Комаров Ю.Ю. Проектирование и изготовление аэрокосмических аппаратов

Подождите немного. Документ загружается.

(14)

(15)

Поскольку площадь

связана с монотонным преобразованием, мини-

мизация

эквивалентна минимизации . Поэтому задача стохастического

программирования (2)–(6) с вероятностным ограничением эквивалентна

задаче квантильной оптимизации

(16)

где

– функция квантили уровня для функции потерь

3. Минимаксная аппроксимация. Известно [2], что в гауссовском слу-

чае использование доверительного эллипсоида

(17)

где

определяется по из условия , позволяет

построить достаточно точную верхнюю границу, а именно

(18)

для функции квантили.

Поэтому задача (16) может быть аппроксимирована детерминированной

задачей математического программирования

(19)

которая с учетом (18) имеет минимаксную структуру.

Решение минимаксной задачи. Задача (19) решается с использовани-

ем кусочной линейности функции потерь. В связи с перестановочностью

функции максимума, сначала ищем максимум по доверительному эллип-

соиду каждой из функций

, , [4]. За-

тем сравниваем эти функции по переменным

и , и строим кусочно-

линейную функцию

, которую впоследствии минимизиру-

ем по переменным

и .

Для упрощения формул введем следующие обозначения:

(20)

261

(21)

(22)

Проанализировав структуру этих функций, приходим к выводу, что их

минимум достигается в точках пересечения функций:

, ,

соответственно. Таким образом, получим

При

Переход к исходным переменным. Перейдем к исходным параметрам

. В зависимости от знака параметра получим следующие вы-

ражения.

При

При :

Заключение. В работе предложено аналитическое решение задачи оп-

тимизации площади ВПП. Получены различные решения в зависимости от

значений параметра

. Проанализировав полученные результаты, можно

сделать вывод, что при

запас на случай недолета и запас на случай

перелета нужно положить одинаковыми,а при

, отличном от нуля, эти

величины зависят от параметров распределения случайных величин (ско-

рости ветра). При нулевом математическом ожидании они зависят только

от дисперсии скорости ветра.

262

Библиографический список

1. Кибзун А. И., Курбаковский В. Ю. Численные алгоритмы квантильной оптимизации

и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями // Из. АН

СССР. Техн. киберн. 1992. №1. Сс. 75–81.

2. Kibzun A. I., Kan Yu. S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile

Functions. Chichester (UK). Wiley, 1996.

3. Малышев В. В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летатель-

ными аппаратами. – М.: Машиностроение, 1987.

4. Пантелеев А. В., Летова Т. А. Методы оптимизации в примерах и задачах. – М.:

Высшая школа, 2002.

С. А. Фатеев, А. А. Пунтус, Ю. Ю. Комаров

Московский авиационный институт (государственный технический университет)

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

СТАТИСТИЧЕСКИ–ВЕРОЯТНОСТНЫМ МЕТОДОМ

В процессах производства, в том числе в производстве отдельных дета-

лей для авиационной промышленности, огромную роль играет так называ-

емая первая (пробная) партия товара. В этой пробной партии необходимо

всячески оптимизировать брак продукции, рассчитать наиболее эффектив-

ную дальнейшую стратегию производства. В данной работе предложен

метод, позволяющий дать математически обоснованное заключение о ха-

рактере распределения соответствующих случайных величин.

Получить оценку эффективности и продуктивности пробной партии

можно с помощью анализа имеющихся совокупных данных относитель-

но начальных параметров. В частности, для дальнейшего исследования

и точных оценок осуществляется проверка принадлежности исследуемых

данных к статистическому закону распределения. В основу анализа поло-

жены методы теории вероятностей и математической статистики, которые

по результатам исследования выборки позволяют оценить: принадлежат ли

данные, образующие их генеральную совокупность, к нормальному закону

распределения. При достаточно большом числе опытов или наблюдений

данная проблема может быть аналитически описана одним из известных

в теории вероятностей законов распределения случайных величин и на-

глядно представлена графически, при этом могут быть получены весьма

263

точные значения параметров распределения. На практике, однако, осуще-

ствить большое число опытов или наблюдений часто не удается: чрезмер-

но велики экономические затраты, длительность испытаний и т.п. Поэтому

для многих отраслей науки и техники, в том числе и для технологии произ-

водства, весьма актуальной является задача оценки генеральной совокуп-

ности случайных величин по результатам испытаний малой (выборочной)

совокупности.

