Кирин Е.М., Базыкина Н.А., Вантеев А.Н., Краснов М.Н. Построение сечений и линий пересечения поверхностей

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ)

Построение сечений и линий

пересечения поверхностей

Методические указания

Пенза

Издательство ПГУ

2011

УДК 744(07)

П63

Р е ц е н з е н т

ведущий инженер ОАО «Пензенский часовой завод»

П. М. Великанов

Составители:

Е. М. Кирин, Н. А. Базыкина,

А. Н. Вантеев М. Н. Краснов

Построение сечений и линий пересечения поверхностей :

П63 метод. указания. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – 64 с.

Рассмотрены наиболее сложные темы курса: построение сечений мно-

гогранников и кривых поверхностей, взаимное пересечение поверхностей.

Представлены основные методы построения сечений и линий пересечения

поверхностей.

Методические указания разработаны на кафедре «Начертательная

геометрия и графика» и предназначены для студентов, изучающих дисцип-

лину «Начертательная геометрия и инженерная графика».

УДК 744(07)

университет», 2011

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .................................................................................................... 4

1 Общие сведения о многогранниках....................................................... 5

2 Построение сечений многогранников................................................... 7

3 Построение линии пересечения многогранников.................................12

4 Общие сведения о кривых поверхностях..............................................17

5 Построение сечений кривых поверхностей ..........................................21

5.1 Точка на поверхности ......................................................................21

5.2 Конические, цилиндрические, сферические и торовые сечения ...24

5.3 Построение сечений тел вращения .................................................25

6 Взаимное пересечение поверхностей....................................................31

6.1 Общие положения............................................................................31

6.2 Частные случаи пересечения поверхностей...................................33

6.3 Построение линии пересечения поверхностей методом

образующих и параллелей ..............................................................38

6.4 Метод вспомогательных секущих плоскостей...............................39

6.5 Метод вспомогательных концентрических сфер ...........................43

6.6 Метод вспомогательных эксцентрических сфер............................45

6.7 Построение линий пересечения поверхностей с помощью

вспомогательных плоскостей общего положения .........................47

7 Построение линий пересечения с использованием средств

компьютерной графики ........................................................................50

Список литературы...................................................................................57

Приложение ..............................................................................................58

Введение

Темы курса начертательной геометрии «Сечение поверхностей

плоскостями частного и общего положения» и «Взаимное пересече-

ние поверхностей» являются наиболее важными темами этой дисцип-

лины в теоретическом и практическом смысле. По сути дела весь курс

начертательной геометрии как бы подчинен обоснованию, разработке

и изложению способов построения сечений поверхностей и линий их

взаимного пересечения.

Особая важность перечисленных тем обусловливается их прак-

тической значимостью для конструирования машин, их деталей и

конструкций. Действительно, в каждой технической форме можно

найти сечения и линии пересечения отдельных элементов, которые

необходимо вычерчивать на чертежах и изготавливать в натурных об-

разцах. Практически во всех отраслях производства (машинострое-

ние, авиастроение, судостроение, приборостроение и др.) использу-

ются методы начертательной геометрии (графические методы) для

разработки чертежей конструкций, в которых необходимо решать

графические задачи по построению сечений различных деталей и ли-

ний пересечения технических форм.

В настоящих методических указаниях изложены краткие сведе-

ния о поверхностях и их классификации, представлены основные ме-

тоды построения сечений и линий пересечения поверхностей, даны

образцы учебных заданий по темам.

Все многообразие поверхностей в настоящих методических ука-

заниях разделено на две группы – гранные поверхности (многогран-

ники) и кривые поверхности, что позволяет улучшить структуру по-

собия и удобство пользования им. Основные термины и определения

в тексте выделены подчеркиваниями.

В отличие от большинства учебников по курсу «Начертательная

геометрия» в настоящих методических указаниях материал изложен в

сжатом и доступном для понимания виде и не перегружен теоретически-

ми материалами. Примеры построения сечений и линий пересечений по-

добраны так, чтобы студент освоил методику решения задач и использо-

вал ее для выполнения эпюров и чертежей по своему варианту. При объ-

яснении решения задач широко использован основной и эффективный

метод – поэтапное решение графических задач.

Методические указания предназначены для студентов всех спе-

циальностей, изучающих начертательную геометрию, для студентов-

дипломников и инженеров-конструкторов предприятий и конструк-

торских бюро.

1 Общие сведения о многогранниках

Многогранники относятся к поверхностям, точнее, к гранным

поверхностям, грани которых являются плоскостями. В связи с этим

многогранники целесообразно выделить в отдельный вид поверх-

ностей.

Многогранниками называются тела, ограниченные плоскими

n-угольниками, которые называются гранями. Линии пересечения

граней называются ребрами

. Точки пересечения ребер – вершинами.

Для всех многогранников справедлива формула Эйлера: сумма числа

граней и вершин за минусом числа ребер есть величина постоянная, и

равняется двум:

Г + В – Р = 2.

На рисунке 1.1 приведена классификация многогранников.

Большую группу многогранников составляют правильные и полупра-

вильные многогранники. Они характеризуются одинаково правиль-

ными гранями (грани – правильные треугольники, четырехугольники,

пятиугольники и т.д.); одинаковым числом ребер, сходящихся в каж-

дой вершине; одинаковыми многогранными углами при вершинах.

