Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
151
=
−
−
⋅
⋅
+
−
+−
⋅
⋅
+
−
−
×
−−
−
rN
rM
C
CC
rN
rM
C
CC
rN
M
r
N
MN
r
M
r
N
MN
r
M
011
1
...
2
r
N
r
MNM
r
MNM
r
MNM
C
CCMCCMCCM
...)2()1()0(
221100
+⋅⋅−+⋅⋅−+⋅⋅−
=
−
−
−
−
−
−
*
)()1(
011
=
⋅⋅−+⋅⋅+−+
−−
−
MN
r
MMN
r
M
CCrMCCrM
Використаємо рівність
m
M
m
M
MCCmM
1
)(
−
=− .
**
)(
)...(
)(
...
*
0
1
11
1
22
1
11
1
00
1
0
1
11
1
22
1
11
1
00
1
=
−
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
=
−
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=
−−−
−
−
−
−−
−
−−
−
−−
−−−
−
−
−
−−
−
−−
−
−−
rNC
CCCCCCCCCCM
rNC
CMCCMCCMCCMCCMC
r
N
MN
r
MMN
r
M
r
MNM
r
MNM
r
MNM
r
N
MN
r
MMN
r
M
r
MNM
r
MNM
r
MNM
До виразу в дужках використаємо рівність:
;
11
0
r
N
mr
MN
m
M
r
m
CCC
−
−
−−
=
=
∑
;
11
0
r
N
mr
nN
m
n
r
m
CCC =
−
−
=
∑
;1
1
nM =−
;1
1
NN =−
.
)()(
**
1
11
1
0
N
M
CN
CM
CrN
CM
rNC
CCM
r
N
r
N
r
N
r
N
r
N
mr
MN
m
M
r
m
=
⋅
⋅
=
⋅−
⋅
=
−
⋅
=
−
−−
−
−−
=
∑
Нехай
M
r
> , тоді
)(
)]1([)(
)(
]1[1
rMC
MMCCMMCC
AP
r
N
Mr
MN
M
M
Mr
MN
M
M
−
+−−⋅⋅+−⋅⋅
=
−−
−
−−
−
+−−⋅⋅+−−⋅⋅+
−−
−
−−−
−
−
)]3([)]2([
]3[3]2[2
MMCCMMCC
Mr
MN
M
M
Mr
MN
M
M
{
}
+−−−−⋅⋅+
−−−−
−
−−−
)]1([
)]1([)1(
rNMMCC
rNMr
MN
rNM
M
{
}
=
−−−⋅⋅+
−−−
−
−−
)]([
)]([)(
rNMMCC
rNMr
MN
rNM
M
152
r
N
Mr
MN
M
M
Mr
MN
M
M
Mr
MN
M
M
NC
CCCCCCM
1
]3[3
1
]2[2
1
]1[1
1
...[
−
−−
−
−
−
−−
−
−
−
−−
−
−
−
+⋅+⋅+⋅
=
=
⋅+⋅+
−−−
−
−−
−
−−−−
−
−−−
−
]...
)]([)(
1
)]1([)1(
1
rNMr
MN
rNM
M
rNMr
MN
rNM
M
CCCC
.
1
1
1
1
0
N
M
NC
MC
NC
CCM
r
N
r
N
r
N
mr
MN
m
M
r
m
==
⋅
=
−
−
−
−
−−
=
∑
2.2.16. В урні є 3 чорні і 2 білі кулі. Перший гравець за
схемою без повернення виймає 3 кулі. Назад він повертає
чорну кулю, якщо серед вийнятих куль було більше чорних; в
протилежному випадку повертається біла куля. Другий гра-
вець після цього виймає одну кулю і за її кольором повинен
вгадувати число білих куль
серед трьох куль, вийнятих пер-
шим гравцем.
Знайти умовну ймовірність того, що в першого гравця
було:
а) 0 білих;
б) 1 біла;
в) 2 білих кулі,
якщо другий гравець вийняв білу кулю.
Розв’язок.
Позначимо через А подію, яка полягає в витягненні дру-
гим гравцем білої кулі. Подія А може відбутися при виконанні
однієї
з гіпотез, що утворюють повну групу подій: Н
1
–
першим гравцем витягнуто 3 чорні кулі; Н
2
– першим гравцем
витягнуто 1 біла і 2 чорні кулі; Н
3
– першим гравцем витяг-
нуто 2 білі і 1 чорна кулі.
Імовірності цих гіпотез відповідно рівні:
;
10
1
345
3211
)(
3
5
3
3
1
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
==
C
C
HP
153
;
10
6
34521
321232
)(
3
5
2
3
1
2
2
=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
C
CC
HP
.
