Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

930

äèíàòû z. Ïåðåìåùåíèÿ w âäîëü îñè z ïðîèñõîäÿò,

íî îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôóíêöèþ íàïðÿæåíèé

σσ

Îñíîâíûå óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè â ñëó-

÷àå ïëîñêîãî äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ óïðîñ-

òÿòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âñå èñêîìûå ôóíêöèè

ñòàíóò ôóíêöèÿìè äâóõ êîîðäèíàò. Êðîìå òîãî ðàâ-

íû íóëþ ïåðåìåùåíèå w, êîìïîíåíòû òåíçîðà äå-

ôîðìàöèè,

εε

γγ

, êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿ-

æåíèé

ττ

Èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ çàêîíà Ãóêà (14.1.5-1),

ñ÷èòàÿ äåôîðìàöèþ

εε

= 0, ïîëó÷àåì:

σ σ

µ µ

(

σσ

) (14.1.7-1)

Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèÿ (14.1.5-3) âûðàæåíèå

(14.1.7-1) è çàìåíèâ ìîäóëü óïðóãîñòè, ìîäóëü

ñäâèãà è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ïðèâåäåííûìè

âåëè÷èíàìè:

ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ çàêîíà Ãóêà â âèäå:

(14.1.7-2)

Äëÿ ïëîñêîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíû

íóëþ äåôîðìàöèè

γγ

, íàïðÿæåíèÿ

σσ

ττ

Óðàâíåíèÿ çàêîíà Ãóêà ïðèíèìàþò âèä:

(14.1.7-3)

Ðèñóíîê 14.1.7_1 - Ïëîñêîå äåôîðìèðîâàííîå (à)

è ïëîñêîå íàïðÿæåííîå (á) ñî-

ñòîÿíèÿ

Èç òðåõ óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (14.1.2-2) ââè-

äó òîãî, ÷òî âñå íàïðÿæåíèÿ íå çàâèñÿò îò z, a

ττ

ðàâíû íóëþ, îñòàåòñÿ äâà:

(14.1.7-4)

Óñëîâèÿ íà ïîâåðõíîñòè (14.1.22) ïðèìóò âèä:

(14.1.7-5)

Èç øåñòè óðàâíåíèé ñîâìåñòíîñòè (14.1.4-1)

âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî

εε

γγ

íå çàâèñÿò îò z,

εε

ðàâíî íóëþ èëè òîæå íå çàâèñèò îò z, à

γγ

ðàâ-

íû íóëþ, îñòàíåòñÿ îäíî:

(14.1.7-6)

Åñëè çäåñü çàìåíèòü äåôîðìàöèè íàïðÿæåíè-

ÿìè, ïîëüçóÿñü óðàâíåíèÿìè (14.1.7-3), è âûïîëíèòü

ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè äåôîðìà-

öèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â íàïðÿæåíèÿõ:

èëè

(14.1.7-7)

ãäå

∇ ∇

∇

- îïåðàòîð Ëàïëàñà.

Èç ñîâìåñòíîãî ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ

è óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ (14.1.7-4) ìîãóò áûòü íàé-

äåíû âñå òðè íåèçâåñòíûå êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ

â ñëó÷àå ïëîñêîé çàäà÷è. Òàê êàê â ýòè

óðàâíåíèÿ

íå âõîäÿò óïðóãèå ïîñòîÿííûå, ìîæíî çàêëþ÷èòü,

÷òî â òàêîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è íàïðÿæåííîå ñîñòî-

ÿíèå íå çàâèñèò îò ìàòåðèàëà.

Â ñëó÷àå, åñëè îáúåìíûå ñèëû îòñóòñòâóþò,

çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îòûñêàíèþ åäèíñòâåí-

íîé ôóíêöèè, òàê íàçûâàåìîé ôóíêöèè íàïðÿæå-

íèé

ϕϕ

. Â òåîðèè óïðóãîñòè äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâó-

åò ôóíêöèÿ

ϕϕ

, ÷åðåç êîòîðóþ ìîãóò áûòü âûðàæåíû

âñå òðè íåèçâåñòíûå êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ

σσ

ττ

õó

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

931

(14.1.7-8).

Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè âûðàæåíèÿ óäîâ-

ëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ (14.1.7-4). Ïîä-

ñòàâèâ â óðàâíåíèå (14.1.7-70), ïîëó÷èì áèãàðìî-

íè÷åñêîå óðàâíåíèå:

(14.1.7-9)

Ðåøåíèå ïëîñêîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê îòûñêà-

íèþ ôóíêöèè

ϕϕ

, óäîâëåòâîðÿþùåé ýòîìó óðàâíå-

íèþ è óñëîâèÿì íà ïîâåðõíîñòè. Ñóùåñòâóåò àíà-

ëèòè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è äëÿ íåêîòîðûõ

ïðîñòåéøèõ âàðèàíòîâ ôîðìû òåëà. Ïðè ïðèìåíå-

íèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèå ïëîñêîé çàäà÷è

ñóùåñòâåííî ìåíåå òðóäîåìêî, ÷åì ïðîñòðàíñòâåí-

íîé.

14.1.8 - Ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ

ìàòåðèàëà. Ïðîñòîå è ñëîæíîå

íàãðóæåíèå

Äëÿ îïèñàíèÿ ÿâëåíèÿ ïëàñòè÷åñêîé äåôîð-

ìàöèè âîñïîëüçóåìñÿ òèïè÷íîé çàâèñèìîñòüþ äå-

ôîðìàöèè îò íàïðÿæåíèÿ (ñì. Ðèñ. 14.1.8_1), ïî-

ëó÷àåìîé ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðè ðàñòÿæåíèè

îáðàçöîâ èç áîëüøèíñòâà êîíñòðóêöèîííûõ ìàòå-

ðèàëîâ.

Åñëè íàïðÿæåíèå

σσ

íå ïðåâûøàåò ïðåäåëà óï-

ðóãîñòè

σσ

, òî çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèåì

σσ

è äåôîðìàöèåé

εε

îêàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé:

σ = Εε. σ = Εε.

σ = Εε.

Â ýòîé çàâèñèìîñòè ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðè-

àëà E ðàâåí òàíãåíñó óãëà íàêëîíà ëèíåéíîãî ó÷àñ-

òêà äèàãðàììû (

σσ

εε

). Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæ-

äó íàïðÿæåíèÿìè è äåôîðìàöèÿìè õàðàêòåðíà äëÿ

óïðóãîñòè, íî êðèòåðèé óïðóãîãî ïîâåäåíèÿ ìàòå-

ðèàëîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñëå ñíÿòèÿ âíåøíåãî

âîçäåéñòâèÿ âñå ðàçìåðû äåòàëè âîññòàíàâëèâàþò-

ñÿ. Íà äèàãðàììå (

σσ

εε

)

(ñì. Ðèñ. 14.1.8_1) ýòî ïðî-

ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè â òî÷êå À

ïðè

σσ

ïðåêðàòèòü íàãðóæåíèå ìàòåðèàëà è ñíÿòü

âíåøíþþ íàãðóçêó, äåôîðìàöèÿ ìàòåðèàëà èñ÷åç-

íåò (òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ íà äèàãðàììå ñîñòîÿíèå

ìàòåðèàëà, âåðíåòñÿ â íà÷àëî êîîðäèíàò). Ïðè âîç-

ðàñòàíèè íàïðÿæåíèé âûøå ïðåäåëà óïðóãîñòè

σσ

çàâèñèìîñòü

σσ

îò

ε ε

ïåðåñòàåò áûòü ëèíåé-

íîé. Åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò íàãðóæåíèÿ, ñîîòâåò-

ñòâóþùèé òî÷êå À, ïðåêðàòèòü íàãðóæåíèå è

ñíÿòü

íàãðóçêó, òî ðàçãðóçêà ïîéäåò ïî ïðÿìîé ÀÀ

, ïðè-

áëèçèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé íà÷àëüíîìó ó÷àñòêó.

