Кирин Е.М., Базыкина Н.А., Вантеев А.Н., Краснов М.Н. Построение сечений и линий пересечения поверхностей

Подождите немного. Документ загружается.

лить топографические и конструкторские поверхности, используемые

соответственно в картографии и конструкторской практике.

Рисунок 4.2 – Классификация поверхностей

По признаку развертываемости поверхности делятся на развер-

тываемые и неразвертываемые. Большинство линейчатых поверхно-

стей являются развертываемыми.

Образующая поверхности может быть постоянного и перемен-

ного вида. По виду образующей поверхности делятся на поверхности

с постоянной и переменной образующей. Если в качестве образую-

щей используется прямая линия, то поверхность называется линейча-

той, если кривая, то – нелинейчатой.

По форме очерковой образующей поверхности могут быть вы-

пуклыми и вогнутыми. Если поверхность лежит по одну сторону ка-

сательной плоскости, то поверхность считается выпуклой. Если – по

обе стороны, то вогнутой. Некоторые поверхности могут быть выпук-

ло-вогнутыми.

Если в каждой точке поверхности можно провести только одну

касательную плоскость, то она называется гладкой, если – несколько,

то негладкой.

По способам образования поверхности можно разделить на ки-

нематические, вращения, каркасные и винтовые.

Кинематические поверхности образуются перемещением в про-

странстве образующей любого вида по одной, двум и трем направ-

ляющим. При двух направляющих дополнительно используются на-

правляющая плоскость или плоскость параллелизма. Из кинематиче-

ских поверхностей могут быть выделены циклические и каналовые

поверхности. В отдельную группу кинематических поверхностей

можно отнести поверхности параллельного переноса, образуемые по-

ступательным перемещением плоской линии, при этом образующие

все время остаются параллельными между собой.

Поверхности вращения можно разделить на поверхности с пря-

молинейной и с криволинейной образующей. В отдельную группу

могут быть отнесены поверхности с ребром возврата.

Каркасные поверхности могут быть образованы точечным или

линейным каркасом. В отдельную группу каркасных поверхностей

можно отнести поверхности висячих покрытий, в которых в качестве

каркаса используются цепные линии или близкие к ним кривые линии.

Винтовые поверхности делятся на поверхности с прямолиней-

ной и криволинейной образующей. Первая группа делится на прямые,

косые, эвольвентные и конвалютные. Вторая группа делится на цик-

лические и трубчатые.

Предложенная классификация в достаточной степени отражает

многообразие поверхностей и их геометрические свойства.

5 Построение сечений кривых поверхностей

5.1 Точка на поверхности

Основополагающим вопросом при построении сечений кривых

поверхностей является – построение проекций точки на поверхности.

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит любой пря-

мой или кривой линии, принадлежащей заданной поверхности.

Рассмотрим все возможные положения точек на поверхности

вращения и построение их проекций на примере прямого кругового

конуса (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – Построение проекций точек на поверхности тела вращения

(конуса) методом образующих и методом вспомогательных плоскостей

Все многообразие точек, лежащих на поверхности, может быть

обобщено в несколько групп:

- характерные точки (главные, опорные, особые) – это точки,

лежащие на очерковых образующих, осях, основаниях поверхности;

1) Хара

терные точки

–

2) Промежуточные точки – 4, 7.

3) Вспомогательные плоскости –

a, b.

4) Образующие конуса – m, n.

5) Видимые точки – 1, 2, 3, 4.

6) Невидимые точки – (5), (6), (7).

- вспомогательные точки (произвольные, случайные, проме-

жуточные) – это точки, определяющие линию сечения в промежутках

между характерными точками;

- точки смены видимости (или точки касания линии сечения и

образующей). Это точки, в которых меняется видимость линии сече-

ния, так как поверхность считается геометрически непрозрачной;

- экстремальные точки. К ним относятся точки: высшая и

низшая, ближняя и дальняя, самая левая и самая правая.

Построение проекций точек 1, 2, 3, 5 и 6 понятно из рисунка 5.1.

Точки 1, 2, 3, 5, 6 относятся к числу характерных точек. Точка 7 –

высшая, точки 3 и 5 – низшие, а точки 1, 6 – точки смены видимости.

