Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
171
;55,045,0)(
244
6
2
2
4
2
4
6
2
⋅⋅== CqpCAP
H
для гіпотези Н
3
:
;9,01,0)(
244
6
2
3
4
3
4
6
3
⋅⋅== CqpCAP
H
для гіпотези Н
4
: .1,09,0)(
244
6
2
4
4
4
4
6
4
⋅⋅== CqpCAP
H
За формулою повної імовірності:
+
⋅
+
⋅
+
⋅= )()()()()()()(
321
321
APHPAPHPAPHPAP
HHH
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅+
244
6
244
64
55,045,0
3
1
6,04,0
2
1
)()(
4
CCAPHP
H
[]
.0090263,0
0002734,00000101,000413481,0004608,0
006561,0
24
1
000081,0
8
1
01240441,0
3
1
009216,0
2
1
1,09,0
24
1
9,01,0
8
1
4
6
4
6
4
6
244
6
244
6
⋅=
=+++=
=
⎥
⎦
⎤
⋅+⋅+⋅+
⎢
⎣
⎡
+⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
C
C
CCC
За формулою Байєса знаходимо умовні імовірності того,
що після аналізів встановлена хвороба В
і
:
,
)(
)()(
)(
AP
APHP
HP
i
Hi
iA
⋅
=
,510508,0
009026296,0
004608,0
)(
4
6
4
6
1
=
⋅
⋅
=
C
C
HP
A
,45808,0
009026296,0
004134796,0
)(
2
==HP
A
,001122,0
009026296,0
000010125,0
)(
3
==HP
A
.03029,0
009026296,0
000273375,0
)(
4
==HP
A
Отже, виключаються хвороби В
3
, В
4
внаслідок їх малої
імовірності.
172
б) Умовні імовірності настання події А при різних
гіпотезах Н
і
рівні:
;004096,04,0)(
66
1
0
1
6
1
6
6
1
==== pqpCAP
H
;0083038,045,0)(
6
2
==AP
H
;000001,01,0)(
6
2
==AP
H
.531441,09,0)(
6
4
==AP
H
Отже,
+⋅+⋅+⋅= 000001,0
8
1
0083038,0
3
1
004096,0
2
1
)(AP
.026959,00221434,0
000000125,0002767922,0002048,0531441,0
24
1
=+
+++=⋅+
Звідси,
;07597,0
026954,0
004096,0
2
1
)(
1
=
⋅
=HP
A
;10267,0
026954,0
0083038,0
3
1
)(
2
=
⋅
=HP
A
;0000046,0
026954,0
000001,0
8
1
)(
3
=
⋅
=HP
A
.82136,0
026954,0
531441,0
24
1
)(
4
=
⋅
=HP
A
Отримані результати аналізів дають вагомі докази
наявності хвороби В
4
.
в) Умовні імовірності настання події А рівні:
;046656,06,0)(
66
1
0
6
1
=== qCAP
H
;0276806,055,0)(
66
2
2
=== qAP
H
173
;531441,09,0)(
66
3
3
=== qAP
H
.000001,01,0)(
66
4
4
=== qAP
H
Отже,
+⋅+⋅+⋅= 531441,0
8
1
0276806,0
3
1
046656,0
2
1
)(AP
+++=⋅+ 066430125,00092269,0023328,0000001,0
24
1
.0989851,0000000041,0 =+
Звідки
;6711,0)(;23567,0)(
21
=
= HPHP
AA
.0000000414,0)(;09322,0)(
43
=
= HPHP
AA
Отримані результати аналізів дають вагомі докази
наявності хвороби В
3
.
2.2.25. Датчик пристрою, що зчитує поштові індекси,
приймає риску за “пустоту” і навпаки “пустоту” за риску з
імовірністю 0,1. Вважається, що імовірність всіх 10 цифр одна
і та ж. На виході датчика отриманий сигнал:
а) б)
Обчислити умовні імовірності того, що була записана
цифра: а) 5; 8; 6; б) 3, 6, 7.
Розв’язок.
Цифри індексу пишуться так:
Будь-яка цифра може бути записана певною комбінацією
з усіх можливих елементів.
174
Даний на виході сигнал (подія А) може бути отриманий,
якщо передавалась одна з цифр 0, 1,...9.
Введемо у розгляд гіпотези Н
1
, ..., Н
9
, Н
10
: була записана
цифра 1, ..., 9, 0. Імовірності цих гіпотез
=
=
)()(
21
HPHP
10
1
)(
10
== HP за умовою.
Нехай при зчитуванні цифр допущена помилка в k еле-
ментах, з імовірністю
k
)1,0( отже, 9 – k елементів зчитані вір-
но з імовірністю
k−9
9,0 . Імовірність такої складної події рівна
добутку подій:
.9,01,0
9 kk −
⋅
а) Якщо була записана цифра 1 (подія Н
1
), а отримано
то помилка міститься в 1, 2, 3, 5, 6, 8, 7 елементах,
тобто k = 7. Тоді умовна імовірність
=⋅=
−797
9,01,0)(
1
AP
H
000000081,0= .