Òî÷êà À ïåðåéäåò â òî÷êó À

, è â ìàòåðèàëå ñîõðà-

íèòñÿ îñòàòî÷íàÿ äåôîðìàöèÿ

ε ε

, êîòîðàÿ ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ïëàñòè÷åñêóþ äåôîðìàöèþ â ìàòåðèà-

ëå, îáðàçîâàâøóþñÿ ïðè åãî íàãðó

æåíèè. Ïîëíàÿ

äåôîðìàöèÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç óïðóãîé

εε

è ïëàñòè-

÷åñêîé

ε ε

εε

(14.1.8-1)

Óðàâíåíèå (14.1.8-1) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáî-

ãî ìîìåíòà äåôîðìàöèè. Ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìà-

öèÿ ñóùåñòâóåò îäíîâðåìåííî ñ óïðóãîé, ïîýòîìó

ñëåäóåò ãîâîðèòü îá óïðóãîïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìà-

öèÿõ ìàòåðèàëà. Óïðóãàÿ äåôîðìàöèÿ äëÿ ìåòàë-

ëîâ ñîñòàâëÿåò 0,2…0,8%, ïëàñòè÷åñêàÿ ìîæåò äî-

õîäèòü äî 20…40%.

Ïðè ïîâòîðíîì íàãðóæåíèè èç òî÷êè À

ïðî-

öåññ íàãðóæåíèÿ ïîéäåò ïî ïðÿìîé À

À, ò.å. ïðå-

Ðèñóíîê 14.1.8_1 - Äèàãðàììà äåôîðìèðîâàíèÿ

ìàòåðèàëà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

932

äåë óïðóãîñòè âîçðàñòåò. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå

ïðåäâàðèòåëüíîé ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè ïðî-

èñõîäèò óïðî÷íåíèå ìàòåðèàëà, ïðè äàëüíåéøåì

íàãðóæåíèè (ïåðåõîä îò òî÷êè À ê òî÷êå Â) äåôîð-

ìèðîâàíèå èäåò òàê æå, êàê â ñëó÷àå îäíîêðàòíîãî

íàãðóæåíèÿ.

Äèàãðàììû

(

σσ

εε

)

, ïîëó÷àåìûå ïðè ñæàòèè

ïëàñòè÷íûõ ìàòåðèàëîâ, ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò äè-

àãðàìì ðàñòÿæåíèÿ. Ïðåäåë óïðóãîñòè â òî÷êå A

(ñì. Ðèñ. 14.1.8_2) ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå òàêîé

æå, êàê ïðè ðàñòÿæåíèè. Èíîå ïîâåäåíèå ìàòåðèà-

ëà íàáëþäàåòñÿ, åñëè ñæàòèþ ïðåäøåñòâîâàëî ðà-

ñòÿæåíèå â ïëàñòè÷åñêîé îáëàñòè. Ïðåäåë óïðóãî-

ñòè ñóùåñòâåííî óìåíüøàåòñÿ (òî÷êà A

). Ýòîò

ýôôåêò íàçûâàåòñÿ ýôôåêòîì Áàóøèíãåðà è îáúÿñ-

íÿåòñÿ îñòàòî÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó çåðíà-

ìè ìàòåðèàëà ïîñëå äåôîðìàöèè ðàñòÿæåíèÿ.

Âëèÿíèå òåìïåðàòóðû íà äèàãðàììó ðàñòÿæå-

íèÿ âûðàæàåòñÿ â ñíèæåíèè ìîäóëÿ óïðóãîñòè è ï-

ðåäåëà òåêó÷åñòè ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ïðàêòè÷åñ-

êè äëÿ âñåõ ìåòàëëîâ (ñì. Ðèñ. 14.1.8_3).

Íàèáîëåå âàæíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñîïðî-

òèâëåíèÿ ìàòåðèàëà âíåøíèì íàãðóçêàì ÿâëÿþòñÿ

ïðåäåëû òåêó÷åñòè è ïðî÷íîñòè. Ïðåäåë òåêó÷åñ-

òè õàðàêòåðèçóåò ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà âîçíèê-

íîâåíèþ ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé. Òàê êàê ïåðå-

õîä îò ó÷àñòêà óïðóãîñòè ê çîíå ïîÿâëåíèÿ ïëàñ-

òè÷åñêèõ äåôîðìàöèé äëÿ áîëüøèíñòâà ìàòåðèàëîâ

íîñèò ïëàâíûé õàðàêòåð, òî óñëîâèëèñü ïðåäåëîì

òåêó÷åñòè ñ÷èòàòü íàïðÿæåíèå

σσ

02,

ñîîòâåòñòâóþ-

ùåå çíà÷åíèþ îñòàòî÷íîé äåôîðìàöèè 0,2%. Â îò-

ëè÷èå îò íåãî ïðåäåë ïðî÷íîñòè

σσ

– íàïðÿæåíèå,

ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçðóøåíèþ îáðàçöà. Îáû÷íî

ïðåäåë òåêó÷åñòè ñîñòàâëÿåò (0,5…0,9)

σσ

Íàãðóæåíèå ñ÷èòàþò ïðîñòûì, åñëè âñå êîì-

ïîíåíòû íàãðóçîê âîçðàñòàþò îò íóëÿ îäíîâðåìåí-

íî òàê, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íèìè â ëþáîé ìî-

ìåíò âðåìåíè ñîõðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè, ò.å. âñå

âíåøíèå ñèëû âîçðàñòàþò ïðîïîðöèîíàëüíî îäíî-

ìó îáùåìó ïàðàìåòðó. Ñàìè íàãðóçêè ïðè ýòîì

ìîãóò áûòü ñêîëü óãîäíî ñëîæíû: ñîñðåäîòî÷åí-

íûå ñèëû, ðàâíîìåðíî èëè íåðàâíîìåðíî ðàñïðå-

äåëåííûå êàê ïî íàðóæíîé ïîâåðõíîñòè òåëà è ò.ä.

Åñëè íåèçìåííîå ñîî

òíîøåíèå ìåæäó âíåøíèìè

ñèëàìè íå ñîáëþäàåòñÿ (íàïðèìåð, ÷àñòü ñèë äåé-

ñòâóåò ðàíåå äðóãèõ, èëè, íà÷àâ âìåñòå, íåêîòîðûå

èç ñèë ïðåêðàùàþò ñâîå äåéñòâèå, à îñòàëüíûå ïðî-

äîëæàþò íàðàñòàòü è ò.ä.), òî òàêîå íàãðóæåíèå íà-

Ðèñóíîê 14.1.8_2 - Ýôôåêò Áàóøèíãåðà

Ðèñóíîê 14.1.8_3 - Âëèÿíèå òåìïåðàòóðû:

< T

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

933

çûâàþò ñëîæíûì, õîòÿ íàãðóçêà ïî êîëè÷åñòâó ñèë,

èõ ðàñïîëîæåíèþ ìîæåò áûòü è ïðîñòîé. Ïðîñòîå

è ñëîæíîå íàãðóæåíèå íå ñëåäóåò ïóòàòü

ñ ïðîñòûì

(îäíîîñíûì) è ñëîæíûì (êîãäà äâà èëè òðè ãëàâ-

íûõ íàïðÿæåíèÿ äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè îòëè÷-

íû îò íóëÿ) íàïðÿæåííûì ñîñòîÿíèåì.