Точки 4, 7 являются промежуточными точками. Их построение

может быть осуществлено двумя методами: методом образующих

методом вспомогательных секущих плоскостей.

Метод образующих заключается в том, что через заданные про-

екции точек (4

и 7

) проводят образующие (S

и S

), далее строят

недостающие проекции этих образующих (S

, S

и S

///

, S

///

) и

с помощью линий связи находят недостающие проекции заданных

точек на построенных образующих (4

и 7

– на S

и S

, а 4

///

и 7

///

–

на S

///

и S

///

соответственно). Метод образующих может быть ис-

пользован только при прямолинейных образующих, так как построе-

ние криволинейных образующих весьма затруднительно.

Метод вспомогательных секущих плоскостей является уни-

версальным и может быть использован практически для всех поверх-

ностей. Он заключается в следующем:

- через точку (например 4

)проводят вспомогательную секущую

плоскость a, которую подбирают так, чтобы в сечении поверхности

получалось простое сечение (прямая линия, треугольник, окружность

известного радиуса и др.);

- строят сечение поверхности вспомогательной плоскостью (ок-

ружность радиуса R);

- через точку (4

) проводят линию связи и с учетом видимости на

пересечении с контуром сечения находят искомую проекцию точки (4

);

- с использованием свойства эпюра Монжа строят профильную

проекцию точки (4

///

). Для этого замеряют расстояние от горизонталь-

ной осевой линии основания конуса до точки (4

) и откладывают его

на профильной проекции от оси конуса вдоль секущей вспомогатель-

ной плоскости.

5.2 Конические, цилиндрические, сферические

и торовые сечения

Рассмотрим в общем виде возможные виды сечений, образую-

щихся при пересечении наиболее типичных поверхностей плоскостя-

ми. На рисунке 5.2 представлены сечения конуса, цилиндра, сферы

и тора.

Рисунок 5.2 – Сечения конуса, цилиндра, сферы и кольцевого тора

Прямой круговой конус является поверхностью, отличающейся

большим разнообразием возможных сечений (рисунок 5.2,а):

- если секущая плоскость параллельна основанию конуса, то в се-

чении получается окружность с радиусом, равным расстоянию от оси до

очерковой образующей, измеренному вдоль секущей плоскости;

- если секущая плоскость наклонная и пересекает все образую-

щие, то в сечении будет эллипс;

- если секущая плоскость параллельна оси конуса, то в сечении

получится гипербола;

- если секущая плоскость рассекает конус параллельно одной

образующей, то в сечении образуется парабола;

- если секущая плоскость проходит через вершину конуса и

рассекает основание, то сечением конуса является треугольник.

Сечения цилиндра плоскостью представлены на рисунке 5.2,б.

В сечениях цилиндра могут получаться окружность, эллипс и прямо-

угольник.

Сечения сферы плоскостью представлены на рисунке 5.2,в.

В сечениях сферы могут получаться окружность или эллипс. Строго

говоря, всякое сечение сферы есть окружность известного радиуса,

если направление проецирования перпендикулярно плоскости сече-

ния. Если это не соблюдается, то окружность сечения «вырождается»

в эллипс.

Торовые сечения, пожалуй, самые сложные в построении (рису-

нок 5.2,г). Однако в продольном сечении торового кольца образуется

простое сечение в виде двух окружностей радиусов R

и r. Эти сече-

ния тора могут быть использованы для нахождения недостающих

проекций точек на поверхности тора.

5.3 Построение сечений тел вращения

Построение сечений любой поверхности сводится к построению

достаточного количества точек линии сечения и соединения их плавной

линией с учетом видимости проекций сечения. Все точки сечения пред-

ставляют собой совокупность характерных и промежуточных точек.

Рассмотрим построение сечения сферы фронтально-проецирую-

щей плоскостью g. Заранее определяем, что в сечении должен полу-

читься эллипс. Задачу решаем в следующем порядке (рисунок 5.3):

- определяем характерные точки 1

, 3

, 4

, 6

и строим их про-

екции по методике, рассмотренной в разд. 5.1;

- намечаем вспомогательные точки 2

, 5

и с помощью вспомо-

гательных плоскостей a и b находим их недостающие проекции ме-

тодом, рассмотренным в гл. 5.1;

- далее с помощью перпендикуляра, проведенного из центра

сферы О

на заданную плоскость g, находим точку 7

и ее проекции,

которые определяют большую ось эллипса. Проекции точек 7 строим

с помощью вспомогательной секущей плоскости w;

Рисунок 5.3 – Построение сечения тела вращения (сфера)

плоскостью частного положения методом вспомогательных плоскостей

1) Характерные точки

–

2) Низшая точка – 1.