Параметры статистического распределения, полученного при доступ-

ном для практики числе опытов или наблюдений, являются лишь при-

ближенными значениями параметров распределения, ожидаемого для со-

вокупности случайных величин, потому что значения параметров стати-

стических распределений могут быть различными для различных серий

одинаковых опытов, то есть представляют собой случайные величины,

распределения которых также подчиняются определенным законам.

Поэтому главная задача данной работы — смоделировать различные си-

туации, возникающие в процессе производства пробной партии изделий,

и оценить вероятность процента брака по результатам исследования вы-

бранной пробной партии в рамках конкретно заданных границ допуска.

Иначе говоря, необходимо, произведя вероятностный анализ процесса про-

изводства первой партии деталей и с помощью программы выполнив все

численные расчёты, сделать всё возможное, чтобы в дальнейшем процент

брака в производстве был минимальным, оптимизировав тем самым дан-

ный процесс.

Для выполнения поставленной в работе задачи была создана специ-

альная программа, позволяющая произвести все необходимые расчеты и

вычисления. Программа написана на языке программирования C++ и со-

стоит из трёх основных частей: 1) справочная база, которая содержит всю

необходимую информацию по данной работе — как о практических, так и о

теоретических её аспектах; 2) программа тестирования, которая позволяет

оценить уровень подготовленности пользователя для выполнения постав-

ленной работы. В программу включены вопросы по теории вероятностей и

математической статистики, знание которых необходимо для данной рабо-

ты, а также вопросы по технологическим особенностям и характеристикам.

Только в случае успешного прохождения программы тестирования поль-

зователь допускается к выполнению основной программы. Время тестиро-

вания и другие его параметры (вопросы, количество правильных ответов

и т.д.) могут корректироваться в режиме администратора; 3) основная про-

грамма, к выполнению которой пользователь допускается только в случае

успешного прохождения программы тестирования.

264

Основная программа позволяет по результатам измерений оценить точ-

ность технологии производства. Этот процесс состоит из четырёх шагов.

На первом шаге вводятся результаты измерений или загружаются данные

из текстового файла. Затем задается тип измеряемой величины:

—

максимальное значение,

— минимальное значение, — эксцентриситет;

задается точное значение величины поля допуска. Если выбран эксцентри-

ситет, то левая граница поля допуска автоматически обнуляется. Кроме

того, вводится (или выбирается из предлагающихся позиций выпадающе-

го списка) уровень значимости, а также используемый критерий согласия

Колмогорова или Пирсона (для данной работы рекомендуется критерий

Колмогорова).

Когда ввод необходимых данных завершён, происходит переход ко вто-

рому шагу. Если какие-либо числа были введены с ошибкой, появится

окно с сообщением об ошибке. Если же ошибок нет, то осуществляет-

ся переход ко второму шагу. На втором шаге программа рассчитывает

и иллюстрирует информацию о выборке и о поле рассеивания измеряе-

мой величины. По заданным результатам измерений просчитывается вы-

борочное среднее — эффективная оценка измеряемого параметра, а также

размах выборки (расстояние между наибольшим и наименьшим результа-

тами измерений). Кроме того, программа использует выбранный критерий

согласия для оценки закона распределения выборки. На третьем шаге

проводится визуализация рассчитанных параметров. Вверху отображается

график функции распределения выборки и график её оценки — полигона

рассеивания. Внизу строится график плотности вероятности и её оценки —

гистограммы, а также наглядно отображаются поле допуска и поле рас-

сеивания. В дальнейшем их положение относительно друг друга и даст

ответ на вопрос о точности технологического процесса. И, наконец, на

четвёртом шаге делаются окончательные выводы о точности исследуе-

мого процесса. Если процесс не обеспечивает необходимую точность, то

вычисляются соответствующие вероятности брака.

Таким образом, можно сделать вывод, что данный метод позволяет осу-

ществить качественную оценку технологического процесса и обеспечивает

максимально возможную оптимизацию количества бракованных деталей в

зависимости от заданных параметров. Рассмотрим алгоритм работы про-

граммы.

