Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах
Подождите немного. Документ загружается.
441
Розділ VI. Інтегральне числення
Нехай K
1
— кінцева сума, отримана за t років, і K дисконтована
(початкова) сума, яку в фінансовому аналізі називають також сучас+
ною сумою. Якщо відсотки прості, то
K
1
= K(1 + іt), де
100
p
i
—
питома відсоткова ставка. Тоді
1
1
K
K
it
. У разі складних відсотків
K
1
= K(1 + іt)
t
і тому
1
(1 )
t
K
K
it
. У випадку неперервного нараху+
вання відсотків
K
1
= Kе
іt
, і тому K = K
1
е
іt
.
Нехай щорічний прибуток, що надходить, змінюється за часом і
описується функцією
f(t), та при питомій нормі відсотка, що дорів+
нює
і, відсоток нараховується неперервно. В цьому випадку дискон+
тований прибуток
K за період Т обчислюється за формулою:
0
()
T
it
Kftedt
³
. (6.41)
Задача 6.271. Визначити дисконтований прибуток за три роки
при відсотковій ставці 8%, якщо базові капіталовкладення склали 10
млрд. грош.од. і передбачається щорічне збільшення капіталовкла+
день на 1 млрд. грош.од.
Розв’язок. Очевидно, що капіталовкладення задаються функцією
f(t) = 10 + 1
t = 10 + t. Тоді дисконтована сума капіталовкладень
складає:
K =
3
0,08
0
(10 )
t
te dt
³
=
0,08 0,08 0,08
10 ,
1
,
0,08
tt t
utdudt
dv e v e dt e
³
=
=
(10 + t)(
1
0,08
e
–0,08t
3
0
+
1
0,08
3
0,08
0
t
edt
³
) =
1
0,08
(13e
–0,24
– 10) –
–
2
1
0,08
e
–0,08t
3
0
= –
1
0,08
(13e
–0,24
– 10) –
2
1
0,08
(e
–0,24
– 1)
|
|
30,5 (млрд. грош. од).
442
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
Це означає, що через три роки буде отримана однакова нароще+
на сума, як за умови щорічних капіталовкладень у розмірах від 10
до 13 млрд. грош. од., так і за умови, що одночасні первісні вкладен+
ня складали 30,5 млрд. грош. од. (при одній і тій же відсотковій ставці
та неперервному нарахуванні відсотків).
6.9.5. Коефіцієнт нерівномірного розподілу прибуткового
податку
Нехай у є частина загаль+
ного прибуткового податку
пропорційна частині
х усього
населення держави. Наприк+
лад, якщо
х =
1
2
, а у =
1
4
, то
це означає, що 50% населен+
ня сплачує 25% загального
прибуткового податку. Якщо
у = 0,7, коли х = 0,9, то це оз+
начає, що 90%
населення
сплачує 70%
прибуткового
податку. У загальному випад+
ку
х та у дробові частини
цілого
(0
d
х
d
1; 0
d
у
d
1)
і
у є функцією від х, тобто у = f(x).
Будемо вважати, що не має осіб, які не сплачують прибуткового
податку, тобто
f(0) = 0 і весь прибутковий податок сплачує 100%
населення, тобто
f(1) = 1. Графік функції y = f(x), яка описує дійсний
розподіл прибуткового податку, називають кривою Лоренца.
Припустимо, що крива Лоренца задана рівнянням
у =
15
16
x
2
+
1
16
x, (див. рис. 6.10).
Коли
х = 0,2, маємо:
у =
15
16
(0,2)
2
+
1
16
0,2 = 0,05.
Y
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 X
2
15 1
16 16
yx x
y = x
[1; 1]
Рис. 6.10.
443
Розділ VI. Інтегральне числення
Це означає, що 20% населення сплачує 5% загального податку.
Коли
х = 0,5, маємо:
у =
15
16
(0,5)
2
+
1
16
0,5 = 0,2656.
Це означає, що 50% населення сплачує тільки 26,56% податку.
Коефіцієнтом нерівності розподілу податку кривої Лоренца на+
зивають відношення площі фігури, обмеженої кривою Лоренца та
прямою
у = х (на рис. 6.10 вона заштрихована) до площі фігури, що
лежить нижче прямої
у = х (на рис. 6.10 — це прямокутний трикут+
ник: (0
d
х
d
1; 0
d
у
d
1; y = x).
Коефіцієнт нерівного розподілу податку, що здійснюється за за+
коном Лоренца, позначають
L.
Площа трикутника
S
1
=
1
2
1
1 =
1
2
.