3) Высшая точка – 6.

4) Точки смены видимости – 3, 4

(точки касания).

5) Промежуточные точки – 2, 5.

6) Вспомогательные плоскости –

a, b, w.

- полученные точки соединяем плавной линией и определяем

видимость участков эллипса.

Построение сечения тел вращения плоскостью общего положе-

ния осложняется тем, что количество характерных точек в этом слу-

чае значительно сокращается. Ход построений на примере сечения

цилиндра ясен из рисунка 5.4:

- находим характерные точки 1 и 11. В этих точках секущая

плоскость a пересекает основание цилиндра по прямой линии 1–11;

Рисунок 5.4 – Построение сечения тела вращения (цилиндр) плоскостью

общего положения методом вспомогательных плоскостей

1) Характерные точки

–

2) Высшая точка – 6 (находит

ся

с помощью вспомогательной

плоскости b).

3) Точки смены видимости – 3, 8

(находятся с помощью плоско-

стей g и w).

4) Промежуточные точки – 2, 3,

5, 7, 9, 10 (находятся с помо

щью

плоскостей Р, Q, b, T).

- находим высшую точку сечения 6. Высшая точка будет нахо-

диться в плоскости b, перпендикулярной горизонтальному следу a

Проводим через ось цилиндра горизонтально-проецирующую вспо-

могательную плоскость b (следами b

и b

);

- находим линию пересечения плоскостей a и b – n

;

- строим сечение цилиндра плоскостью b. В сечении будут две

прямые линии, одну из которых m используем для нахождения точки 6;

- находим на пересечении линий n

и m

точку 6

;

- вспомогательные точки 2, 3, 5, 7, 9, 10 находим методом

вспомогательных секущих плоскостей (P, Q и T);

- точки смены видимости (точки касания) 4 и 8 находим с по-

мощью фронтальных плоскостей w и g, аналогично построению точки 6;

- соединяем полученные точки плавной линией с учетом види-

мости.

В некоторых случаях плоскость общего положения целесооб-

разно перевести из общего положения в частное (проецирующее), что

позволяет упростить решение задачи. Такой метод называется спосо-

бом преобразования проекций.

Рассмотрим способ преобразования проекций на примере по-

строения сечения конуса плоскостью общего положения (рисунок 5.5):

- методом перемены (замены) плоскостей проекций (V®V

) пе-

реведем плоскость a из общего положения в частное. Для этого но-

вую ось х

расположим перпендикулярно следу a

. Новое положение

следа a

определим с помощью точки А, взятой на следе a

. Аппли-

кату точки А отложим от оси х

на новой линии связи;

- в преобразованном виде задача сводится к решению задачи

построения сечения проецирующей плоскостью (см. рисунок 5.3);

- находим характерные точки 1, 10, 5. Вспомогательные точки

2, 9, 3, 8, 4, 7 находим с помощью вспомогательных секущих плоско-

стей a, b и g;

- фронтальные проекции точек находим, откладывая от оси ох

аппликаты точек, измеренные на новой фронтальной проекции конуса.

Рассмотренные методы построения сечений тел вращения могут

быть использованы также при построении проекций тел вращения, в

которых выполнены сквозные поперечные пазы цилиндрической или

призматической формы.

Рисунок 5.5 – Построение сечения конуса плоскостью общего положения

с помощью метода перемены плоскостей проекций

На рисунке 5.6 приведен пример построения проекций прямого

кругового конуса, в котором выполнен сквозной призматический паз

трапецеидальной формы.

Задачу можно рассматривать как задачу на построение сечений

конуса четырьмя секущими фронтально-проецирующими плоскостя-

ми. В данном случае две плоскости 1–1 и 4–4 являются еще и гори-

зонтальными плоскостями. В сечении конуса плоскостями 1–1 и 4–4

на горизонтальной проекции будут части окружности. От боковых

плоскостей призматического паза следует ожидать кривые линии

(части эллипсов).