Äåôîðìàöèþ â íåêîòîðîé òî÷êå íàçûâàþò àê-

òèâíîé, åñëè èíòåíñèâíîñòü íàïðÿæåíèÿ äëÿ ýòîé

òî÷êè â êàæäûé ìîìåíò íàãðóæåíèÿ èìååò çíà÷å-

íèå, ïðåâûøàþùåå âñå ïðåäøåñòâóþùèå åãî çíà-

÷åíèÿ. Â ñëó÷àå ïðîñòîãî íàãðóæåíèÿ ýòî ïðîèñ-

õîäèò ïðè ìîíîòîííîì âîçðàñòàíèè íàãðóçêè. Åñëè

ïðè äåôîðìàöèè èíòåíñèâíîñòü íàïðÿæåíèÿ ìåíü-

øå ïðåäøåñòâóþùåãî åãî çíà÷åíèÿ, äåôîðìàöèþ

íàçûâàþò ïàññèâíîé.

14.1.9 - Ìîäåëè óïðóãî-ïëàñòè÷åñ-

êèõ äåôîðìàöèé. Ìåòîä ïåðåìåí-

íûõ ïàðàìåòðîâ óïðóãîñòè

Â òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè èñïîëüçóþò äâå ãðóï-

ïû ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïîâåäåíèÿ ìàòåðèà-

ëîâ. Èõ íàçûâàþò òåîðèåé óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèõ

äåôîðìàöèé è òåîðèåé òå÷åíèÿ.

Â ïåðâîé ãðóïïå óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó

íàïðÿæåíèÿìè è äåôîðìàöèÿìè. Âî âòîðîé – ìåæ-

äó íàïðÿæåíèÿìè è áåñêîíå÷íî ìàëûìè ïðèðàùå-

íèÿìè äåôîðìàöèé ïðè áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïðèðà-

ùåíèÿõ íàïðÿæåíèé.

Äîñòîèíñòâî ìîäåëåé ïåðâîé ãðóïïû – ïðî-

ñòîòà, îäíàêî ìîäåëè ýòîé ãðóïïû íå îïèñûâàþò

ñëîæíîãî íàãðóæåíèÿ è íå ïîçâîëÿþò ó÷èòûâàòü

èñòîðèþ íàãðóæåíèÿ ïðè îïðåäåëåíèè ïëàñòè÷åñ-

êèõ äåôîðìàöèé. Ìîäåëè âòîðîé ãðóïïû ñâîáîä-

íû îò ýòèõ îãðàíè÷åíèé, íî áîëåå ñëîæíû â èñïîëü-

çîâàíèè. Îíè íå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ çäåñü,

ñ íèìè ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ â ëèòåðàòóðå ïî òåî-

ðèè ïëàñòè÷íîñòè, íàïðèìåð â [14.8.25].

Â îñíîâå òåîðèè óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèõ äåôîð-

ìàöèé ëåæèò ýêñïåðèìåíòàëüíî îáîñíîâàííîå

ïðåäñòàâëåíèå î íàëè÷èè îäíîçíà÷íîé çàâèñèìî-

ñòè ìåæäó ñóììàðíûìè äåôîðìàöèÿìè è íàïðÿæå-

íèÿìè â òåëå. Äëÿ èçîòðîïíîãî òåëà ýòè çàâèñèìî-

ñòè èìåþò âèä:

(14.1.9-1)

ãäå

εε

= (

εε

)/3 - ñðåäíèå äåôîðìàöèè;

σσ

= (

σσ

)/3 - ñðåäíèå íàïðÿæåíèÿ.

Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî ïëàñòè-

÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ íå ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ îáúå-

ìà ìàòåðèàëà, êîòîðîå ïðîïîðöèîíàëüíî ñðåäíå-

ìó íàïðÿæåíèþ. Ñ ó÷åòîì òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ

ïðè èçìåíåíèè òåìïåðàòóðû:

(14.1.9-2)

Â óðàâíåíèÿõ (14.1.9-1) âåëè÷èíà

ψψ

íàçûâà-

åòñÿ ïàðàìåòðîì ïëàñòè÷íîñòè è ââîäèòñÿ êàê:

(14.1.9-3)

ãäå

εε

σσ

- èíòåíñèâíîñòè äåôîðìàöèé è íàïðÿæå-

íèé ðàññìîòðåííûå âûøå.

Â òåîðèè ïëàñòè÷íîñòè ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ

ãèïîòåçà åäèíîé êðèâîé, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî çà-

âèñèìîñòü ìåæäó èíòåíñèâíîñòÿìè äåôîðìàöèé

è íàïðÿæåíèé

εε

= f(

σσ

)

ïîëó÷àåìàÿ ýêñïåðèìåí-

òàëüíî ïðè îäíîîñíîì ðàñòÿæåíèè, îñòàåòñÿ íåèç-

ìåííîé äëÿ ëþáîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Òà-

êèì îáðàçîì, ïàðàìåòð ïëàñòè÷íîñòè, âîîáùå

ãîâîðÿ, íå êîíñòàíòà, à ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè íà-

ïðÿæåíèé.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü ôèçè÷åñêèé ñìûñë

ïàðàìåòðà ïëàñòè÷íîñòè ðàññìîòðèì îäíîîñíîå

ðàñòÿæåíèå ñòåðæíÿ. Âñå êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ,

êðîìå îäíîé ðàâíû íóëþ.

Ïóñòü

σσ

, òîãäà äëÿ èíòåíñèâíîñòè íàïðÿ-

æåíèé èç (14.1.1-2) ïîëó÷àåì

σσ

. Åñëè ïðîäîëü-

íàÿ äåôîðìàöèÿ ñòåðæíÿ

εε

, òî äåôîðìàöèè â -

ïîïåðå÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ

εε

= -

µµ

εε

= -

µµ

εε

Çäåñü

µµ

- êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà äëÿ ïëàñòè÷åñ-

êèõ äåôîðìàöèé, â ñëó÷àå óïðóãèõ äåôîðìàöèé îí

ðàâåí

µµ

Äëÿ èíòåíñèâíîñòè äåôîðìàöèé èç (14.1.3-4)

íàõîäèì:

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

934

Òîãäà äëÿ îäíîîñíîãî ðàñòÿæåíèÿ ñòåðæíÿ

ïîëó÷àåì:

(14.1.9-4)

Çäåñü

σ σ

* = E

εε

- óñëîâíîå íàïðÿæåíèå, êîòî-

ðîå ñîîòâåòñòâóåò äåôîðìàöèè e â ñëó÷àå, åñëè áû

òåëî áûëî óïðóãèì (òî÷êà A

íà Ðèñ. 14.1.8_2).

Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð ïëàñòè÷íîñòè ìîæ-

íî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îòíîøåíèå íàïðÿæåíèé

â óïðóãîì òåëå ê íàïðÿæåíèÿì â ïëàñòè÷åñêîì òåëå

ïðè îäíèõ è òåõ æå äåôîðìàöèÿõ.

Íà óïðóãîì ó÷àñòêå êðèâîé äåôîðìèðîâàíèÿ

ψ ψ

= 1. Â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (14.1.9-1) ìîæíî

ïðèâåñòè ê îáîáùåííîìó çàêîíó Ãóêà (14.1.5-3).

