Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

950

èçâåñòíîì K

ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ êðèòè÷åñêîå çíà-

÷åíèå íàïðÿæåíèÿ

σσ

äëÿ èçâåñòíîãî ðàçìåðà òðå-

ùèíû a èëè êðèòè÷åñêèé ðàçìåð òðåùèíû à

äëÿ

çàäàííîé íàãðóçêè

σσ

; (14.1.15-5)

Ïðè öèêëè÷åñêîì íàãðóæåíèè â ìåõàíèêå ðàç-

ðóøåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ äðóãèå êðèòåðèè. Ðîñò òðå-

ùèíû ïðè íàãðóæåíèè ïåðåìåííûì âî âðåìåíè

íàïðÿæåíèåì ñ àìïëèòóäîé

σσ

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé

ïðîöåññ, ðàçâèâàþùèéñÿ âî âðåìåíè. Ïîâåäåíèå

òðåùèíû â ýòîì ñëó÷àå õàðàêòåðèçóþò ñêîðîñòüþ

åå ðîñòà da/dN ( ãäå N – ÷èñëî öèêëîâ).

Ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå

ïîêàçûâàþò, ÷òî ñêîðîñòü ðîñòà òðåùèíû (ÑÐÒ) ïðè

ìíîãîöèêëîâîé óñòàëîñòè çàâèñèò îò ðàçìàõà ÊÈÍ

∆∆

∆

K. Ýòà çàâèñèìîñòü, ïðåäñòàâëåííàÿ â ëîãàðèôìè-

÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ - êèíåòè÷åñêàÿ äèàãðàììà óñ-

òàëîñòíîãî ðàçðóøåíèÿ - èìååò îáû÷íî âèä, ïîêà-

çàííûé íà Ðèñ. 14.1.15_3. Íà íåé ïðèíÿòî âûäåëÿòü

òðè õàðàêòåðíûõ ó÷àñòêà. Ñðåäíèé ó÷àñòîê - ïðÿ-

ìîëèíåéíûé - íàèáîëåå èçó÷åííûé, îí ñîîòâåòñòâóåò

ñêîðîñòÿì ðîñòà òðåùèí ïîðÿäêà 10

-5

…10

-9

ì/öèêë.

Ëåâûé êðèâîëèíåéíûé ó÷àñòîê

íèçêèõ ñêîðîñòåé,

àñèìïòîòè÷åñêè óñòðåìëÿþùèõñÿ ê íóëþ, íàçûâà-

þò ïðèïîðîãîâûì, à àñèìïòîòè÷åñêîå çíà÷åíèå

ðàçìàõà ÊÈÍ

∆∆

∆

- ïîðîãîâûì ÊÈÍ. Ïðàâûé êðè-

âîëèíåéíûé ó÷àñòîê ñîîòâåòñòâóåò áûñòðîìó ðîñ-

òó òðåùèíû ïðè êðèòè÷åñêîì ðàçìàõå ÊÈÍ

∆∆

∆

Â ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêàõ ïðèâåäåíî íå-

ñêîëüêî ä

åñÿòêîâ çàâèñèìîñòåé, àíàëèòè÷åñêè

îïèñûâàþùèõ êèíåòè÷åñêóþ äèàãðàììó óñòàëî-

ñòíîãî ðàçðóøåíèÿ. Îíè ðàçëè÷àþòñÿ óðîâíåì

ñëîæíîñòè, êîëè÷åñòâîì ïàðàìåòðîâ, âîçìîæíî-

ñòüþ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ òåõ èëè èíûõ ìàòåðèà-

ëîâ è ó÷åòà âëèÿíèÿ âíåøíèõ ôàêòîðîâ. Íàèáî-

ëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå Ïàðèñà,

îïèñûâàþùåå ñðåäíèé ó÷àñòîê äèàãðàììû ÑÐÒ-

ÊÈÍ ëèíåéíîé (â ëîãàðèôìè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ)

ôóíêöèåé ñ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè:

(14.1.15-6)

ãäå C è n – õàðàêòåðèñòèêè öèêëè÷åñêîé òðåùèíî-

ñòîéêîñòè ìàòåðèàëà, îïðåäåëÿåìûå èç

ñïåöèàëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.

Îíè çàâèñÿò îò àñèììåòðèè öèêëà íàãðóæå-

íèÿ, ðàáî÷åé òåìïåðàòóðû, ñîñòîÿíèÿ ìàòåðèàëà.

Ïîäñòàâëÿÿ â (14.1.15-6) âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà

ÊÈÍ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ðîñòà òðåùèíû:

(14.1.15-7)

Íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ íåãî – ðàçìåð èñõîäíîé

òðåùèíû:

a(0) = a

(14.1.15-8)

Ðèñóíîê 14.1.15_3 - Êèíåòè÷åñêàÿ äèàãðàììà óñòà-

ëîñòíîãî ðàçðóøåíèÿ (1) è ìî-

äåëü Ïàðèñà (2)

Ðèñóíîê 14.1.15_4 - Èçìåíåíèå ïî âðåìåíè (÷èñëó

öèêëîâ) ðàçìåðà òðåùèíû ïðè

ðàçëè÷íûõ àìïëèòóäàõ ïåðå-

ìåííûõ íàïðÿæåíèé

σσ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

951

ùèí, ïðåäñòàâëÿþùèõ çíà÷èòåëüíûõ ïðàêòè÷åñêèé

èíòåðåñ. Êðîìå òîãî, ìåõàíèêà ðàçðóøåíèÿ íå èçó-

÷àåò ïðîöåññ çàðîæäåíèÿ òðåùèí. Òåì íå ìåíåå,

íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷àåìûå â ðàìêàõ îïè-

ñàííîãî âûøå ïîäõîäà, ìîãóò áûòü ïîëåçíû ïðè

àíàëèçå ïîëîìîê, âûáîðå ìàòåðèàëîâ, ìåòîäîâ ýê-

ñïëóàòàöèîííîé äèàãíîñòèêè.

14.1.16 - Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ñèñ-

òåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû

Êîëåáàíèÿ ýëåìåíòîâ àâèàöèîííûõ äâèãàòå-

ëåé ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ ïðè÷èíîé èõ ïîëîìîê. Îäíà èç

âàæíåéøèõ çàäà÷ êîíñòðóêòîðà – èñêëþ÷èòü îïàñ-

íûå êîëåáàíèÿ. Â íàñòîÿùåì ðàçäåëå èçëîæåíû

îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè êîëåáàíèé óïðóãèõ

ñèñòåì, íåîáõîäèìûå ïðè ïîñëåäóþùåì èçó÷åíèè

êîëåáàíèé ýëåìåíòîâ àâèàöèîííûõ äâèãàòåëåé.

Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìàìè ñ îäíîé ñòåïåíüþ

ñâîáîäû â ìåõàíèêå íàçûâàþò ñèñòåìû, äâèæåíèå

êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì – îáîá-

ùåííûì ïåðåìåùåíèåì. Êëàññè÷åñêèì ïðèìåðîì

òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñîñðåäîòî÷åííàÿ ìàññà m

- ãðóç, çàêðåïëåííûé â òî÷êå À íà íåâåñîìîì ñòåð-

æíå (ñì. Ðèñ. 14.1.16_1). Äâèæåíèå ñèñòåìû ïîë-

íîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ âåðòèêàëüíûì ïåðåìåùåíè-

åì ãðóçà y.

Äâèæåíèå ãðóçà îïèñûâàåòñÿ îäíèì óðàâíåíèåì

îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî ïåðåìåùåíèÿ y(t):

(14.1.16-1)

ãäå y - âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè;

F - ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà

ãðóç.

Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû ïðåíåáðåãàåì ñèëîé òÿæå-

ñòè. Ðàññìîòðèì ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ, êîòîðûå ïðî-

Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè äëèíû òðå-

ùèíû ïðèâåäåí íà Ðèñ. 14.1.15_4.

Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (14.1.15-7) ìåòîäîì

ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ ìîæíî îïðåäåëèòü ðåñóðñ

ðàáîòû äåòàëè, êàê ÷èñëî öèêëîâ ïðè ðîñòå òðå-

ùèíû îò íà÷àëüíîãî ðàçìåðà a

äî êðèòè÷åñêîãî

ðàçìåðà a

, ïîëó÷àåìîãî èç (14.1.15-5):

(14.1.15-9)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïàðàìåòð n çíà÷èòåëüíî áîëü-

øå åäèíèöû, äîëãîâå÷íîñòü äåòàëè ñ òðåùèíîé

ðåçêî óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèé.

Ñóùåñòâîâàíèå ïîðîãîâîãî ðàçìàõà ÊÈÍ

∆∆

∆

(ñì. Ðèñ. 14.1.15_3) îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ñóùå-

ñòâîâàíèÿ íåðàçâèâàþùèõñÿ òðåùèí. Ìàêñèìàëü-

íûé ðàçìåð òàêîé òðåùèíû a

ïðè àìïëèòóäå íà-

ïðÿæåíèÿ

σσ

èëè ïîðîãîâîå çíà÷åíèå àìïëèòóäû

íàïðÿæåíèé ïðè çàäàííîì ðàçìåðå òðåùèíû ìî-

ãóò áûòü îïðåäåëåíû èç óñëîâèÿ:

(14.1.15-10)

Çíàíèå çàâèñèìîñòè ðàçìåðà òðåùèíû îò íà-

ðàáîòêè äåòàëè (÷èñëà öèêëîâ N) äàåò ìåòîäè÷åñ-

êóþ îñíîâó äëÿ âûáîðà ïåðèîäè÷íîñòè è ñðåäñòâ

äèàãíîñòèêè òðåùèí ïðè ýêñïëóàòàöèè äåòàëåé

(ñì. Ðèñ. 14.1.15_5). Â ñèëó âëèÿíèÿ ìíîãî÷èñëåí-

íûõ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ

âîçìîæíî ðàññåÿíèå êðèâûõ ðîñòà òðåùèíû a(N)

è ðàññåÿíèå âðåìåíè äî ðàçðóøåíèÿ (êðèâûå 1 íà

Ðèñ. 14.1.15_5). Ýòî ðàññåÿíèå õàðàêòåðèçóåòñÿ

íåêîòîðûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ (êðèâàÿ 2). Âå-

ðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ òðåùèíû çàäàííîãî ðàçìå-

ðà, êàê âåëè÷èíà ñëó÷àéíàÿ, òàêæå õàðàêòåðèçóåò-

ñÿ íåêîòîðûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ (êðèâàÿ 3).

Âûáîð ïåðèîäà T ìåæäó äèàãíîñòè÷åñêèìè îñìîò-

ðàìè äåòàëè â óñëîâèÿõ ýêñïëóàòàöèè äîëæåí îáåñ-

ïå÷èâàòü çàäàííóþ âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ òðå-

ùèíû äî ðàçðóøåíèÿ.

Îãðàíè÷åííîñòü ìåòîäîâ ìåõàíèêè ðàçðóøå-

íèÿ â èññëåäîâàíèè äîëãîâå÷íîñòè ýëåìåíòîâ êîí-

ñòðóêöèé ñ òðåùèíàìè ñîñòîèò â íåîáõîäèìîñòè

ïðîâåäåíèÿ ñïåöèàëüíûõ äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ýê-

ñïåðèìåíòîâ ïî îïðåäåëåíèþ õàðàêòåðèñòèê òðå-

ùèíîñòîéêîñòè ìàòåðèàëîâ, â ÷óâñòâèòåëüíîñòè

ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ê óñëîâèÿì íàãðóæåíèÿ è òåõ-

íîëîãè÷åñêèì ôàêòîðàì. Ñëåäóåò íàçâàòü, òàêæå,

îòñóòñòâèå äîñòàòî÷íî äîñòîâåðíûõ è óíèâåðñàëü-

íûõ ìîäåëåé äëÿ êîðîòêèõ (ìåíåå 0,5…1 ìì) òðå-

Ðèñóíîê 14.1.15_5 - Ê âûáîðó ïåðèîäè÷íîñòè îñ-

ìîòðîâ ïðè ýêñïëóàòàöèîííîé

äèàãíîñòèêå òðåùèí

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

952

èñõîäÿò ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë, âêëþ÷àÿ ñèëó

ñîïðîòèâëåíèÿ, âñëåäñòâèå, íàïðèìåð, îòêëîíåíèÿ

ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â íà÷àëüíûé ìî-

ìåíò. Â ýòîì ñëó÷àå F – ñèëà óïðóãîñòè ñòåðæíÿ,

ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ïåðåìåùåíèþ y(t) è íàïðàâëåí-

íàÿ â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó:

(14.1.16-2)

ãäå c – êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè;

αα

– ïîäàòëèâîñòü ñòåðæíÿ.

Ïîäàòëèâîñòü

α α

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåìå-

ùåíèå ãðóçà ïîä äåéñòâèåì åäèíè÷íîé ñèëû â òî÷-

êå À (ñì. Ðèñ. 14.1.16_1), c – ñèëó, íåîáõîäèìóþ

äëÿ ñîçäàíèÿ åäèíè÷íîãî ïåðåìåùåíèÿ. Ýòè ïàðà-

ìåòðû ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ ìåòîäàìè ñîïðîòèâ-

ëåíèÿ ìàòåðèàëîâ, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ èíòåãðà-

ëà Ìîðà. Äëÿ èçîáðàæåííîé íà Ðèñ. 14.1.16_1

ñèñòåìû, íàïðèìåð,

(14.1.16-3)

ãäå E – ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà;

I – ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

ñòåðæíÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.16-2) â (14.1.16-1) ïîëó÷àåì

äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ êîëåáà-

íèé ãðóçà:

(14.1.16-4)

ãäå

(14.1.16-5)

Ðåøåíèå ýòîãî ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãî

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êî-

ýôôèöèåíòàìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêèå

êîëåáàíèÿ (ýòî ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ïîäñòàíîâêîé

ðåøåíèÿ â óðàâíåíèå) (ñì. Ðèñ. 14.1.16_2):

y(t) = y

cos(pt +

ϕϕ

) (14.1.16-6)

ãäå y

ϕϕ

- àìïëèòóäà è ñäâèã ôàçû, çàâèñÿùèå îò

íà÷àëüíûõ óñëîâèé - îòêëîíåíèÿ è ñêî-

ðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0.

Ïåðèîä êîëåáàíèé

(14.1.16-7)

×èñëî êîëåáàíèé â åäèíèöó âðåìåíè (òåõíè-

÷åñêàÿ ÷àñòîòà, èçìåðÿåìàÿ â ãåðöàõ):

(14.1.16-8)

×àñòîòà êîëåáàíèé, êàê âèäíî èç (14.1.16-5),

(14.1.16-8) òåì áîëüøå, ÷åì ìåíüøå ìàññà ãðóçà

è óïðóãàÿ ïîäàòëèâîñòü ñèñòåìû.

Ðèñóíîê 14.1.16_2 - Èçìåíåíèå âî âðåìåíè ïåðåìå-

ùåíèÿ ãðóçà ïðè ñâîáîäíûõ êî-

ëåáàíèÿõ

Ðèñóíîê 14.1.16_1 - Ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ ãðóçà,

çàêðåïëåííîãî íà ñòåðæíå

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

953

14.1.17 -

Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ

ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèòóàöèþ, êîãäà íà ãðóç

äåéñòâóåò âíåøíÿÿ âîçáóæäàþùàÿ ñèëà (ñì.