Якщо була записана цифра 2 (подія Н
2
), то помилка
міститься в k = 6 елементах
: =⋅=
−696
9,01,0)(
2
AP
H
000001,0= .
Якщо була записана цифра 3, то k = 6:
:
.000001,0)(
3
=AP
H
Якщо була записана цифра 4 (подія Н
4
), то k = 4: :
.000059,0)(
4
=AP
H
175
Якщо була записана цифра 5 (подія Н
5
), то k = 1:
.043047,0)(
5
=AP
H
Якщо була записана цифра 6 (подія Н
6
), то k = 3:
000531,0)(
6
=AP
H
.
Якщо була записана цифра 7 (подія Н
7
), то k = 5:
.000007,09,01,0)(
595
7
=⋅=
−
AP
H
Якщо була записана цифра 8 (подія Н
8
), то k = 1: ,
.043047,0)(
8
=AP
H
Якщо була записана цифра 9 (подія Н
9
), то k = 5: :
.000007,0)(
9
=AP
H
Якщо була записана цифра 0, то k = 2:
:
.004782,0)(
10
=AP
H
Обчислимо імовірність події А за формулою повної імо-
вірності:
+++=⋅=
∑
=
000001,0000001,00(
10
1
)()()(
10
1
i
Hi
APHPAP
i
176
.091482,0
10
1
004782,0000007,0
043047,0000007,0000531,0043047,0000059,0
⋅=++
+
+
+
+
++
Обчислимо умовні імовірності Р
А
(Н
5
), Р
А
(Н
8
), Р
А
(Н
6
) того,
що на вході були записані цифри 5, 8, 6:
.4706,0
091481,0
10
1
043047,0
10
1
)(
)()(
)(
5
5
5
≈
⋅
⋅
=
⋅
=
AP
APHP
HP
H
A
.4706,0)()(
58
=
= HPHP
AA
.07652,0
091481,0
000531,0
)(
)()(
)(
6
6
5
≈=
⋅
=
AP
APHP
HP
H
A
2.2.26. На рис. 2.2.1 зображена схема доріг. Туристи
вийшли з пункту О, вибираючи навмання на розгалуженні
доріг один з можливих шляхів.
Рис. 2.2.1.
Яка ймовірність того, що вони попадуть в пункт А?
Туристи попали в пункт А, яка ймовірність вибору певного
маршруту?
А
О
Н
1
Н
2
Н
3
Н
4
Н
5
5 4 3 2
1
177
Розв’язок.
Туристи можуть попасти в пункт А (подія А), якщо вони
будуть проходити через один з вузлових пунктів Н
1
, Н
2
, Н
3
,
Н
4
. Позначимо відповідні події (гіпотези) через Н
1
, Н
2
, Н
3
, Н
4
.
Ці події утворюють повну групу подій, а оскільки туристи
вибирають один з чотирьох можливих пунктів, то події
)4,1(
___
=iH
i
рівноможливі, тобто =
=
=
)()()(
321
HPHPHP
.
4
1
)(
4
== HP Якщо туристи попали в пункт Н
1
, вони можуть
попасти в пункт А, вибравши лише одну з п’яти рівно-
можливих доріг, що ведуть з цього пункту. Отже, умовна
імовірність події А при умові Н
1
:
5
1
)(
1
=AP
H
. Аналогічно
2
1
)(
2
=AP
H
(з пункту Н
2
виходять 2 дороги); 1)(
3
=
AP
H
(з
пункту Н
3
веде лише одна дорога, що обов’язково приведе до
пункту А). Розглянемо пункт Н
4
: з нього виходять 5 доріг, імо-
вірність вибору кожної з яких рівна
5
1
. Якщо туристи оберуть
дороги 1, 2, 3, то умовні імовірності попасти в пункт А рівні 0;
якщо оберуть шлях 4, то умовна імовірність рівна
3
1
; якщо
оберуть шлях 5 – то умовна імовірність рівна 1. Застосуємо
формулу повної імовірності для визначення імовірності
попадання в пункт А з пункту Н
4
, позначивши вибір шляху 1,
2, 3, 4 через події В
1
, В
2
, В
3
, В
4
, В
5
:
+
⋅
+
⋅
+
⋅
= )()()()()()()(
3214
321
APBPAPBPAPBPAP
BBBH
+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+
3
1
5
1
0
5
1
0
5
1
0
5
1
)()()()(
54
54
APBPAPBP
BB
15
4
1
5
1
=⋅+ .
