальні і номінальні стосовно тих завдань, які ці дефі-

ніції вирішують, до поділу дефініцій на реальні і номіна-

льні можна підійти ще й з того боку, яку функцію виконує

у дефініції Dfd як знакове утворення.

Dfd як знак може виконувати дві функції:

а) репрезентативну (тобто представляти об’єкти

позамовного характеру);

б) номінативну (тобто функцію іменування або зга-

дування).

Якщо Dfd виконує репрезентативну функцію, то ма-

ють реальне визначення, а якщо номінативну функцію,

то – номінальне визначення. Оскільки у реальному ви-

значенні Dfd представляє об’єкти позамовного характеру,

то тут Dfd належить до виразів об’єктної мови. Фактично у

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

168

реальних дефініціях Dfd виконує роль замінника того

об’єкта, який він представляє як знак. У цьому розумінні

цілком справедливо визначати пізнавальну мету реальних

дефініцій як таку, що визначає предмети і явища дійснос-

ті, які зафіксовані у Dfd. Ця обставина зумовлює те, що у

формулі дефініції Dfd не береться у лапки

Dfd =

Dfn.

Виходить, у реальних дефініціях Dfd не може належати

до категорії термів (імен: індивідів, властивостей, відно-

шень, класів, висловлювань). А оскільки відомо, що у ролі

логічного присудка може вживатися тільки предикатор

(загальне ім’я або висловлювання), то і Dfn теж не може

належати до категорії термів. Наприклад,

1. Париж – столиця Франції.

2. Столиця Франції – Париж.

3. Планети Сонячної системи – це космічні тіла, які

обертаються навколо Сонця.

4. Лінія є діаметром тоді і тільки тоді, коли це відрі-

зок прямої, що проходить через центр кола.

У прикладах 1, 2, 3 Dfd належить до категорії предика-

торів, а у прикладі 4 – до категорії висловлювань. Dfd у 1

і 2 прикладах представляють одиничні класи, а не окремі

елементи. Отже, взаємозамінюваність Dfd на Dfn у реаль-

них дефініціях означає, що вони тотожні як об’єкти однієї

семантичної категорії (предикатори).

Як уже зазначалося, у номінальних дефініціях Dfd

вживається у функції іменування. А це означає, що у цих

дефініціях Dfd належить до метамови. Якщо у реальних

дефініціях Dfd – у функції репрезентації говорить про

предмет, то у номінальних дефініціях Dfd у функції імену-

вання говорить про слово. Наприклад:

1. «Париж» – складається із п’яти букв.

2. Слово «Париж» – чоловічого роду.

3. «Марс» – термін, який позначає планету Сонячної

системи.

4. Вираз «автор Кобзаря» – описове ім’я.

Очевидно, що у наведених прикладах Dfd у номінальних

дефініціях завжди є термом, а Dfn може бути у репрезе-

нтативній функції:

Як відомо, у лапки беруться терми, власні імена.

Книга перша. ТРАДИЦІЙНА ЛОГІКА

169

1. «Dfd» =

«Dfn»

2. «Dfd» =

Dfn.

Перша формула відповідає дефініції: «Борисфен» озна-

чає те ж саме, що і «Дніпро». Друга – відповідає дефіні-

ції: «Словом «геометрична фігура» називають трикутни-

ки, квадрати, трапеції тощо».

Після загальних зауважень щодо поділу дефініцій на

реальні і номінальні розглянемо конкретні види реальних і

номінальних визначень.

До реальних визначень належать:

1. Визначення через рід і найближчу видову відмін-

ність.

2. Визначення через вказівку на протилежність.

3. Генетичне визначення.

4. Операціональне визначення.

5. Індуктивне визначення.

Суть дефініції через рід і видову відмінність полягає в

тому, що спочатку знаходять найближче родове по-

няття для Dfd, а потім перераховують характерні ви-

дові відмінності.

Наприклад, «Барометр – це прилад, що слугує для ви-

міру атмосферного тиску»; «Республіка – це форма прав-

ління, при якій всі вищі органи державної влади вибира-

ються народом або формуються загальнонаціональними

представницькими установами»; «Автократія – це мона-

рхія, в якій відсутні справжні представницькі установи».

Якщо потрібно дати визначення універсальним понят-

тям, а саме категоріям філософії, то тут дефініція через

рід і видову відмінність малоефективна. У цих випадках

застосовують дефініцію через вказівку на протилеж-

ність. Наприклад, «Випадковість – це форма прояву і

доповненння необхідності».

Наступним видом реального визначення є генетична де-

фініція. Г е н е т и ч н и м визначенням називається

така реальна дефініція, у якій фіксуються способи по-

ходження і побудови визначуваного предмета. Генетичні

дефініції широко застосовуються у математиці, фізиці, хі-

мії тощо. Наприклад, «Коло – це частина площини, об-

меженої замкненою лінією, яку отримують у результаті

руху точки на цій площині на однаковій відстані від

центру»; «Куля – це тіло, яке утворюється обертанням

півкола навколо діаметра» тощо.

А. Є. Конверський. ЛОГІКА

170

Широко розповсюдженою є операціональна дефініція.

О п е р а ц і о н а л ь н и м визначенням називається

такий вид реальної дефініції, який полягає у описові

специфічних експериментальних операцій для знахо-

дження тих чи інших об’єктів. Наприклад, «Луг – це

хімічна речовина, яка зафарбовує лакмусовий папірець у

синій колір»; «Ять-мідянка – зелена фарба, яка отриму-

ється шляхом окислення міді».

До реальних дефініцій належить індуктивне визначення.

Індуктивним визначенням є процедура, яка перед-

бачає:

1) явну вказівку на вихідні елементи (вони або повні-

стю перераховуються, або дається критерій, за яким

можна виділити їх із певної множини);

2) правила утворення із вихідних елементів похідних;

3) обмеження, яке вказує, що окрім наведених в 1 і

утворених відповідно до 2 немає ніяких інших, які б на-

лежали множині, що визначається.

Візьмемо для прикладу дефініцію формули у мові кла-

сичної логіки висловлювань:

1. Будь-яка пропозиційна змінна (p, q, r) є формулою.

2. Якщо р – формула, то



р теж формула.

3. Якщо p i q формули, то вираз (p & q), (p ∨ q), (p ⊃ q),

(p ↔ q) теж формули.

4. Ніщо крім виразів, перерахованих в 1, 2, 3, не є фо-

рмулою у мові класичного числення висловлювань.

Номінальні дефініції поділяються на синтаксичні і

семантичні, а семантичні – на аналітичні і син-

тетичні.

С и н т а к с и ч н и м називається визначення, у

якому вказується, як можна замінити знаки або їх спо-

лучення іншими (як правило коротшими), не звертаючи

уваги на їх значення. Синтаксичним визначенням буде

дефініція операції об’єднання множин:

A ∪ B =



x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Таким же способом можемо визначити число «0». «0» –

це таке число, яке після перемноження його з будь-яким

числом «n» дає 0, тобто відповідає рівності 0 × n = 0».

Граматичні знаки, коми, крапки, дужки тощо також

визначаються синтаксично.