Ðèñ. 14.1.17_1) F(t). Ïî-ïðåæíåìó ïðåíåáðåãàåì

ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ è òÿæåñòè. Óðàâíåíèå äâè-

æåíèÿ ãðóçà (14.1.16-4) ñòàíîâèòñÿ íåîäíîðîäíûì:

(14.1.17-1)

Ðàññìîòðèì âàæíûé ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà

âíåøíÿÿ ñèëà èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè-

÷åñêîìó çàêîíó:

F(t) = F

cos

ΩΩ

Ω

t (14.1.17-2)

Ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî äèôôå-

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (14.1.17-1) ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé ñóììó îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâ-

íåíèÿ (14.1.16-4) - ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé (14.1.16-

6), è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

- âûíóæäåííûõ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòî-

òîé

ΩΩ

Ω

y(t) = y

cos(

ΩΩ

Ω

t +

ϕ) ϕ)

ϕ)

(14.1.17-3)

Àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé äîëæíà

óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (14.1.17-2) è ïîëó÷àåò-

ñÿ ïîäñòàíîâêîé â íåãî ðåøåíèÿ (14.1.17-3):

(14.1.17-4)

Ðàññìîòðèì ïðàêòè÷åñêè âàæíûé ñëó÷àé, êîã-

äà ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ îòñóòñòâóþò. Ïðè ÷àñòîòå

âûíóæäàþùåé ñèëû, áëèçêîé ê íóëþ, àìïëèòóäà

êîëåáàíèé ðàâíà ñòàòè÷åñêîìó ïåðåìåùåíèþ ãðó-

çà F

αα

(ñì. Ðèñ. 14.1.17_2). Ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ

÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ÷àñòîòû ê ñîáñòâåííîé ÷à-

ñòîòå ñèñòåìû àìïëèòóäà âîçðàñòàåò, è ïðè èõ ñî-

âïàäåíèè âîçíèêàåò ðåçîíàíñ, êîãäà àìïëèòóäà êî-

ëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Â ðåàëüíîé

ñèñòåìå èç-çà ïîòåðü ýíåðãèè àìïëèòóäà êîëåáàíèé

ïðè ðåçîíàíñå êîíå÷íà, îäíàêî ðåçîíàíñíûå êîëå-

áàíèÿ ìîãóò ïðåäñòàâëÿòü ñåðüåçíóþ îïàñíîñòü.

Ïðè ÷àñòîòå âûíóæäàþùåé ñèëû, ñóùåñòâåí-

íî ïðåâûøàþùåé ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó, ïåðåìåùå-

íèå ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóåò, ò.å. ñèñòåìà íå ðåà-

ãèðóåò íà äåéñòâèå âûíóæäàþùåé ñèëû. Ýòî

ÿâëåíèå èñïîëüçóåòñÿ äëÿ âèáðîèçîëÿöèè êîëåáëþ-

ùèõñÿ îáúåêòîâ. Èõ óñòàíàâëèâàþò íà óïðóãèå

îïîðû íèçêîé æåñòêîñòè, îáåñïå÷èâàþùèå íèçêóþ

ñîáñòâåííóþ ÷àñòîòó êîëåáàíèé ñèñòåìû.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà íàðÿäó ñ âû-

íóæäåííûìè êîëåáàíèÿìè ãðóç ó÷àñòâóåò â ñâîáîä-

íûõ êîëåáàíèÿõ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (

14.1.17-2

)

èìååò âèä:

(14.1.17-5)

Êîíñòàíòû C

è C

îïðåäåëÿþòñÿ èç íà÷àëü-

íûõ óñëîâèé. Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0 ïå-

ðåìåùåíèå è ñêîðîñòü ãðóçà ðàâíû íóëþ: y(0) = 0

è y’(0) = 0. Òîãäà

Ðèñóíîê 14.1.17_1 - Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ãðóçà,

çàêðåïëåííîãî íà ñòåðæíå

Ðèñóíîê 14.1.17_2 - Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû

âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé îò

÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

954

= 0 (14.1.17-6)

Ïîäñòàâëÿÿ â (14.1.17-5) ïîëó÷àåì:

(14.1.17-6)

Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé,

êîãäà ÷àñòîòà âûíóæäàþùåé ñèëû îòëè÷àåòñÿ îò ñîá-

ñòâåííîé ÷àñòîòû íà ìàëóþ âåëè÷èíó

ΩΩ

Ω

-p.

Â ýòîì

ñëó÷àå (14.1.17-6) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:

(14.1.17-7)

Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê

êîëåáàíèÿ ñ ÷àñòîòîé âûíóæäàþùåé ñèëû

ΩΩ

Ω

, àìïëè-

òóäà êîòîðûõ èçìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó

ñî çíà÷èòåëüíî áîëåå íèçêîé, ÷åì

Ω Ω

Ω

÷àñòîòîé

ΩΩ

Ω

-p.

Òàêèå êîëåáàíèé íàçûâàþòñÿ áèåíèÿìè. Èõ àìïëè-

òóäà, êàê âèäíî èç (114.1.17-7). òåì áîëüøå, ÷åì ìåíü-

øå ðàçíèöà

∆∆

∆

ΩΩ

Ω

-p (ñì. Ðèñ. 14.1.17_3).

Ïðè ïðèáëèæåíèè ê óñëîâèÿì ðåçîíàíñà

ΩΩ

Ω

-p

= 0

(14.1.17-7) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü, ïðèíèìàÿ

y(t) = F

αα

·p / 2·t·sin

ΩΩ

Ω

t (14.1.17-8)

Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ âèäíî, ÷òî ïðè âîç-

íèêíîâåíèè ðåçîíàíñíîãî ðåæèìà àìïëèòóäà êîëå-

áàíèé íå âîçðàñòàåò ìãíîâåííî

(ñì. Ðèñ. 14.1.17_4).

Äàæå ïðè îòñóòñòâèè ïîòåðü ýíåðãèè áåñêîíå÷íàÿ

àìïëèòóäà çà êîíå÷íîå âðåìÿ íå ìîæåò áûòü äîñ-

òèãíóòà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ,

åñëè ïî óñëîâèÿì ðàáîòû ìàøèíû ðåçîíàíñíûé

ðåæèì íåèçáåæåí êàê «ïðîõîäíîé». Åñëè ñäåëàòü

ïåðåõîä ÷åðåç ðåçîíàíñ äîñòàòî÷íî áûñòðûì, ðå-

çîíàíñíûå êîëåáàíèÿ íå óñïåþò ðàçâèòüñÿ äî îïàñ-

íûõ àìïëèòóä.