Отже, за формулою повної імовірності
178
+
⋅
+
⋅
+
⋅= )()()()()()()(
321
321
APHPAPHPAPHPAP
HHH
.
120
59
15
4
1
2
1
5
1
4
1
)()(
4
4
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=⋅+ APHP
H
Для обчислення імовірності вибору певного маршруту
скористуємося формулою Байєса:
.
)(
)()(
)(
AP
APHP
HP
i
Hi
iA
⋅
=
Звідси,
;
59
6
15
4
1
2
1
5
1
4
1
5
1
4
1
)(
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
⋅
=HP
A
;
59
15
15
4
1
2
1
5
1
4
1
2
1
4
1
)(
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
⋅
=HP
A
;
59
30
15
4
1
2
1
5
1
4
1
1
4
1
)(
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++
⋅
=HP
A
;0),(),(),(
342414
=
=
= BHPBHPBHP
AAA
;
59
2
30
59
4
1
3
1
5
1
4
1
)(
)()()(
),(
4
44
54
=
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
=
AP
APBPHP
HHP
B
A
.
59
6
30
59
4
1
1
5
1
4
1
)(
)()()(
),(
5
54
54
=
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
=
AP
APBPHP
HHP
B
2.2.27. По каналу зв'язку передається одна з послідов-
ностей букв АААА, ВВВВ, СССС з ймовірностями p
1
, p
2
, p
3
179
(їх сума рівна 1). Кожна буква, що передається, приймається
правильно з ймовірністю і з ймовірностями
)1(
2
1
α
− і
)1(
2
1
α
− приймається за кожну з двох інших букв. Передба-
чається, що букви спотворюються незалежно одна від одної.
Знайти ймовірність того, що було передано: а) АААА, б)
ВВВВ, в) СССС, якщо прийнято АВСА.
Розв’язок.
Розглянемо такі гіпотези:
А – передається послідовність АААА;
В – передається послідовність ВВВВ;
С – передається послідовність СССС.
Позначимо подію
D – прийнята послідовність АВСА.
Дана послідовність (подія D) може бути отримана при пе-
редачі однієї з послідовностей А, В, С при умові спотворень
(неправильної передачі деяких букв у послідовності). Імовір-
ність гіпотези А – Р(А) = р
1
; гіпотези В – Р(А) = р
2
;
гіпотези С
– Р(А) = р
3
.
Якщо передається послідовність АААА, то для того, щоб
отримати послідовність АВСА необхідно, щоб І буква А пере-
далась вірно (імовірність правильної передачі ), ІІ буква
спотворилась, тобто замість А передалась В з імовірністю
2
1
α
−
; ІІІ буква спотворилась: замість А передалась С з імо-
вірністю
2
1
α
−
; ІV буква А передалась вірно з імовірністю .
Така складна подія є добутком подій. Її імовірність
α
α
α
α
⋅
−
⋅
−
⋅=
2
1
2
1
)(DP
A
.
Якщо передається послідовність ВВВВ, то для отримання
послідовності D необхідно, щоб: І буква спотворилась, тобто
замість В передалась А з імовірністю
2
1
α
−
; ІІ – буква В пе-
180
редалась вірно з імовірністю ; ІІІ буква спотворилась: за-
мість В передалась С з імовірністю
2
1
α
−
; ІV буква спотвори-
лась: замість В передалась А з імовірністю
2
1
α
−
. Імовірність
.
2
1
2
1
2
1
)(
α
α
α
α
−
⋅
−
⋅⋅
−
=DP
B
Аналогічно, якщо справджується гіпотеза С, то послідов-
ність D отримується при умові спотворення І букви з імовір-
ністю
2
1
α
−
, спотворення ІІ букви з імовірністю
2
1
α
−
, вірної
передачі ІІІ букви з імовірністю α, спотворення ІV букви з
імовірністю
2
1
α
−
. Імовірність такої складної події:
.
2
1
2
1
2
1
)(
α
α
α
α
−
⋅⋅
−
⋅
−
=DP
A
Тоді ймовірність настання події D буде визначатись з
формули повної імовірності:
=
⋅
+
⋅
+
⋅= )()()()()()()( CPCPDPBPDPAPDP
AAA
[]
.))(1(2
2
1
2
1
2
)1(
2
1
2
1
2
1
2
)1(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
321
321
3
21
ppp
ppp
p
pp
+−+×
×⋅
−
⋅
−⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+×
×
−
⋅
−⋅
=
−
⋅
−
⋅
−
⋅+
+
−
⋅
−
⋅⋅
−
⋅+⋅
−
⋅
−
⋅⋅=
αα
ααααα
α
αααααα
α
α
α
α
α
α
α
α
Оскільки подія D уже відбулася, то переоцінимо імо-
вірність гіпотези А при виконанні події D, тобто обчислимо
умовну імовірність
)(AP
D
з формули Байєса: