Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: механические и электромеханические системы
Подождите немного. Документ загружается.
t
µ(t)
˙x
1
(t)=x
3
;
˙x
2
(t)=x
4
;
˙x
3
(t)=u;
˙x
4
(t)=
g
L
sin x
2
−
1
L
cos x
2
· u.
x
1
= s x
2
= ϕ
x
3
=˙s(t) x
4
=˙ϕ(t) m L
J M
L
=
J + mL
2
mL
u =
1
M + m −
mL cos
2
x
2
L
×
µ − D
s
x
3
−
mLg sin(2x
2
)
2L
+ mLx
2
4
sin x
2
.
u(t) µ(t)
z
1
= x
1
;
z
2
=˙x
1
(t);
z
3
= x
1
+ L
x
2
;
z
4
=˙x
1
(t)+L
˙x
2
(t).
˙z
1
(t)=z
2
;
˙z
2
(t)=u;
˙z
3
(t)=z
4
;
˙z
4
(t)=g sin
z
3
− z
1
L
+
1 − cos
z
3
− z
1
L
· u,
sin
z
3
− z
1
L
∼
=
z
3
− z
1
L
1
cos
z
3
− z
1
L
2
∼
=
1
˙z
1
(t)=z
2
;
˙z
2
(t)=u;
˙z
3
(t)=z
4
;
˙z
4
(t)=
g
L
(z
3
− z
1
).
x
2
−0, 5π<x
2
< 0, 5π
x
1
ψ = x
1
+ F (x
2
)+ξ
F (x
2
)dt,
˙
ψ(t)= ˙x
1
(t)+
∂F
∂x
2
˙x
2
(t)+ξF(x
2
)
¨
ψ(t)=¨x
1
(t)+
∂
2
F
∂x
2
2
˙x
2
2
(t)+
∂F
∂x
2
¨x
2
(t)+ξ
∂F
∂x
2
˙x
2
(t).
¨x
1
(t) ¨x
2
(t)
¨
ψ(t)
¨
ψ(t)=
1 −
1
L
∂F
∂x
2
cos x
2
u +
g
L
∂F
∂x
2
sin x
2
+
∂
2
F
∂x
2
2
˙x
2
2
(t)+ξ
∂F
∂x
2
˙x
2
(t).
x
2
∂F
∂x
2
=
ρ
cos x
2
,
F = −ρ ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
.
ψ = x
1
− ρ ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
− γ
ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
dt,
γ = −ρξ
˙
ψ(t)= ˙x
1
(t)+
ρ ˙x
2
(t)
cos x
2
− γ ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
¨
ψ(t)=¨x
1
(t)+
ρ¨x
2
(t)
cos x
2
+
ρ ˙x
2
(t)
cos x
2
tg x
2
+
γ ˙x
2
(t)
cos x
2
.
¨x
1
(t) ¨x
2
(t)
¨x
1
(t)=u,
¨x
2
(t)=
g
L
sin x
2
−
1
L
cos(x
2
) · u.
¨
ψ(t)=Bu +
ρg
L
tg x
2
+
ρ ˙x
2
2
(t)
cos x
2
tg x
2
+
γ ˙x
2
(t)
cos x
2
,
B =1−
ρ
L
¨
ψ(t)+α
1
˙
ψ(t)+α
2
ψ =0,α
1
> 0,α
2
> 0.
¨
ψ(t)
u = −
ρg
BL
tg x
2
−
ρ ˙x
2
2
(t)
B cos x
2
tg x
2
−
γ ˙x
2
(t)
B cos x
2
−
α
1
B
˙
ψ(t) −
α
2
B
ψ.
u
ψ =0
˙
ψ(t)=0
x
2
ψ =
˙
ψ(t)=0
¨x
2ψ
(t)=
g
L
sin x
2ψ
+
ρg
B(L
)
2
sin x
2ψ
+
ρ
BL
˙x
2
2ψ
(t)tgx
2ψ
+
γ
BL
˙x
2ψ
(t).
B = −λ<0
ρ =(λ +1)L
,
ρg
B(L
)
2
=
(1 + λ)
λL
g,
ρ
BL
= −
1+λ
λ
.
¨x
2ψ
(t)+a
1
sin x
2ψ
+ a
2
˙x
2
2ψ
(t)tgx
2ψ
+ a
3
˙x
2ψ
(t)=0,
a
1
=
g
λL
,a
2
=
(1 + λ)
λ
,a
3
=
γ
λL
.
a
1
> 0 a
2
> 0 a
3
> 0
x
2ψ
=0 −0, 5π<x
2ψ
< 0, 5π
a
1
a
2
a
3
γ
γ =0
¨x
2ψ
(t)+a
1
sin x
2ψ
=0.
ω
0
=
√
a
1
W (x
2ψ
)= ˙x
2
2ψ
(t).
dW
dx
2ψ
+2a
1
sin x
2ψ
=0.
W (x
2ψ
)=c
1
+2a
1
cos x
2ψ
,
c
1
=˙x
2
2ψ
− 2a
1
cos x
20ψ
˙x
2ψ
(t)=
2a
1
cos x
2ψ
+ c
1
.
x
2
−0, 5π<x
2
< 0, 5π
cos x
2ψ
∼
=
1 − 0, 5x
2
2ψ
.
˙x
2ψ
(t)
∼
=
a
1
(2 − x
2
2ψ
)+c
1
.
x
2ψ
(t)=
2+
c
a
1
· sin
√
a
1
(t + c
2
).
ω
0
=
√
a
1
γ =0
¨x
2ψ
(t)+a
1
sin x
2ψ
+ a
2
˙x
2
2ψ
(t)tgx
2ψ
=0.
dW
dx
2ψ
+ a
2
W tg x
2ψ
+ a
1
sin x
2ψ
=0.
˙x
2ψ
(t)=W (x
2
)=c
3
e
F
−
2a
1
2a
2
− 1
cos x
2ψ
,
F =2a
2
ln(cos x
2ψ
); c
3
=˙x
2
20ψ
e
−F
0
+
2a
1
2a
2
− 1
cos x
20ψ
.
x
2ψ
(t)
e
F
≈ 1+F ≈ 1+2a
2
(cos x
2ψ
− 1).
x
2
−0, 5π<x
2
< 0, 5π
e
F
≈ 1 − a
2
x
2
2ψ
.
˙x
2ψ
(t) ≈ b
a
2
− x
2
2ψ
,
a =
2a
1
+ c
3
a
1
− a
2
(2a
2
− 1)c
3
; b =
a
2
(2a
2
− 1)c
3
− a
1
2a
2
− 1
.
x
2ψ
(t)
∼
=
a sin b(t + c
4
),
a b
a
2
=0
a
3
˙x
2ψ
(t)
γ>0
γ
ψ =0
˙
ψ(t)=0
x
2
a
1
> 0 a
2
> 0
a
3
> 0
ψ
1
= x
1
+ ηx
2
+ ξ
x
2
dt,
˙
ψ
1
(t)= ˙x
1
(t)+η ˙x
2
(t)+ξx
2
¨
ψ
1
(t)=¨x
1
(t)+η¨x
2
(t)+ξ ˙x
2
(t).
¨
ψ
1
(t)=
1 −
η
L
cos x
2
u +
ηg
L
sin x
2
+ ξ ˙x
2
(t).
¨
ψ
1
(t)+β
1
˙
ψ
1
(t)+β
2
ψ
1
=0,β
1
> 0,β
2
> 0.
k(x
2
)u
1
= −
ηg
L
sin x
2
− β
1
˙
ψ
1
(t) − β
2
ψ
1
− ξ ˙x
2
(t),
k(x
2
)=1−
η
L
cos x
2
.
ψ
1
=0
˙
ψ
1
=0
¨x
2ψ
(t)=
g
L
sin x
2ψ
1+
η
2
(L
− η cos x
2ψ
)L
cos x
2ψ
+
ξ ˙x
2ψ
(t)
L
− η cos x
2ψ
cos x
2ψ
.
cos x
2ψ
≈ 1
η
L
(η cos x
2ψ
− L
) > 1
cos x
2ψ
→ 0
−0, 5π<x
2
< 0, 5π
x
2
¨
ψ(t)
¨
ψ
1
(t)
ψ =
˙
ψ(t)=0 ψ
1
=
˙
ψ
1
(t)=0
¨
ψ(t)
ρ ˙x
2
2
(t)
cos x
2
tg x
2
γ ˙x
2
(t)
cos x
2
tg x
2
x
2
x
1
u = −
(1 + λ)g
λ
tg x
2
+
(1 + λ)L
λ
˙x
2
2
(t)
cos x
2
tg x
2
+
+
γ
λ
˙x
2
(t)
cos x
2
+
α
1
λ
˙
ψ(t)+
α
2
λ
ψ,
ψ = x
1
+(1+λ)L
ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
− γ
ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
dt,
˙
ψ(t)= ˙x
1
(t)+
(1 + λ)L
cos x
2
˙x
2
(t) − γ ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
.
µ = D
s
x
3
−mLx
2
4
sin x
2
+
mLg sin(2x
2
)
2L
+
M +m−
mL cos
2
x
2
L
×
×
1
λ
(1 + λ)
L
cos x
2
x
2
4
− g
tg x
2
+
γx
4
cos x
2
+
+ α
1
x
2
+
(1 + λ)L
cos x
2
x
4
− γ ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
+
+ α
2
x
1
+(1+λ)L
ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
− γ
ln
$
$
$
tg
π
4
−
x
2
2
$
$
$
dt
.
α
i
ψ(t)
α
2
=
1
T
1
T
2
;
α
1
α
2
= T
1
+ T
2
,
ψ(t)=c
1
e
−t/T
1
+ c
2
e
−t/T
2
,
T
1
T
2
α
1
α
2
x
10
=0, 5
x
20
= −0, 5
¨
ψ(t) − ξ
1 − βψ
2
˙
ψ(t)+ψ =0.
u =
(1 + λ)g
λ
tg x
2
+
(1 + λ)L
λ
˙x
2
(t)
cos x
2
tg x
2
+
γ
λ
˙x
2
(t)
cos x
2
− ξ
1 − βψ
2
˙
ψ(t)+ψ.
L =0, 1 L
=0, 1 M =1 m =0, 1
g =9, 8 D
s
= 100 γ =1 λ =1 β =2 ξ =0, 5
µ(x
1
,...,x
4
)
µ(x
1
,...,x
4
)
µ(x
1
,...,x
4
)
˙γ(t)=ω;
˙ω(t)=M − M
l
,