14.1.18 - Êîëåáàíèÿ ñèñòåìû

ñ âÿçêèì ñîïðîòèâëåíèåì.

Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé

Â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ïðè èññëåäîâàíèè

ñâîáîäíûõ è âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðåäïîëàãà-

ëîñü, ÷òî â êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìå íå äåéñòâóþò

íèêàêèå ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Âñëåäñòâèå ýòîãî

ïðåäïîëîæåíèÿ â ñëó÷àå ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ïî-

ëó÷àåòñÿ, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé îñòàåòñÿ ïîñòî-

ÿííîé, õîòÿ îïûò è ñïåöèàëüíûå ýêñïåðèìåíòû

ïîêàçûâàþò, ÷òî ñî âðåìåíåì àìïëèòóäà óìåíüøà-

åòñÿ, êîëåáàíèÿ ïîñòåïåííî çàòóõàþò. Â ñëó÷àå

âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïðè ðåçîíàíñå ïîëó÷àåò-

ñÿ, ÷òî àìïëèòóäà êîëåáàíèé äîëæíà íåîãðàíè÷åí-

íî óâåëè÷èâàòüñÿ, õîòÿ íà ñàìîì äåëå àìïëèòóäà

âñåãäà îñòàåòñÿ êîíå÷íîé. ×òîáû áîëåå òî÷íî îïè-

ñàòü ðåàëüíûå êîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû, íåîáõîäè-

ìî ó÷åñòü ñèëû íåóïðóãîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Ýòè

Ðèñóíîê 14.1.17_3 - Èçìåíåíèå àìïëèòóäû êîëåáà-

íèé âáëèçè ðåçîíàíñà («áèå-

íèÿ»)

Ðèñóíîê 14.1.17_4 - Âîçðàñòàíèå àìïëèòóäû êîëå-

áàíèé íà ðåçîíàíñíîì ðåæèìå

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

955

ñèëû ìîãóò âîçíèêàòü îò íåñêîëüêèõ ðàçëè÷íûõ

ïðè÷èí: òðåíèå ìåæäó êîíòàêòèðóþùèìè ïîâåðõ-

íîñòÿìè, ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà èëè æèäêîñòè,

âíóòðåííåå òðåíèå â ìàòåðèàëå è ò.ä.

Âíîâü ðàññìîòðèì âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ

ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ïîêàçàííîé íà

Ðèñ. 14.1.17_1. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðóç èñïûòûâà-

åò ñîïðîòèâëåíèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå ñêîðîñòè åãî

äâèæåíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì K. Ñèëà ñîïðîòèâëå-

íèÿ F

íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ

ïåðåìåùåíèþ . Â óðàâíåíèè êîëåáà-

íèé (14.1.93) ïîÿâèòñÿ äîïîëíèòåëüíîå ñëàãàåìîå:

(14.1.18-1)

Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ

(14.1.18-2)

Ðåøåíèå ýòîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-

ãî ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè K/m < 2p

èìååò õàðàêòåð çàòóõàþùèõ êîëåáàíèé (ñì.

Ðèñ. 14.1.18_1):

y(t) = y

exp(-

δδ

· t / T) cos (p

t +

ϕϕ

) (14.1.18-3)

ãäå

- ÷àñòîòà çàòóõàþùèõ êîëåáà-

íèé;

- ëîãàðèôìè÷åñêèé äåêðå-

ìåíò êîëåáàíèé;

T = 2

ππ

/p - ïåðèîä êîëåáàíèé.

Â ïðàêòè÷åñêè âàæíîì ñëó÷àå ñëàáîãî çàòó-

õàíèÿ ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà p

áëèçêà ê ñîáñòâåííîé

÷àñòîòå p, ïîëó÷åííîé áåç ó÷åòà ñîïðîòèâëåíèÿ,

Àìïëèòóäà êîëåáàíèé (ñì. Ðèñ. 14.1.18_1)

ñíèæàåòñÿ îò öèêëà ê öèêëó. Îãèáàþùàÿ ñèíóñîè-

äû, îòðàæàþùàÿ ñíèæåíèå àìïëèòóäû, ïîä÷èíÿ-

åòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó exp(-

δτδτ

δτ

/T). Àìï-

ëèòóäû êîëåáàíèé â äâóõ ñîñåäíèõ öèêëàõ è ÷åðåç

k öèêëîâ A

, A

i+1

è A

i+k

óìåíüøàþòñÿ â îòíîøåíèè,

ðàâíîì ëîãàðèôìè÷åñêîìó äåêðåìåíòó:

(14.1.18-4)

Èç (14.1.18-4) âèäíî, ÷òî ÷åì áîëüøå çíà÷å-

íèå

δδ

, òåì áîëüøå ïîòåðè ýíåðãèè, òåì áûñòðåå çà-

òóõàþò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-

ãèÿ W ïðè êîëåáàíèÿõ ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó

àìïëèòóäû. Åå èçìåíåíèå

∆∆

∆

W çà îäèí ïåðèîä êî-

ëåáàíèé (ýíåðãèÿ, ðàññåÿííàÿ çà îäèí ïåðèîä êî-

ëåáàíèé), îòíåñåííîå ê W, ìîæíî ïðåäñòàâèòü îò-

íîøåíèåì:

èëè

(14.1.18-5)

Ñ ýíåðãåòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, òàêèì îáðà-

çîì, äåêðåìåíò êîëåáàíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îò-

íîøåíèå ðàññåÿííîé çà öèêë êîëåáàíèé ýíåðãèè

ê óäâîåííîìó çíà÷åíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè,

çàïàñåííîé â ïîëîæåíèè ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíå-

íèÿ îò ðàâíîâåñèÿ.

Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ ñîïðî-

òèâëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè, ïîä

äåéñòâ

èåì ãàðìîíè÷åñêîé âûíóæäàþùåé ñèëû

F(t)=F

cos

ΩΩ

Ω

îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì

(14.1.18-3).

Åãî ðåøåíèå ïðè îòñóòñòâèè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé

èìååò âèä:

Ðèñóíîê 14.1.18_1 - Ñâîáîäíûå çàòóõàþùèå êîëåáà-

íèÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

956

(14.1.18-5)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ

ïðîèñõîäÿò ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé

âûíóæäàþùåé ñèëû

ΩΩ

Ω

. Ñðàâíèâàÿ ýòî ñîîòíîøå-

íèå ñ âûðàæåíèåì (14.1.18-5), ïîëó÷åííûì áåç ó÷å-

òà ñîïðîòèâëåíèÿ, ìîæíî óâèäåòü, ÷òî â çíàìåíà-

òåëå ïîÿâèëîñü ñëàãàåìîå, íå ïîçâîëÿþùåå åìó

îáðàòèòüñÿ â íîëü ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âûíóæ-

äàþùåé ñèëû ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé. Ò.å. ïðè íà-

ëè÷èè ñîïðîòèâëåíèÿ, àìïëèòóäà êîëåáàíèé íà

ðåçîíàíñíîì ðåæèìå õîòÿ è âîçðàñòàåò, íî îñòàåò-

ñÿ êîíå÷íîé. Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû

îöåíèâàþò ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòà äèíàìè÷íîñ-

òè

ββ

, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé îòíîøåíèå àìïëè-

òóäû âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé y

ê ñòàòè÷åñêîìó

ïåðåìåùåíèþ ãðóçà ïîä äåéñòâèåì àìïëèòóäíîé

íàãðóçêè:

β = β =

β =

/ F

α.α.

α.

Íà Ðèñ. 14.1.18_2 ïîêàçàíà çàâèñèìîñòü êî-

ýôôèöèåíòà äèíàìè÷íîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ñîá-

ñòâåííîé ÷àñòîòû è ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû

ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ëîãàðèôìè÷åñêîãî äåê-

ðåìåíòà êîëåáàíèé. Ñ óâåëè÷åíèåì äåêðåìåíòà

êîëåáàíèé êîýôôèöèåíò äèíàìè÷íîñòè áûñòðî

ïàäàåò.

Èç

(14.1.18-5) ïðè

ΩΩ

Ω

/p = 1 ïîëó÷àåòñÿ ïðî-

ñòàÿ ïðèáëèæåííàÿ çàâèñèìîñòü ìàêñèìàëüíîãî

çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà äèíàìè÷íîñòè îò ëîãàðèô-

ìè÷åñêîãî äåêðåìåíòà êîëåáàíèé:

β β

max

≈

ππ

δ. δ.

δ.

(14.1.18-6)

Äàæå ïðè áîëüøîì äåêðåìåíòå êîëåáàíèé

δδ

= 0,2

π π

àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïðè ðåçîíàíñå â ïÿòü

ðàç âûøå ñòàòè÷åñêîé äåôîðìàöèè.

4.1.19 - Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ

ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû

ïîä äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîé ïåðè-

îäè÷åñêîé âîçìóùàþùåé ñèëû

Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé ïåðèîäè÷åñêîé

âíåøíåé ñèëû F(t), äåéñòâóþùåé íà ãðóç. Åãî äâè-

æåíèå îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (14.1.17-1) ïðè îò-

ñóòñòâèè äåìïôèðîâàíèÿ èëè óðàâíåíèåì (14.1.18-

1) ïðè åãî íàëè÷èè. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé

ñëó÷àé.

Äëÿ ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ

(14.1.17-1)

òåì, ÷òî ïåðèîäè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæ-

íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà Ôóðüå:

(14.1.19-1)

ãäå F

ΩΩ

Ω

ψψ

– àìïëèòóäà, êðóãîâàÿ ÷àñòîòà è

ôàçà ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþ-

ùèõ âíåøíåé ñèëû.

Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå âîçìóùàþùåé ñèëû îç-

íà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ âíåøíÿÿ ñèëà

äåéñòâóåò íà êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó òàê æå, êàê

ñóììà ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ ñèë.

Ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ (14.1.17-1)

ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëüçóÿñü ïðèíöèïîì ñóïåðïî-

çèöèè ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû:

i = 1,2,…

(14.1.19-2)

ãäå y

ϕϕ

- àìïëèòóäà è ôàçà ãàðìîíè÷åñêèõ ñî-

ñòàâëÿþùèõ. Ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ çäåñü îòáðî-

øåíû.

