Иноземцев А.А., Сандрацкий В.Л. Газотурбинные двигатели

Подождите немного. Документ загружается.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

960

(14.1.20-6)

Ýòè îòíîøåíèÿ àìïëèòóä òàêæå çàâèñÿò òîëü-

êî ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû è õàðàêòåðèçóþò äâå ôîð-

ìû êîëåáàíèé, êîòîðûå íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè.

Êîëåáàíèÿ ñ íèçøåé, íàïðèìåð, ñîáñòâåííîé ÷àñ-

òîòîé ïðîèñõîäÿò ïî çàêîíó (14.1.20-3):

Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàðìîíè÷åñêîå äâè-

æåíèå îáåèõ ìàññ ïî îäíîìó è òîìó æå çàêîíó âî

âðåìåíè ñ ÷àñòîòîé p

. Â êàæäîì öèêëå îáå ìàññû

îäíîâðåìåííî ïðîõîäÿò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ

è îäíîâðåìåííî äîñòèãàþò êðàéíèõ ïîëîæåíèé,

ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèå ïåðåìåùåíèé â ëþáîé ìî-

ìåíò âðåìåíè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è ðàâíûì r

Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ìîãóò áûòü ïðîâåäåíû

ïðèìåíèòåëüíî êî âòîðîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå.

Êàæäîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ

ôîðìà êîëåáàíèé. Ìîæíî ïîêàçàòü [14.8.11], ÷òî

íèçøåé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòå p

ñîîòâåòñòâóåò ôîð-

ìà, êîãäà îáå ìàññû äâèãàþòñÿ â îäíó ñòîðîíó; ÷à-

ñòîòå ð

îòâå÷àåò äâèæåíèå ìàññ â ðàçíûå ñòîðîíû

(ñì. Ðèñ. 14.1.20_2).

Âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòå-

ïåíÿìè ñâîáîäû ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå íàãðóæåíèÿ

ðàññìîòðåííîé âûøå ñèñòåìû

(ñì. Ðèñ. 14.1.20_1)

ãàðìîíè÷åñêîé ñèëîé F

cos

ΩΩ

Ω

t, ïðèëîæåííîé ê îä-

íîé èç ìàññ (äëÿ îïðåäåëåííîñòè – ê ïåðâîé). Ýòà

ñèëà äîáàâëÿåòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé (14.1.20-2)

â F

è ñèñòåìà ñòàíîâèòñÿ íåîäíîðîäíîé:

(14.1.20-7)

Ðåøåíèå èùåì â âèäå, ñîîòâåòñòâóþùåì îòñóò-

ñòâèþ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé:

Ðèñóíîê 14.1.20_3 - Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû âû-

íóæäåííûõ êîëåáàíèé îò ÷àñ-

òîòû âûíóæäàþùåé ñèëû äëÿ

ñèñòåìû ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè

ñâîáîäû

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòèõ ñîîòíîøåíèé â

(14.1.20-7)

ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îò-

íîñèòåëüíî y

Ïîëó÷àþùèåñÿ âûðàæåíèÿ äëÿ y

01 è

ãðîìîç-

äêè è çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ

ïðåäñòàâëÿåò àíàëèç àìïëèòóä êîëåáàíèé â çàâè-

ñèìîñòè îò ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû

ΩΩ

Ω

, ïðåä-

ñòàâëåííûé íà Ðèñ. 14.1.20_3. Âèäíî, ÷òî ñèñòåìà

èìååò äâà ðåçîíàíñíûõ ðåæèìà, ñîîòâåòñòâóþùèõ

ñîâïàäåíèþ ÷àñòîòû âûíóæäàþùåé ñèëû ñ êàæäîé

èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò. Òàêèì îáðàçîì, ãëàâíîå

îòëè÷èå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû ñ äâó-

ìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû îò ñèñòåì ñ îäíîé ñòåïåíüþ

ñâîáîäû ñîñòîèò â íàëè÷èè äâóõ, (à íå îäíîãî) ðå-

çîíàíñíûõ ðåæèìîâ.

Ðàññìîòðèì òåïåðü êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñèñòåìû

ñ n ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè (ñì. Ðèñ. 14.1.20_4).

Íà êàæäóþ èç ýòèõ ìàññ äåéñòâóåò ñèëà èíåðöèè.

Ïåðåìåùåíèå i-é ìàññû ïî àíàëîãèè ñ âûðàæåíè-

åì äëÿ äâóõìàññîâîé ñèñòåìû (14.1.20-1) ìîæåò

áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå:

αα

+ ... +

αα

, i = 1,2,...,n

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

961

Ñîñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ ïðîãèáà äëÿ âñåõ n ìàññ,

ïðèäåì ê ñèñòåìå îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé, àíàëî-

ãè÷íîé (14.1.20-3), êîòîðóþ óäîáíî çàïèñàòü â ìàò-

ðè÷íîé ôîðìå:

[

αα

] - [E]) {y

} = 0 (14.1.20-8)

ãäå [E] - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n;

} - âåêòîð àìïëèòóäíûõ ïðîãèáîâ.

×àñòîòíîå óðàâíåíèå ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå ïðè-

ðàâíèâàíèÿ íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû:

| p

[

αα

] - [E]| = 0 (14.1.20-9)

Óðàâíåíèå (14.1.20-9) äàåò çíà÷åíèÿ n ñîá-

ñòâåííûõ ÷àñòîò êîëåáàíèé p

, p

…p

, è êàæäîé ÷à-

ñòîòå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ôîðìà êîëåáàíèé

. Ñ ìàòå-

ìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, îòûñêàíèå ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé ñèñòåìû ñ êîíå÷íûì ÷èñ-

ëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñâîäèòñÿ ê ðàñ÷åòó ñîáñòâåí-

íûõ ÷èñåë è âåêòîðîâ ìàòðèöû (14.1.20-9).

Åñëè íà êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ñ n ñòåïåíÿ-

ìè ñâîáîäû äåéñòâóåò íàãðóçêà, èçìåíÿþùàÿñÿ âî

âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé

ΩΩ

Ω

ñèñòåìà ìîæåò èìåòü n ðåçîíàíñíûõ ðåæèìîâ ïðè

ñîâïàäåíèè ýòîé ÷àñòîòû ñ ëþáîé èç ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò. Óñëîâèå ðåçîíàíñà èìååò âèä:

Ω = Ω =

Ω =

k = 1,2,3,…n (14.1.20-10)

14.1.21 - Êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ ðàñï-

ðåäåëåííîé ìàññîé

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñèñòåìû ñ íåïðåðûâíî

ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé ðàññìîòðèì ñòåðæåíü, èç-

ãîòîâëåííûé èç ìàòåðèàëà ñ ïëîòíîñòüþ

ρρ

(íàïîì-

íèì, ÷òî â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ñòåðæåíü ñ÷èòàë-

ñÿ íåâåñîìûì). Ðàññìîòðèì èçãèáíûå êîëåáàíèÿ

ñòåðæíÿ (ñì. Ðèñ. 14.1.21_1à). Ìàññà, ïðèõîäÿùà-

ÿñÿ íà åäèíèöó äëèíû ñòåðæíÿ ðàâíà

ρρ

F (ãäå F-

ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ, âîîáùå

ãîâîðÿ, íå ïîñòîÿííàÿ ïî åãî äëèíå).