Площу заштрихованої фігури одержимо з використанням визна+
ченого інтеграла за формулою:
1
2
0
(())
Sx
f
xdx
³
.
Тому, згідно з означенням, коефіцієнт Лоренца обчислюють за
формулою:
L =
2
1
S
S
= 2
1
0
(())xfxdx
³
. (6.42)
У випадку кривої Лоренца вигляду
у =
15
16
x
2
+
1
16
x коефіцієнт
нерівності розподілу податку буде:
L = 2
1
2
0
15 1
()
16 16
xx xdx
³
= 2
1
2
0
15 15
()
16 16
xxdx
³
=
= 2
15
16
1
2
0
()xxdx
³
=
15
8
23
1
0
23
xx
§·
¨¸
©¹
=
15
8
(
1
2
–
1
3
) =
5
16
.
444
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.9.6. Максимізація прибутку за часом
Нехай V(t), D(t) та P(t) —
загальні витрати, доход та
прибуток, що змінюються з
часом, тобто залежать від
часу
t. Тоді:
P(t) = D(t) – V(t)
або
()
Pt
c
=
()
Dt
c
–
()
Vt
c
.
Максимум загального
прибутку буде тоді, коли
()
Pt
c
= 0 або
()
Dt
c
=
()
Vt
c
.
Іншими словами, існує такий
час
t
1
, коли або
()
Dt
c
=
()
Vt
c
,
тобто швидкості зміни доходу на витрат рівні (дивись, наприклад,
рис. 6.11). Загальний прибуток за час
t
1
можна знайти за формулою:
P(t) =
1
0
()
t
Ptdt
c
³
=
1
0
(() ())
t
Dt V t dt
cc
³
.
Із рисунка (6.11) бачимо, що максимум прибутку дорівнює площі
між кривими
()Dt
c
та
()Vt
c
на проміжку t
[0; t
1
] (заштрихована
частина).
Задача 6.272. Швидкості зміни витрат та доходу його діяльності
визначається формулами:
()Vt
c
= 5 + 2t
2/3
та
()Dt
c
= 17 – t
2/3
, де V
та D вимірювались мільйонами гривень, а t вимірювали роками.
Визначити, як довго підприємство було прибутковим та знайти за+
гальний прибуток, який було одержано за цей час.
Відмітимо, що коефіцієнт нерівності розподілу податку завжди
задовольняє співвідношенню 0
d
L
d
1. Коли L = 0, прибутковий
податок розподілено рівномірно, коли
L = 1, нерівність розподілу
податків найбільша.
0 t
1
T
()Dt
c
()Vt
c
Рис. 6.11.
445
Розділ VI. Інтегральне числення
Розв’язок. Оптимальний час t
1
для прибутку підприємства одер+
жимо з умови
()
Dt
c
=
()
Vt
c
:
5
+ 2t
2/3
= 17 – t
2/3
;
3
t
2/3
= 12;
t
2/3
= 4;
t = 8 = t
1
.
Отже, підприємство було прибутковим 8 років. За цей час було
одержано прибутку:
P =
8
0
(() ())Dt Vt dt
cc
³
=
8
3/2 3/2
0
(
17 5 2
)
ttdt
³
=
8
3/2
0
(
12 3
)
tdt
³
=
= (12t – 3
5/3
5/3
t
)
8
0
= 96 –
9
5
32 = 38,9 (млн. грн).
Задача 6.273. Стратегія розвитку. Компанія повинна обрати одну
із двох можливих стратегій розвитку: 1) вкласти 10 млн. грн у нове
обладнання і одержувати 3 млн.грн прибутку кожного року на про+
тязі 10 років;
2) закупити на 15 млн.грн більш досконале обладнан+
ня, яке дозволить одержати 5 млн.грн прибутку щорічно на протязі
7 років. Яку стратегію треба обрати компанії, якщо номінально об+
лікова щорічна ставка 10%.
Розв’язання. Якщо f(t) є прибуток за час t і
100
R
r
є номінальна
облікова щорічна ставка, то дійсне значення загального прибутку за
час між
t = 0 та t = T дорівнює
0
()
T
rt
f
te dt
³
.
При
R = 10 маємо r = 0,1. Тому для першої стратегії дійсне зна+
чення прибутку за
10 років буде:
P
1
=
10
0,1
0
3
t
edt
³
– 10 = –30e
–0,1t
10
0
– 10 = 30(1 – e
–1
) – 10 = 8,964 (млн. грн).
Для другої стратегії одержимо:
P
2
=
7
0,1
0
5
t
edt
³
– 15 = 50(1 – е
–0,7
) – 15 = 10,17 (млн. грн).