10
3
345
32131
)(
3
5
1
3
2
2
3
=
⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=
⋅
=
C
CC
HP
Перевірка:
.1
10
3
10
6
10
1
)()()(
321
=++=++ HPHPHP
Якщо відбувається гіпотеза Н
1
, то за умовою гри перший
гравець повертає назад в урну одну чорну кулю, так що в урні
стає: 2 білі + 1 чорна куля = 3 кулі. Тоді умовна імовірність
витягнення білої кулі другим гравцем рівна:
.
3
2
)(
1
=AP
H
Якщо відбувається гіпотеза Н
2
, то в урні залишається 1 чорна
і 1 біла кулі і в урну повертають 1 чорну кулю, так що там
стане 2 чорних і 1 біла кулі. Тоді:
.
3
1
)(
2
=AP
H
Якщо відбу-
вається подія Н
3
, то в урну повертається 1 біла куля, так що в
урні стане 2 чорних і 1 біла кулі. Умовна імовірність:
.
3
1
)(
3
=AP
H
Імовірність події А обчислимо підставивши від-
повідні дані у формулу повної імовірності:
=
⋅
+
⋅
+
⋅= )()()()()()()(
321
321
APHPAPHPAPHPAP
HHH
30
11
3
1
10
3
3
1
10
6
3
2
10
1
=⋅+⋅+⋅=
.
Подія А відбулася. Тоді умовні імовірності гіпотез
)(),(),(
321
HPHPHP
AAA
обчислимо за формулами Байєса:
;
)(
)()(
)(
AP
APHP
HP
i
Hi
iA
⋅
=
154
а)
;
11
2
30
11
30
2
)(
1
==HP
A
б)
;
11
6
30
11
30
6
)(
2
==HP
A
в)
.
11
3
30
11
30
3
)(
3
==HP
A
2.2.17. В одній урні є 1 біла і 2 чорних кулі, а в другій – 2
білих і 3 чорних куль. В третю урну кладуть дві кулі, випад-
ково взятих з першої урни, і дві кулі, випадково взятих з
другої.
а) Яка ймовірність того, що куля, взята з третьої урни,
буде білою?
б) Знайти імовірність того,
що при виборі з поверненням з
третьої урни двох куль одна з них буде білою, а друга –
чорною.
в) Знайти ту ж імовірність, що й в п. б) для схеми вибору
без повернення.
Розв’язок.
Введемо у розгляд події (гіпотези):
Н
1
– з першої урни вибирають 1 білу і 1 чорну кулі;
Н
2
– з першої урни вибирають дві чорні кулі;
Н
3
– з другої урни вибирають 1 білу і 1 чорну кулі;
Н
4
– з другої урни вибирають дві білі кулі;
Н
5
– з другої урни вибирають дві чорні кулі.
Імовірності цих подій обчислюємо згідно формул:
;
5
2
23
2121
)(
2
3
1
2
1
1
1
=
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
C
CC
HP ;
3
1
23
211
)(
2
3
2
2
2
=
⋅⋅
⋅⋅
==
C
C
HP
;
51
3
45
2132
)(
2
5
1
3
1
2
3
=
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
C
CC
HP
155
;
10
1
45
21
)(
2
5
2
2
4
=
⋅
⋅
==
C
C
HP
.
10
3
2145
2123
)(
2
5
2
3
5
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
==
C
C
HP
З цих простих подій випливають такі гіпотези:
В
і
– одночасно відбуваються незалежні події Н
j
і Н
k
,
)3,1;2,1;6,1(
______
=== kji тобто:
311
HHB ⋅=
, тоді
;
5
2
5
3
3
2
)()()()(
31311
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
412
HHB ⋅= ,
;
15
1
10
1
3
2
)()()()(
41412
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
513
HHB ⋅=
,
;
5
1
10
3
3
2
)()()()(
51513
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
324
HHB ⋅= ,
;
5
1
5
3
3
1
)()()()(
32324
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
425
HHB ⋅= ,
;
30
1
10
1
3
1
)()()()(
42425
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
526
HHB ⋅=
,
.
10
1
10
3
3
1
)()()()(
52526
=⋅=⋅=⋅= HPHPHHPBP
Події В
1
, В
2
, ...В
6
утворюють повну групу подій, так що
1
10
1
30
1
5
1
5
1
15
1
5
2
6
1
=+++++=
∑
=
i
i
B .
Якщо відбувається подія:
В
1
– то в третю урну покладені 2 білі і 2 чорні кулі;
156
В
2
– в третю урну покладені 3 білі і 1 чорна кулі;
В
3
– в третю урну покладені 1 біла і 3 чорні кулі;
В
4
– в третю урну покладені 1 біла і 3 чорні кулі;
В
5
– в третю урну покладені 2 білі і 2 чорні кулі;
В
6
– в третю урну покладені 4 чорні кулі.