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòåðæåíü èìååò ïëîñêîñòü

ñèììåòðèè xOy, è êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò â ýòîé

ïëîñêîñòè. Íà Ðèñ. 14.1.21_1á ïîêàçàí ìàëûé ýëå-

ìåíò ñòåðæíÿ äëèíîé dx, à òàêæå âíåøíèå è âíóò-

ðåííèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íåãî. Óñëîâèÿ ðàâ-

íîâåñèÿ ñèë íà îñü y è óñëîâèå ðàâåíñòâà ìîìåíòîâ

èìåþò âèä:

(14.1.21-1)

ãäå Q - ïåðåðåçûâàþùàÿ ñèëà;

M - èçãèáàþùèé ìîìåíò.

Âûðàæàÿ Q èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ è ïîäñòàâ-

ëÿÿ â ïåðâîå, ïîëó÷àåì:

(14.1.21-2)

Ðèñóíîê 14.1.20_4 - Êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñèñòåìû ñ n

ñòåïåíÿìè ñâîáîäû

Ðèñóíîê 14.1.21_1 - Êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ ñ ðàñïðåäå-

ëåííîé ìàññîé

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

962

Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì èç ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòå-

ðèàëîâ óðàâíåíèåì èçîãíóòîé ëèíèè áàëêè:

(14.1.21-3)

ãäå E - ìîäóëü óïðóãîñòè ìàòåðèàëà;

I - ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ

ñòåðæíÿ.

Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.21-3) â (14.1.21-2) ïîëó÷àåì óðàâ-

íåíèå èçãèáíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ:

(14.1.21-4)

Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíèå êîëåáàíèé ñòåð-

æíÿ ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé ñâîäèòñÿ ê àíàëèçó

äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿä-

êà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Â ñëó÷àå ñòåðæíÿ ïîñòîÿííîãî ñå÷åíèÿ ýòî

óðàâíåíèå èìååò ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû è íåñ-

êîëüêî óïðîùàåòñÿ:

(14.1.21-5)

ãäå

Óðàâíåíèå êîëåáàíèé äîëæíî áûòü äîïîëíå-

íî íà÷àëüíûìè è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè.

Ðàññìîòðèì ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è ôîðìû

êîëåáàíèé íà ïðèìåðå ñòåðæíÿ ïîñòîÿííîãî ïîïå-

ðå÷íîãî ñå÷åíèÿ. Ïðè êîëåáàíèÿõ ñòåðæíÿ ñ îäíîé

èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò p, åãî ïðîãèáû â íåêîòîðîé

ïðîèçâîëüíîé òî÷êå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ïî ãàð-

ìîíè÷åñêîìó çàêîíó:

y(x,t) = X(x)·(Acos pt + B sin pt) (14.1.21-6)

ãäå X(x) - íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàòû,

çàäàþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå àìïëèòóä êîëå-

áàíèé ïî äëèíå ñòåðæíÿ;

À, Â - êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþòñÿ

íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.

Ïîäñòàâëÿÿ â (14.1.20-8) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ

íåèçâåñòíîé ôóíêöèè X(x)

(14.1.21-7)

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü

íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ X(x), åñëè çàäàíû ãðàíè÷-

íûå óñëîâèÿ.

Ðàññìîòðèì ðåøåíèå íà ïðèìåðå ñòåðæíÿ,

ñâîáîäíî îïåðòîãî ïî êîíöàì. Â ýòîì ñëó÷àå óðàâ-

íåíèå (14.1.21-7) äîïîëíÿåòñÿ ãðàíè÷íûìè óñëî-

âèÿìè ðàâåíñòâà íóëþ ïåðåìåùåíèé è èçãèáàþùèõ

ìîìåíòîâ íà êîíöàõ ñòåðæíÿ ïðè x = 0 è x = L. Ðà-

âåíñòâî íóëþ èçãèáàþùèõ ìîìåíòîâ â ñîîòâåò-

ñòâèè ñ (14.1.21-3) ñâîäèòñÿ ê ðàâåíñòâó íóëþ âòî-

ðûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðåìåùåíèÿ íà êîíöàõ ñòåðæíÿ:

y(0) =y(L) = 0,

(14.1.21-8)

Ýòèì óñëîâèÿì è óðàâíåíèþ (14.1.21-7) ñîîòâåò-

ñòâóåò ñåìåéñòâî ôóíêöèé (âûâîä îïóñêàåì, ìîæ-

íî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé):

(x) = sin(k

ππ

x / L), k = 1, 2, 3... (14.1.21-9)

Ïîäñòàâëÿÿ â (14.1.21-7) ïîëó÷àåì, ÷òî êàæäîìó çíà-

÷åíèþ k ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà:

, k = 1, 2, 3... (14.1.21-10)

Ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ÷àñòîòå ïåðèîä êîëåáàíèé

ðàâåí:

(14.1.21-11)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñèñòåìà ñ ðàñïðåäåëåííîé

ìàññîé èìååò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé; êàæäîé ñîáñòâåííîé ÷àñ-

òîòå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ôîðìà. Ñïåêòð ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áåñêîíå÷íûé äèñêðåòíûé

ðÿä çíà÷åíèé. Íåñêîëüêî íèçøèõ ñîáñòâåííûõ ôîðì

êîëåáàíèé ðàññìàòðèâàåìîãî ñòåðæíÿ ïðèâåäåíû íà

Ðèñ. 14.1.21_2 (öèôðàìè îáîçíà÷åíû íîìåðà ñîîò-

âåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò).

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

963

Àíàëèç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé

ñòåðæíåé ñ äðóãèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, à òàê-

æå ñòåðæíåé ïåðåìåííîãî ñå÷åíèÿ ìîæíî íàéòè,

íàïðèìåð, â [14.8.9].

Ïîäñòàíîâêà (14.1.21-9) â (14.1.21-6) äàåò áåñ-

êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ

êîëåáàíèé (14.1.21-5):

(x,t) = X

(x) (A cos p

t + B sin p

t), k = 1,2,3…

Ïóòåì ñëîæåíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé ìîæíî ïðåäñòà-

âèòü ëþáûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ:

(14.1.21-12)

Çíàíèå ñîáñòâåííûõ ôîðì êîëåáàíèé ïîçâî-

ëÿåò îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèå íàïðÿæåíèé â òå-

ëå â ìîìåíò ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ îò ïîëî-

æåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è, áëàãîäàðÿ ýòîìó, îïðåäåëèòü

îïàñíûå òî÷êè è ñå÷åíèÿ ïðè ðåçîíàíñíûõ êîëå-

áàíèÿõ ïî òîé èëè èíîé ôîðìå.

Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè íà ñòåðæåíü ñ ðàñï-

ðåäåëåííîé ìàññîé äåéñòâóåò íàãðóçêà, èçìåíÿþ-

ùàÿñÿ âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó

ñ ÷àñ-

òîòîé

ΩΩ

Ω

, ñèñòåìà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî

ðåçîíàíñíûõ ðåæèìîâ ïðè ñîâïàäåíèè ýòîé ÷àñòî-

òû ñ ëþáîé èç ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò. Óñëîâèå ðåçî-

íàíñà èìååò âèä:

Ω Ω

Ω

= p

k = 1,2,3... (14.1.21-13)

Âîçìîæíà ñèòóàöèÿ, êîãäà ïðè âûïîëíåíèè

ýòîãî óñëîâèÿ ðåçîíàíñ íå âîçíèêàåò. Ýòî âîçìîæ-

íî, íàïðèìåð, åñëè ñîñðåäîòî÷åííàÿ ïåðåìåííàÿ

ñèëà ïðèëîæåíà â òî÷êå, êîòîðàÿ ïðè ñîîòâåòñòâó-

þùåé ôîðìå êîëåáàíèé íå èìååò ïåðåìåùåíèÿ.

Òàêèå òî÷êè íàçûâàþòñÿ óçëàìè. Íàïðîòèâ, åñëè

ïåðåìåííàÿ ñèëà ïðèëîæåíà â çîíå, ãäå ïðè ñîîò-

âåòñòâóþùåé ôîðìå êîëåáàíèé ïåðåìåùåíèÿ âå-

ëèêè, ðåçîíàíñíûé ðåæèì íàèáîëåå îïàñåí.

Êîëåáàíèÿ ñèñòåìû ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé

ðàññìîòðåíû âûøå íà ïðèìåðå ïîïåðå÷íûõ êîëå-

áàíèé ñòåðæíÿ â îäíîé èõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè

ïðîôèëÿ. Ïîëîæåííûå â îñíîâó ñòåðæíåâîé ìîäå-

ëè äîïóùåíèÿ (îäíîîñíîå íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå,

ãèïîòåçà ïëîñêèõ ñå÷åíèé) âûïîëíÿþòñÿ ñ äîñòà-

òî÷íîé òî÷íîñòüþ ëèøü â ñëó÷àÿõ, êîãäà îäèí èç

ðàçìåðîâ òåëà çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàåò îñòàëüíûå

Ðèñóíîê 14.1.21_2 - Ñîáñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé

ñâîáîäíî îïåðòîãî ñòåðæíÿ

ðàçìåðû. Ïðèìåíèòåëüíî ê àíàëèçó êîëåáàíèé ñó-

ùåñòâóåò åùå îäíî îãðàíè÷åíèå – ñòåðæíåâûå ìî-

äåëè íåïðèãîäíû äëÿ ðàñ÷åòà âûñøèõ ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò êîëåáàíèé. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî èñ-

ïîëüçîâàòü òðåõìåðíûå ìîäåëè è ÷èñëåííûå ìåòî-

äû, íàïðèìåð, ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.

ëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåìîíñòðèðîâàòü îãðàíè-

÷åííîñòü ñòåðæíåâûõ ìîäåëåé, ðàññìîòðèì íåñêîëü-

êî ñîáñòâåííûõ ôîðì, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè òðåõìåð-

íîì àíàëèçå êîëåáàíèé ïðèçìàòè÷åñêîãî ñòåðæíÿ

ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ

(ñì. Ðèñ. 14.1.21_3). Ïðè-

âåäåíû ïåðâûå èçãèáíûå ôîðìû êîëåáàíèé â ïëîñ-

êîñòÿõ xOz è yOz (ñì. Ðèñ. 14.1.21_3á,â), ïåðâàÿ

êðóòèëüíàÿ ôîðìà (ã) è ôîðìà ïðîäîëüíûõ êîëå-

áàíèé (ä), à òàêæå âòîðàÿ èçãèáíàÿ ôîðìà êîëåáà-

íèé â ïëîñêîñòè xOz è yOz (å è æ). Íàçâàíèå ôîðì

îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì äåôîðìàöèè òåëà â ïîëî-

æåíèè ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ

ðàâíîâåñèÿ. Ïðè ïðèâåäåííûõ ñîáñòâåííûõ ôîð-

ìàõ ôîðìà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â ïðîöåññå êîëå-

áàíèé íå èñêàæàåòñÿ, ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ ëèøü

ïåðåìåùàþòñÿ (ä) èëè ïîâîðà÷èâàþòñÿ âîêðóã îñåé

x è y ïðè èçãèáíûõ êîëåáàíèÿõ, z – ïðè êðóòèëü-

íûõ. Áîëåå âûñîêèì ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì ñîîò-

âåòñòâóþò áîëåå ñëîæíûå èçãèáíûå è êðóòèëüíûå,

à òàêæå ñìåøàííûå ôîðìû.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðèâåäåííûé âûøå ìî-

äàëüíûé àíàëèç (òàê íàçûâàþò àíàëèç ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò è ôîðì êîëåáàíèé) ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåð-

æíåâîé ìîäåëè ïîêàçàë ëèøü èçãèáíûå ôîðìû êî-

ëåáàíèé è òîëüêî â îäíîé ïëîñêîñòè. Òðåõìåðíûé

àíàëèç áîëåå òðóäîåìîê, íî äàåò çíà÷èòåëüíî áîëü-

øå èíôîðìàöèè î âîçìîæíûõ ðåçîíàíñíûõ ðåæè-

ìàõ. Íèçøèå ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû êîëåáàíèé

ñ äî-

ñòàòî÷íîé äëÿ èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ òî÷íîñòüþ

îïðåäåëÿþòñÿ íà áàçå ñòåðæíåâûõ ìîäåëåé. Äëÿ

ðàñ÷åòà âûñøèõ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò íåîáõîäèìî

èñïîëüçîâàòü òðåõìåðíûå ìîäåëè.

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

964

14.1.22 - Êîíöåïöèÿ ìåòîäà êîíå÷-

íûõ ýëåìåíòîâ

Àíàëèç íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñî-

ñòîÿíèÿ è êîëåáàíèé äåòàëåé ÃÒÄ â îòâåòñòâåííûõ

ñëó÷àÿõ òðåáóåò ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ìåõàíèêè

äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. Â ñèëó ñëîæíîñòè

ôîðìû äåòàëåé èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêèå ìåòî-

äû ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ íå óäàåòñÿ, è ïðèõîäèòñÿ

ïðèáåãàòü ê ÷èñëåííûì ìåòîäàì. Íàèáîëåå ðàñïðî-

ñòðàíåííûì â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå ðåøåíèÿ çà-

äà÷ ïðî÷íîñòè è êîëåáàíèé ñòàë ìåòîä êîíå÷íûõ

ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ), ðåàëèçîâàííûé â êîìïüþòåðíûõ

ñèñòåìàõ èíæåíåðíîãî àíàëèçà. Åãî îñíîâíûå äî-

ñòîèíñòâà: óíèâåðñàëüíîñòü, øèðîêèé êðóã ðåøà-

åìûõ çàäà÷ (ñòàòèêà, äèíàìèêà, óñòîé÷èâîñòü, óï-

ðóãîñòü, ïëàñòè÷íîñòü, ïîëçó÷åñòü, êîíòàêòíûå

çàäà÷è, òåìïåðàòóðíûå íàïðÿæåíèÿ è ò.ä.), ïðîñòî-

òà àëãîðèòìèçàöèè.

Â îáùèõ ÷åðòàõ, èäåÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëå-

ìåíòîâ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.

