Капралов Е.Г., Кошкарев А.В., Тикунов В.С. и др. Геоинформатика

Подождите немного. Документ загружается.

Если 2Q = z\ то соответствующий вектор сдвига равен нулю.

Имеем

y]\+(R

)/r

-I =

yj\+(As-As)/nr

-1 =

yl\ +

((p/p)-\)As/nr

= ((/>//>)-

1)Д5

/2nr

+ о(Д.у).

(2.51)

Последнее равенство вытекает из того, что VI + е =

+ с / 2 + 0(c).

Таким образом, с точностью до членов второго порядка малости

^-1

FAS

2кг

2 '

по As искомое векторное поле равно

Суммируя полученные выражения по всем ячейкам и переходя

к пределу при стремлении размеров ячеек к нулю, получаем для

вектора vj>

(

o) выражение в виде интеграла

Р-Р

sv Р

2яИ

•ds.

(2.52)

Если плотность p(z) задана постоянной на частях некоторого

фиксированного разбиения области D и принимает на части D,

значение, равное p

то вектор vj/

(

o) равен сумме по всем частям

£>,,

т.е. по их номерам /, интефалов

Р-Р

2к{

р .

Используя формулу Стокса

j (Pdx + Qdy) =

¥)dxdy

(2.53)

интегрирование по части £>, области D можно заменить интегри-

рованием по ее границе 5, = <9Э,. Для этого удобно перейти к коор-

динатной записи (напомним, что г =

(А

- х\ у

-/). В соответ-

ствии с формулой Стокса, имеем

\LdsS

[ ^

dx'dy\

[

dx'dy]=

f-J 1п[(хо-х')

-Л

к/У, ^ J In|<*b-*')4>W')W1

(2.54)

Например, для первой компоненты получим

JlnKxo

А')

+ 0'о -/)

W= \4i 1п|(дс

- -О

+ 0'о -Я

|^' =

(-2)f-

-Х'

(2.55)

При рассмотрении дискретного приближения рассматриваемой

ситуации части Э, являются многоугольниками, а их границы S, —

ломаными линиями (с достаточно короткими звеньями). Поэтому рас-

сматриваемые интегралы по границам S

равны суммам интегралов

по некоторым отрезкам. Интеграл по отрезку, соединяющему точки

2| =

(*|,;

;

и 2

(х

,У2),

от выражения 1п[(х

А')

+(у

y')

\d\'

или 1п[(л'о -*')

+(Уо

-y')

]dy'

сводится к неопределенному интег-

ралу вида J In х dx =

In х-х, если точка Zq = (х

(Ь

) лежит на пря-

мой, проходящей через точки 2, =

(*,,>>,)

и z

= (х

,>'

и к нео_

пределенному интегралу вида

Jln(x

+ a

) dx =

х\\л(х

) -

2А•

2aarctg(A/c7), если точка 2о не лежит на указанной прямой. По-

этому данные интегралы явно вычисляются.

Построение векторного поля vj),(2) по функции плотности p,(z)

отличается от построения векторного поля vj/

(z) по функции плот-

ности po(z) = p(z) только тем, что в соответствии с описанием

распределение с плотностью p,(z) должно быть выровнено за ос-

тавшееся время (1 -/), а не за время 1 как распределение с плот-

ностью p(z). Поэтому дословное повторение описанной конструк-

ции приводит к векторному полю

y,(z)

определяемому форму-

лой

и отличающемуся от требуемого векторного поля vj),(2) только

множителем (1-/): у*(2) = (1 -/)vj/,(2), т.е. vj),(z) = vj)*(z)/(l -/).

Можно доказать, что решение дифференциального уравнения

(z)

= у,(2) с описанной правой частью ij),(2) (определяемой

по функции плотности

(z),

т.е. по преобразованию

(z))

дей-

ствительно приводит к преобразованию h(z) = A|(z), выравниваю-

щему плотность p(z) =

po(z).

Дифференциальное уравнение на практике решается прибли-

женно с помощью метода Эйлера, т.е. метода касательных. Конк-

ретно это означает следующее. Выбирая шаг по /, равный 1/п (обыч-

но бралось п = 5), строим итерационный процесс, первые // шагов

которого определяются по формуле

(())

(z) = z, Л

(/)

(2) = Л

(2) + с

н/(

)(2), / =

1,2,...,//,

(2.57)

где vj/(,_i)(z) — векторное поле, определяемое описанным выше

способом по функции плотности

Pa-\)(z),

к которой сводится рас-

пределение после преобразования

с, = \/(п - /' + I) — посто-

янный коэффициент (его вид объясняется отличием vj>*(z) от пра-

вой части vj>*(z) уравнения

(2.49)).