Стартовое (начальное) состояние при запуске программы — это появле-

ние меню, с помощью которого можно либо начать тестирование, запустив

соответственно программу тестирования, либо начать выполнять основ-

ную работу, либо окончательно завершить работу программы. Не пройдя

265

тестирование, основную работу выполнять нельзя, что естественно, так

как выполнение основной работы требует определённых навыков и зна-

ний, проверкой которых как раз и занимается программа тестирования.

В программу тестирования включены вопросы по теории вероятностей

и математической статистики, знание которых необходимо для данной ра-

боты, а также вопросы по технологическим особенностям объекта и его

характеристикам.

Число вопросов достигает нескольких десятков, и они произвольно

генерируются для каждого пользователя персонально. Только в случае

успешного прохождения программы тестирования пользователь допуска-

ется к выполнению основной программы. Время тестирования и другие

его параметры (вопросы, количество правильных ответов и т. д.) могут

корректироваться в режиме администратора, проверяющим лицом. Режим

администратора защищён от обычного пользователя паролем.

Данная система позволяет максимально точно оценить уровень знаний

каждого пользователя и выявить пробелы в различных областях. Все ре-

зультаты тестирования, как и результаты выполнения основной работы,

протоколируются в персональный для каждого пользователя файл, что су-

щественно упрощает в дальнейшем подведение итогов работы. В процес-

се прохождения тестирования всегда можно воспользоваться справочными

данными, которые могут помочь решить поставленную задачу или отве-

тить на какой-либо возникший вопрос. Программа помощи открывается

в новом окне и не прерывает работу программы тестирования. По ито-

гам тестирования пользователь получает ответ, допущен ли он к основной

работе.

Справочная система доступна в любой момент выполнения работы и

содержит всю необходимую информацию как о практических, так и о тео-

ретических аспектах исследования и содержит три раздела: 1) описание

работы, в котором находится информация о технологических особенно-

стях работы, вся необходимая информация для её выполнения, а также все

теоретические данные; 2) программа тестирования и справочная информа-

ция о прохождении программы тестирования; 3) описание программы для

пользователя, ознакомившись с которым он сможет быстро разобраться в

процессе ее работы. При этом справочной системой можно пользоваться

неограниченное число раз в любой момент времени. Основная программа

позволяет по результатам измерений оценить точность технологии произ-

водства, а также дать оценку эффективности и продуктивности пробной

партии, благодаря анализу соответствующих ее данных в общей совокуп-

ности относительно заданных параметров.

266

Рассматриваемый процесс состоит из четырёх шагов. На первом ша-

ге вводятся результаты измерений или загружаются из текстового файла.

Затем задается тип измеряемой величины:

– максимальное расчетное

значение,

– минимальное значение, – эксцентриситет, который равен:

(1)

Далее задается точное значение исследуемой величины и поле допуска.

Если выбран эксцентриситет, то левая граница поля допуска автоматиче-

ски обнуляется. Кроме того, вводится (или выбирается из предлагающихся

позиций выпадающего списка) уровень значимости, а также используемый

критерий согласия Колмогорова или Пирсона (для данной работы рекомен-

дуется критерий Колмогорова). Когда ввод необходимых данных завершён,

дается согласие на переход ко второму шагу. Если какие-либо числа были

введены с ошибкой, появляется окно с сообщением об ошибке. Если же

ошибок нет, то осуществляется переход ко второму шагу. На втором шаге

программа рассчитывает и показывает информацию о выборкеиополе

рассеивания измеряемой величины.

По заданным результатам измерений рассчитывается выборочное сред-

нее - эффективная оценка измеряемого параметра, а также размах выбор-

ки (расстояние между наибольшим и наименьшим результатами измере-

ний). Кроме того, программа использует выбранный критерий согласия

для оценки закона распределения выборки. Дадим математическое опи-

сание данного шага. Обозначим используемые переменные следующим

образом:

— случайные величины, полученные в выборочной совокупности;

— случайные величины, полученные в генеральной совокупности;

— математические ожидания случайной величины выборочной сово-

купности;

— математические ожидания случайной величины, полученные по

результатам испытаний

-х выборок.