- Èññëåäóåìàÿ äåòàëü (òåëî) ðàçáèâàåòñÿ âî-

îáðàæàåìûìè ëèíèÿìè èëè ïîâåðõíîñòÿìè íà

áîëüøîå ÷èñëî êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðîñòîé ôîð-

ìû (ïðèçìû, ïèðàìèäû, òðåóãîëüíèêè è ò.ä.), ðàç-

ìåðû êîòîðûõ çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàçìåðîâ òåëà.

- Ïåðåìåùåíèå â ëþáîé ïðîèçâîëüíîé òî÷êå

êîíå÷íîãî ýëåìåíòà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÷å-

ðåç ïåðåìåùåíèÿ â åãî âåðøèíàõ (óçëîâûõ òî÷êàõ)

ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïåðåìåùåíèé. Îíà âûáèðà-

åòñÿ ëèíåéíîé, ïàðàáîëè÷åñêîé è ò.ä. òàêèì îáðà-

çîì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü àï-

ïðîêñèìàöèè ïåðåìåùåíèé è íàïðÿæåíèé âíóòðè

ýëåìåíòà.

Ðèñóíîê 14.1.21_3 - Íèçøèå ñîáñòâåííûå ôîðìû êîëåáàíèé ïðèçìàòè÷åñêîãî ñòåðæíÿ (ðåçóëüòàòû

òðåõìåðíîãî ìîäàëüíîãî àíàëèçà)

- Çàäàííîå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè ïåðåìåùåíèé

ïîëå ïåðåìåùåíèé âíóòðè ýëåìåíòà äàåò âîçìîæ-

íîñòü âûðàçèòü äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ âíóòðè

ýëåìåíòà ÷åðåç óçëîâûå ïåðåìåùåíèÿ. Íàïðèìåð,

ïðè ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ïåðåìåùåíèé äåôîð-

ìàöèÿ è íàïðÿæåíèå â êàæäîì ýëåìåíòå ïîëó÷àþò-

ñÿ ïîñòîÿííûìè.

- Çàäà÷à, ñîñòîÿâøàÿ â ðåøåíèè ñèñòåìû äèô-

ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîä-

íûõ, ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ

óðàâíåíèé è îòûñêàíèþ ïåðåìåùåíèé â óçëîâûõ

òî÷êàõ. Ýòà ïðîöåäóðà ïåðåõîäà îò íåèçâåñòíûõ

ôóíêöèé ê íåèçâåñòíûì èõ çíà÷åíèÿì â îòäåëüíûõ

óçëîâûõ òî÷êàõ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòèçàöèåé.

- Ïåðåìåùåíèÿ â óçëàõ îïðåäåëÿþòñÿ èç óñ-

ëîâèé ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ

ïîä äåéñòâèåì ïðèâåäåííûõ ê óçëàì âíåøíèõ ñèë.

- Ïî íàéäåííûì óçëîâûì ïåðåìåùåíèÿì îï-

ðåäåëÿþòñÿ ïîëÿ íàïðÿæåíèé è äåôîðìàöèé â ýëå-

ìåíòàõ è äåòàëè â öåëîì.

Ðàññìîòðèì ýòó ïðîöåäóðó íà ñàìîì ïðîñòîì

ïðèìåðå ðàñ÷åòà ïëîñêîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ

â óïðóãîì òåëå. Èññëåäóåìàÿ êîíñòðóêöèÿ ïðåä-

ñòàâëÿåò ñîáîé ïëàñòèíêó, íàãðóæåííóþ âíåøíè-

ìè ñèëàìè íà ãðàíèöå (ñì. Ðèñ. 14.1.22_1) è çàê-

ðåïëåííóþ â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ.

Èññëåäóåìóþ îáëàñòü ðàçîáüåì íà òðåóãîëüíûå

ýëåìåíòû (ñì. Ðèñ. 14.1.22_1), óçëû òèïè÷íîãî ýëå-

ìåíòà e îáîçíà÷èì i, j, m. Ïåðåìåùåíèÿ

δδ

â i-ì óçëå

èìåþò äâå ñîñòàâëÿþùèå (ïðîåêöèè íà îñè x è y)

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

965

à âåêòîð âñåõ ïåðåìåùåíèé â ýëåìåíòå âûãëÿäèò

êàê:

Ïðèìåì ïðîñòåéøóþ ëèíåéíóþ àïïðîêñèìà-

öèþ ïåðåìåùåíèé âíóòðè ýëåìåíòà (õ, ó - êîîðäè-

íàòû â ïðåäåëàõ ýëåìåíòà):

U =

αα

x +

αα

V =

αα

x +

αα

y, (14.1.22-1)

ãäå

αα

…

αα

- êîýôôèöèåíòû àïïðîêñèìàöèè.

Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ ïîäñòàíîâêîé â (14.1.22-1) êî-

îðäèíàò è ïåðåìåùåíèé óçëîâûõ òî÷åê ñîñòàâëÿ-

þòñÿ äâå ñèñòåìû ïî òðè óðàâíåíèÿ. Íàïðèìåð,

îäíà èç íèõ äëÿ ïåðåìåùåíèé â íàïðàâëåíèè îñè õ

èìååò âèä:

(14.1.22-2)

Ðåøàÿ èõ, ïîëó÷èì äëÿ ïåðåìåùåíèé U è V

âíóòðè ýëåìåíòà âûðàæåíèÿ:

(14.1.22-3)

= x

- x

= y

- ó

; ñ

= x

- x

ãäå

∆∆

∆

- ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ijm.

Êîýôôèöèåíòû a, b, ñ ñ èíäåêñàìè j è m ïîëó÷à-

þòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé èíäåêñîâ â ïîñ-

ëåäîâàòåëüíîñòè i, j, m.

Îáùàÿ äåôîðìàöèÿ â ëþáîé òî÷êå ýëåìåíòà

äëÿ ñëó÷àÿ ïëîñêîãî íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ èìå-

åò âèä:

(14.1.22-4)

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèÿ (14.1.22-1)

è (14.1.22-2), ïîëó÷àåì â ìàòðè÷íîì âèäå:

{

εε

} = [B] {

δδ

}

, (14.1.22-5)

ãäå ìàòðèöà óçëîâûõ êîîðäèíàò:

Îáîáùåííûé çàêîí Ãóêà, âûðàæàþùèé ñâÿçü

ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è äåôîðìàöèÿìè ïðè óïðó-

ãîì ïîâåäåíèè ìàòåðèàëà, ñ ó÷åòîì òåïëîâûõ äå-

ôîðìàöèé èìååò âèä (ñì. ðàçäåë 14.1.19):

{

σσ

} = [D] ({

εε

} - {

εε

}) (14.1.22-6)

ãäå {

εε

} - âåêòîð íà÷àëüíîé òåïëîâîé äåôîðìàöèè;

[D] - ìàòðèöà óïðóãîñòè ìàòåðèàëà, êîòîðàÿ

äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà è ïëîñêîãî

íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä:

(14.1.22-7)

Âåêòîð òåïëîâîé äåôîðìàöèè èìååò âèä:

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

966

(14.1.22-8)

ãäå

αα

- êîýôôèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ;

- òåìïåðàòóðà ýëåìåíòà.