Преобразование

(n)

(z)

является полученным с помощью метола

Эйлера приближением к требуемому преобразованию анаморфиро-

(2.56)

вания h(z). Поэтому оно не вполне точно выравнивает исходную фун-

кцию плотности p(z). Для построения сколь угодно точного прибли-

жения к требуемому преобразованию описанный итерационный про-

цесс

A(/

)

(2)

= /i

)

(2)

\i>[

)

(2)

продолжается для /=(л + 1), (л + 2),....

Процесс останавливается, когда отличие плотности распределе-

ния рассматриваемой величины от р станет меньше, чем задан-

ная заранее величина е (в реальных построениях бралось е =

0,01/?).

В качестве примеров приведем серию из трех анаморфоз, со-

зданных на основе данных по численности населения стран мира —

рис.

27; валового национального продукта (ВНП) — рис. 28 и объе-

мов производства промышленной продукции — рис. 29.

Объемные анаморфозы. Как известно, классическая картогра-

фия предлагает широко используемый ряд способов изображения,

таких, как цвет, штриховки, условные знаки и т.д. С помощью

общепринятых методов (например, столбчатые диаграммы) мож-

но отобразить много показателей одновременно — до

30—40,

как

это иногда встречается на социально-экономических картах. Одна-

ко при этом наглядность подобной карты катастрофически пада-

ет, и качество ее восприятия начинает приближаться к качеству

восприятия таблицы данных, по которой она и была построена.

Именно поэтому на картах стараются применять различные спосо-

бы картографического изображения. Кроме того, важна и эффек-

тивность применяемого изобразительного средства. Авторами учеб-

ника разработан метод создания и применения нового способа

изображения, который в принципе похож на классический спо-

соб столбчатых диаграмм, однако обладает рядом преимуществ и

большей эффектностью отображения картографируемого показа-

теля.

Суть предлагаемого метода

[N.

Bogomolov,

I.Rylskiy, V.Tikunov,

2002]

заключается в следующем. Даны два показателя, нуждающи-

еся в картографировании, например, реальный ВНП и числен-

ность населения в странах мира. В данном примере показатели взя-

ты за 1996 г. (заметим, что реальный валовой национальный про-

дукт исчислялся в международных долларах на основе паритета

покупательной способности валют). Международный доллар имеет

ту же покупательную способность по отношению к ВНП, что и

доллар США внутри Соединенных Штатов Америки. Реальный ВНП

развивающихся стран, обычно значительно превосходящий их но-

минальный ВНП, точнее отражает уровень благосостояния насе-

ления. В противоположность этому потенциал взаимодействия ре-

ального ВНП, или ВНП, исчисленного на основе паритета поку-

пательной способности валют, определяется величиной номиналь-

ного ВНП, который в развивающихся странах, как правило, ниже

реального. В соответствии с численностью населения и ВНП стро-

ятся анаморфозы, и результатом этого являются двухмерные изо-

бражения (см. рис. 27 и 28). Любую из них можно использовать в

качестве основы. В наших примерах численность населения будет

закладываться в основу анаморфоз, а ВНП характеризоваться на

ее фоне. Для каждой страны (если страна имеет несколько конту-

ров — для каждого контура) выбирается точка, принимаемая за ее

«центр». Выборка ведется визуально; необходимое условие — на-

хождение точки внутри контура страны (если страна имеет несколько

контуров — внутри каждого контура соответственно). Выборка цен-

тров ведется в декартовой (X, У) системе координат по анаморфи-

рованному изображению. Всем точкам границ государств присваи-

вается значение координаты Z = О, а всем центрам государств —

значение Z, равное значению картографируемого показателя (у нас —

ВНП).

Если теперь по полученному набору точек построить поверх-

ность в автоматическом режиме (методом триангуляции Делоне),

то в результате получится набор многогранных пирамид, у которых

основание будет иметь контур, совпадающий с границей страны в

метрике анаморфозы, а число граней будет равняться количеству

точек-узлов ломаной, оконтуривающей данную страну.