446
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.9.7. Задачі для самостійного розв’язку
6.274. Знайти середнє значення витрат K(х) = 3x
2
+ 4x + 2, вира+
жених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від
0 до 3 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають се+
реднє значення.
6.275. Знайти середнє значення витрат K(х) = 6x
2
+ 4x + 1, вира+
жених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від
0 до 5 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають се+
реднє значення.
6.276. Вказати обсяг продукції, виробленої робітником за п’яту
годину робочого дня, якщо продуктивність характеризується функ+
цією
f(t) =
3
32t
+ 5.
6.277. Вказати обсяг продукції, виробленої робітником за третю
годину робочого дня, якщо продуктивність характеризується функ+
цією
f(t) =
3
45t
+ 4.
6.278. Продуктивність праці протягом робочого дня змінюється. Не+
хай функція продуктивності праці має вигляд
f(t) = 100 + 10t (дет./год.).
Скільки деталей зробить робітник за дві години роботи? (тут
t —
відрізок часу від початку робочого дня).
6.279. Через деякий час після початку роботи продуктивність
праці перестає зростати і стає приблизно сталою. Визначити, скільки
деталей зробить робітник за восьмигодинну зміну, якщо за перші дві
години роботи продуктивність зростає за законом
f(x) = 100 + 10t.
Наступні чотири години продуктивність залишається сталою та до+
рівнює досягнутій на кінці другої години роботи, а за останні дві
години зменшується за законом
f(x) = f(6) – 15t, де f(6) — продук+
тивність праці в кінці шостої години роботи. Визначити середню
продуктивність праці за зміну.
Отже, друга стратегія краще першої і тому її доцільно обрати для
подальшого розвитку компанії.
447
Розділ VI. Інтегральне числення
6.280. Обчислити початковий вклад K, якщо виплати по цьому
вкладу повинні складати 100 грош.од. впродовж чотирьох років, а
відсоткова ставка — 7%. Відсотки нараховуються неперервно.
6.281. Визначити дисконтований (початковий) обсяг прибутку,
отриманого через 10 років, якщо щорічно прибуток складав 100 ти+
с.грош.од., відсоткова ставка дорівнювала 5%. Відсотки нараховува+
ли неперервно.
6.282. Розподіл прибуткового податку деякої країни здійсню+
ється за кривою Лоренца
y = f(x), де х — частина населення, що
сплачує податки, а
у — відсоткова частина загального податку. Яку
частину загального податку сплачують 20% найбіднішого населен+
ня? Знайти коефіцієнт нерівності Лоренца: а)
y =
19
20
x
2
+
1
20
x;
б)
y = 0,94x
2
+ 0,06x.
6.283. Знайти середнє значення витрат, якщо функція витрат за+
дана рівнянням
f(x) = 3x + 2 –
1
x
, (х — обсяг виробництва), а обсяг
відпуску продукції змінюється від 1 до 4,5. Вказати обсяг продукції,
за якою витрати приймають середнє значення.
6.284. Фірма може обрати одну з двох стратегій розвитку: 1) вкла+
сти у виробництво
А
1
млн. грн. з умовою одержання щорічного при+
бутку
В
1
млн. грн. на протязі С
1
років; 2) вкласти у виробництво А
2
млн. грн. з умовою одержання щорічного прибутку В
2
млн. грн. на
протязі
С
2
років. Номінальна облікова щорічна ставка 10%. Який
прибуток матиме фірма за кожною стратегією?
а)
А
1
= 25; B
1
= 10; C
1
= 20; А
2
= 60; B
2
= 20; C
2
= 10.
б) А
1
= 8; B
1
= 2; C
1
= 12; А
2
= 20; B
2
= 5; C
2
= 8.
448
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
§ 6.10. Наближені обчислення визначеного інтеграла
Для деяких підінтегральних функцій f(x) первісну не можна виз+
начити елементарними функціями. У цих випадках обчислення виз+
наченого інтеграла за формулою Ньютона+Лейбніца неможливе. Крім
того у практичній діяльності часто досить знати лише наближене зна+
чення визначеного інтеграла. Найбільш часто використовують три
методи — метод прямокутників, метод трапецій, метод парабол (ме+
тод Сімпсона).
6.10.1. Формула прямокутників
Нехай на відрізку [a; b] задана неперервна функція y = f(x). Потріб+
но обчислити визначений інтеграл
()
b
a
fxdx
³
. Поділимо відрізок [a; b]
точками
а = х
0
, х
1
, х
2
, ... , х
n
= b
на n рівних частин довжи+
ною
x'
=
ba
n
. Позначи+
мо через
у
0
, у
1
, у
2
, ... , у
n–1
, y
n
значення функції f(x) в
точках
х
0
, х
1
, х
2
, ..., х
n
, тобто
у
0
= f(x
0
), у
1
= f(x
1
), у
2
= f(x
2
),
... ,
у
n
= f(x
n
) (див. рис.