Ïîäñòàâëÿÿ (14.1.22-5) â (14.1.22-6), ïîëó÷èì

ñîîòíîøåíèå äëÿ ðàñ÷åòà íàïðÿæåíèé â ýëåìåíòå

ïî èçâåñòíûì óçëîâûì ïåðåìåùåíèÿì:

{

σσ

} = [D][B]{

δδ

}

– [D]{

εε

}) (14.1.22-9)

Âíåøíèå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëî, ìîæíî

ðàçäåëèòü íà äâå êàòåãîðèè: ìàññîâûå (èëè îáúåì-

íûå) è ïîâåðõíîñòíûå ñèëû. Ìàññîâûå ñèëû õà-

ðàêòåðèçóþòñÿ ñèëîé, ïðèõîäÿùåéñÿ íà åäèíèöó

ìàññû (èëè îáúåìà) òåëà. Ïðèìåð ìàññîâûõ ñèë -

öåíòðîáåæíûå ñèëû. Ïîâåðõíîñòíûå ñèëû äåé-

ñòâóþò íà ïîâåðõíîñòè òåëà (ñì. Ðèñ. 14.1.22_1),

îíè îáóñëîâëåíû âîçäåéñòâèåì êîíòàêòèðóþùèõ

òåë èëè îêðóæàþùåé ñðåäû; ïðèìåð ïîâåðõíîñò-

íûõ ñèë - äàâëåíèå æèäêîñòè èëè ãàçà.

Â óçëàõ êîíå÷íî-ýëåìåíòíîé ñåòêè äåéñòâó-

þò òðè ãðóïïû ñèë. Ïåðâàÿ ãðóïïà - ñèëû, ñòàòè-

÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå âíåøíèì ïîâåðõíîñòíûì

è ìàññîâûì ñèëàì {F}

, îíè ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðè-

ðîâàíèåì âíåøíèõ ñèë ïî ïîâåðõíîñòè èëè îáúå-

ìó è ðàñïðåäåëåíèþ èõ ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè

óçëàìè.

Âòîðàÿ ãðóïïà - ñèëû, âîçíèêàþùèå îò íà-

÷àëüíîé äåôîðìàöèè {F}

εε

.Òðåòüÿ ãðóïïà – ñèëû,

ïðîïîðöèîíàëüíûå óçëîâûì ïåðåìåùåíèÿì {

δδ

}

Âåêòîð óçëîâûõ ñèë â ýëåìåíòå {F}

âêëþ÷àåò

â ñå-

áÿ ïî äâå ñèëû â êàæäîì óçëå:

, (14.1.22-10)

ãäå [K]

– ìàòðèöà æåñòêîñòè ýëåìåíòà

(14.1.22-10)

ãäå V – îáúåì ýëåìåíòà.

Çíàê [ ]

îçíà÷àåò òðàíñïîðòèðîâàíèå ìàòðè-

öû (ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè).

Ïðîñóììèðîâàâ óçëîâûå ñèëû ïî âñåì ýëå-

ìåíòàì, ïîëó÷àþò ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-

íåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ óçëîâûõ ïåðå-

ìåùåíèé {

δδ

[K] {

δδ

} = {F}, (14.1.22-11)

ãäå [K] - ìàòðèöà æåñòêîñòè ñèñòåìû;

{F} - âåêòîð âíåøíèõ íàãðóçîê (âêëþ÷àÿ

òåïëîâûå).

Ñèñòåìà (14.1.22-11) âêëþ÷àò â ñåáÿ N = zns

ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Çäåñü n –

÷èñëî óçëîâ êîíå÷íî-ýëåìåíòíîé ñåòêè, z – ÷èñëî

ñòåïåíåé ñâîáîäû â êàæäîì óçëå (â ïëîñêîé çàäà÷å

z = 2), s – ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ïî êîòîðûì ïå-

ðåìåùåíèÿ èçâåñòíû (çàêðåïëåííûå óçëû, íàïðè-

ìåð).

Ðåøåíèå ñèñòåìû (14.1.22-11) ïîçâîëÿåò îï-

ðåäåëèòü ïåðåìåùåíèÿ óçëîâûõ òî÷åê {

δδ

}, à ïî íèì

- äåôîðìàöèè è íàïðÿæåíèÿ â ýëåìåíòàõ ðàññ÷èòû-

âàåìîé êîíñòðóêöèè.

Ñîîòíîøåíèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ äëÿ

òðåõìåðíîãî íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñî-

ñòîÿíèÿ àíàëîãè÷íû ðàññìîòðåííûì âûøå. Êîíå÷-

íûå ýëåìåíòû â òðåõìåðíîì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿþò

ñîáîé îáúåìíîå òåëî (ïðèçìû, ïèðàìèäû), ÷èñëî

ñòåïåíåé ñâîáîäû â êàæäîì óçëå – òðè.

14.1.23 - Ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà êîíå÷-

íûõ ýëåìåíòîâ â èíæåíåðíûõ ðàñ-

÷åòàõ

Ñîîòíîøåíèÿ (14.1.22-1) - (14.1.22-6), îïðåäå-

ëÿþùèå ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ, áûëè çàïèñàíû â ïðîñ-

òåéøåì âèäå. Ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ ÷àñòî èñïîëü-

çóþò ýëåìåíòû ñ áîëåå ñëîæíûìè ñâîéñòâà

ìè.

Ðèñóíîê 14.1.22_1 - Ðàçáèåíèå èññëåäóåìîé îáëàñ-

òè íà êîíå÷íûå ýëåìåíòû

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

967

Âîçìîæíî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàíèå âìåñòî

ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ïåðåìåùåíèé â ýëåìåíòå

(14.1.22-2) ôóíêöèè ïåðåìåùåíèé â âèäå ïîëèíîìà

âòîðîãî ïîðÿäêà. Ò

àêèå ýëåìåíòû íàçûâàþòñÿ ýëå-

ìåíòàìè âòîðîãî ïîðÿäêà è èìåþò äîïîëíèòåëüíûå

óçëû â ñåðåäèíàõ ñòîðîí. Èõ èñïîëüçîâàíèå ïðè-

âîäèò ê áîëåå ñëîæíûì ñîîòíîøåíèÿì, íî ïîçâî-

ëÿåò ïðè òîì æå êîëè÷åñòâå ýëåìåíòîâ ñóùåñòâåí-

íî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ðåçóëüòàòîâ.

Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè è äåôîð-

ìàöèÿìè, çàïèñàííûå â (14.1.22-6) â âèäå îáîáùåí-

íîãî çàêîíà Ãóêà, òàêæå ìîãóò áûòü áîëåå ñëîæíû-

ìè è ó÷èòûâàòü àíèçîòðîïèþ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà,

ïëàñòè÷åñêèå äåôîðìàöèè, ïî

ëçó÷åñòü.

Ïðè ìîäåëèðîâàíèè òðåõìåðíîãî íàïðÿæåí-

íî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ äåòàëåé àâèàöè-

îííûõ äâèãàòåëåé èñïîëüçóþò îáúåìíûå êîíå÷íûå

ýëåìåíòû ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå 6-ãðàí-

íèêà (ãåêñàýäðà).

Ýëåìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà îïðåäåëåí âîñüìüþ

óçëàìè è èìååò ïî òðè ñòåïåíè ñâîáîäû â êàæäîì

óçëå, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñòóïàòåëüíûå

ïåðåìåùåíèÿ â íàïðàâëåíèÿõ êîîðäèíàòíûõ îñåé

x, y, è z. Äëÿ òàêîãî ýëåìåíòà âîçìîæíî çàäàíèå

ïëàñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ è ïîëçó÷åñòè. Ýëåìåíò âòî-

ðîãî ïîðÿäêà òàêæå èìååò ôîðìó øåñòèãðàííèêà,

íî îòëè÷àåòñÿ áîëüøèì êîëè÷åñòâîì óçëîâ – 20.

Â ïàêåòå ANSYS (ñì.íèæå) íàèáîëåå øèðîêî èñ-

ïîëüçóþùèéñÿ ýëåìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà èìååò íà-

çâàíèå SOLID45, âòîðîãî ïîðÿäêà - SOLID95.

Ïîñòðîåíèå êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëè –

îäèí èç íàèáîëåå îòâåòñòâåííûõ ýòàïîâ ïðîâåäå-

íèÿ ðàñ÷åòîâ ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, îïðå-

äåëÿþùèé, íàðÿäó ñ ïðèíÿòûìè ãðàíè÷íûìè óñ-

ëîâèÿìè, äîñòîâåðíîñòü ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.

Êîíå÷íî-ýëåìåíòíàÿ ìîäåëü õàðàêòåðèçóåòñÿ

òèïîì ïðèìåíÿåìûõ êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ è ãóñòî-

òîé ðàçáèâêè (ðàçìåðîì ýëåìåíòîâ) â êîíêðåòíûõ

çîíàõ. Â îäíîé ìîäåëè ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ðàç-

íûå òèïû ýëåìåíòîâ, âûáîð êîòîðûõ çàâèñèò îò

öåëåé ðàñ÷åòíîãî èññëåäîâàíèÿ, ñëîæíîñòè ãåîìåò-

ðè÷åñêîé ìîäåëè, âîçìîæíîñòåé âû÷èñëèòåëüíîé

òåõíèêè è îïûòà èñïîëíèòåëÿ.

Ãóñòîòà ðàçáèâêè êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäå-

ëè îïðåäåëÿåòñÿ îäíèì îáùèì ïðàâèëîì: â çîíàõ

îæèäàåìîé êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé ñåòêà ýëå-

ìåíòîâ äîëæíà ñãóùàòüñÿ. Ðåêîìåíäóåìûé õàðàê-

òåðíûé ðàçìåð ýëåìåíòà â çîíå êîíöåíòðàöèè äîë-

æåí áûòü ïðèìåðíî íà ïîðÿäîê ìåíüøå òèïè÷íîãî

ðàçìåðà ñàìîãî êîíöåíòðàòîðà. Íàïðèìåð, äëÿ

îïèñàíèÿ êîíå÷íîýëåìåíòíîé ìîäåëüþ ãàëòåëè

ðàäèóñîì 2 ìì íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ýëåìåíòû

ñî ñòîðîíîé îêîëî 0,2 ìì. Îòìåòèì, ÷òî ïðèìå-

íåíèå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî-

çâîëÿåò ïîëó÷èòü ïðèåìëåìóþ òî÷íîñòü ðåçóëü-

òàòîâ îòíîñèòåëüíî ìåíüøèì êîëè÷åñòâîì ýëå-

ìåíòîâ. Ïðè ïîñòðîåíèè ñåòîê ñëåäóåò èçáåãàòü

èñïîëüçîâàíèÿ ýëåìåíòîâ ñ áîëüøèì îòíîøåíè-

åì ðàçìåðîâ.

Ïðè ìîäåëèðîâàíèè òîíêîñòåííûõ äåòàëåé

ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïðè èõ èçãèáå ãðàäèåíò

íàïðÿæåíèé ïî òîëùèíå ìîæåò áûòü áîëüøèì (ðà-

ñòÿæåíèå íà îäíîé ïîâåðõíîñòè è ñæàòèå íà äðó-

ãîé), ñëåäîâàòåëüíî, êîíå÷íî-ýëåìåíòíàÿ ñåòêà äîë-

æíà èìåòü íåñêîëüêî ñëîåâ ýëåìåíòîâ ïî òîëùèíå.

Â ð

ÿäå ñëó÷àåâ äëÿ òàêèõ êîíñòðóêöèé ðåêîìåíäó-

åòñÿ èñïîëüçîâàíèå ñïåöèàëüíûõ ýëåìåíòîâ

â ôîð-

ìå ÷åòûðåõóãîëüíîãî ýëåìåíòà êðèâîëèíåéíîé

îáîëî÷êè. Â òàêèõ

ýëåìåíòàõ èñïîëüçóåòñÿ ñïåöè-

àëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ ïåðåìåùåíèé ïî òîëùèíå,

ïîçâîëÿþùàÿ îïèñûâàòü äåôîðìàöèþ èçãèáà â îä-

íîì ñëîå ýëåìåíòîâ.

Øèðîêîå ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëå-

ìåíòîâ â èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòàõ íà÷àëîñü ñ ïîÿâëå-

íèåì äîñòàòî÷íî ìîùíîé âû÷èñëèòåëüíîé òåõíè-

êè â íà÷àëå 70-õ ãîäîâ. Óæå òîãäà óäàâàëîñü

óñïåøíî ìîäåëèðîâàòü íàïðÿæåííî-äåôîðìèðî-

âàííîå ñîñòîÿíèå è êîëåáàíèÿ îòâåòñòâåííûõ äå-

òàëåé àâèàöèîííûõ äâèãàòåëåé. Ê òîìó æå âðåìå-

íè îòíîñèòñÿ ðàçâèòèå êîììåð÷åñêèõ ïðîãðàììíûõ

ïðîäóêòîâ, ïðîâîäÿùèõ âû÷èñëåíèÿ íà îñíîâå ìå-

òîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.

Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóþò ìîùíûå ïðî-

ãðàììíûå êîìïëåêñû, ïîçâîëÿþùèå ðåøàòü íå

òîëüêî çàäà÷è äèíàìèêè è ïðî÷íîñòè êîíñòðóêöèé,

íî è çàäà÷è ãèäðîäèíàìèêè, àêóñòèêè, ýëåêòðîìàã-

íåòèçìà, îïòèìèçàöèè è äð. Íàèáîëåå èçâåñòíûìè

ÿâëÿþòñÿ: ANSYS (ôèðìà-ðàçðàáîò÷èê EDS, USA),

NASTRAN (MSC Software, USA), ABAQUS (Hibbit,

Karlsson&Sorensen Inc, USA), MARC (MSC

Software, USA), I-DEAS (EDS, USA), Samcef

(Samtech, Áåëüãèÿ), LS–DYNA(EDS, USA). Ýòè

ïðîãðàììû áëèçêè ïî íàáîðó îñíîâíûõ ðåàëèçî-

âàííûõ â íèõ âîçìîæíîñòåé. Ïåðå÷èñëèì íåêîòî-

ðûå èç íèõ.

- Ðåøåíèå çàäà÷ â îäíîìåðíîé, äâóìåðíîé

è òðåõìåðíîé ïîñòàíîâêàõ. Íàëè÷èå îáøèðíîé

áèáëèîòåêè ýëåìåíòîâ ðàçëè÷íîé ôîðìû ñ ðàçëè÷-

íûìè ôóíêöèÿìè ïåðåìåùåíèé.

- Àíàëèç ñòàòè÷åñêîãî è äèíàìè÷åñêîãî íàïðÿ-

æåííî-äåôîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ, ìîäàëüíûé

àíàëèç, ðåøåíèå çàäà÷ óñòîé÷èâîñòè êîíñòðóêöèé,

ðàñ÷åò ñòàöèîíàðíûõ è íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ

ïîëåé, ðåøåíèå çàäà÷ ãèäðîäèíàìèêè, ýëåêòðîìàã-

íèòíûõ ïîëåé è àêóñòèêè.

- Ðåàëèçàöèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ïîâåäåíèÿ

ìàòåðèàëîâ: óïðóãîñòè, ïëàñòè÷íîñòè, ïîëçó÷åñòè

ñ çàâèñÿùèìè îò òåìïåðàòóðû ñâîéñòâàìè ìàòåðè-

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

968

àëîâ. Ìîäåëèðîâàíèå ïîâåäåíèÿ êîíñòðóêöèé èç

êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ.

Ðåøåíèå çàäà÷ îïòèìèçàöèè êîíñòðóêöèé

ñ äîñòàòî÷íî øèðîêèìè âîçìîæíîñòÿìè âûáîðà

öåëåâûõ ôóíêöèé è íàçíà÷åíèÿ îãðàíè÷åíèé.

- Ñïåöèàëüíûå âîçìîæíîñòè äëÿ àíàëèçà íå-

ëèíåéíûõ áûñòðîïðîòåêàþùèõ ïðîöåññîâ, òàêèõ

êàê îáðûâ ëîïàòêè, èëè ïîïàäàíèå ïòèöû â àâèàä-

âèãàòåëü.

- Èíòåðàêòèâíàÿ ðàáîòà ñ ïîëüçîâàòåëåì. Ðàç-

âèòûå ñðåäñòâà ïîñòðîåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ è êî-

íå÷íî-ýëåìåíòíûõ ìîäåëåé, çàäàíèÿ íàãðóçîê, âè-

çóàëèçàöèè è îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ.

- Íàëè÷èå èíòåðôåéñîâ ïåðåäà÷è ãåîìåòðè÷åñ-

êèõ ìîäåëåé èç ñèñòåì àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðî-

åêòèðîâàíèÿ è èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ.

- Âîçìîæíîñòü äîïîëíåíèÿ ïàêåòà ñîáñòâåí-

íûìè ýëåìåíòàìè, êðèòåðèÿìè ïëàñòè÷íîñòè è ðàç-

ðóøåíèÿ è ò.ä., íàëè÷èå ÿçûêà ìàêðîêîìàíä, ïîçâî-

ëÿþùåãî ïîëüçîâàòåëþ ðàçðàáàòûâàòü ñîáñòâåííûå

ïðèëîæåíèÿ.

Õîòÿ ñïèñîê âîçìîæíîñòåé ïàêåòîâ, â ïðèíöè-

ïå, îäèíàêîâ, åñòü è îïðåäåëåííûå îòëè÷èÿ. Â ÷àñ-

òíîñòè, â MARC èçíà÷àëüíî óäåëÿëîñü áîëüøîå

âíèìàíèå ìîäåëèðîâàíèþ òåõíîëîãè÷åñêèõ ïðî-

öåññîâ øòàìïîâêè, ãèáêè è ò.ä. Ïàêåò I-DEAS èìå-

åò ñïåöèàëüíûå âîçìîæíîñòè îáðàáîòêè ýêñïåðè-

ìåíòàëüíûõ äàííûõ è èäåíòèôèêàöèè ðåçóëüòàòîâ

ðàñ÷åòîâ. Â ñîñòàâ Samcef âêëþ÷åí ñïåöèàëüíûé

ìîäóëü ðàñ÷åòà äèíàìèêè ðîòîðîâ. Âèäèìî ýòèìè

îòëè÷èÿìè îáúÿñíÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå âåäóùèìè

çàðóáåæíûìè ôèðìàìè ñðàçó íåñêîëüêèõ êîíå÷íî-

ýëåìåíòíûõ ïàêåòîâ. Íàïðèìåð, íà UTC èñïîëüçó-

þòñÿ ANSYS è NASTRAN; Snecma è MTU ïðèìå-

íÿþò NASTRAN, ABAQUS, Samcef; íà Boeing -

ANSYS, ABAQUS; Rolls-Royce èñïîëüçóåò

ABAQUS è NASTRAN.

14.1.24 - Ïðèìåð àíàëèçà íàïðÿæåí-

íîãî ñîñòîÿíèÿ òåëà â òðåõìåðíîé

ïîñòàíîâêå ìåòîäîì êîíå÷íûõ

ýëåìåíòîâ. Êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæå-

íèé â óïðóãîì è óïðóãî-ïëàñòè÷åñ-

êîì òåëå

Ðåçóëüòàòû àíàëèçà íàïðÿæåííî-äåôîðìèðî-

âàííîãî ñîñòîÿíèÿ ìåòîäàìè òåîðèè óïðóãîñòè è ï-

ëàñòè÷íîñòè â òðåõìåðíîé (èëè äâóìåðíîé) ïîñòà-

íîâêå ðÿäå ñëó÷àåâ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò

ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷àåìûõ â îäíîìåðíîé ïîñòàíîâ-

êå ìåòîäàìè ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëîâ. Ïðè÷èíà

– â äîïóùåíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ â ðàìêàõ èñïîëüçó-

Ðèñóíîê 14.1.24_1 - Ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà

åìîé â ñîïðîòèâëåíèè ìàòåðèàëîâ ñòåðæíåâîé ìî-

äåëè. Íàïîìíèì èõ: íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ñ÷è-

òàåòñÿ îäíîîñíûì; îòëè÷íîé îò íóëÿ ñ÷èòàåòñÿ

òîëüêî îäíà êîìïîíåíòà òåíçîðà íàïðÿæåíèé – íîð-

ìàëüíîå íàïðÿæåíèå, íàïðàâëåííîå âäîëü îñè ñòåð-

æíÿ; çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé êîìïîíåíòû ïî ñå-

÷åíèþ ñòåðæíÿ ñ÷èòàåòñÿ ëèíåéíûì.

Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó îá èç-

ãèáå êîíñîëüíîãî ñòåðæíÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäå-

ëåííîé íàãðóçêîé q (ñì. Ðèñ. 14.1.24_1). Ñòåðæåíü

èìååò ñòóïåí÷àòîå ñå÷åíèå, â ñå÷åíèè A

èìå-

åòñÿ ãàëòåëü. Ñòåðæåíü æåñòêî çàùåìëåí ñ ëåâîãî

êîíöà, äëèíà åãî òîíêîé ÷àñòè 50 ìì, òîëñòîé –

50 ìì. Ðàçìåðû ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â òîíêîé ÷à-

ñòè: øèðèíà b = 10 ìì, âûñîòà h = 10 ìì. Â òîë-

ñòîé ÷àñòè b = 10 ìì, âûñîòà h = 20 ìì. Ðàäèóñ

ñêðóãëåíèÿ â ãàëòåëè 2 ìì. Íà âåðõíåé ïîâåðõíî-

ñòè ïðèëîæåíà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííàÿ íàãðóç-

êà èíòåíñèâíîñòüþ q = 10 ÌÏà, ÷òî ïðè ñîîòâåò-

ñòâóåò íàãðóçêå íà åäèíèöó äëèíû (ïîãîííîé)

Í/ì. Ìàòåðèàë ñòåðæíÿ óïðóãî-ïëàñòè÷åñêèé,

äèàãðàììà

σσ

-ε ïðèâåäåíà íà Ðèñ. 14.1.24_2. Ìîäóëü

óïðóãîñòè E = 217500 ÌÏà, ïðåäåë òåêó÷åñòè

σσ

0.2

= 430 ÌÏà.