Òàê, äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ îäíîîñíîãî

ðàñòÿæåíèÿ ñòåðæíÿ ñðåäíÿÿ äåôîðìàöèÿ ðàâíà

εε

(1-2

µµ

)/3, ñðåäíåå íàïðÿæåíèå

σσ

/3 è èç

(14.1.9-1) ïðè

ψψ

= 1 ïîëó÷àåì

σσ

= E

ε.ε.

ε.

Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êðèâîé äåôîð-

ìèðîâàíèÿ

σσ

= f(

εε

)

èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ñîîò-

íîøåíèÿ (ìîäåëè) (ñì. Ðèñ. 14.1.9_1). Ïðîñòåéøàÿ

èç íèõ – ìîäåëü èäåàëüíîãî óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîãî

òåëà (êðèâàÿ 2), â êîòîðîé ïðåíåáðåãàþò óïðî÷íå-

íèåì ìàòåðèàëà ïðè ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè. Ïî

ìåðå íàãðóæåíèÿ ïðè íàïðÿæåíèÿõ ìåíåå ïðåäåëà

òåêó÷åñòè

σσ

äåôîðìàöèÿ óïðóãàÿ, îíà óâåëè÷èâà-

åòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî íàïðÿæåíèþ (êðèâàÿ 1). Ïðè

äàëüíåéøåì íàãðóæåíèè äåôîðìàöèÿ óâåëè÷èâà-

åòñÿ áåç óâåëè÷åíèÿ íàïðÿæåíèé. Áëàãîäàðÿ ñâîåé

ïðîñòîòå ìîäåëü èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè ýôôåê-

òîâ ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè â àíàëèòè÷åñêèõ

ðàñ÷åòàõ. Ïðè ðàçâèòûõ ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöè-

ÿõ ìàòåðèàëîâ ñ ïëîùàäêîé òåêó÷åñòè (íèçêîóãëå-

ðîäèñòûõ íåëåãèðîâàííûõ ñòàëåé, íàïðèìåð) ýòà

ìîäåëü ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü êîëè÷åñòâåííûå ðåçóëü-

òàòû ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòèêè òî÷íîñòüþ. Äà-

ëåå â ïîðÿäêå óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè ñëåäóþò ìîäå-

ëè ëèíåéíîãî (êðèâàÿ 3) è ñòåïåííîãî (êðèâàÿ 4)

óïðî÷íåíèÿ. Ïîñëåäíèå íàèáîëåå áëèçêè ê ðåàëü-

íîé êðèâîé óïðî÷íåíèÿ ìàòåðèàëà (êðèâàÿ 5). Ïðè

èñïîëüçîâàíèè ñîâðåìåííûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ

îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ìîäåëè òîãî óðîâíÿ òî÷íîñ-

òè, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè

äàííûìè, à íå ñëîæíîñòüþ ðàñ÷åòîâ.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ óïðóãî-ïëà-

ñòè÷åñêîå íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå

òåëà, îòëè÷àåòñÿ îò ñèñòåìû óðàâíåíèé òåîðèè óï-

ðóãîñòè òîëüêî ñîîòíîøåíèÿìè ìåæäó äåôîðìàöè-

ÿìè è íàïðÿæåíèÿìè. Îíà âêëþ÷àåò

â ñåáÿ óðàâíå-

íèÿ ðàâíîâåñèÿ (14.1.2-2), óñëîâèÿ ñîâìåñòíîñòè

äåôîðìàöèé (14.1.4-1), ôèçè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ

óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîãî òåëà (14.1.9-1), à òàêæå ñî-

îòíîøåíèå (14.1.9-4) äëÿ ïàðàìåòðà ïëàñòè÷íîñòè

ψψ

. Ðåøåíèå äîëæíî, êðîìå òîãî, óäîâëåòâîðÿòü ãðà-

íè÷íûì óñëîâèÿì â ïåðåìåùåíèÿõ è íàïðÿæåíè-

ÿõ.

Ðàññìîòðèì ïðåäëîæåííûé È.À.Áèðãåðîì

ìåòîä ðàñ÷åòà óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîãî íàïðÿæåííî-

ãî ñîñòîÿíèÿ – ìåòîä ïåðåìåííûõ ïàðàìåòðîâ óï-

ðóãîñòè. Îí ñâîäèò óïðóãî-ïëàñòè÷åñêóþ çàäà÷ó

ê öåïî÷êå óïðóãèõ çàäà÷ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ

ïðîöåññà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Â îñíî-

âå ìåòîäà ëåæèò èñïîëüçîâàíèå îáîáùåííîãî çà-

êîíà Ãóêà, â êîòîðîì ìîäóëü óïðóãîñòè è êîýôôè-

öèåíò Ïóàññîíà çàâèñÿò îò íàïðÿæåíèé è ïîýòîìó

èìåþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ â ðàçíûõ òî÷êàõ òåëà.

Óðàâíåíèÿ îáîáùåííîãî çàêîíà Ãóêà çàïèñû-

âàþòñÿ â âèäå:

(14.1.9-5)

Ðèñóíîê 14.1.9_1 - Ñõåìàòèçàöèÿ äèàãðàììû

äåôîðìèðîâàíèÿ

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

935

Ïàðàìåòðû E

µµ

çàâèñÿò îò îòíîøåíèÿ

èíòåíñèâíîñòåé íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé. Â ÷à-

ñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïðåíåáðåãàþò ñæèìàåìîñòüþ

ìàòåðèàëà:

(14.1.9-6)

Ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ðå-

àëèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â ïåðâîì ïðèáëè-

æåíèè ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî ïåðåìåííûå ïàðàìåòðû

óïðóãîñòè ðàâíû ïàðàìåòðàì óïðóãîñòè, è ðåøà-

åòñÿ óïðóãàÿ çàäà÷à, â ðåçóëüòàòå ÷åãî îïðåäåëÿþò-

ñÿ êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè ïåðâî-

ãî ïðèáëèæåíèÿ

σσ

, ….,

ττ

xy1

, …,

εε

,…,

γγ

xy1

,… Ïî

ýòèì âåëè÷èíàì â êàæäîé òî÷êå òåëà âû÷èñëÿþòñÿ

èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé â ïåð-

âîì ïðèáëèæåíèè

σσ

εε

. Â êîîðäèíàòàõ

σσ

εε

. (ñì.

Ðèñ. 14.1.9_2) íàïðÿæåííîå è äåôîðìèðîâàííîå ñî-

ñòîÿíèå íåêîòîðîé òî÷êè òåëà èçîáðàæàåòñÿ òî÷-

êîé 1, ëåæàùåé íà ëó÷å, òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êî-

òîðîãî ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå E = 3G.

Âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè âíîñèòñÿ ïîïðàâêà

äëÿ âåëè÷èíû E

. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (14.1.9-6) îíà

ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé îòíîøåíèþ èíòåíñèâíîñòè

íàïðÿæåíèé

σσ

∗∗

∗

ê èíòåíñèâíîñòè äåôîðìàöèé

εε

ïî äèàãðàììå

σσ

εε

(ñì. Ðèñ. 14.1.9_2). Ïàðàìåò-

ðû E

è G

áóäóò ðàçëè÷íûìè â ðàçíûõ òî÷êàõ òåëà.

Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ

íàïðÿæåíèé â óñëîâíî íåîäíîðîäíîì òåëå, ïàðà-

ìåòðû óïðóãîñòè â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ êîòîðîãî ðàç-

ëè÷íû. Äàëåå ðåøàþò ýòó çàäà÷ó, îïðåäåëÿþò êîì-

ïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè

σσ

, …,

ττ

xy2

, …,

εε

,…,

γγ

xy2

,…ÿâëÿþùèåñÿ âòîðûì ïðèáëèæåíèåì.

Ïî ýòèì âåëè÷èíàì â êàæäîé òî÷êå òåëà âû÷èñëÿ-

þòñÿ èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé

âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè

σσ

εε

(òî÷êà 2 íà

Ðèñ. 14.1.9_2).

Â òðåòüåì ïðèáëèæåíèè âåëè÷èíà E

âû÷èñ-

ëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå èíòåíñèâíîñòè íàïðÿæåíèé

σσ

ê èíòåíñèâíîñòè äåôîðìàöèé

εε

ïî äèàãðàì-

ìå äåôîðìèðîâàíèÿ. Äàëåå âû÷èñëÿþò êîìïîíåí-

òû íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè òðåòüåãî ïðèáëèæå-

íèÿ è ò.ä. Ðàñ÷åò ïðîäîëæàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà

ðàçíèöà ðåçóëüòàòîâ â î÷åðåäíîì è ïðåäûäóùåì

ïðèáëèæåíèÿõ íå ñòàíåò äîñòàòî÷íî ìàëîé. Ïðàê-

òèêà ðàñ÷åòîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðîöåññ õîðîøî ñõî-

äèòñÿ óæå íà âòîðîì – òðåòüåì ïðèáëèæåíèÿõ.

Ïîäîáíàÿ ïðîöåäóðà èñïîëüçóåòñÿ, íàïðèìåð,

ïðè ðàñ÷åòå íà ïðî÷íîñòü äèñêîâ ÃÒÄ.

14.1.10 - Ïîâåäåíèå êîíñòðóêöèé

ïðè ðàçãðóçêå. Îñòàòî÷íûå íàïðÿ-

æåíèÿ

Ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ïëàñòè÷åñêèì äåôîðìè-

ðîâàíèåì, ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå ÷èñòîãî èçãèáà

ñòåðæíÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ. Äëÿ ïðîñòîòû

èñïîëüçóåì ìîäåëü

èäåàëüíîãî óïðóãî-ïëàñòè÷åñ-

êîãî òåëà áåç óïðî÷íåíèÿ (ñì. Ðèñ. 14.1.9_1).

ó-

äåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ñòåðæåíü äåéñòâóþò ñîñðåäîòî-

÷åííûå èçãèáàþùèå ìîìåíòû M (ñì. Ðèñ. 14.1.10_1),

êîòîðûå óâåëè÷èâàþòñÿ ïîñòåïåííî.

Ìàêñèìàëüíûå íàïðÿæåíèÿ âîçíèêàþò, êàê èç-

âåñòíî, â êðàéíèõ âåðõíèõ è íèæíèõ âîëîêíàõ. Íà

ñòàäèè óïðóãîãî äåôîðìèðîâàíèÿ îíè ðàâíû:

(14.1.10-1)

ãäå W – ìîìåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñå÷åíèÿ.

Ýòè íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàþò ïðåäåëà òåêó÷åñ-

òè ïðè èçãèáàþùåì ìîìåíòå:

Ïóñòü èçãèáàþùèé ìîìåíò ïðåâîñõîäèò ýòî

çíà÷åíèå. Ïðè ýòîì â ñòåðæíå âîçíèêàåò îáëàñòü

ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé, óïðóãèìè îñòàþòñÿ

âîëîêíà íà ðàññòîÿíèè ìåíåå h

/2 îò íåéòðàëüíîé

ëèíèè (ñì. Ðèñ. 14.1.10_1á). Â îáëàñòè ïëàñòè÷åñ-

Ðèñóíîê 14.1.9_2 - Ìåòîä ïåðåìåííûõ ïàðàìåòðîâ

óïðóãîñòè

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

936

êèõ äåôîðìàöèé â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòîé ìîäå-

ëüþ èäåàëüíîãî óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîãî òåëà íàïðÿ-

æåíèÿ ðàâíû ïðåäåëó òåêó÷åñòè, â óïðóãîé îáëàñ-

òè - ïðîïîðöèîíàëüíû ðàññòîÿíèþ îò íåéòðàëüíîé

ëèíèè:

(14.1.10-2)

Èç óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ

(14.1.10-3)

íàõîäèì ðàçìåð ïëàñòè÷åñêîé çîíû:

(14.1.10-4)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì èçãèáàþ-

ùåãî ìîìåíòà ïëàñòè÷åñêàÿ çîíà ïîñòåïåííî óâå-

ëè÷èâàåòñÿ, è ïðè íåêîòîðîì ïðåäåëüíîì çíà÷å-

íèè èçãèáàþùåãî ìîìåíòà M

ÏÐÅÄ

âñå ñå÷åíèå

ñòåðæíÿ ïåðåõîäèò â ïëàñòè÷åñêîå ñîñòîÿíèå (ñì.

Ðèñ. 14.1.10_1ä). Äàëüíåéøåå óâåëè÷åíèå èçãèáà-

þùåãî ìîìåíòà â ðàìêàõ ïðèíÿòîé ìîäåëè èäåàëü-

íîãî óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà íåâîçìîæíî,

ñëåäîâàòåëüíî îí äàåò îöåíêó ïðåäåëüíîé íåñóùåé

ñïîñîáíîñòè ñòåðæíÿ. Åãî çíà÷åíèå âûòåêàåò èç

à) á) â) ã) ä)

Ðèñóíîê 14.1.10_1 - Ñõåìà èçãèáà ñòåðæíÿ (à), ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïîñëå èçãèáà â ïëàñòè÷åñêîé

îáëàñòè (á), ðàñïðåäåëåíèå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé (â), ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé ïðè

ïîâòîðíîì íàãðóæåíèè (ã) è ïðåäåëüíîå ñîñòîÿíèå ñòåðæíÿ (ä)

(14.1.10-4) ïðè h

= 0: M

ÏÐÅÄ

σσ

/4.

Ïðè ðàçãðóçêå, êàê ïîêàçûâàþò ýêñïåðèìåí-

òû, óìåíüøåíèå íàïðÿæåíèé ïðîïîðöèîíàëüíî

óìåíüøåíèþ äåôîðìàöèé. Â ñëó÷àå ñëîæíîãî íà-

ïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ ýòà æå çàâèñèìîñòü ôîðìó-

ëèðóåòñÿ â îòíîøåíèè èíòåíñèâíîñòåé íàïðÿæå-

íèé è äåôîðìàöèé:

σ σ

iðàçãð

= E

εε

iðàçãð

(14.1.10-5)

Íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè ðàçãðóçêè ìîãóò

áûòü îïðåäåëåíû èç ðåøåíèÿ çàäà÷è òåîðèè óïðó-

ãîñòè äëÿ âíåøíèõ ñèë, ðàâíûõ ðàçíîñòÿì ñèë ïðè

íàãðóæåíèè è îñòàþùèõñÿ ïîñëå ðàçãðóçêè. Â ñëó-

÷àå ïîëíîé ðàçãðóçêè ðåøàåòñÿ çàäà÷à òåîðèè óï-

ðóãîñòè äëÿ âíåøíèõ ñèë, íàãðóæàþùèõ òåëî. Ýòî

ñïðàâåäëèâî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè ðàçãðóçêå ìà-

òåðèàë íå âûõîäèò âíîâü çà ïðåäåëû óïðóãîñòè.