Ïîäñòàíîâêîé ýòîãî âûðàæåíèÿ â

(14.1.17-1)

ìîæíî ïîëó÷èòü:

Ðèñóíîê 14.1.18_2 - Çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà

äèíàìè÷íîñòè îò ÷àñòîòû

âûíóæäàþùåé ñèëû ïðè ðàç-

ëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ äåêðåìåíòà

êîëåáàíèé

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

957

(14.1.19-3)

Ïðè íàëè÷èè äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèÿ îïè-

ñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì (14.1.18-1). Äëÿ âíåøíåé

ñèëû, ïðåäñòàâëåííîé ðÿäîì (14.1.19-1) åãî ðåøå-

íèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ êîëåáàíèé

(14.1.19-2) ñ àìïëèòóäàìè:

(14.1.19-4)

Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå ãðóçà ïîä äåéñòâè-

åì ïðîèçâîëüíîé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû, ïðåäñòàâ-

ëåííîé â âèäå ñóììó ãàðìîíè÷åñêèõ ñîñòàâëÿþ-

ùèõ, åñòü íàëîæåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé

ñ ÷àñòîòàìè ýòèõ ñîñòàâëÿþùèõ. Õàðàêòåð êîëåáà-

òåëüíûõ ïðîöåññîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ðåøå-

íèþ, çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ÷àñòîò è àìïëèòóä

âõîäÿùèõ â íåãî ãàðìîíèê. Íà Ðèñ. 14.1.19_1 ïî-

êàçàíî íåñêîëüêî ïðèìåðîâ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåñ-

ñîâ, ñîñòîÿùèõ èç äâóõ ãàðìîíèê. Õîòÿ ãàðìîíèê

âñåãî äâå, ïðîöåññû âåñüìà ðàçíîîáðàçíû.

Êàê âèäíî èç (14.1.19-3) è (14.1.19-4), àìïëè-

òóäà êàæäîé èç ãàðìîíèê y

ïðîïîðöèîíàëüíà àìï-

ëèòóäå ñîîòâåòñòâóþùåé ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿ-

þùåé âíåøíåé ñèëû F

Íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çàâèñè-

ìîñòü àìïëèòóä y

îò îòíîøåíèÿ ÷àñòîò ãàðìîíè-

÷åñêèõ ñîñòàâëÿþùèõ âíåøíåé ñèëû

ΩΩ

Ω

i ê

ñîáñòâåí-

íîé ÷àñòîòå p. Ïðè ñîâïàäåíèè ñîáñòâåííîé

÷àñòîòû ñ ëþáîé èç ÷àñòîò

ΩΩ

Ω

àìïëèòóäà ñîîòâåò-

ñòâóþùåé ãàðìîíèêè êîëåáàíèé y

âîçðàñòàåò, ò.å.

êîëåáàíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ðåçîíàíñíûìè. Óñëîâèå ðå-

çîíàíñà äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû

ïîä äåéñòâèåì ïðîèçâîëüíîé ïåðèîäè÷åñêîé ñèëû

èìååò âèä:

ΩΩ

Ω

= p, i = 1,2,… (14.1.19-5)

Íà Ðèñ. 14.1.19_2 ïðèâåäåí ïðèìåð êîëåáàíèé

îäíîìàññîâîé ñèñòåìû ïîä äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñ-

êîé âíåøíåé ñèëû F(t), êîòîðàÿ ïðèáëèæåííî ìî-

æåò áûòü ïðåäñòàâëåíà

òðåìÿ ãàðìîíè÷åñêèìè

ñîñòàâëÿþùèìè. Â ðàññìàòðèâàåìîì ïðèìåð

cîîòíîøåíèå ÷àñòîò ñîñòàâëÿþùèõ

ΩΩ

Ω

ΩΩ

Ω

ΩΩ

Ω

= 1:2:5,

ñîîòíîøåíèå àìïëèòóä: F

: F

= 2:1:2 (ãðàôèê I).

Ñîîòíîøåíèå àìïëèòóä è ÷àñòîò óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü

â âèäå ñïåêòðà, â êîòîðîì êàæäàÿ âåðòèêàëüíàÿ ëèíèÿ

ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòîòó

ΩΩ

Ω

è àìïëèòóäó F

i-é ãàðìîíè-

êè âíåøíåé

ñèëû (ãðàôèê II). Êîëè÷åñòâî ãàðìîíèê,

Ðèñóíîê 14.1.19_1 - Òèïè÷íûå êîëåáàòåëüíûå ïðî-

öåññû, ñîäåðæàùèå äâå ãàðìî-

íèêè

âîîáùå ãîâîðÿ, áåñêîíå÷íî; îáû÷íî â ñïåêòðàõ

ïðèâîäÿò íåñêîëüêî ïåðâûõ (ñîîòâåòñòâóþùèõ

íèçøèì çíà÷åíèÿì) ÷àñòîò.

Íà Ðèñ. 14.1.19_2 ðàññìîòðåíû òðè âàðèàí-

òà ñîîòíîøåíèÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû ñ ÷àñòîòà-

ìè âîçìóùàþùåé ñèëû (ãðàôèê III): â ïåðâîì ñëó-

÷àå ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé

âòîðîé ãàðìîíèêè (à), âî âòîðîì – ñ ÷àñòîòîé òðå-

òüåé ãàðìîíèêè (á), â òðåòüåì (â) – íàõîäèòñÿ

ìåæäó âòîðîé è òðåòüåé (

ΩΩ

Ω

< p <

ΩΩ

Ω

). Êîëåáàíèÿ

ñèñòåìû

â ïåðâîì è âòîðîì ñëó÷àÿõ èìåþò ðåçî-

íàíñíûé õàðàêòåð. Â ïåðâîì ñëó÷àå â ñïåêòðå êî-

ëåáàíèé (ãðàôèê IV) âûäåëÿåòñÿ âòîðàÿ ãàðìîíè-

êà, àìïëèòóäà êîòîðîé âî

ìíîãî ðàç ïðåâîñõîäèò

àìïëèòóäû îñòàëüíûõ ãàðìîíèê. Êîëåáàíèÿ - ïî÷òè

ãàðìîíè÷åñêèå ñ ÷àñòîòîé

ΩΩ

Ω

. Âî âòîðîì ñëó÷àå ñè-

òóàöèÿ àíàëîãè÷íà, íî êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò ñ ÷àñ-