Ðåøåíèå â ðàìêàõ ñòåðæíåâîé ìîäåëè äàåò äëÿ

èçãèáàþùåãî ìîìåíòà M :

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìîìåíò ñîïðîòèâëåíèÿ ïðÿìî-

óãîëüíîãî ñå÷åíèÿ ðàâåí W = 1/6 bh

, äëÿ íàïðÿ-

æåíèÿ íà âåðõíåé ïîâåðõíîñòè

σσ

ïîëó÷àåì:

Ãëàâà 14 - Äèíàìèêà è ïðî÷íîñòü ÃÒÄ

969

Ðàñïðåäåëåíèå ýòîãî íàïðÿæåíèÿ ïî ëèíèè

ïîêàçàíî íà Ðèñ. 14.1.24_3 (êðèâàÿ 1). Ìàêñè-

ìàëüíîå íàïðÿæåíèå ðàñòÿæåíèÿ âîçíèêàåò â çàäåë-

êå è íà ëèíèè B

, îíî ðàâíî 750 ÌÏà.

Àíàëèç òðåõìåðíûõ ïîëåé íàïðÿæåíèé è äå-

ôîðìàöèé â ñòåðæíå ïðîâîäèëè ñ ïîìîùüþ ìåòî-

äà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Êîíå÷íî-ýëåìåíòíàÿ ìî-

äåëü ñîñòîÿëà èç 9000 îáúåìíûõ äâàäöàòèóçëîâûõ

ýëåìåíòîâ ïåðâîãî ïîðÿäêà è èìåëà îêîëî 500 000

ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà â âèäå ïî-

ëåé êîìïîíåíòû íàïðÿæåíèÿ

σσ

è äåôîðìàöèè

εε

ïðèâåäåíû íà Ðèñ. 14.1.24_4.

Íà ïåðâîì ýòàïå àíàëèç ïðîâîäèëñÿ áåç ó÷åòà

ïëàñòè÷åñêèõ äåôîðìàöèé, â óïðóãîé ïîñòàíîâêå.

Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå ñó-

ùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîëó÷åííîãî âûøå ïî

ñòåðæíåâîé ìîäåëè ëèøü âáëèçè çàäåëêè è ãàëòå-

ëè (ñì. Ðèñ. 14.1.24_4,à). Òàê, â ÷àñòíîñòè, â ãàëòå-

ëè èìååò ìåñòî êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæåíèé ñ òåî-

ðåòè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì êîíöåíòðàöèè 1, 47,

à â çàäåëêå – ñ êîýôôèöèåíòîì 1,59. Â çàäåëêå íàè-

áîëåå íàïðÿæåííûìè îêàçûâàþòñÿ óãëîâûå òî÷êè

íà âåðõíåé ïîâåðõíîñòè, â ýòèõ òî÷êàõ íàïðÿæåí-

íîå ñîñòîÿíèå íå îäíîîñíîå, ýòî âñåñòîðîííåå ðà-

ñòÿæåíèå.

Ñ èçìåëü÷åíèåì ñåòêè êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ íà-

ïðÿæåíèÿ â êîíöåíòðàòîðàõ çàäåëêå âîçðàñòàþò.

Òàê ïðîÿâëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî ðàñ-

÷åòà ìåòîäîì êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, êîòîðàÿ ñíèæà-

åòñÿ ñ óìåíüøåíèåì ðàçìåðà ýëåìåíòîâ â çîíå

áîëüøèõ ãðàäèåíòîâ íàïðÿæåíèé. Äîñòàòî÷íî ìåë-

êîé ñ÷èòàþò ñåòêó, ïðè êîòîðîé íàïðÿæåíèÿ ïåðå-

ñòàþò çàâèñåòü îò ðàçìåðà ýëåìåíòîâ. Â ðàññìàò-

ðèâàåìîì ïðèìåðå â çîíå ãàëòåëè òàêàÿ ñèòóàöèÿ

Ðèñóíîê 14.1.24_3 - Íàïðÿæåíèÿ â ñòåðæíå

Ðèñóíîê 14.1.24_2 - Ìîäåëü ìàòåðèàëà

äîñòèãíóòà ïðè ïàðàìåòðàõ ñåòêè, óêàçàííûõ

âûøå, ò.å. ïðèâåäåííîå çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà

êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé â ãàëòåëè îïðåäåëåíî

ñ äîñòàòî÷íîé äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé òî÷íîñòüþ.

Èíîé îêàçûâàåòñÿ ñèòóàöèÿ â çàäåëêå. Íåîäíîêðàò-

íîå èçìåëü÷åíèå ñåòêè â ýòîé îáëàñòè íå ïðèâîäèò

ê ñòàáèëèçàöèè íàïðÿæåíèé. Ýòî ñâÿçàíî ñ îñîáåí-

íîñòüþ íàïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðàÿ ñîñòîèò

â òîì, ÷òî òåîðåòè÷åñêè íàïðÿæåíèÿ â æåñòêîé çà-

äåëêå àñèìïòîòè÷åñêè ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè

ïðè ëþáîé îòëè÷íîé îò íóëÿ íàãðóçêå. Ñ òî÷êè çðå-

íèÿ ïðàêòè÷åñêîé ïðî÷íîñòè òàêîé ðåçóëüòàò áåñ-

ïîëåçåí, ïîñêîëüêó ïðèìåíåíèå îáû÷íûõ êðèòåðè-

åâ ïðî÷íîñòè íåâîçìîæíî.

Íàïðÿæåíèÿ ñóùåñòâåííî ïðåâîñõîäÿò ïðåäåë

òåêó÷åñòè ìàòåðèàëà (ñì. Ðèñ. 14.1.24_3), ïîýòîìó

áûë ïðîâåäåí ðàñ÷åò ñ ó÷åòîì ïëàñòè÷åñêèõ äåôîð-

ìàöèé. Îí ïîêàçàë ñëåäóþùåå. Ïîëå íàïðÿæåíèé

(ñì. Ðèñ. 14.1.24_4á) îòëè÷àåòñÿ îò óïðóãîãî ðåøå-

íèÿ â ëîêàëüíîé îáëàñòè âáëèçè êîíöåíòðàòîðîâ:

ãàëòåëè è çàäåëêè. Íåïîñðåäñòâåííî âáëèçè êîí-

öåíòðàòîðîâ ïîÿâèëèñü ïëàñòè÷åñêèå çîíû. Çà ïðå-