Ïîëå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé óäîâëåòâîðÿåò

óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì ïî

íàïðÿæåíèÿì, ñîîòâåòñòâóþùèì íàãðóçêàì, îñòàâ-

øèìñÿ ïîñëå ðàçãðóçêè. Â ñëó÷àå ïîëíîé ðàçãðóç-

êè ïîëå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé äîëæíî áûòü ñà-

ìîóðàâíîâåøåííûì. Îñòàòî÷íûå íàïðÿæåíèÿ

è äåôîðìàöèè îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðàçíîñòü íàïðÿ-

æåíèé è äåôîðìàöèé, äîñòèãíóòûõ íà ñòàäèè íà-

ãðóçêè, è íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé ðàçãðóçêè:

σ σ

ij ÎÑÒ

σσ

ij ÐÀÇÃÐ;

ε ε

ij ÎÑÒ

εε

ij ÐÀÇÃÐ

(14.1.10-6)

Âåðíåìñÿ ê ñèòóàöèè, êîãäà â ñòåðæíå ïîä äåé-

ñòâèåì èçãèáàþùåãî ìîìåíòà M âîçíèêëà ïëàñòè-

÷åñêàÿ çîíà ðàçìåðîì h – h

è ðàññìîòðèì ïðîöåññ

ðàçãðóçêè. Íàïðÿæåíèå ðàçãðóçêè, ïîëó÷àþùååñÿ

èç ðåøåíèÿ óïðóãîé çàäà÷è äëÿ èçãèáàþùåãî ìî-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

937

ìåíòà M, èçìåíÿåòñÿ ïî âûñîòå ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ

ëèíåéíî:

(14.1.10-7)

ãäå I – ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.

Îñòàòî÷íîå íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàç-

íîñòü íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ñîîòíîøåíèåì

(14.1.10-2) è íàïðÿæåíèÿ ðàçãðóçêè:

σ σ

îñò

(y) =

σσ

(y) -

σσ

ðàçãð

(y). (14.1.10-8)

Ïîëå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé ïîêàçàíî íà

Ðèñ. 14.1.10_1â. Âèäíî, ÷òî íà âåðõíåé ïîâåðõíî-

ñòè, â âîëîêíàõ êîòîðîé ïîä íàãðóçêîé âîçíèêàåò

ðàñòÿãèâàþùåå íàïðÿæåíèå, îñòàòî÷íîå íàïðÿæå-

íèå - ñæèìàþùåå è ñîñòàâëÿåò:

σ σ

îñò

(h/2) =

σσ

– 6M/bh

(14.1.10-9)

Íà íèæíåé ïîâåðõíîñòè îñòàòî÷íîå íàïðÿæå-

íèå èìååò òàêóþ æå âåëè÷èíó, íî ïðîòèâîïîëîæ-

íûé çíàê. Èç Ðèñ. 14.1.10_1â âèäíî, ÷òî ïîëå îñòà-

òî÷íûõ íàïðÿæåíèé - ñàìîóðàâíîâåøåííîå: ñóììà

ïðîåêöèé âñåõ íàïðÿæåíèé íà îñü x ðàâíà íóëþ.

Êðîìå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé â ñòåðæíå âîçíè-

êàþò îñòàòî÷íûå äåôîðìàöèè è ïåðåìåùåíèÿ (ïðî-

ãèá). Â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å îñòàòî÷íûé ïðî-

ãèá íàïðàâëåí âíèç, ÷òî è îïðåäåëÿåò çíàêè

îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé – ñæàòèÿ â âåðõíèõ âîëîê-

íàõ è ðàñòÿæåíèÿ – â íèæíèõ.

Ïðè ïîñëåäóþùåì íàãðóæåíèè îñòàòî÷íûå

íàïðÿæåíèÿ ñêëàäûâàþòñÿ ñ íàïðÿæåíèÿìè îò íî-

âîé íàãðóçêè. Ðåçóëüòèðóþùèå íàïðÿæåíèÿ ìîãóò

îêàçàòüñÿ áîëüøå èëè ìåíüøå, ÷åì â êîíñòðóêöèè,

íå ïîäâåðãàâøåéñÿ ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè.

Ïîëå îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ

ìîæåò áûòü áëàãîïðèÿòíûì èëè íåáëàãîïðèÿòíûì.

Â ïåðâîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î ïðèñïîñîáëÿåìîñòè êîí-

ñòðóêöèè è åå óïðî÷íåíèè (àâòîôðåòèðîâàíèè)

ïóòåì ïðåäâàðèòåëüíîé äåôîðìàöèè. Â ÷àñòíîñòè,

áëàãîïðèÿòíûå ïîëÿ îñòàòî÷íûõ íàïðÿæåíèé âîç-

íèêàþò ïðè ïðåäâàðèòåëüíîé ïëàñòè÷åñêîé äåôîð-

ìàöèè äèñêîâ ÃÒÄ.

14.1.11 - Ïîëçó÷åñòü. Ðåëàêñàöèÿ íà-

ïðÿæåíèé. Äëèòåëüíàÿ ïðî÷íîñòü

Íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè, âîçíèêøèå ïðè

íàãðóæåíèè äåòàëåé, èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè, äàæå

åñëè íàãðóçêè îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Ýòî ÿâëå-

íèå íàçûâàåòñÿ ïîëçó÷åñòüþ ìàòåðèàëà. Îäíà ñòî-

ðîíà ýòîãî ÿâëåíèÿ — èçìåíåíèå âî âðåìåíè äå-

ôîðìàöèé — íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííî ïîëçó÷åñòüþ

èëè ïîñëåäåéñòâèåì, à âòîðàÿ — èçìåíåíèå íàïðÿ-

æåíèé — ðåëàêñàöèåé. Ïîëçó÷åñòü ìîæåò ïðèâî-

äèòü ê íåäîïóñòèìîìó óâåëè÷åíèþ íåîáðàòèìîé

äåôîðìàöèè äåòàëè èëè êîíñòðóêöèè, è åå ðàçðó-

øåíèþ ïðè íàïðÿæåíèÿõ íèæå ïðåäåëà ïðî÷íîñ-

òè. Ïðèìåðîì íåãàòèâíîãî ïðîÿâëåíèÿ ïîëçó÷åñòè

ìîæåò ñëóæèòü ïîñòåïåííîå íåîáðàòèìîå óäëèíå-

íèå ëîïàòîê ðîòîðà ãàçîâîé òóðáèíû, êîòîðîå ìî-

æåò ïðèâåñòè ê çàäåâàíèþ ëîïàòîê î ñòàòîð è çàê-

ëèíèâàíèþ ðîòîðà.

Çàäà÷àìè ðàñ÷åòà êîíñòðóêöèé íà ïîëçó÷åñòü

ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëåíèå äåôîðìàöèé, íàêàïëèâàå-

ìûõ â êîíñòðóêöèè âî âðåìÿ ðàáîòû, è îïðåäåëå-

íèå âðåìåíè äî ðàçðóøåíèÿ äåòàëè.

Íà Ðèñ. 14.1.11_1 ïðîèëëþñòðèðîâàí ïðîöåññ

ïîëçó÷åñòè, ïðîèñõîäÿùèé ïðè îäíîîñíîì ðàñòÿ-

æåíèè ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî âî âðå-

ìåíè íàïðÿæåíèÿ.

Äåôîðìàöèÿ, âîçíèêøàÿ ìãíîâåííî ïðè ïðè-

ëîæåíèè íàãðóçêè (îòðåçîê ÎÀ íà Ðèñ. 14.1.11_1) -

óïðóãàÿ: îíà ðàâíà

σσ

/E.

Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðè

ïîñòîÿííîé íàãðóçêå ïîÿâëÿåòñÿ è ïîñòåïåííî óâå-

ëè÷èâàåòñÿ ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ – äåôîðìà-

öèÿ ïîëçó÷åñòè (êðèâàÿ À-A

). Ïðè ýòîì íàáëþäà-

þòñÿ òðè õàðàêòåðíûõ ó÷àñòêà. Íà ïåðâîì

(A-A

)

äåôîðìàöèÿ ð

àñòåò îòíîñèòåëüíî áûñòðî, çàòåì çà-

ìåäëÿåòñÿ è íà ó÷àñòêå A

-A

ðàñòåò ñ ïîñòîÿííîé

ñêîðîñòüþ. Ó÷àñòîê A

-A

íàçûâàþò ó÷àñòêîì óñòà-

íîâèâøåéñÿ ïîëçó÷åñòè. Íà òðåòüåì ó÷àñòêå (A

-A

)

ñêîðîñòü äåôîðìàöèè ñíîâà âîçðàñòàåò, è â òî÷êå A

ïðîèñõîäèò ðàçðóø

åíèå.

Ðèñóíîê 14.1.11_1 - Ïîëçó÷åñòü ïðè ïîñòîÿííîì

íàïðÿæåíèè è â öèêëå íàãðóçêà-

ðàçãðóçêà

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

938

Ðàññìîòðåííóþ çàâèñèìîñòü äåôîðìàöèè îò

âðåìåíè ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íàçûâàþò

êðèâîé ïîëçó÷åñòè. Ñåìåéñòâî êðèâûõ ïîëçó÷åñòè,

ïîëó÷åííûõ ïðè ðàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ è òåìïåðàòó-

ðàõ, ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëçó÷åñ-

òè ìàòåðèàëà

è îïðåäåëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé

òî÷êå B, ñíÿòü íàãðóçêó, ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå

äåôîðìàöèè. Ñíà÷àëà äåôîðìàöèÿ ñêà÷êîîáðàçíî

óìåíüøàåòñÿ íà âåëè÷èíó óïðóãîé äåôîðìàöèè

(ó÷àñòîê ÂÑ), à â äàëüíåéøåì ïàäàåò ïîñòåïåííî

(êðèâàÿ CD). Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì

ïîñëåäåéñòâèåì èëè îáðàòíîé ïîëçó÷åñòüþ.

Ïîëçó÷åñòü ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè íàïðÿæåíèÿõ,

ìåíüøèõ ïðåäåëà òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà. Êðèâûå

ïîëçó÷åñòè ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè äëÿ áîëü-

øèõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé ðàñïîëàãàþòñÿ âûøå,

÷òî ñîîòâåòñòâóåò áîëåå âûñîêîé ñêîðîñòè äåôîð-

ìàöèè ïîëçó÷åñòè è ìåíüøåìó âðåìåíè äî ðàçðó-

øåíèÿ t

< t

(ñì. Ðèñ. 14.1.11_2à).

Ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïðîöåññû ïîëçó÷å-

ñòè îêàçûâàåò òåìïåðàòóðà. Â ìåòàëëàõ ïîëçó÷åñòü

ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ, íà÷èíàÿ

ïðèáëèçèòåëüíî ñ 35% àáñîëþòíîé òåìïåðàòóðû

ïëàâëåíèÿ.

Â ïîëèìåðíûõ ìàòåðèàëàõ ïîëçó÷åñòü

ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå. Ñêî-

ðîñòü ïîëçó÷åñòè âñåõ ìàòåðèàëîâ ïðè áîëåå âû-

ñîêèõ òåìïåðàòóðàõ âûøå, à âðåìÿ äî ðàçðóøåíèÿ

ìåíüøå, ÷åì ïðè áîëåå íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ (ñì.

Ðèñ. 14.1.11_2á).

Îäíî èç âàæíûõ â ïðàêòè÷åñêîì îòíîøåíèè

ïðîÿâëåíèé ïîëçó÷åñòè - ðåëàêñàöèÿ íàïðÿæåíèé.

Îíà ïðîÿâëÿåòñÿ â ñèòóàöèè, êîãäà òåëî íàãðóæåíî

è çàôèêñèðîâàíî òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñóììàðíàÿ äå-

ôîðìàöèÿ åãî íå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ. Íàïðèìåð, ðàñ-

òÿíóòûé è çàêðåïëåííûé â ðàñòÿíóòîì ïîëîæåíèè

îáðàçåö. Äðóãîé ïðèìåð – ðàñòÿíóòûé ïðè çàòÿæêå

áîëò, ñîåäèíÿþùèé äâå äåòàëè. Ï

îëíàÿ äåôîðìà-

öèÿ, íå èçìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè, ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé ñóììó óïðóãîé äåôîðìàöèè

εε

è ïëàñòè÷åñ-

êîé äåôîðìàöèè ïîëçó÷åñòè

εε

(èíäåêñ ñ – íà÷àëü-

íàÿ áóêâà àíãëèéñêîãî «creep» -ïîëçó÷åñòü):

ε ε

εε

= const (14.1.11-1)

Â ìîìåíò íàãðóæåíèÿ t = 0 äåôîðìàöèè ïîë-

çó÷åñòè åùå íåò, ñóììàðíàÿ äåôîðìàöèÿ ðàâíà óï-

ðóãîé. Íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà Ãóêà:

σσ

(0) = E

σσ

(0). Ïîäñòàâëÿÿ â (14.1.11_1) ïîëó÷àåì:

(14.1.11-2)

Ðèñóíîê 14.1.11_2 - Êðèâûå ïîëçó÷åñòè

à) ïðè ðàçëè÷íûõ íàïðÿæåíèÿõ

σσ

; á) ïðè ðàçëè÷íûõ -

òåìïåðàòóðàõ T

Ðèñóíîê 14.1.11_3 - Ðåëàêñàöèÿ íàïðÿæåíèé

Èç (14.1.11-2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè

ïëàñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íà-

ïðÿæåíèå áóäåò ïîñòåïåííî óìåíüøàòüñÿ (ñì.

Ðèñ. 14.1.11_3). Ðåëàêñàöèÿ íàïðÿæåíèé ìîæåò

èìåòü íåãàòèâíûå ïîñëåäñòâèÿ, âûðàæàþùèåñÿ,

íàïðèìåð, â îñëàáëåíèè çàòÿæêè áîëòîâûõ ñîåäè-

íåíèé.

Ðåëàêñàöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ òàêæå â ïîñòåïåííîì

ñíèæåíèè íàïðÿæåíèé è óâåëè÷åíèè ïëàñòè÷åñêèõ

äåôîðìàöèé â çîíàõ êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé.

Îäíèì èç íåãàòèâíûõ ïðîÿâëåíèé ðåëàêñàöèè

ÿâëÿåòñÿ ïîñòåïåííîå ñíèæåíèå îñòàòî÷íûõ íàïðÿ-

æåíèé, ñîçäàííûõ â êîíñòðóêöèè ñ öåëüþ åå óïðî÷-

íåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëçó÷åñòü ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì,

÷òî íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè â òåëå ïðè çàäàííîé

íàãðóçêå çàâèñÿò íå òîëüêî îò ïðîñòðàíñòâåííûõ

êîîðäèíàò, íî è îò âðåìåíè.

Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñîïðîòèâëåíèÿ ìà-

òåðèàëà ïîëçó÷åñòè ÿâëÿåòñÿ ïðåäåë ïîëçó÷åñòè.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

939

Òàê íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèå, ïðè êîòîðîì ïëàñòè-

÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ çà çàäàííûé ïðîìåæóòîê âðå-

ìåíè äîñòèãàåò çàäàííîé âåëè÷èíû. Ïðè îáîçíà-

÷åíèè ïðåäåëà ïîëçó÷åñòè óêàçûâàþò âåëè÷èíó

äåôîðìàöèè, âðåìÿ è òåìïåðàòóðó. Íàïðèìåð, äëÿ

æàðîïðî÷íîãî íèêåëåâîãî ñïëàâà ÕÍ77ÒÞÐ äëÿ

ïðåäåëüíîé äåôîðìàöèè 0.2% ïðè òåìïåðàòóðå

700

Ñ è âðåìåíè 100 ÷àñîâ ïðåäåë ïîëçó÷åñòè

Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïîëçó÷åñòè îïèðàþò-

ñÿ, îáû÷íî, íà ñëåäóþùèå ñîãëàñóþùèåñÿ ñ ýêñ-

ïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïîëîæåíèÿ.

Äåôîðìàöèþ, âûçûâàåìóþ äåéñòâóþùåé íà-

ãðóçêîé è íàãðåâîì, ïðåäñòàâëÿþò êàê ñóììó äå-

ôîðìàöèé óïðóãîñòè, ïëàñòè÷íîñòè, ïîëçó÷åñòè

è òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì

ïðåäñòàâëÿþò ïðèðàùåíèå ïîëíîé äåôîðìàöèè:

εε

= d

εε

αα

t (14.1.11-3)

Â òðåõìåðíîì íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîì

ñîñòîÿíèè ïðèðàùåíèå îòäåëüíûõ êîìïîíåíò äå-

ôîðìàöèé ïîëçó÷åñòè ïðèíèìàåòñÿ â âèäå:

(14.1.11-4)

ãäå t - âðåìÿ;

Ô - ôóíêöèÿ ïîëçó÷åñòè, îïðåäåëÿåìàÿ íà

îñíîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ;

σσ

- ñðåäíåå íàïðÿæåíèå (

σσ

= (

σσ

)/3).

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ãèïîòåç (èíîãäà èõ

íàçûâàþò òåîðèÿìè) ïîëçó÷åñòè, ðàçëè÷àþùèõ-

ñÿ âèäîì ýòîé ôóíêöèè. Â òåîðèè òå÷åíèÿ ïðè-

íèìàþò

Ô = Ô (

σσ

, T, t )

â òåîðèè óïðî÷íåíèÿ

Ô = Ô(

σ σ

, T ,

εε

)

, (çäåñü

σσ

–èíòåíñèâíîñòü íà-

ïðÿæåíèé,

εε

- èíòåíñèâíîñòü íàêîïëåííîé äåôîð-

ìàöèè ïîëçó÷åñòè).

Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà òåîðèè ñòàðåíèÿ.

Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðè çà-

äàííîé òåìïåðàòóðå ìåæäó íàïðÿæåíèåì, äåôîðìà-

öèåé è âðåìåíåì ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ çàâèñè-

ìîñòü Ô(

σσ

εε

, t) = 0 . Äëÿ ñëîæíîãî íàïðÿæåííîãî

ñîñòîÿíèÿ âìåñòî íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé

â ýòîé

çàâèñèìîñòè çàïèñûâàþòñÿ èõ èíòåíñèâíîñòè.

Ýòà çàâèñèìîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâåðõ-

íîñòü â êîîðäèíàòàõ

σσ

εε

, t (14.1.5-5). Äàííûå äëÿ

åå ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñåìåéñòâà êðèâûõ

ïîëçó÷åñòè ïðè ðàçíûõ íàïðÿæåíèÿõ è òåìïåðàòó-

ðàõ (ñì. Ðèñ. 14.1.11_2). Ðàññåêàÿ åå ïëîñêîñòüþ

σσ

= const, ïîëó÷àåì êðèâûå ïîëçó÷åñòè,

ε ε

= const -

êðèâûå ðåëàêñàöèè, t = const – èçîõðîííûå (ïðè

îäèíàêîâîì âðåìåíè) êðèâûå äåôîðìàöèè.

Äëÿ ìîìåíòà t = 0 èçîõðîííàÿ êðèâàÿ ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé äèàãðàììó

σσ

εε

, ïîëó÷àåìóþ ïðè

îáû÷íûõ êðàòêîâðåìåííûõ èñïûòàíèÿõ. Äëÿ ïîñ-

ëåäóþùèõ ìîìåíòîâ êðèâàÿ ïðîõîäèò íèæå (ñì.

Ðèñ. 14.1.11_4), ÷òî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê

ïîñòåïåííîå ñíèæåíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà

äåôîðìàöèè (îòñþäà íàçâàíèå «ñòàðåíèå»).

Êîãäà

èçîõðîííûå êðèâûå íàéäåíû, çàäà÷à ñâîäèòñÿ

ê ðàñ-

÷åòó äåôîðìàöèé â óïðóãî-ïëàñòè÷åñêîì òåëå ïî

äåôîðìàöèîííîé òåîðèè.

Ìîäåëè ïîëçó÷åñòè, îñíîâàííûå íà òåîðèè

ñòàðåíèÿ, ïîçâîëÿþò îïèñûâàòü ïðîöåññû ïîëçó-

÷åñòè ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè, ìîíîòîííîì

íàãðóæåíèè, ðåëàêñàöèþ. Îäèí èç îñíîâíûõ íåäî-

ñòàòêîâ òåîðèè ñòàðåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íå ó÷è-

òûâàåòñÿ èñòîðèÿ íàãðóæåíèÿ. Îò ýòîãî íåäîñòàò-

êà ñâîáîäíû òåîðèè òå÷åíèÿ è óïðî÷íåíèÿ,

íåñêîëüêî áîëåå ñëîæíûå â ðåàëèçàöèè. Áîëåå ïîä-

ðîáíûå ñâåäåíèÿ î íèõ ìîæíî íàéòè â ñïåöèàëü-

íîé ëèòåðàòóðå (ñì., íàïðèìåð [14.8.25]).

Ýôôåêò ïîëçó÷åñòè, êàê îòìå÷àëîñü âûøå,

ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè íàïðÿæåíèÿõ, íèæå ïðåäåëà òåêó-

÷åñòè ìàòåðèàëà, è ïðè òàêèõ íàïðÿæåíèÿõ ìîæåò

ïðèâîäèòü ê ðàçðóøåíèþ êîíñòðóêöèè. Â îòëè÷èå

îò îáû÷íûõ êðàòêîâðåìåííûõ èñïûòàíèé íà ðàñ-

òÿæåíèå, ïîëçó÷åñòü ïðèâîäèò ê ðàçðóøåíèþ íå

ñðàçó, à ïî ïðîøåñòâèè íåêîòîðîãî, âîçìîæíî äëè-

òåëüíîãî, ïåðèîäà âðåìåíè. Ïðî÷íîñòü ìàòåðèàëà

ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ õàðàêòåðèçóåòñÿ ïðåäå-

ëîì äëèòåëüíîé ïðî÷íîñòè.

Ðèñóíîê 14.1.11_4 - Ïîâåðõíîñòü Ô(

σσ

εε

ττ

) = 0 â

òåîðèè ñòàðåíèÿ