Размах наблюдаемых значений записывается формулой

(2)

Значение интервала при этом имеет вид

(3)

где

— принимаемое число интервалов, согласуемое с размером выборки

267

Наглядное представление о виде статистического распределения можно

получить благодаря полигону рассеивания. Путём построения статистиче-

ской функции распределения

и теоретической функции распределе-

ния

на полигоне рассеивания можно получить ответ на вопрос, будут

ли полученные данные соответствовать каким-либо законам распределе-

ния. Статистическая функция распределения при этом имеет вид

(4)

Здесь

— частота -го интервала, которая записывается формулой

(5)

где

— число случайных величин, относящихся к -му интервалу.

Обычно за теоретический закон распределения принимается нормаль-

ный закон распределения с параметрами

(математическое ожидание слу-

чайной величины генеральной совокупности) и

(дисперсия случайной

величины генеральной совокупности). Теоретическая функция распреде-

ления в таком случае будет выглядеть так:

ср

(6)

Здесь математические ожидания случайной величины выборочной сово-

купности имеют вид

в ср

(7)

ср

— середины интервалов.

Дисперсии случайной величины выборочной совокупности

(8)

Насколько велики расхождения между полученными данными (стати-

стическим распределением) и теоретическим распределением, и можно ли

вообще их воспринимать как некий статистический закон? Для ответа на

этот вопрос существуют критерии согласия проверки статистических гипо-

тез: критерий Пирсона и критерий Колмогорова. Критерий Пирсона выгод-

но использовать для достаточно большого числа измерений, в остальных

случаях используют критерий Колмогорова. В качестве меры расхождения

268

между теоретическим и статистическим распределениями здесь рассмат-

ривается максимальное значение модуля разности между статистической

функцией распределения

и соответствующей теоретической функци-

ей распределения

. Подобным образом устанавливается взаимосвязь

между формулами (4) и (6), что представляется в следующей форме:

(9)

При неограниченном увеличении числа независимых наблюдений

ве-

роятность неравенства

стремится к пределу:

(10)

Таким образом, построив статистическую функцию распределения

и теоретическую функцию распределения и определив мак-

симум

модуля разности между ними, а затем величину , вы-

числим вероятность

. Эта вероятность характеризует тот факт, что,

если величина

действительно распределена по закону ,тозасчёт

чисто случайных причин максимальное расхождение между

будет не меньше, чем фактически наблюдаемое. Если вероятность

весьма мала, гипотезу следует отвергнуть как неправдоподобную. Уровень

значимости следует выбирать в зависимости от количества компонентов

выборки.

На третьем шаге проводится визуализация рассчитанных параметров.

При этом строится график плотности вероятности и её оценки — гисто-

граммы, а также наглядно отображаются поле допуска и поле рассеива-

ния. В дальнейшем их положение относительно друг друга и дает ответ

на вопрос о точности технологического процесса. Наконец, на четвертом

шаге проводятся окончательные выводы о точности исследуемого процес-

са. Если процесс не обеспечивает необходимую точность, то вычисляется

соответствующая вероятность брака.

Вычисление вероятности

производится в зависимости от результа-

тов, вытекающих из характеристик функции (6). В нашем случае запись

функции распределения при нормальном законе примет следующий вид:

ср

(11)

Окончательная запись вероятностей

и будет такова:

(12)

269

и, следовательно,

(13)

Здесь

, и – параметры поля допуска, а остальные параметры

равны соответственно:

(14)

(15)

(16)

(

— табличное значение, выбирается в зависимости от уровня значимо-

сти).

Таким образом, можно сделать вывод, что данный метод позволяет осу-

ществить качественную оценку технологического процесса, определить ве-

роятностное количество бракованных деталей при заданных параметрах, а

также максимально оптимизировать процесс производства. Расчёты пока-

зывают, что желаемый результат достигается и допуск полностью входит

в поле рассеяния.

Итак, в результате проведенной научно-исследовательской работы про-

изведено подробное исследование выборочной партии продукции с по-

мощью статистически-вероятностных методов. Смоделированы различные

варианты и ситуации, которые могут иметь место в решении данной за-

дачи. На основании полученных результатов можно утверждать, что с по-

мощью разработанной программы можно варьировать параметры оценки

в процессах производства различных деталей, тем самым уменьшая веро-

ятность брака и повышая эффективность производства.

Библиографический список

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Стрелец А. А., Точностное исследование технологических процессов

статистически-вероятностным методом. – М.: МАИ, 1974.

3. Кочетков Е. С., Осокин А. В. Случайные величины: Учебное пособие. – М.: Изд–во

МАИ, 1999.

270