Анаморфоза мира по численности населения обладает следую-

щим свойством — площадь каждой страны пропорциональна чис-

ленности ее населения. Высота пирамиды, построенной нами,

пропорциональна ВНП. Как известно, объем пирамиды равен У=

- SH/3, где 5— площадь основания; # — высота пирамиды. Сле-

довательно, объем полученной пирамиды пропорционален ВНП

данной страны.

Отметим сразу, что визуально сравнить объемы ВНП двух стран

довольно трудно, так как очертания каждой пирамиды уникальны

и имеют неправильную форму.

К положительным особенностям данного изображения следует

отнести, несомненно, эффектность результирующего изображения.

Проведение сравнений и выделение аномалий облегчено. Мы отобра-

жаем два показателя, не используя, фактически, ни одного из обще-

принятых в картографии методов, и оставляя их про запас. Вся ин-

формация о двух характеристиках объектов содержится в их облике.

Возможно также и построение столбчатых диаграмм по ана-

морфозе, однако результат читается и воспринимается хуже из-за

того,

что одни страны закрывают другие; стран с низким ВНП в

окружении соседей с высоким ВНП просто не будет видно. Плохо

виден нулевой уровень. Пирамидальные блок-диаграммы свобод-

ны от этого недостатка. Они показывают нулевой уровень для каж-

дого контура страны. Обеспечивается также хороший обзор — прак-

тически любая страна может быть рассмотрена.

Технология создания такого изображения довольна проста. Так,

основанием для построения изображения послужили: политиче-

ская карта мира, данные о численности населения и реального ВНП

за 1996 г. Исходная карта мира была преобразована в анаморфозу

по алгоритму [СМ.Гусейн-Заде, В.С.Тикунов,

1999].

Результиру-

юшие данные (файлы с координатами точек и топологией объек-

тов) были преобразованы в формат ГИС ArcView 3.0 (файлы поли-

гональных тем) с помощью конвертера для последующего экс-

порта в растровый формат *.jpg. Экспортировано было два файла,

одинаковых по размеру растров: один — черно-белый (1), с кон-

турами границ государств, другой — цветной (2), с заливкой этих

же государств уникальными цветами. Черно-белый растр был ав-

томатически векторизован и атрибутирован с помощью програм-

мы

Raster2Vector

(Able

Software),

и в ней же были нанесены и

атрибутированы центральные точки полигонов. Результат работ был

сохранен в файле формата

*.sdl,

затем переконвертирован в файл

*.соп, являющийся исходным для работы программы

DEMI,

вы-

полняющей построение поверхности по заданному массиву не-

регулярно расположенных точек. Результаты работы сохранены в

файле формата

*.dem,

который представляет регулярную сетку

точек с определенными высотами. С помощью конвертера файл

данного типа был сохранен в формате

*.bmp

(градации серого,

чем выше — тем белее, чем ниже — чернее). После этого в пакете

3D-Studio

МАХ 2.5 (на основании полученного bmp-файла) из

регулярной сетки размером 300 х 300 была «выдавлена» (процедура

Tesselate)

трехмерная поверхность с построенными на ней пира-

мидальными блок-диаграммами. После этого данная поверхность

была «обклеена» цветным растровым изображением — для облег-

чения пользования данным изображением. Поскольку для деталь-

ного рассмотрения данную поверхность можно визуализировать с

какой угодно стороны, было построено несколько изображений

различных регионов земного шара (рис. 1 цв. вкл.).

Использование

анаморфоз.

За всю историю создания и исполь-

зования анаморфоз можно найти примеры, относящиеся к самым

различным областям. Но наиболее часто они используются для раз-

нообразных характеристик населенности территории, в электораль-

ной и медицинской географии, отображения качества окружаю-

щей среды, загрязнения воздуха и т.д. Несмотря на разнообразие

методик, ранее применявшихся для создания анаморфоз, в дан-

ном подразделе будем использовать только алгоритм, разработан-

ный авторами книги [С.М.Гусейн-Заде, В.С.Тикунов,

1999],

для

создания площадных анаморфоз. По технологии анализа будем

выделять визуальные, интерактивные (человеко-машинные) и ав-

томатизированные способы, а по целям — анализ структуры, вза-

имосвязей и динамики явлений (с подразделением их на простран-

ственно- и содержательно-ориентированные разновидности, под-

робнее см.

[В.С.Тикунов.

1997]).