Полуправильные многогранники – это правильные многогранники со

срезанными вершинами.

Выпуклыми

многогранниками называются многогранники, рас-

полагаемые по одну сторону каждой грани. Если это условие не со-

блюдается, то многогранники называются вогнутыми или выпукло-

вогнутыми.

Приведем примеры правильных многогранников, называемых

телами Платона. Евклид доказал, что правильных многогранников

может быть не больше пяти. Это следует из подсчета суммы плоских

углов при вершинах любого многогранника.

Тетраэдр – это четырехгранник, все грани которого являются

равносторонними треугольниками.

Гексаэдр (куб) – это шестигранник, все грани которого являются

квадратами.

Октаэдр – это восьмигранник, все грани которого являются рав-

носторонними треугольниками.

Додекаэдр – двенадцатигранник, все грани которого являются

правильными треугольниками.

Рисунок 1.1 – Классификация многогранников

Икосаэдр – двадцатигранник, все грани которого – равносто-

ронние правильные треугольники.

Полуправильные многогранники называются телами Архимеда

(существует 13 типов тел Архимеда). Иногда их называют изоэдрами

или изогонами.

Русский ученый Е. С. Федоров в 1881 г. выделил выпуклые мно-

гогранники, рассматриваемые как тела, параллельным переносом ко-

торых можно заполнить все бесконечное пространство так, чтобы они

не входили друг в друга и не оставляли пустот между собой. Такие

многогранники называются параллелоэдрами или телами Федорова

(число их – 5, число граней – 6, 8, 10, 12, 14).

Правильные невыпуклые (выпукло-вогнутые) многогранники

называются телами Пуансо (четыре вида). В этих многогранниках ли-

бо грани пересекают друг друга, либо сами грани – самопересекаю-

щиеся многоугольники.

Наиболее распространенными в технике многогранниками яв-

ляются правильные и неправильные, прямые и наклонные призмы и

пирамиды, а также призматоиды.

Призма – это многогранник, в двух основаниях которого нахо-

дятся плоские n-угольники, а остальные грани являются параллело-

граммами.

Пирамида – это многогранник, в основании которого находится

плоский n-угольник, а остальные грани являются треугольниками с

общей вершиной.

Призматоид – это многогранник, ограниченный двумя парал-

лельными основаниями и боковой поверхностью, состоящей из тре-

угольников или трапеций.

На эпюре многогранники задаются проекциями ребер и вершин,

совокупность которых называют сеткой. Поверхность многогранни-

ков считается геометрически непрозрачной, в связи с чем на эпюре

следует определить видимость ребер методом конкурирующих точек

(прямых).

Многогранники как простейшие пространственные формы ис-

пользуются с древних времен (египетские пирамиды) по настоящее

время в строительстве, в инженерных конструкциях, архитектуре и т.д.

2 Построение сечений многогранников

Сечением называется плоская фигура, которая образуется при

пересечении поверхности многогранника или другой поверхности се-

кущей плоскостью. В зависимости от направления секущей плоскости

в сечении многогранников может быть треугольник, четырехуголь-

ник, пятиугольник и т.д. Если секущая плоскость параллельна плос-

кости проекций, то сечение проецируется на эту плоскость в нату-

ральную величину. В любом другом случае натуральную величину

сечения необходимо определять любым методом начертательной гео-

метрии (например, методом перемены плоскостей проекций).

На рисунке 2.1 представлено два способа построения сечения

многогранников. Первый способ называют способом ребер, так как

он основывается на нахождении точек пересечения ребер с секущей

плоскостью, т.е. при построении сечения решают несколько раз типо-

вую задачу о пересечении прямой с плоскостью. Полученные точки

соединяют прямыми линиями.

SABC Þ Сечения 1–2–3–4

Метод ребер: АВ

a Þ 1; АС

a Þ 2;

a Þ 3; SB

a Þ 4;

Метод граней

: АВС

a Þ 1–2; SAC

a Þ 2–3;

SBC

a Þ 3–4; SAB

a Þ 4–1.

Рисунок 2.1 – Два метода построения сечения многогранников

Второй способ построения сечения называют способом граней.

Согласно этому способу находят линии пересечения граней многогран-

ника с секущей плоскостью т.е. несколько раз решают типовую задачу о

пересечении плоскостей. Наиболее эффективным является способ ребер.

Рассмотрим построение сечения многогранника плоскостью ча-

стного положения (рисунок 2.2). В примере секущая плоскость явля-

ется горизонтально-проецирующей. Решаем задачу методом ребер.

На эпюре видно, что на горизонтальной проекции ребра BC, AC, SB

и AS пересекаются со следом a

плоскости в точках 1

, 2

, 3

, 4

. По

линиям связи находим фронтальные проекции данных точек. На гори-

зонтальной проекции определяем последовательность соединения то-

чек: 1–2–4–3–1 (с учетом видимости ребер). Соединяем полученные

точки прямыми линиями.

Схема соединения точек: 1–2–4–3–1

Рисунок 2.2 – Построение сечения пирамиды

горизонтально-проецирующей плоскостью

Задача усложняется, если секущая плоскость является плоско-

стью общего положения. В этом случае точки пересечения ребер с се-

кущей плоскостью необходимо находить, используя методику реше-

ния задачи о пересечении прямой с плоскостью.