6.12).
Складемо суми
у
0
0
x
'
+ у
1
1
x
'
+ ... + у
n–1
1n
x
'
;
у
1
1
x
'
+ у
2
2
x
'
+ ... + у
n
n
x
'
.
Кожна з цих сум є інтегральною сумою для f(x) на відрізку [a; b]
і через це наближено виражає інтеграл.
()
b
a
f
xdx
³
|
ba
n
(у
0
+ у
1
+ ... + у
n–1
), (6.43)
у
0
у
1
у
2
у
3
у
4
y
n–1
y
n
y = f(x)
0 a = x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
n–1
x
n
= b X
Y
Рис. 6.12.
449
Розділ VI. Інтегральне числення
()
b
a
fxdx
³
|
ba
n
(у
1
+ у
2
+ ... + у
n
). (6.43')
Це і будуть формули прямокутників. Із рис. 6.12 ясно, що
f(x) —
додатна і зростаюча функція, то формула (6.43) виражає площу
східчастої фігури, складеної із прямокутників, які вписані в криву
y = f(x), а формула (
6.43
c
) — площу східчастої фігури, складеної із
прямокутників, які описані над кривою
y = f(x).
Похибка, яка одержується при обчисленні інтеграла за форму+
лою прямокутників, буде тим меншою, чим більше число
n (тобто
чим менше крок поділу
x
'
=
ba
n
).
6.10.2. Формула трапецій
Ми будемо мати
більш точне значення
визначеного інтегра+
ла, якщо задану кри+
ву замінимо не
східчастою лінією, як
це було в формулі
прямокутників, а
вписаною ломаною
(див. рис. 6.13).
Тоді площа криво+
лінійної трапеції
aABb
заміниться сумою
площ прямокутних
трапецій, обмежених
зверху хордами
АА
1
, А
1
А
2
, ... , А
n–1
B. Так як площа першої із цих тра+
пецій дорівнює
01
2
yy
x
'
, площа другої дорівнює
12
2
yy
x'
і так
далі, то
()
b
a
fxdx
³
|
(
01
2
yy
x'
+
12
2
yy
x'
+ ... +
1
2
nn
yy
x
'
),
у
0
у
1
у
2
у
3
y
n–1
y
n
y = f(x) А
n–1
B
0 a = x
0
x
1
x
2
x
3
x
n–1
x
n
= b Х
Y
А
1
А
2
А
3
Рис. 6.13.
450
Клепко В.Ю., Голець В.Л. «Вища математика в прикладах і задачах»
6.10.3. Формула парабол (формула Сімпсона)
Цей метод наближеного обчислення визначеного інтеграла осно+
ваний на заміні графіка підінтегральної функції не хордами, як в
методі трапецій, а дугами парабол, осі яких паралельні вісі
Оу. Якщо
відрізок інтегрування [
а; b] поділити на парну кількість рівних час+
тин (тобто
n = 2m) і позначити y
k
= f(x
k
), де x
k
= a +
x
'
k — точки
поділу,
k = 0, 1, 2, ... , 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити
за формулою:
()
b
a
fxdx
³
|
6
ba
m
(у
0
+ у
2m
+ 2(у
2
+ у
4
+ ... + y
2m–2
) +
+ 4(
y
1
+ y
3
+ ... + y
2m–1
)), (6.45)
яку називають
формулою Сімпсона. Тут число точок поділу 2m до+
вільно, але чим більше це число, тим точніша сума в правій частині
рівності (6.41) дає значення інтеграла.
6.10.4. Розв’язання прикладів
Приклад 6.285. Обчислити наближено ln 2 =
2
1
dx
x
³
.
Розв’язок. Поділимо відрізок [1; 2] на 10 рівних частин. Знаючи
x'
=
21
10
, складемо таблицю значень підінтегральної функції:
або
()
b
a
fxdx
³
|
ba
n
(
0
2
n
y
y
+ у
1
+ у
2
+ у
3
+ ... + у
n–1
). (6.44)
Це і є формула трапеції. Число
n вибирається довільно. Чим
більше буде це число та чим менше буде крок
x
'
=
ba
n
, тим з
більшою точністю сума, яка написана в правій частині наближеної
рівності (6.44), буде давати значення інтеграла.