а) Позначимо через А подію – куля взята з третьої урни є
білою. Тоді умовні імовірності настання події А при здійснен-
ні гіпотез В
1
,...В
6
є такими:
;
2
1
4
2
)(
1
==AP
B
;
4
3
)(
2
=AP
B
;
4
1
)(
3
=AP
B
;
4
1
)(
4
=AP
B
;
2
1
4
2
)(
5
==AP
B
.0)(
6
=
AP
B
Згідно формули повної імовірності:
+⋅+⋅+⋅+⋅==
∑
=
4
1
5
1
4
1
5
1
4
3
15
1
2
1
5
2
)()()(
6
1
APBPAP
i
Bi
i
.
30
11
0
10
1
2
1
30
1
=⋅+⋅+
б) Подія А полягає в тому, що з третьої урни витягають
дві кулі: одну білу і одну чорну. Це може відбутися, якщо
куля виявляється білою – подія С
і
: її повертають назад в
урну, вміст перемішують і знову витягають другу кулю, яка
повинна бути чорною – подія D
і
, тобто відбувається подія
ii
I
DCA ⋅= . Може бути навпаки, тобто витягують спочатку
чорну кулю – подія D
і
, а потім білу – подія С
і
, тобто від-
бувається подія
.
ii
II
CDA ⋅=
Оскільки
III
AAA
+
= і події А
І
і А
ІІ
– несумісні, то
).()()()(
IIIIII
APAPAAPAP +=+=
Події С
і
і D
і
незалежні, їх імовірності залежать від вмісту
третьої урни, тобто гіпотез В
і
. Умовні імовірності події А
рівні:
=
+
=
⋅
+
⋅
= )()()()(
iiBiiBiiiiBB
CDPDCPCDDCPAP
iiii
).()(2)(2
iBiBiiB
DPCPDCP
iii
==
157
де )(
iB
CP
i
рівні обчисленим )( AP
i
B
в пункті а):
.0102)(;1)(;0)(
;
2
1
4
2
2
1
2)(;
2
1
4
2
)(;
2
1
)(
;
8
3
4
3
4
1
2)(;
4
3
)(;
4
1
)(
;
8
3
4
3
4
1
2)(;
4
3
)(;
4
1
)(
;
8
3
4
1
4
3
2)(;
4
1
)(;
4
3
)(
;
2
1
2
1
2
1
2)(;
2
1
4
2
)(;
2
1
)(
666
555
444
333
222
1
66
55
44
33
22
11
=⋅⋅===
=⋅⋅====
=⋅⋅===
=⋅⋅===
=⋅⋅===
=⋅⋅====
APDPCP
APDPCP
APDPCP
APDPCP
APDPCP
APDPCP
BBB
BBB
BBB
BBB
BBB
BBiB
i
Підставивши отримані дані у формулу повної імовірності
маємо:
120
47
0
10
1
2
1
30
1
8
3
5
1
8
3
5
1
8
3
15
1
2
1
5
2
)( =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=AP
.
в) А – подія, яка полягає в тому, що з третьої урни витя-
гають першу кулю, яка виявляється білою – подія С
і
, відкла-
дають її і витягують другу кулю, яка виявляється чорною –
подія D
і
, тобто відбувається подія
ii
I
DCA ⋅= або подія
ii
II
CDA ⋅=
– перша куля чорна (D
і
), а друга куля біла (С
і
).
Оскільки
III
AAA
+
= і А
І
і А
ІІ
– несумісні, то
).()()(
III
APAPAP +=
Умовні імовірності події А рівні:
=
+
=
⋅
+
⋅
= )()()()(
iiBiiBiiiiBB
CDPDCPCDDCPAP
iiii
)(2
iiB
DCP
i
= , оскільки )()(
iiBiiB
CDPDСP
ii
=
.
Тут
)(
iB
CP
i
рівні обчисленим )( AP
i
B
в пункті а):
;
3
2
3
2
2
1
2)(;
3
2
)(;
2
1
)(
1111
11
=⋅⋅=== APDPCP
BCBB
158
;
2
1
3
1
4
3
2)(;
3
1
)(;
4
3
)(
2222
22
=⋅⋅=== APDPCP
BCBB
;
2
1
1
4
1
2)(;1)(;
4
1
)(
3333
33
=⋅⋅=== APDPCP
BCBB
;
2
1
1
4
1
2)(;1)(;
4
1
)(
4444
44
=⋅⋅=== APDPCP
BCBB
;
3
2
3
2
2
1
2)(;
3
2
)(;
2
1
)(
5555
55
=⋅⋅=== APDPCP
BCBB
.010)(;1)(;0)(
6666
66
=
⋅
=
=
= APDPCP
BCBB
Підставивши отримані значення у формулу повної
імовірності, отримаємо:
90
47
0
10
1
3
2
30
1
2
1
5
1
2
1
5
1
2
1
15
1
3
2
5
2
)( =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=AP
.