Для анализа анаморфоз прежде всего целесообразен визуаль-

ный анализ. Взгляните на приведенную ранее анаморфозу мира,

созданную на основе численности населения (см. рис. 27). По кон-

фигурации стран они легко опознаются и, конечно, прежде всего

привлекают внимание Китай

Индия. Интересно,

что

здесь даже

«точки» исходной карты, изображающие Люксембург

или

Синга-

пур,

превращаются

на

анаморфозе

солидные территории.

Азии

лишь Монголия

Лаос, кстати, вместе

целым континентом

—

Австралией, выглядят более

чем

скромно

на

фоне

их

окружения.

В Африке, которая достаточно скромна

на

фоне Азии

да и

Евро-

пы,

прежде всего обращает

на

себя внимание шарообразная Ниге-

рия. Наибольшие контрасты присущи Европе

—

сравните «крохот-

ный» Бенилюкс

страны Скандинавии. Относительно равномерно

заселены страны Америки,

за

исключением Канады

Гренландии.

Нанеся

на

полученную анаморфозу связанные

численностью

населения характеристики, например, обеспеченность продуктами

питания, получим более правильное впечатление

о его

дефиците,

отнесенном

не к

территории,

как на

обычных картах,

более кор-

ректно

— по

отношению

нуждающемуся

в нем

населению

и т.д.

Взглянем теперь

на

вторую анаморфозу, построенную

на

осно-

ве данных

валовом национальном продукте

(см. рис. 28).

Контра-

сты здесь

еще

большие,

чем на

предыдущей анаморфозе. Прежде

всего бросаются

глаза

три

мировых «центра богатства»

— США,

Западная Европа

Япония.

Европе некоторые страны деформи-

руются столь сильно,

что их

даже сложно узнать. Однако, если

Европе

под

словом деформация понимается растяжение,

то в Аф-

рике происходит

то же

самое,

но с

обратным знаком. Большин-

ство стран Западной

Центральной Африки просто сливаются

вместе. Обращает

на

себя внимание лишь

ЮАР да

некоторые неф-

тедобывающие страны. Интересно взглянуть

на

Индию

Китай

—

лидеров предыдущей анаморфозы. Здесь

они

более

чем

скромны.

Любопытно соотношение Китая

Тайваня

на

анаморфозе. Более

«достойные очертания» принимает Австралия.

Что

касается Аме-

рики,

то на

фоне «денежного мешка»

— США, все

остальные стра-

ны выглядят более

чем

скромно. Поскольку Аляска включалась

расчеты

как

отдельная территория,

то это и

привело

к ее

«выкли-

ниванию»

узкую полоску. Обращают

на

себя внимание почти

правильные четырехугольники островов Пуэрто-Рико

Тринидад.

Обратимся наконец

примеру

по

России

(рис. 30) —

анамор-

фозе, созданной

по

численности населения (из-за отсутствия дан-

ных Ингушетия

Чечня объединены вместе). Покажем

на

анамор-

фозе России области преимущественного компактного заселения

русского населения, которые были перенесены нами

карты

на-

ционального состава населения

из

«Атласа народов мира»

(рис. 31).

Если подсчитать соотношение заштрихованной площади

общей

территории России

на

обычной карте,

то она

составит

31,4 %, а на

анаморфозе увеличивается

до 78,6%.

Доля русского населения,

согласно переписи, проведенной

в 1989 г.,

составляет

81,5%. По-

этому естественно,

что

анализ

выводы

национальном составе

той

или

иной страны проще делать, ориентируясь

на

анаморфи-

• — 1 млн человек

Рис.

30. Анаморфоза России по численности населения с характеристи-

кой области преимущественного компактного заселения русского насе-

ления

рованное изображение, чем на традиционное. В противном случае,

не зная характера пространственного размещения плотности на-

селения (не показываемого на картах национального состава),

можно сделать абсурдный вывод о том, что в России преобладают

народности Севера — ненцы, эвенки, ханты, чукчи, эвены, на-

найцы и другие, расселившиеся на огромных просторах страны.

Связав этот вывод с рождаемостью, характерной для народов Севе-

ра, также визуально отнесенной не к населению, а к территории,

можно получить такой же нелепый результат при характеристике

республики в целом на основе данных всего о 0,11 % населения,

Рис.

31. Исходная карта России с характеристикой области преимуще-

ственного компактного заселения русского населения