òîòîé

ΩΩ

Ω

. Â òðåòüåì ñëó÷àå (â) êîëåáàíèÿ íå ðåçî-

íàíñíûå, èõ àìïëèòóäà íåâåëèêà, à àìïëèòóäû

ñîñòàâëÿþùèõ â ñïåêòðå áëèçêè äðóã ê äðóãó.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

958

Îòìåòèì õàðàêòåðíóþ îñîáåííîñòü ðåçîíàí-

ñíûõ êîëåáàíèé. Â îòëè÷èå îò íåðåçîíàíñíûõ êî-

ëåáàíèÿ áëèçêè ê ãàðìîíè÷åñêèì, à îäíà èç àìï-

ëèòóä â ñïåêòðå ñóùåñòâåííî áîëüøå îñòàëüíûõ.

14.1.20 - Êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ

íåñêîëüêèìè ñòåïåíÿìè ñâîáîäû

Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ

ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Êëàññè÷åñ-

êèé ïðèìåð òàêîé ñèñòåìû - èçãèáíûå êîëåáàíèÿ

íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ ñ äâóìÿ ñîñðåäîòî÷åííûìè

ìàññàìè m

è m

(ñì. Ðèñ. 14.1.20_1).

Ðèñóíîê 14.1.19_2 - Ïðèìåð êîëåáàíèé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ïî äåéñòâèåì ïåðèîäè÷åñêîé

âîçìóùàþùåé ñèëû

à) p/

ΩΩ

Ω

= 2; á) p/

ΩΩ

Ω

= 5; â) p/

ΩΩ

Ω

= 4;

I – èçìåíåíèå âî âðåìåíè ñèëû; II – ñïåêòð ñèëû; III – àìïëèòóäíî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòå-

ðèñòèêà ñèñòåìû; IV - ñïåêòð êîëåáàíèé; V – êîëåáàíèÿ ãðóçà

Ïðèìåíÿÿ ïðèíöèï Äàëàìáåðà, ïðèëîæèì

ê êàæäîé ìàññå ñèëó èíåðöèè

Ïðîãèáû ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì óñèëèé F

è F

ðàâíû:

αα

, y

αα

(14.1.20-1)

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

959

ãäå

αα

– êîýôôèöèåíòû âëèÿíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå

ñîáîé ïðîãèáû â òî÷êå i ïîä äåéñòâèåì

åäèíè÷íîé ñèëû, ïðèëîæåííîé â òî÷êå j.

Îíè îïðåäåëÿþòñÿ ìåòîäàìè ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòå-

ðèàëîâ, íàïðèìåð, ÷åðåç èíòåãðàëû Ìîðà. Èçâåñò-

íî, ÷òî

αα

Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.20-1) â âûðàæåíèÿ äëÿ F

è F

ïîëó÷àåì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-

íåíèé, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå ãðóçîâ:

(14.1.20-2)

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáà-

íèÿ ñèñòåìû, ïðîèñõîäÿùèå ïî çàêîíó:

(14.1.20-3)

ãäå y

- àìïëèòóäíûå îòêëîíåíèÿ òî÷åê çàêðåï-

ëåíèÿ ìàññ.

Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.20-3) â (14.1.20-2) ïîëó÷àåì

ñèñòåìó îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî àì-

ïëèòóä y

è y

(14.1.20-4)

Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

ìîæåò èìåòü îòëè÷íîå îò íóëÿ ðåøåíèå â òîì ñëó-

÷àå, åñëè åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ:

(14.1.20-4)

Èç ýòîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñ-

êîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñ-

òîò êîëåáàíèé:

(14.1.20-5)

Îòñþäà ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû äâà äåéñòâè-

òåëüíûõ êîðíÿ - çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû p

è p

(äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì äàëåå èíäåêñîì 1

îáîçíà÷àòü íèçøóþ ÷àñòîòó, à èíäåêñîì 2 – âûñ-

øóþ). Êàê âèäíî èç (14.1.20-5) Îíè çàâèñÿò òîëüêî

îò ïàðàìåòðîâ êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû: ìàññ è ïî-

äàòëèâîñòåé.

Ïîëó÷èòü àìïëèòóäû êîëåáàíèé èç îäíîðîä-

íûõ óðàâíåíèé (14.1.20-4) íåâîçìîæíî. Îäíàêî,

åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé ðàâåí íóëþ,

òî èç ëþáîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (14.1.20-4) ìîæ-

íî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïðîãèáàìè y

è y

ïðè äàííîé ÷àñòîòå. Íàïðèìåð, èç ïåðâîãî

óðàâíåíèÿ (14.1.20-4) íàõîäèì äëÿ ïåðâîé è âòî-

ðîé ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò:

Ðèñóíîê 14.1.20_2 - Ñîáñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé

äâóõìàññîâîé ñèñòåìû

Ðèñóíîê 14.1.20_1 - Ñõåìà ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïå-

íÿìè ñâîáîäû