2.2.18. В будівельному загоні 70% першокурсників і 30%
студентів другого курсу. Серед першокурсників – 10% дівчат,
а серед студентів другого курсу – 5% дівчат. Всі дівчата за
списком чергують на кухні. Знайти ймовірність того, що в
випадково вибраний день на кухні чергує першокурсниця.
Розв’язок.
Для наочності побудуємо схему будівельного загону.
Позначимо через А подію – “на кухні
відбувається
чергування”. Оскільки на кухні чергують лише дівчата, то
дана подія А може відбутися при настанні однієї з гіпотез
(подій), які утворюють повну групу подій:
1
В – на кухні чергує І курс (дівчата);
Першокурсники
70%
Студенти ІІ курсу
30%
дівчат
10%
хлопців
90%
дівчат
5%
хлопців
95%
159
2
В – на кухні чергує ІІ курс (дівчата);
Згідно умови
7,0)(
1
=
BP ; .3,0)(
2
=
BP Тоді умовні
імовірності настання події А рівні:
1,0)(
1
=
AP
B
;
05,0)(
2
=AP
B
.
Використаємо формулу повної імовірності для
обчислення
)(AP :
.085,005,03,01,07,0
)()()()()(
21
21
=⋅+⋅=
=
⋅
+
⋅= APBPAPBPAP
BB
Чергування відбулося – подія А наступила. З формули
Байєса визначимо умовну імовірність гіпотези
1
H :
82352,0
17
14
085,0
1,07,0
)(
)()(
)(
1
1
1
≈=
⋅
=
⋅
=
AP
APBP
HP
B
A
.
2.2.19. В урну, яка містить n кульок, опущена біла кулька,
після чого навмання вийнято одну кульку.
Знайти ймовірність того, що вийнята кулька виявиться
білою, якщо всі припущення про початковий склад кульок (за
кольором) рівноможливі.
Нехай навмання вийнята з урни куля виявилась білою.
Обчислити ймовірності всіх припущень про склад куль в урні.
Яке припущення найбільш ймовірне?
Розв’язок.
Нехай подія А – “вийнята з урни куля є білою”. Введемо у
розгляд події
/
i
H , що описують початковий склад куль в урні
і Н
і
– після опущення білої кулі:
I
H
1
– 0 білих і n небілих; Н
1
– 1 біла і n небілих;
I
H
2
– 1 біла і (n – 1) небілих; Н
1
– 2 білих і (n – 1) небілих;
I
H
3
– 2 білих і (n – 2) небілих; Н
1
– 3 білих і (n – 2) небі-
лих;
I
n
H – (n – 1) біла і 1 небіла;
n
H – n білих і 1 небіла;
160
I
n
H
1+
– n білих і 0 небілих;
1+n
H – (n + 1) білих і 0 небілих.
Оскільки всі n + 1 припущень про початковий склад куль
(за кольором) рівноможливі, то
.
1
1
)(...)(...)()(
121
+
====
+
n
HPHPHPHP
ni
Тоді умовні імовірності події А рівні:
;
1
1
)(
1
+
=
n
AP
H
;
1
2
)(
2
+
=
n
AP
H
;
1
)(
+
=
n
i
AP
i
H
1
1
)(
1
+
+
=
+
n
n
AP
n
H
.
Остаточно імовірність події А згідно формули повної
імовірності рівна:
×
+
⋅
+
⋅
= )(...)()()()()(
21
21 iHH
HPAPHPAPHPAP
⎢
⎣
⎡
+
+
+
++
=⋅+×
+
+
...1
2
1
1
1
1
)()(...)(
1
1
nnn
APHPAP
ni
HnH
,
)1(2
2
)1(
2
11
1
1
1
1
1
1
...
...1 +
+
=+⋅
++
⋅
+
⋅
+
=
⎥
⎦
⎤
+
+
+
+
+
n
n
n
n
nnn
n
n
i
як сума членів арифметичної прогресії.
Тоді умовні імовірності гіпотез Н
і
при здійсненні події А
рівні:
.
)2)(1(
2
)1(2
2
11
1
)(
++
=
+
+
+
⋅
+
=
nn
i
n
n
n
i
n
HP
iA
Імовірність гіпотези
1+n
H є максимальною:
.
2
2
)(
1
+
=
+
n
HP
nA
2.2.20. Кидаються дві гральні кістки. Яка імовірність того,
що на першій кістці випала 1, якщо відомо, що на другій кіст-
ці випало число очок більше, ніж на першій?